Ziel der Vorlesung „Analysis 2“ ist die Untersuchung von Funktionen

1 Der euklidische Raum
Rn
Ziel der Vorlesung „Analysis 2“ ist die Untersuchung von
Funktionen mehrer Veränderlicher, also f : D → m mit
D ⊂ n.
R
R
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
1 Der euklidische Raum
Rn
Ziel der Vorlesung „Analysis 2“ ist die Untersuchung von
Funktionen mehrer Veränderlicher, also f : D → m mit
D ⊂ n.
R
R
R
Dazu müssen wir den n als euklidischen (=Geometrie) und
topologischen (=Analysis) Raum studieren.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
1 Der euklidische Raum
Rn
Ziel der Vorlesung „Analysis 2“ ist die Untersuchung von
Funktionen mehrer Veränderlicher, also f : D → m mit
D ⊂ n.
R
R
R
Dazu müssen wir den n als euklidischen (=Geometrie) und
topologischen (=Analysis) Raum studieren.
Themen
◮
◮
◮
Rn als euklidischer Vektorraum
Der Rn als topologischer Vektorraum
Konvergenzbegriff im Rn
Der
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
1.1
Grundlegende Begriffe
R
Der n besteht aus Punkten x = (x1 , . . . , xn ), die
gelegendlich auch als Vektoren bezeichnet werden. x1 , . . . , xn
heißen die Koordinaten des Punktes x.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
1.1
Grundlegende Begriffe
R
Der n besteht aus Punkten x = (x1 , . . . , xn ), die
gelegendlich auch als Vektoren bezeichnet werden. x1 , . . . , xn
heißen die Koordinaten des Punktes x.
Für Vektoren x, y und reelle Zahlen α sind Addition und
Skalarmultiplikation erklärt durch
x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ),
αx = (αx1 , . . . , αxn ).
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
1.1
Grundlegende Begriffe
R
Der n besteht aus Punkten x = (x1 , . . . , xn ), die
gelegendlich auch als Vektoren bezeichnet werden. x1 , . . . , xn
heißen die Koordinaten des Punktes x.
Für Vektoren x, y und reelle Zahlen α sind Addition und
Skalarmultiplikation erklärt durch
x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ),
αx = (αx1 , . . . , αxn ).
Die geometrische Bedeutung dieser Operationen ist die
gleiche wie wir sie bei den ebenen Vektoren im Kapitel über
komplexe Analysis kennengelernt haben.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Einheitsvektoren und Koordinatendarstellung
Der Vektor ei , der an der i-ten Stelle eine Eins besitzt und
ansonsten aus lauter Nullen besteht, heißt i-ter
Einheitsvektor.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Einheitsvektoren und Koordinatendarstellung
Der Vektor ei , der an der i-ten Stelle eine Eins besitzt und
ansonsten aus lauter Nullen besteht, heißt i-ter
Einheitsvektor.
Aus der Definition von Addition und Skalarmultiplikation
folgt dann
n
X
xi ei .
x=
i=1
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Einheitsvektoren und Koordinatendarstellung
Der Vektor ei , der an der i-ten Stelle eine Eins besitzt und
ansonsten aus lauter Nullen besteht, heißt i-ter
Einheitsvektor.
Aus der Definition von Addition und Skalarmultiplikation
folgt dann
n
X
xi ei .
x=
i=1
Beispiel
1 2 3 = 1 0 0 +2 0 1 0 +3 0 0 1
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Skalarprodukt
Das Skalarprodukt zweier Vektoren x und y ist definiert durch
x · y = x1 y1 + . . . + xn yn =
n
X
i=1
xi yi .
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Skalarprodukt
Das Skalarprodukt zweier Vektoren x und y ist definiert durch
x · y = x1 y1 + . . . + xn yn =
Andere Bezeichnungen: xy oder (x, y ).
n
X
i=1
xi yi .
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Skalarprodukt
Das Skalarprodukt zweier Vektoren x und y ist definiert durch
x · y = x1 y1 + . . . + xn yn =
n
X
xi yi .
i=1
Andere Bezeichnungen: xy oder (x, y ).
n
X
xi2
1/2
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Der Betrag des Vektors x ist dann
|x| =
Der euklidische
Raum n
= (x, x)1/2
i=1
und entspricht der Länge der Strecke 0x.
Skalarprodukt
Das Skalarprodukt zweier Vektoren x und y ist definiert durch
x · y = x1 y1 + . . . + xn yn =
n
X
xi yi .
i=1
Andere Bezeichnungen: xy oder (x, y ).
n
X
xi2
1/2
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Der Betrag des Vektors x ist dann
|x| =
Der euklidische
Raum n
= (x, x)1/2
i=1
und entspricht der Länge der Strecke 0x.
Der Abstand zwischen zwei Punkten x und y ist dann |x − y |.
Cauchy-Ungleichung
Für das Skalarprodukt gilt die Cauchy-Ungleichung
|x · y | ≤ |x| |y |.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Cauchy-Ungleichung
Für das Skalarprodukt gilt die Cauchy-Ungleichung
|x · y | ≤ |x| |y |.
Beweis Wir beweisen die Ungleichung mit einem
Homogenitätsargument, das in dieser Form sehr häufig
vorkommt. Zunächst ist die Ungleichung richtig, wenn einer
der beiden Vektoren verschwindet.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Cauchy-Ungleichung
Für das Skalarprodukt gilt die Cauchy-Ungleichung
|x · y | ≤ |x| |y |.
Beweis Wir beweisen die Ungleichung mit einem
Homogenitätsargument, das in dieser Form sehr häufig
vorkommt. Zunächst ist die Ungleichung richtig, wenn einer
der beiden Vektoren verschwindet.
Für x̃, ỹ 6= 0 kann man die Cauchy-Ungleichung durch die
Setzung
x = |x̃|−1 x̃, y = |ỹ |−1 ỹ
auf den Fall |x| = |y | = 1 zurückführen und dadurch die
Homogenität der Cauchy-Ungleichung ausnutzen.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Beweis der Cauchy-Ungleichung
Die Youngsche Ungleichung gilt für a, b ∈
1
1
ab ≤ a2 + b2 .
2
2
R,
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Beweis der Cauchy-Ungleichung
Die Youngsche Ungleichung gilt für a, b ∈
R,
1
1
ab ≤ a2 + b2 .
2
2
Für |x| = |y | = 1 erhalten wir aus der Youngschen
Ungleichung
n
n
X
X
|(x, y )| = |xi ||yi |
xi yi ≤
i=1
i=1
≤
1X
2
|xi |2 +
1X 2
|yi | = 1.
2
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Norm
K R
K C
Sei X ein Vektorraum über = oder = . Eine
Abbildung k · k : X → heißt Norm auf X , wenn die
folgenden Axiome erfüllt sind.
R
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Norm
K R
K C
Sei X ein Vektorraum über = oder = . Eine
Abbildung k · k : X → heißt Norm auf X , wenn die
folgenden Axiome erfüllt sind.
