Aufgabe 1 Ein bestimmtes (beliebig teilbares) Gut wird von vier

Aufgabe 1
SS 2002, Universität Augsburg
t b
y I
BO
Spieltheorie
Ein bestimmtes (beliebig teilbares) Gut wird von vier Produzenten hergestellt; Produzent i erzeugt xi Mengeneinheiten, wobei xi im Bereich [0;10] liegen kann. Für jeden der vier Produzenten verursache die Produktion seiner xi Mengeneinheiten Kosten in Höhe von x2i EURO.
Der resultierende Preis p (in EURO), zu dem die von allen vier Produzenten insgesamt hergestellten x Mengeneinheiten tatsächlich nachgefragt werden, ist gegeben gemäß
x2
10(1 − 100
) , falls x < 10
p = f (x) =
0
, falls x ≥ 10.
a) Geben Sie (im Bereich mit x1 + . . . + x4 ≤ 10) die Auszahlungsfunktion u i (x1 , . . . , x4 ) von
Produzent i an.
b) Gibt es einen Gleichgewichtspunkt? Falls ja, bestimmen Sie diesen und berechnen Sie
den Gewinn, den jeder der Produzenten im Gleichgewichtspunkt erhält.
Cop
yrig
h
c) Weisen Sie nach, daß der maximale durch Kooperation der vier Produzenten erreichbare
Gesamtgewinn durch die Festlegung x1 = x2 = x3 = x4 = 1, 25 erzielt werden kann. (Es
genügt dabei, zu verifizieren, daß die partiellen Ableitungen des Gesamtgewinns nach x i
im Punkt (x1 , . . . , x4 ) = ( 54 , . . . , 54 ) alle gleich 0 sind.) Berechnen Sie diesen maximalen
Gesamtgewinn.
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Aufgabe 2
Folgende zwei Matrizen
u1
a1
a2
b1
1
2
b2
-2
0
b3
0
3
u2
a1
a2
b1
0
-2
b2
2
3
b3
1
0
t b
y I
BO
Spieltheorie
charakterisieren ein Bimatrixspiel Γ = (A, B; u1 , u2 ).
a) Bestimmen Sie alle Gleichgewichtspunkte von Γ (in reinen Strategien).
b) Γ werden nun kooperativ – unter Ausschluß von Seitenzahlungen – gespielt.
(1) Skizzieren Sie das Auszahlungsdiagramm K(Γ).
(2) Berechnen Sie zur Verhandlungssituation (K(Γ); u1∗, u2∗ ), wobei (u1∗ , u2∗ ) den Garantiepunkt darstellt, die Nash–Lösung (û 1 , û2 ) und veranschaulichen Sie diese in
der Skizze aus (1). Auf welche Weise, d.h. durch welche reinen oder gemischten
Strategien der beiden Spieler, kann das Auszahlungspaar (û1 , û2 ) tatsächlich erreicht
werden (zumindest im Erwartungswert).
Cop
yrig
h
(3) Nun sei (u1 , u2 ) ein Auszahlungspaar, das dadurch entsteht, daß jeder der beiden
Spieler eine Maximinstrategie einsetzt. Bestimmen Sie die Nash-Lösung zur Verhandlungssituation (K(Γ); u1 , u2 ).
(4) Nun werden doch Seitenzahlungen als möglich erachtet. Geben Sie, falls möglich,
ein Auszahlungspaar (s1 , s2 ) im kooperativen Auszahlungsdiagramm K S (Γ) mit Seitenzahlungen an, das nicht in K(Γ) aus (1) liegt. Wie lautet die Nash–Lösung zur
Verhandlungssituation (K S (Γ); u1∗ , u2∗ ) (mit u1∗ , u2∗ wie in (2))?
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