Abgabe am 24.09.09 vor der Vorlesung Aufgabe 5. Es seien die

Aufgabenblatt 2: Abgabe am 24.09.09 vor der Vorlesung
Aufgabe 5. Es seien die beiden Mengen N und Z betrachtet, zusätzlich
die bekannten Rechenoperationen für Zahlen
Plus: +“,
Minus: −“
Mal: ·“, und
Geteilt: ÷“.
”
”
”
”
Weiter sei noch die Verknüpfung Hoch: ˆ“ betrachtet, die definiert sei
”
durch aˆb := ab .
Eine der obigen Rechenoperationen heißt innere Verknüpfung auf einer
der beiden Mengen, wenn das Ergebnis der Rechenoperation mit zwei
Elementen einer Menge wieder in derselben Menge liegt (z.B. ist ÷“
”
keine innere Verknüpfung von N, da für 1, 2 ∈ N das Ergebnis der
Rechnung 1 ÷ 2 nicht mehr in der Menge N liegt).
a.) (2P) Zählen Sie alle Tupel (M, ◦) auf, für die ◦ eine innere Verknüpfung auf M ist, wobei gelten soll:
M ∈ {N, Z}
und
◦ ∈ {+, −, ·, ÷, ˆ}.
Für die Tupel (M, ◦), bei denen ◦ keine innere Verknüpfung auf M
ist, geben Sie ein Beispiel mit a, b ∈ M und a ◦ b ∈
/ M an.
b.) (2P) Eine innere Verknüpfung ◦ auf einer Menge M heißt kommutativ, wenn für alle Elemente a, b ∈ M gilt: a ◦ b = b ◦ a. Zählen
Sie alle in Teil a.) gefundenen Mengen mit kommutativer innerer
Verknüpfung auf. Für die Mengen mit nicht-kommutativer innerer
Verknüpfung geben Sie jeweils ein Beispiel mit a ◦ b 6= b ◦ a an.
Aufgabe 6. (4P) Eine Verknüpfung bzw. ein Operator ◦ auf einer
Menge M heißt innere Verknüpfung, wenn für zwei Elemente a, b ∈ M
gilt: a ◦ b ∈ M .
Die Verknüpfungen Plus: +“ und Mal: ·“ sind innere Verknüpfungen
”
”
auf R, d.h. es gilt für alle a, b ∈ R sowohl a + b ∈ R als auch a · b ∈ R.
Sind (M, ◦) und (N, ∗) Mengen mit jeweils inneren Verknüpfungen,
so heißt eine Abbildung f : M −→ N verknüpfungs- oder strukturverträglich, wenn für alle a, b ∈ M gilt:
f (a ◦ b) = f (a) ∗ f (b).
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Aufgabenblatt 2: Abgabe am 24.09.09 vor der Vorlesung
Zeigen Sie für die folgenden Abbildungen, ob sie strukturverträglich
sind oder nicht:
f1 : (R, +) −→ (R, +) mit f1 (x) := 3x + 4
f2 : (R, +) −→ (R, +) mit f2 (x) := x2
f3 : (R, +) −→ (R, ·)
mit f3 (x) := 2x
f4 : (R, +) −→ (R, +) mit f4 (x) := cos(x)
f5 : (R, +) −→ (R, +) mit f5 (x) := 2x
f6 : (R, ·) −→ (R, ·)
mit f6 (x) := x2
f7 : (R, +) −→ (R, +) mit f7 (x) := 0
Des weiteren sei auf der Gruppe S(M ) aller Bijektionen einer nichtleeren Menge M mit der Komposition von Abbildungen ◦“ als Ver”
knüpfung folgende Abbildung mit Hilfe eines f ∈ S(M ) definiert:
φf : S(M ) −→ S(M ) mit φf (g) := f ◦ g ◦ f −1
für g ∈ S(M ).
(Dabei ist f die Inverse Abbildung zu f .)
Zeigen Sie, daß φf strukturverträglich ist.
−1
Aufgabe 7. Nach Beispiel 2.2.iv der Vorlesung ist die Menge Sn (siehe
Aufgabe 2) zusammen mit der (inneren) Verknüpfung Komposition
”
von Abbildungen“ eine Gruppe.
a.) (3P) Geben Sie die Gruppentafel von S3 an und zeigen Sie, daß S3
keine abelsche Gruppe ist.
b.) (1P) Zeigen Sie, daß S2 eine abelsche Gruppe ist, und für n ≥ 3
die Gruppe Sn jeweils eine nicht-abelsche.
Aufgabe 8. (4P) Seien N , M Mengen und f : M −→ N eine Abbildung. Beweisen Sie:
f bijektiv
Viel Erfolg!!!
⇐⇒
Es gibt eine Abbildung g : N −→ M mit
f ◦ g = idN und g ◦ f = idM .