R
(N1) kxk ≥ 0 und x = 0 ⇔ kxk = 0.
(N2) kαxk = |α| kxk ∀α ∈
K (Homogenität).
(N3) kx + y k ≤ kxk + ky k (Dreiecksungleichung).
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
| · | ist eine Norm auf dem
Rn
Die Normaxiome lassen sich für k · k = | · | leicht nachweisen:
Die beiden ersten Eigenschaften folgen direkt aus der
Definition.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
| · | ist eine Norm auf dem
Rn
Die Normaxiome lassen sich für k · k = | · | leicht nachweisen:
Die beiden ersten Eigenschaften folgen direkt aus der
Definition.
Für die Dreiecksungleichung verwendet man die
Cauchy-Ungleichung
|x + y |2 = (x + y ) · (x + y ) = |x|2 + 2x · y + |y |2
≤ |x|2 + 2|x| |y | + |y |2 = (|x| + |y |)2 .
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Die eigentliche Dreiecksungleichung
erhält man aus
|x − z| ≤ |x − y + y − z| ≤ |x − y | + |y − z|,
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Die eigentliche Dreiecksungleichung
erhält man aus
|x − z| ≤ |x − y + y − z| ≤ |x − y | + |y − z|,
In einem Dreieck ist jede Seitenlänge kleiner oder gleich der
Summe der beiden anderen Seitenlängen.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Die umgekehrte Dreiecksungleichung
|x| − |y | ≤ |x − y |.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Die umgekehrte Dreiecksungleichung
folgt aus
|x| − |y | ≤ |x − y |.
|x| = |x − y + y | ≤ |x − y | + |y | ⇒ |x| − |y | ≤ |x − y |.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Die umgekehrte Dreiecksungleichung
folgt aus
|x| − |y | ≤ |x − y |.
|x| = |x − y + y | ≤ |x − y | + |y | ⇒ |x| − |y | ≤ |x − y |.
Vertausche die Rollen von x und y !
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Die umgekehrte Dreiecksungleichung
folgt aus
|x| − |y | ≤ |x − y |.
|x| = |x − y + y | ≤ |x − y | + |y | ⇒ |x| − |y | ≤ |x − y |.
Vertausche die Rollen von x und y !
Die eigentliche Dreicksungleichung und die umgekehrte
Dreiecksungleichung wurden nur aus den Normaxiomen
bewiesen. Sie gelten daher in jedem normierten Raum.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
1.2
Topologische Räume
Sei X eine beliebige Menge. Eine Topologie τ auf X ist ein
System von Teilmengen von X , die offene Mengen genannt
werden, mit:
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
1.2
Topologische Räume
Sei X eine beliebige Menge. Eine Topologie τ auf X ist ein
System von Teilmengen von X , die offene Mengen genannt
werden, mit:
(T1) ∅ und X sind offen.
(T2) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.
(T3) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
1.2
Topologische Räume
Sei X eine beliebige Menge. Eine Topologie τ auf X ist ein
System von Teilmengen von X , die offene Mengen genannt
werden, mit:
(T1) ∅ und X sind offen.
(T2) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.
(T3) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.
Das Paar (X , τ ) heißt dann topologischer Raum.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
1.2
Topologische Räume
Sei X eine beliebige Menge. Eine Topologie τ auf X ist ein
System von Teilmengen von X , die offene Mengen genannt
werden, mit:
(T1) ∅ und X sind offen.
(T2) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.
(T3) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.
Das Paar (X , τ ) heißt dann topologischer Raum.
Ein topologischer Raum heißt Hausdorff-Raum, wenn
zusätzlich das folgende Trennungsaxiom erfüllt ist:
(T4) Zu allen x, y ∈ X mit x 6= y gibt es offene Mengen A, B
mit x ∈ A, y ∈ B und A ∩ B = ∅.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Beispiele
(i) Für eine beliebige Menge ist die Potenzmenge von X eine
Topologie auf X , die diskrete Topologie genannt wird und
(X , τ ) zu einem Hausdorff-Raum macht.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Beispiele
(i) Für eine beliebige Menge ist die Potenzmenge von X eine
Topologie auf X , die diskrete Topologie genannt wird und
(X , τ ) zu einem Hausdorff-Raum macht.
(ii) Man kann auch durch τ = {X , ∅} eine Topologie auf
einer beliebigen Menge definieren. Wenn X aus mehr als
einem Element besteht, so ist für diese Topologie das
Trennungsaxiom nicht erfüllt.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Der
Rn
Die obigen Beispiele sind eher pathologischr Art. Eine
anschauliche Vorstellung der Begriffe bekommt man durch
die Topologie des n .
R
Die offenen Mengen sind die Mengen „ohne Rand“, wie z.B.
die Kugeln
Br (a) = {a : |x − a| < r },
r > 0.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Der
Rn
Die obigen Beispiele sind eher pathologischr Art. Eine
anschauliche Vorstellung der Begriffe bekommt man durch
die Topologie des n .
R
Die offenen Mengen sind die Mengen „ohne Rand“, wie z.B.
die Kugeln
Br (a) = {a : |x − a| < r },
r > 0.
Das ist jetzt noch informell, wird später präzisiert.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Relativtopologie
Sei (X , τ ) ein topologischer Raum und A ⊂ X eine beliebige
Teilmenge. Dann ist A zusammen mit den Mengen
{M ∩ A : M ∈ τ } ein topologischer Raum.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Relativtopologie
Sei (X , τ ) ein topologischer Raum und A ⊂ X eine beliebige
Teilmenge. Dann ist A zusammen mit den Mengen
{M ∩ A : M ∈ τ } ein topologischer Raum.
Diese Topologie heißt Relativtopologie auf A. Wenn A nicht
selber offen in X ist, so sind die offenen Mengen der
Relativtopologie nicht notwendig offen in X .
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Abgeschlossene Mengen
A ⊂ X heißt abgeschlossen, wenn das Komplement
Ac = X \ A offen ist.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Abgeschlossene Mengen
A ⊂ X heißt abgeschlossen, wenn das Komplement
Ac = X \ A offen ist.
Da die abgeschlossenen Mengen durch Komplementbildung
definiert sind, gilt: Der beliebige Durchschnitt und die
endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen sind
abgeschlossen.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Abgeschlossene Mengen
A ⊂ X heißt abgeschlossen, wenn das Komplement
Ac = X \ A offen ist.
Da die abgeschlossenen Mengen durch Komplementbildung
definiert sind, gilt: Der beliebige Durchschnitt und die
endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen sind
abgeschlossen.
R
In der informellen Topologie des n sind die Komplemente
von Mengen ohne Rand gerade die Mengen mit Rand.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Abgeschlossene Mengen
A ⊂ X heißt abgeschlossen, wenn das Komplement
Ac = X \ A offen ist.
Da die abgeschlossenen Mengen durch Komplementbildung
definiert sind, gilt: Der beliebige Durchschnitt und die
endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen sind
abgeschlossen.
R
In der informellen Topologie des n sind die Komplemente
von Mengen ohne Rand gerade die Mengen mit Rand.
