Analysis III

Institut für Analysis, Dynamik
und Modellierung
Prof. Alexander Mielke
WiSe 2004/05
3. November 2004
Blatt 4
Analysis III
Aufgabe 16: (schriftlich 6 Punkte)
a) Gegeben sei eine Kurve Γ := { γ(t) | t ∈ [a, b] } mit γ ∈ C2 ([a, b], Rd ). Zeigen Sie, dass die
Krümmung im Punkt γ(t) sich wie folgt berechnen lässt:
|k(t)| =
1
|γ 0 (t)|4
0 2 00
|γ (t)| γ (t) − hγ 00 (t), γ 0 (t)iγ 0 (t)) .
b) (Epizykloide) Ein Kreis vom Radius r, dessen Mittelpunkt für ϕ = 0 im Punkt (3r, 0) liegt, rolle
(entgegen dem Uhrzeigersinn) auf einem Kreis vom Radius 2r mit dem Koordinatenursprung als
Mittelpunkt ab.
1) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Bahnkurve γ = γ(ϕ), 0 ≤ ϕ ≤ 2π, die der Randpunkt (4r, 0) des kleinen Kreises bei einem Umlauf um den großen Kreis beschreibt.
2) Bestimmen Sie Länge und Krümmung der Kurve γ(ϕ), insbesondere k(0), limϕ%π/2 k(ϕ) und
limϕ&π/2 k(ϕ).
r
2ϕ
2r
ϕ
Aufgabe 17:
Es soll gezeigt werden, dass eine glatte ebene Kurve durch ihre Krümmung als Funktion eines natürliches
Parameters eindeutig bis auf Starre-Körper-Bewegungen (Kompositionen aus Rotationen, Translationen,
Spiegelungen) bestimmt ist.
Sei γ ∈ C3 ([0, L], R2 ) die natürliche Parametrisierung einer ebenen Kurve. Der Tangentenvektor im
Punkt γ(s) bezeichen wir mit τ (s). Weiter sei κ(s) = τ 0 (s) und k(s) = |κ(s)|. Zusätzlich nehmen wir
an, dass die Krümmung k dieser Kurve nirgends gleich 0 ist. Die Funktion ν : [0, L] → R2 sei wie folgt
definiert
1
s 7→ ν(s) :=
κ(s).
k(s)
a) Zeigen Sie, dass die zweidimensionale Version der Frenetschen Gleichungen erfüllt ist:
τ̇ = kν,
ν̇ = −kτ.
Hinweis: Zeigen Sie, dass die Ableitung u0 einer Funktion u : [0, L] → R2 mit |u| ≡ 1 orthogonal
zu u ist. Leiten Sie das Skalarprodukt hτ, νi ab, um die zweite Gleichung herzuleiten.
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b) Sei nun γ ∗ ∈ C3 ([0, L], R2 ) die natürliche Parametrisierung einer ebenen Kurve mit γ(0) = γ ∗ (0),
τ (0) = τ ∗ (0), ν(0) = ν ∗ (0). Zusätzlich gelte k(s) = k ∗ (s) für alle s ∈ [0, L]. Zeigen Sie, dass
γ(s) = γ ∗ (s)
für alle s ∈ [0, L] gilt.
Hinweis: Zeigen Sie, dass die Funktion s 7→ hτ (s), τ ∗ (s)i + hν(s), ν ∗ (s)i eine konstante Funktion
ist.
c) Sei nun k̂ : [0, L] → R eine beliebige stetige Funktion. Zeigen Sie, dass eine natürliche Parametrisierung
γ̂ : [0, L] → R2 einer ebenen Kurve Γ gibt, so dass die Krümmung im Punkt γ̂(s) gleich k̂(s) ist.
Hinweis: Schreiben Sie den Tangentenvektor an Γ in der Form τ (s) = (cos ϕ(s), sin ϕ(s))T . Zeigen
Sie, dass die Funktion ν in der Form ν(s) = (− sin ϕ(s), cos ϕ(s))T angenommen werden kann.
Verwenden Sie nun die Frenetschen Gleichungen, um die Kurve Γ zu konstruieren.
d) Ist eine Kurve in R3 ebenfalls durch die Krümmung eindeutig bestimmt?
Aufgabe 18:
Bei einer Autobahnfahrt wurden mittels GPS folgende Positionen im Abstand von je einer Sekunde
gemessen:
Zeit östliche Länge nördliche Breite
105
9.14820◦
48.70879◦
◦
106
9.14783
48.70884◦
107
9.14746◦
48.70889◦
◦
108
9.14709
48.70894◦
a) Geben Sie ein Skalarprodukt an, das Vektoren mit Einheit “Winkelgrad pro Sekunde” so misst, dass
die Länge eine Geschwindigkeit in km pro Stunde ergibt, und das Winkel auf einer Landkarte angibt
(d.h. 0 = Ost, π/2 = Nord , π = West und 3π/2 = Süd). Betrachten Sie die Erde als eine Kugel mit
Radius 6371 km.
b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit und die Fahrtrichtung des oben gemessenen Fahrzeugs.
c) Finden Sie die Strecke auf einer Landkarte.
Aufgabe 19: (schriftlich 6 Punkte) Gegeben sei das Kraftfeld
x1
2
2
F : R → R∗ ;
7→ (−2x2 , x1 )
x2
Berechnen Sie das Arbeitsintegral zwischen den Punkten (1, 0)T und (−1, 0)T längs
a) der x1 –Achse;
b) des oberen Halbkreises mit Radius 1;
c) des Polygonzuges (1, 0), (1, −1), (−1, −1), (−1, 0).
Aufgabe 20:
a) Berechnen Sie den Schwerpunkt der Kurve Γ := { γ(t) ∈ R3 | t ∈ (−∞, 0] } mit
t 7→ γ(t) := (et cos t, et sin t, et )T ,
wobei die konstante Masseverteilung ρ ≡ 1 auf Γ angenommen wird.
b) Wie groß ist die Masse der Kurve { (a cos t, b sin t) ∈ R2 | t ∈ (0, 2π) }, wenn als Masseverteilung
ρ : Γ → R ; (x1 , x2 ) 7→ |x2 | angenommen wird?
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