Institut für Geometrie und Topologie

Institut für Geometrie und Topologie
Prof. Uwe Semmelmann
Dr. Tillmann Jentsch
Übungsblatt 2: Weglänge und Krümmung
Für die Gruppenübungen am 24.04.2012
Aufgabe 1. Sei c : R → R2 die ebene Kurve definiert durch
c(t) := t2 , t3 .
Diese Kurve wird auch Neilsche Parabel genannt. In der Vorlesung wurde gezeigt, dass c nicht regulär in
t = 0 ist.
(a) Welche Gleichung erfüllt die Spur von c?
(b) Zeige: Die Spur von c ist nicht regulär parametrisierbar, d.h., es existiert keine reguläre Kurve, welche
die selbe Spur wie c besitzt.
(c) Berechnen Sie die Weglänge von c|[−2,2] .
Aufgabe 2. In der Vorlesung wurde gezeigt, dass eine Gerade die kürzeste Verbindung zwischen zwei
Punkten der Ebene ist. Beweisen Sie dies noch einmal explizit, wie folgt: sei c : [0, 1] → R2 eine Kurve mit
c(0) = p und c(1) = q .
(a) Für jeden Einheitsvektor v gilt
Z
hq − p, vi =
1
hċ(t), vidt ≤ L[c]
0
(b) Es gilt kq − pk ≤ L[c]. Hinweis: mit Teil (a), mit geeignetem v .
Aufgabe 3. Sei c : R → R2 eine reguläre Kurve. Die Krümmung κc von c berechnet sich nach der Formel
κc (t) :=
det(ċ(t), c̈(t))
.
kċ(t)k3
Dabei bezeichne det die gewöhnliche Determinante auf R2 , also det(a, b) = a1 b2 − a2 b1 für je zwei Vektoren
a, b des R2 .
(a) Zeigen Sie, dass dies mit dem Krümmungsbegriff aus der Vorlesung übereinstimmt, falls c nach Bogenlänge parametrisiert ist.
(b) Zeigen Sie: Die Krümmung ist invariant unter orientierungserhaltenden Parametertransformationen.
Genauer, ist ϕ : R → R eine monoton steigende Parametertransformation und c̃ := c ◦ ϕ , so gilt
κc̃ = κc ◦ ϕ .
(c) Wie transformiert sich die Krümmung, wenn ϕ eine orientierungsumkehrende Parametertransformation ist?
(d) Welche “Einheit” hat die Krümmung einer regulären Kurve?
Aufgabe 4. Wir betrachten die ebene Kurve c : R → R2 mit
c(t) = (a eb t cos(t), a eb t sin(t)) ,
mit a > 0 and b < 0 , vgl. Aufgabe 2 von Übungsblatt 1. Berechnen Sie die Weglänge von c|[t0 ,t1 ] für reelle
Zahlen t0 < t1 . Zeigen Sie so, dass die Weglänge von c|[s,∞) endlich ist für jede reelle Zahl s .
Schriftliche Aufgabe.
Zur Abgabe am 24.4. in Ihrer Übungsgruppe
Aufgabe 5. Sei r : [0, 2π] → R gegeben durch r(t) = 1 − sin t. Der Weg γ : [0, 2π] → R2 mit
γ(t) = (r(t) cos t, r(t) sin t)
beschreibt eine Herzkurve, auch Kardioide genannt. Skizzieren Sie diese Kurve und berechnen Sie Ihre Länge!