Da X und ∅ immer offen sind, sind sie auch immer
abgeschlossen.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Inneres einer Menge
int A = Vereinigung aller in A enthaltenen offenen Mengen.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Inneres einer Menge
int A = Vereinigung aller in A enthaltenen offenen Mengen.
int A heißt das Innere von A, nach Definition ist es offen.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Inneres einer Menge
int A = Vereinigung aller in A enthaltenen offenen Mengen.
int A heißt das Innere von A, nach Definition ist es offen.
Im
Rn gilt anschaulich:
int A = Die Menge A ohne ihren Rand
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Abschluss einer Menge
A = Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, die A
enthalten.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Abschluss einer Menge
A = Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, die A
enthalten.
Da der Durchschnitt beliebiger abgeschlossener Mengen
abgeschlossen ist, ist A abgeschlossen.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Abschluss einer Menge
A = Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, die A
enthalten.
Da der Durchschnitt beliebiger abgeschlossener Mengen
abgeschlossen ist, ist A abgeschlossen.
Im
R
n
gilt anschaulich:
int A = Die Menge A plus ihrem Rand
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Beispiel diskrete Topologie
Dort sind alle Mengen offen, daher sind auch alle Mengen
abgeschlossen. Für alle Mengen gilt
int A = A = A.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Umgebung und innerer Punkt
Sei (X , τ ) ein topologischer Raum. Eine Menge U ⊂ X heißt
Umgebung eines x ∈ X , wenn U offen ist mit x ∈ U.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Umgebung und innerer Punkt
Sei (X , τ ) ein topologischer Raum. Eine Menge U ⊂ X heißt
Umgebung eines x ∈ X , wenn U offen ist mit x ∈ U.
x heißt innerer Punkt einer Menge A ⊂ X , wenn eine
Umgebung von x in A enthalten ist.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Berührpunkt und Randpunkt
x ∈ X heißt Berührpunkt von A ⊂ X , wenn in jeder
Umgebung von x mindestens ein Punkt von A liegt.
Der euklidische
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Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
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Kompakte
Teilmengen des
n
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R
Die Geometrie des
n
Berührpunkt und Randpunkt
x ∈ X heißt Berührpunkt von A ⊂ X , wenn in jeder
Umgebung von x mindestens ein Punkt von A liegt.
x ∈ X heißt Randpunkt von A ⊂ X , wenn in jeder Umgebung
von X mindestens ein Punkt von A und mindestens ein
Punkt von Ac liegt.
Der euklidische
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Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
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Teilmengen des
n
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Die Geometrie des
n
Berührpunkt und Randpunkt
x ∈ X heißt Berührpunkt von A ⊂ X , wenn in jeder
Umgebung von x mindestens ein Punkt von A liegt.
x ∈ X heißt Randpunkt von A ⊂ X , wenn in jeder Umgebung
von X mindestens ein Punkt von A und mindestens ein
Punkt von Ac liegt.
∂A = Menge der Randpunkte von A.
Der euklidische
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Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
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R
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Teilmengen des
n
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Die Geometrie des
n
Das fundamentale Lemma der mengentheoretischen Topologie
Lemma Sei (X , τ ) ein topologischer Raum und A ⊂ X .
Dann gilt:
(a) A ist offen ⇔ Jedes x ∈ A ist innerer Punkt von A,
Der euklidische
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Die Geometrie des
n
Das fundamentale Lemma der mengentheoretischen Topologie
Lemma Sei (X , τ ) ein topologischer Raum und A ⊂ X .
Dann gilt:
(a) A ist offen ⇔ Jedes x ∈ A ist innerer Punkt von A,
(b) A ist abgeschlossen ⇔ Jeder Berührpunkt von A
gehört zu A,
Der euklidische
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Begriffe
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R
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Teilmengen des
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R
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Die Geometrie des
n
Das fundamentale Lemma der mengentheoretischen Topologie
Lemma Sei (X , τ ) ein topologischer Raum und A ⊂ X .
Dann gilt:
(a) A ist offen ⇔ Jedes x ∈ A ist innerer Punkt von A,
(b) A ist abgeschlossen ⇔ Jeder Berührpunkt von A
gehört zu A,
(c) int A = Menge der inneren Punkte von A,
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Begriffe
Topologische
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Die Geometrie des
n
Das fundamentale Lemma der mengentheoretischen Topologie
Lemma Sei (X , τ ) ein topologischer Raum und A ⊂ X .
Dann gilt:
(a) A ist offen ⇔ Jedes x ∈ A ist innerer Punkt von A,
(b) A ist abgeschlossen ⇔ Jeder Berührpunkt von A
gehört zu A,
(c) int A = Menge der inneren Punkte von A,
(d) A = Menge der Berührpunkte von A.
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Beweise
(a) A ist offen ⇔ Jedes x ∈ A ist innerer Punkt von A
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Die Topologie des
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Die Geometrie des
n
Beweise
(a) A ist offen ⇔ Jedes x ∈ A ist innerer Punkt von A
Die Richtung „⇐“ gilt wegen A = ∪x∈A U(x), wobei U(x)
eine ganz in A liegende Umgebung von x ist.
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Folgen im
R
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Teilmengen des
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Die Geometrie des
n
Beweise
(a) A ist offen ⇔ Jedes x ∈ A ist innerer Punkt von A
Die Richtung „⇐“ gilt wegen A = ∪x∈A U(x), wobei U(x)
eine ganz in A liegende Umgebung von x ist.
Wenn umgekehrt A offen ist, so ist A auch eine ganz in A
enthaltene Umgebung eines jeden x ∈ A.
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Begriffe
Topologische
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Folgen im
R
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Kompakte
Teilmengen des
n
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R
Die Geometrie des
n
Beweise
(a) A ist offen ⇔ Jedes x ∈ A ist innerer Punkt von A
Die Richtung „⇐“ gilt wegen A = ∪x∈A U(x), wobei U(x)
eine ganz in A liegende Umgebung von x ist.
Wenn umgekehrt A offen ist, so ist A auch eine ganz in A
enthaltene Umgebung eines jeden x ∈ A.
(b) A ist abgeschlossen ⇔ Jeder Berührpunkt von A gehört
zu A
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Begriffe
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Räume
Die Topologie des
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Folgen im
R
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Kompakte
Teilmengen des
n
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Die Geometrie des
n
Beweise
(a) A ist offen ⇔ Jedes x ∈ A ist innerer Punkt von A
Die Richtung „⇐“ gilt wegen A = ∪x∈A U(x), wobei U(x)
eine ganz in A liegende Umgebung von x ist.
Wenn umgekehrt A offen ist, so ist A auch eine ganz in A
enthaltene Umgebung eines jeden x ∈ A.
(b) A ist abgeschlossen ⇔ Jeder Berührpunkt von A gehört
zu A
Nach (a) besteht das Komplement von A nur aus inneren
Punkten. Würde ein Berührpunkt nicht zu A gehören,
gehörte er zu Ac , wäre aber dort kein innerer Punkt.
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Begriffe
Topologische
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Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Konvergenz
Eine Folge (xk ) im topologischen Raum X konvergiert gegen
x ∈ X , wenn in jeder Umgebung von x fast alle (also alle bis
auf endlich viele) Folgenglieder liegen.
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Folgen im
R
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Teilmengen des
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Die Geometrie des
n
Konvergenz
Eine Folge (xk ) im topologischen Raum X konvergiert gegen
x ∈ X , wenn in jeder Umgebung von x fast alle (also alle bis
auf endlich viele) Folgenglieder liegen.
Ist τ = {X , ∅}, so ist X die einzige Umgebung eines jeden
x ∈ X . Damit ist in dieser Topologie jede Folge gegen jedes
x ∈ X konvergent.
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Die Topologie des
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Folgen im
R
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Teilmengen des
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Die Geometrie des
n
Konvergenz
Eine Folge (xk ) im topologischen Raum X konvergiert gegen
x ∈ X , wenn in jeder Umgebung von x fast alle (also alle bis
auf endlich viele) Folgenglieder liegen.
Ist τ = {X , ∅}, so ist X die einzige Umgebung eines jeden
x ∈ X . Damit ist in dieser Topologie jede Folge gegen jedes
x ∈ X konvergent.
Ist dagegen X ein Hausdorff-Raum, so lassen sich zwei
verschiedene Punkte durch offene Mengen trennen.
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Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
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Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Konvergenz
Eine Folge (xk ) im topologischen Raum X konvergiert gegen
x ∈ X , wenn in jeder Umgebung von x fast alle (also alle bis
auf endlich viele) Folgenglieder liegen.
Ist τ = {X , ∅}, so ist X die einzige Umgebung eines jeden
x ∈ X . Damit ist in dieser Topologie jede Folge gegen jedes
x ∈ X konvergent.
Ist dagegen X ein Hausdorff-Raum, so lassen sich zwei
verschiedene Punkte durch offene Mengen trennen.
In diesen offenen Mengen können aber nicht jeweils fast alle
Folgenglieder liegen. Damit ist gezeigt, dass in einem
Hausdorff-Raum der Grenzwert einer konvergenten Folge
eindeutig bestimmt ist.
Der euklidische
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Begriffe
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Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
1.3
Die Topologie des
R
Rn
Für x ∈ n und r ≥ 0 ist die offene beziehungsweise
abgeschlossene Kugel mit Mittelpunkt x und Radius r
definiert durch
Br (x) = {y : |x − y | < r },
B̃r (x) = {y : |x − y | ≤ r }
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Begriffe
Topologische
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Die Topologie des
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Folgen im
R
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Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
1.3
Die Topologie des
R
Rn
Für x ∈ n und r ≥ 0 ist die offene beziehungsweise
abgeschlossene Kugel mit Mittelpunkt x und Radius r
definiert durch
Br (x) = {y : |x − y | < r },
B̃r (x) = {y : |x − y | ≤ r }
Bei der offenen Kugel gehört der Rand {x : |x − y = r } nicht
dazu, sie ist also zum Rande hin „offen“.
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Die Topologie des
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Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Offene Mengen
R
Sei A ⊂ n . x ∈ A heißt innerer Punkt von A, wenn es ein
r > 0 gibt mit Br (x) ⊂ A.
A heißt offen oder offene Menge, wenn jeder Punkt von A
innerer Punkt ist.
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Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Offene Mengen
R
Sei A ⊂ n . x ∈ A heißt innerer Punkt von A, wenn es ein
r > 0 gibt mit Br (x) ⊂ A.
A heißt offen oder offene Menge, wenn jeder Punkt von A
innerer Punkt ist.
Klar, der
R
n
ist mit dieser Definition selber offen.
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Die Topologie des
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n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
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R
Die Geometrie des
n
Offene Mengen
R
Sei A ⊂ n . x ∈ A heißt innerer Punkt von A, wenn es ein
r > 0 gibt mit Br (x) ⊂ A.
A heißt offen oder offene Menge, wenn jeder Punkt von A
innerer Punkt ist.
Klar, der
R
n
ist mit dieser Definition selber offen.
Ferner wird auch die leere Menge ∅ als offen definiert.
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Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Der
Rn als Hausdorff-Raum
R
Satz Der n mit den oben definierten offenen Mengen ist
ein Hausdorff-Raum.
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Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Der
Rn als Hausdorff-Raum
R
Satz Der n mit den oben definierten offenen Mengen ist
ein Hausdorff-Raum.
Beweis Dass die leere Menge und der
wir bereits gesehen.
Rn offen sind, hatten
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Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Der
Rn als Hausdorff-Raum
R
Satz Der n mit den oben definierten offenen Mengen ist
ein Hausdorff-Raum.
Beweis Dass die leere Menge und der
wir bereits gesehen.
Rn offen sind, hatten
Seien Ai , i ∈ I offen. Ist x ∈ ∪Ai , so ist x ∈ Ai0 für ein i0 .
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Die Topologie des
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n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Der
Rn als Hausdorff-Raum
R
Satz Der n mit den oben definierten offenen Mengen ist
ein Hausdorff-Raum.
Beweis Dass die leere Menge und der
wir bereits gesehen.
Rn offen sind, hatten
Seien Ai , i ∈ I offen. Ist x ∈ ∪Ai , so ist x ∈ Ai0 für ein i0 .
Da Ai0 offen ist, gilt Br (x) ⊂ Ai0 für ein r > 0. Diese Kugel
liegt auch in der Vereinigung der Ai , womit gezeigt ist, dass
x innerer Punkt der Vereinigung ist.
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Folgen im
R
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Die Geometrie des
n
Beweis
Sind A1 , . . . , Ak offene Mengen und x ∈ ∩Ai , so ist
Bri (x) ⊂ Ai .
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n
Beweis
Sind A1 , . . . , Ak offene Mengen und x ∈ ∩Ai , so ist
Bri (x) ⊂ Ai .
Mit r = min{r1 , . . . , rk } gilt dann Br (x) ⊂ ∩Ai und x ist
innerer Punkt des Durchschnitts.
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Beweis
Sind A1 , . . . , Ak offene Mengen und x ∈ ∩Ai , so ist
Bri (x) ⊂ Ai .
Der euklidische
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R
Mit r = min{r1 , . . . , rk } gilt dann Br (x) ⊂ ∩Ai und x ist
innerer Punkt des Durchschnitts.
Kommen wir nun zum Nachweis von (T 4). Seien x, y ∈
mit x 6= y . Mit r = |x − y |/2 gilt Br (x) ∩ Br (y ) = ∅.
R
n
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Begriffe
Topologische
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Die Topologie des
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n
Folgen im
R
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R
Die Geometrie des
n
Beispiel offene Kugel
Wir betrachten die r -Kugel Br (x) für r > 0.
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Die Geometrie des
n
Beispiel offene Kugel
Wir betrachten die r -Kugel Br (x) für r > 0.
Für y ∈ Br (x) gilt a = |x − y | < r . Für b = r − a ist dann
Bb (y ) ⊂ Br (x).
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Topologische
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n
Folgen im
R
R
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Teilmengen des
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R
Die Geometrie des
n
Beispiel offene Kugel
Wir betrachten die r -Kugel Br (x) für r > 0.
Für y ∈ Br (x) gilt a = |x − y | < r . Für b = r − a ist dann
Bb (y ) ⊂ Br (x).
Damit ist jeder Punkt von Br (x) innerer Punkt und die
offene Kugel trägt ihren Namen zu recht: Sie ist auch eine
offene Menge im Sinne der Definition.
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Topologische
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n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Beispiel abgeschlossene Kugel
B̃r (x) = {x : |y − x| ≤ r } ist nicht offen, weil alle Punkte y
mit |y − x| = r Randpunkte sind.
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Folgen im
R
R
Kompakte
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n
R
R
Die Geometrie des
n
Beispiel abgeschlossene Kugel
B̃r (x) = {x : |y − x| ≤ r } ist nicht offen, weil alle Punkte y
mit |y − x| = r Randpunkte sind.
Um zu entscheiden, ob die abgeschlossene Kugel B̃r (x) auch
eine abgeschlossene Menge ist, betrachten wir das
Komplement
B̃r (x)c = {y : |x − y | > r }.
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Topologische
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n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Beispiel abgeschlossene Kugel
B̃r (x) = {x : |y − x| ≤ r } ist nicht offen, weil alle Punkte y
mit |y − x| = r Randpunkte sind.
Um zu entscheiden, ob die abgeschlossene Kugel B̃r (x) auch
eine abgeschlossene Menge ist, betrachten wir das
Komplement
B̃r (x)c = {y : |x − y | > r }.
Ist z ∈ B̃r (x)c , so gilt |x − z| = a > r .
Der euklidische
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n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Beispiel abgeschlossene Kugel
B̃r (x) = {x : |y − x| ≤ r } ist nicht offen, weil alle Punkte y
mit |y − x| = r Randpunkte sind.
Um zu entscheiden, ob die abgeschlossene Kugel B̃r (x) auch
eine abgeschlossene Menge ist, betrachten wir das
Komplement
B̃r (x)c = {y : |x − y | > r }.
Ist z ∈ B̃r (x)c , so gilt |x − z| = a > r .
Die offene Kugel um z mit Radius a − r liegt demnach ganz
in B̃r (x)c . Damit ist B̃r (x) eine abgeschlossene Menge.
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Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Beispiele
(i) Das eindimensionale halboffene Intervall I = (a, b] ⊂
ist ein Beispiel für eine Menge, die weder offen noch
abgeschlossen ist.
R
Der euklidische
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R
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Begriffe
Topologische
Räume
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n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Beispiele
(i) Das eindimensionale halboffene Intervall I = (a, b] ⊂
ist ein Beispiel für eine Menge, die weder offen noch
abgeschlossen ist.
R
(ii) Ik = (−1/k, 1/k) mit ∩Ik = {0} zeigt, dass beliebige
Durchschnitte offener Mengen nicht offen zu sein brauchen.
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n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
ε-Umgebungen
Wir hatten jede offene Menge A mit x ∈ A als Umgebung
des Punktes x bezeichnet. Die Kugel Bε (x) wird auch
ε-Umgebung genannt.
Der euklidische
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Topologische
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n
Folgen im
R
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Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
ε-Umgebungen
Wir hatten jede offene Menge A mit x ∈ A als Umgebung
des Punktes x bezeichnet. Die Kugel Bε (x) wird auch
ε-Umgebung genannt.
Jede Umgebung U von x enthält eine ε-Umgebung, denn x
ist innerer Punkt von U.
Der euklidische
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Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
1.4
Folgen im
Rn
Bei Folgen (ak )k∈N im
ak = (ak,1 , . . . , ak,n ).
Rn verwenden wir die Notation
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
1.4
Folgen im
Rn
Bei Folgen (ak )k∈N im
ak = (ak,1 , . . . , ak,n ).
Rn verwenden wir die Notation
Der euklidische
Raum n
R
Die Definition des Häufungspunkts einer Folge können wir
wörtlich aus dem eindimensionalen Fall übernehmen: a ∈ n
ist Häufungspunkt der Folge, wenn in jeder Umgebung von a
unendlich viele Folgenglieder liegen.
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
1.4
Folgen im
Rn
Bei Folgen (ak )k∈N im
ak = (ak,1 , . . . , ak,n ).
Rn verwenden wir die Notation
Der euklidische
Raum n
R
Die Definition des Häufungspunkts einer Folge können wir
wörtlich aus dem eindimensionalen Fall übernehmen: a ∈ n
ist Häufungspunkt der Folge, wenn in jeder Umgebung von a
unendlich viele Folgenglieder liegen.
R
Da jede Umgebung eine ε-Umgebung enthält, können wir
auch sagen:
. . . wenn in jeder ε-Umgebung von a unendlich viele
Folgenglieder liegen.
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Grenzwert und Konvergenz
a ist Grenzwert der Folge, wenn in jeder Umgebung von a
fast alle Folgenglieder liegen.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Grenzwert und Konvergenz
a ist Grenzwert der Folge, wenn in jeder Umgebung von a
fast alle Folgenglieder liegen.
Das ist die Originaldefinition des Grenzwerts im
topologischen Raum.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Grenzwert und Konvergenz
a ist Grenzwert der Folge, wenn in jeder Umgebung von a
fast alle Folgenglieder liegen.
Der euklidische
Raum n
R
Das ist die Originaldefinition des Grenzwerts im
topologischen Raum.
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
Auch hier können wir wieder sagen:
Kompakte
Teilmengen des
n
. . . wenn in jeder ε-Umgebung von a unendlich viele
Folgenglieder liegen.
Die Geometrie des
n
R
R
R
R
Konvergenz
Damit konvergiert ak gegen a, ak → a, genau dann, wenn es
zu jedem ε > 0 ein K ∈ gibt mit |ak − a| < ε für alle
k ≥ K.
N
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Konvergenz
Damit konvergiert ak gegen a, ak → a, genau dann, wenn es
zu jedem ε > 0 ein K ∈ gibt mit |ak − a| < ε für alle
k ≥ K.
N
In die elementaren Ungleichungen
√
|xi | ≤ |x| ≤ n max{|xi |} ∀x ∈
i
R
n
können wir für x die Differenz a − ak einsetzen und erhalten
unmittelbar:
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Konvergenz
Damit konvergiert ak gegen a, ak → a, genau dann, wenn es
zu jedem ε > 0 ein K ∈ gibt mit |ak − a| < ε für alle
k ≥ K.
N
In die elementaren Ungleichungen
√
|xi | ≤ |x| ≤ n max{|xi |} ∀x ∈
i
R
n
können wir für x die Differenz a − ak einsetzen und erhalten
unmittelbar:
Die Folge (ak ) konvergiert genau dann gegen a, wenn alle
zugehörigen eindimensionalen Komponentenfolgen (ak,i )knN
gegen ai konvergieren.
Der euklidische
Raum n
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Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Beschränkte Folgen
Eine Folge (ak ) heißt beschränkt, wenn es eine Konstante M
gibt mit |ak | ≤ M für alle k.
Der euklidische
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Topologische
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Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Beschränkte Folgen
Eine Folge (ak ) heißt beschränkt, wenn es eine Konstante M
gibt mit |ak | ≤ M für alle k.
Auch hier gilt: (ak ) ist genau dann beschränkt, wenn jede
Komponentenfolge (ak,i )k∈N beschränkt ist.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Teilfolgen
Jede streng monoton steigende Folge (kl ) mit kl ∈
eine Teilfolge (akl )l∈N der Folge (ak ).
N erzeugt
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Teilfolgen
Jede streng monoton steigende Folge (kl ) mit kl ∈
eine Teilfolge (akl )l∈N der Folge (ak ).
N erzeugt
Genau wie im eindimensionalen Fall gilt der
Satz [Bolzano-Weierstraß] Jede beschränkte Folge besitzt
eine konvergente Teilfolge.
Der euklidische
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Begriffe
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Die Topologie des
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R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
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Die Geometrie des
n
Teilfolgen
Jede streng monoton steigende Folge (kl ) mit kl ∈
eine Teilfolge (akl )l∈N der Folge (ak ).
N erzeugt
Genau wie im eindimensionalen Fall gilt der
Satz [Bolzano-Weierstraß] Jede beschränkte Folge besitzt
eine konvergente Teilfolge.
Beweis Jede beschränkte Folge ist in einem Würfel
×ni=1 [−M, M] enthalten. Dieser Würfel wird in 2n Teilwürfel
der Kantenlänge M unterteilt.
Der euklidische
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Die Topologie des
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Folgen im
R
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n
Teilfolgen
Jede streng monoton steigende Folge (kl ) mit kl ∈
eine Teilfolge (akl )l∈N der Folge (ak ).
N erzeugt
Genau wie im eindimensionalen Fall gilt der
Satz [Bolzano-Weierstraß] Jede beschränkte Folge besitzt
eine konvergente Teilfolge.
Beweis Jede beschränkte Folge ist in einem Würfel
×ni=1 [−M, M] enthalten. Dieser Würfel wird in 2n Teilwürfel
der Kantenlänge M unterteilt.
Von diesen Würfeln enthält einer unendlich viele
Folgenglieder, aus dem wir ein Folgenglied auswählen.
Der euklidische
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Folgen im
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n
Teilfolgen
Jede streng monoton steigende Folge (kl ) mit kl ∈
eine Teilfolge (akl )l∈N der Folge (ak ).
N erzeugt
Genau wie im eindimensionalen Fall gilt der
Satz [Bolzano-Weierstraß] Jede beschränkte Folge besitzt
eine konvergente Teilfolge.
Beweis Jede beschränkte Folge ist in einem Würfel
×ni=1 [−M, M] enthalten. Dieser Würfel wird in 2n Teilwürfel
der Kantenlänge M unterteilt.
Von diesen Würfeln enthält einer unendlich viele
Folgenglieder, aus dem wir ein Folgenglied auswählen.
Durch fortgesetzte Teilung der Würfel und anschließende
Wahl eines Folgengliedes wird die Teilfolge ganz analog zum
eindimensionalen Fall konstruiert.
Der euklidische
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Begriffe
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Die Topologie des
n
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Folgen im
R
R
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Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
Konvergenz und Berührpunkt
R
R
Lemma Sei A ⊂ n . a ∈ n ist genau dann Berührpunkt
von A, wenn es eine Folge (ak ) in A gibt mit ak → a.
Der euklidische
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Folgen im
R
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Kompakte
Teilmengen des
n
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Die Geometrie des
n
Konvergenz und Berührpunkt
R
R
Lemma Sei A ⊂ n . a ∈ n ist genau dann Berührpunkt
von A, wenn es eine Folge (ak ) in A gibt mit ak → a.
Beweis Nach der Definition des Berührpunkts gibt es zu
jeder Kugel B1/k (a) ein Element ak ∈ A ∩ B1/k (a).
Der euklidische
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Folgen im
R
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n
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n
Konvergenz und Berührpunkt
R
R
Lemma Sei A ⊂ n . a ∈ n ist genau dann Berührpunkt
von A, wenn es eine Folge (ak ) in A gibt mit ak → a.
Beweis Nach der Definition des Berührpunkts gibt es zu
jeder Kugel B1/k (a) ein Element ak ∈ A ∩ B1/k (a).
Offenbar gilt dann ak → a.
Der euklidische
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Teilmengen des
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Konvergenz und Berührpunkt
R
R
Lemma Sei A ⊂ n . a ∈ n ist genau dann Berührpunkt
von A, wenn es eine Folge (ak ) in A gibt mit ak → a.
Beweis Nach der Definition des Berührpunkts gibt es zu
jeder Kugel B1/k (a) ein Element ak ∈ A ∩ B1/k (a).
Offenbar gilt dann ak → a.
Umgekehrt: Ist a kein Berührpunkt von A, so gibt es eine
ε-Umgebung von a, die keine Elemente von A besitzt.
Demnach kann a auch nicht als Grenzwert einer Folge in A
dargestellt werden.
Der euklidische
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Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
R
Die Geometrie des
n
1.5
Kompakte Teilmengen des
Rn
Sei (X , τ ) ein topologischer Raum. Eine Menge A ⊂ X heißt
folgenkompakt, wenn jede Folge in A eine in A konvergente
Teilfolge besitzt.
Der euklidische
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Folgen im
R
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Kompakte
Teilmengen des
n
R
Die Geometrie des
Rn
1.5
Kompakte Teilmengen des
Rn
Sei (X , τ ) ein topologischer Raum. Eine Menge A ⊂ X heißt
folgenkompakt, wenn jede Folge in A eine in A konvergente
Teilfolge besitzt.
A heißt (überdeckungs)kompakt, wenn jede Überdeckung von
A durch offene Mengen, offene Überdeckung genannt, eine
endliche Teilüberdeckung besitzt.
Der euklidische
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Folgen im
R
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Teilmengen des
n
R
Die Geometrie des
Rn
Beispiel
Sei A = (0, 1) ⊂
R. Für
Ai = {x ∈
Der euklidische
Raum n
R : x > 1i },
gilt ∪Ai = (0, ∞) ⊃ (0, 1).
i∈
N
R
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R
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n
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Rn
Beispiel
Sei A = (0, 1) ⊂
R. Für
Ai = {x ∈
Der euklidische
Raum n
R : x > 1i },
gilt ∪Ai = (0, ∞) ⊃ (0, 1).
i∈
N
Endlich viele der Ai reichen nicht aus, um (0, 1) zu
übedecken.
R
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R
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Die Geometrie des
Rn
Beispiel
Sei A = (0, 1) ⊂
R. Für
Ai = {x ∈
Der euklidische
Raum n
R : x > 1i },
i∈
N
gilt ∪Ai = (0, ∞) ⊃ (0, 1).
Endlich viele der Ai reichen nicht aus, um (0, 1) zu
übedecken.
Kurz: Die Ai enthalten keine endliche Teilüberdeckung und
das Intervall (0, 1) ist nicht kompakt.
R
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Begriffe
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n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
Die Geometrie des
Rn
Äquivalenz der Kompaktheitsbegriffe
Satz Sei A ⊂
Rn . Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
(a) A ist folgenkompakt.
(b) A ist kompakt.
(c) A ist abgeschlossen und beschränkt.
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Rn
Äquivalenz der Kompaktheitsbegriffe
Satz Sei A ⊂
Rn . Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
(a) A ist folgenkompakt.
(b) A ist kompakt.
(c) A ist abgeschlossen und beschränkt.
Bemerkung Für später: (a) und (b) sind auch im
vollständign metrischen Raum äquivalent, aber nicht in
allgemeinen topologischen Räumen.
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Rn
Äquivalenz der Kompaktheitsbegriffe
Satz Sei A ⊂
Rn . Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
(a) A ist folgenkompakt.
(b) A ist kompakt.
(c) A ist abgeschlossen und beschränkt.
Bemerkung Für später: (a) und (b) sind auch im
vollständign metrischen Raum äquivalent, aber nicht in
allgemeinen topologischen Räumen.
Die Äquivalenz von (a) und (b) zu (c) beruht auf der
Tatsache, dass der n ein endlich dimensionaler Raum ist.
R
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Rn
Beweis
A ist folgenkompakt ⇒ A ist abg. und beschränkt
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Beweis
A ist folgenkompakt ⇒ A ist abg. und beschränkt
Sei A folgenkompakt. Dann ist A auch beschränkt, weil man
ansonsten eine Folge (ak ) in A mit |ak | → ∞ wählen kann.
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Rn
Beweis
A ist folgenkompakt ⇒ A ist abg. und beschränkt
Sei A folgenkompakt. Dann ist A auch beschränkt, weil man
ansonsten eine Folge (ak ) in A mit |ak | → ∞ wählen kann.
Nach Lemma 4 bestehen die Grenzwerte von Folgen in A aus
den Berührpunkten von A. Daher gehören alle Berührpunkte
von A zu A, demnach ist A abgeschlossen.
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Beweis
A ist abg. und beschränkt ⇒ A ist folgenkompakt
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Rn
Beweis
A ist abg. und beschränkt ⇒ A ist folgenkompakt
Ist A beschränkt, so besitzt nach dem Satz von
Bolzano-Weierstraß jede Folge in A eine konvergente
Teilfolge.
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Rn
Beweis
A ist abg. und beschränkt ⇒ A ist folgenkompakt
Ist A beschränkt, so besitzt nach dem Satz von
Bolzano-Weierstraß jede Folge in A eine konvergente
Teilfolge.
Die Abgeschlossenheit garantiert nach Lemma 4, dass der
Grenzwert zu A gehört.
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Beweis
A ist kompakt ⇒ A ist abg. und beschränkt
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Rn
Beweis
A ist kompakt ⇒ A ist abg. und beschränkt
Sei A kompakt. Wäre A unbeschränkt, so könnte man zur
offenen Überdeckung {Bk (0)}k∈N keine endliche
Teilübeckung finden, weil eine solche immer nur beschränkte
Mengen überdecken kann.
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Rn
Beweis
A ist kompakt ⇒ A ist abg. und beschränkt
Sei A kompakt. Wäre A unbeschränkt, so könnte man zur
offenen Überdeckung {Bk (0)}k∈N keine endliche
Teilübeckung finden, weil eine solche immer nur beschränkte
Mengen überdecken kann.
Angenommen, A ist nicht abgeschlossen. Dann gibt es einen
Berührpunkt a von A, der nicht zu A gehört.
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Rn
Beweis
A ist kompakt ⇒ A ist abg. und beschränkt
Sei A kompakt. Wäre A unbeschränkt, so könnte man zur
offenen Überdeckung {Bk (0)}k∈N keine endliche
Teilübeckung finden, weil eine solche immer nur beschränkte
Mengen überdecken kann.
Angenommen, A ist nicht abgeschlossen. Dann gibt es einen
Berührpunkt a von A, der nicht zu A gehört.
Die offene Überdeckung bestehend aus den Mengen
Uk = {x ∈ n : |x − a| > 1/k}, k ∈ , besitzt wieder keine
endliche Teilüberdeckung, weil bei dieser eine Umgebung von
a nicht mit überdeckt wird.
R
N
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Beweis
A ist abg. und beschränkt ⇒ A ist kompakt
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Rn
Beweis
A ist abg. und beschränkt ⇒ A ist kompakt
Angenommen, {Ai }i∈I wäre eine offene Überdeckung der
beschränkten und abgeschlossenen Menge A, die keine
endliche Teilüberdeckung enthält.
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Rn
Beweis
A ist abg. und beschränkt ⇒ A ist kompakt
Angenommen, {Ai }i∈I wäre eine offene Überdeckung der
beschränkten und abgeschlossenen Menge A, die keine
endliche Teilüberdeckung enthält.
B̃ 1 , . . . , B̃ i
A läßt sich durch abgeschlossene Kugeln
vom
Radius 1 überdecken. Unter diesen muß es eine Kugel B̃1 (x1 )
geben, so daß die Menge U1 = B̃1 (x1 ) ∩ A sich ebenfalls
nicht durch endlich viele dieser Ai überdecken läßt.
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Rn
Beweis
A ist abg. und beschränkt ⇒ A ist kompakt
Angenommen, {Ai }i∈I wäre eine offene Überdeckung der
beschränkten und abgeschlossenen Menge A, die keine
endliche Teilüberdeckung enthält.
B̃ 1 , . . . , B̃ i
A läßt sich durch abgeschlossene Kugeln
vom
Radius 1 überdecken. Unter diesen muß es eine Kugel B̃1 (x1 )
geben, so daß die Menge U1 = B̃1 (x1 ) ∩ A sich ebenfalls
nicht durch endlich viele dieser Ai überdecken läßt.
U1 wird durch endlich viele Kugeln vom Radius 1/2
überdeckt und wieder wird eine Kugel B̃1/2 (x2 ) gefunden, so
dass sich U2 = B̃1/2 (x2 ) ∩ A nicht durch endlich viele Ai
überdecken läßt.
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n
Folgen im
R
R
Kompakte
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n
R
Die Geometrie des
Rn
Beweis
Dieses Argument wird mit 1/k iteriert. Wir erhalten eine
Folge von abgeschlossenen Mengen Uk , die sich nicht durch
endlich viele Ai überdecken lassen.
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Folgen im
R
R
Kompakte
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n
R
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Rn
Beweis
Dieses Argument wird mit 1/k iteriert. Wir erhalten eine
Folge von abgeschlossenen Mengen Uk , die sich nicht durch
endlich viele Ai überdecken lassen.
Nach Konstruktion gilt Uk+1 ⊂ Uk ⊂ A. Für beliebige
Punkte yk ∈ Uk ist (yk ) eine Cauchy-Folge, die aufgrund der
Abgeschlossenheit von A einen Grenzwert y ∈ A besitzt.
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Folgen im
R
R
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n
R
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Rn
Beweis
Dieses Argument wird mit 1/k iteriert. Wir erhalten eine
Folge von abgeschlossenen Mengen Uk , die sich nicht durch
endlich viele Ai überdecken lassen.
Nach Konstruktion gilt Uk+1 ⊂ Uk ⊂ A. Für beliebige
Punkte yk ∈ Uk ist (yk ) eine Cauchy-Folge, die aufgrund der
Abgeschlossenheit von A einen Grenzwert y ∈ A besitzt.
Für ein i ist y ∈ Ai und mit Ai offen ist Br (y ) ⊂ Ai mit
r > 0. Daher Uk ⊂ Ai für genügend großes k. Widerspruch!
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n
Folgen im
R
R
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n
R
Die Geometrie des
Rn
Häufungspunkt von Mengen
R
x ∈ n heißt Häufungspunkt der Menge A, wenn in jeder
Umgebung von x unendlich viele Punkte von A liegen.
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R
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Teilmengen des
n
R
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Rn
Häufungspunkt von Mengen
R
x ∈ n heißt Häufungspunkt der Menge A, wenn in jeder
Umgebung von x unendlich viele Punkte von A liegen.
Wählt man in dieser Definition als Umgebungen speziell
B1/k (x) und nimmt für jedes k ∈ ein ak ∈ B1/k ∩ A \ {x},
so erhält man: x ist genau dann Häufungspunkt der Menge
A, wenn es eine Folge (ak ) in A gibt mit ak 6= x und ak → x.
N
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Räume
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n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
Die Geometrie des
Rn
Häufungspunkte von Folgen und von Mengen
Man unterscheide Häufungspunkte von Folgen und Mengen.
Beispielsweise hat eine konstante Folge (ak ) einen
Häufungspunkt, die zugehörige Menge {ak } dagegen nicht.
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n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
Die Geometrie des
Rn
1.6
Die Geometrie des
Rn
Eine offene und zusammenhängende Menge heißt Gebiet.
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n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
Die Geometrie des
Rn
1.6
Die Geometrie des
Rn
Eine offene und zusammenhängende Menge heißt Gebiet.
Dabei heißt eine offene Menge genau dann
zusammenhängend, wenn sie sich nicht als Vereinigung
zweier nichtleerer disjunkter offener Mengen darstellen lässt.
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n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
Die Geometrie des
Rn
1.6
Die Geometrie des
Rn
Eine offene und zusammenhängende Menge heißt Gebiet.
Dabei heißt eine offene Menge genau dann
zusammenhängend, wenn sie sich nicht als Vereinigung
zweier nichtleerer disjunkter offener Mengen darstellen lässt.
R
1
Beispiele für Gebiete sind offene Intervalle des
sowie
offene Kugeln. Dagegen bilden zwei sich berührende offene
Kugeln wie etwa B1 (0) ∪ B1 (2e1 ) kein Gebiet.
Der euklidische
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R
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n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
Die Geometrie des
Rn
Geraden und Strecken
R
R
Ist x0 ∈ n und a ∈ n \ {0}, so ist die Gerade durch x0
entlang a gegeben durch
{y = x0 + λa : λ ∈
R}.
Der euklidische
Raum n
R
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Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
Die Geometrie des
Rn
Geraden und Strecken
R
R
Ist x0 ∈ n und a ∈ n \ {0}, so ist die Gerade durch x0
entlang a gegeben durch
{y = x0 + λa : λ ∈
R}.
Die Strecke xy zwischen den Punkten x und y lässt sich
analytisch beschreiben durch
{z = λx + (1 − λ)y : λ ∈ [0, 1]}.
Der euklidische
Raum n
R
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Begriffe
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n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
Die Geometrie des
Rn
Polygonzüge
Sind x0 , x1 , . . . , xk Punkte des
Polygonzug definiert durch
Rn , so ist der zugehörige
P(x0 , . . . , xk ) = x0 , x1 ∪ . . . ∪ xk−1 xk .
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
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Räume
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n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
Die Geometrie des
Rn
Hyperebenen
q1
x0
Der euklidische
Raum n
R
q
0
R
Eine Hyperebene des n ist eine (n − 1)-dimensionale Ebene,
also eine Menge der Form H = x0 + U mit einem
(n − 1)-dimensionalen Teilraum U.
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
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n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
Die Geometrie des
Rn
Hyperebenen
q1
x0
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
q
0
R
R
Eine Hyperebene des n ist eine (n − 1)-dimensionale Ebene,
also eine Menge der Form H = x0 + U mit einem
(n − 1)-dimensionalen Teilraum U.
U wird durch n − 1 linear unabhängige Vektoren q1 , . . . , qn−1
aufgespannt,
n−1
n
X
λi qi , λi ∈
U= x=
i=1
R für i = 1, . . . , n − 1
o
.
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
Die Geometrie des
Rn
Hyperebenen
Sei q ∈
Rn mit |q| = 1, der auf allen qi senkrecht steht.
Der euklidische
Raum n
R
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Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
Die Geometrie des
Rn
Hyperebenen
Sei q ∈
Rn mit |q| = 1, der auf allen qi senkrecht steht.
Pn
Ein Punkt x = i=1 αi qi gehört genau dann zu U, wenn
α = (x, q) = 0 ist. Er gehört genau dann zu H, wenn
x − x0 ∈ U, wenn also (x, q) = (x0 , q) = α erfüllt ist.
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Raum n
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Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
Die Geometrie des
Rn
Hyperebenen
Sei q ∈
Rn mit |q| = 1, der auf allen qi senkrecht steht.
Pn
Ein Punkt x = i=1 αi qi gehört genau dann zu U, wenn
α = (x, q) = 0 ist. Er gehört genau dann zu H, wenn
x − x0 ∈ U, wenn also (x, q) = (x0 , q) = α erfüllt ist.
Diese Darstellung der Hyperbene heißt Hessesche
Normalenform,
H = {x : (x, q) = α},
|q| = 1,
wobei der Vektor q senkrecht zur Ebene H steht und
α = (x0 , q) ist.
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Raum n
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Räume
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n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
Die Geometrie des
Rn
Hyperebenen
Es ist anschaulich klar, dass das Lot des Nullpunktes auf die
Ebene die Gestalt βq besitzt.
Der euklidische
Raum n
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Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
R
Kompakte
Teilmengen des
n
R
Die Geometrie des
Rn
Hyperebenen
Es ist anschaulich klar, dass das Lot des Nullpunktes auf die
Ebene die Gestalt βq besitzt.
Aus der Gleichung für die Hyperebene erhalten wir β = α,
womit gezeigt ist, dass |α| den Abstand der Ebene zum
Nullpunkt angibt.
Der euklidische
Raum n
R
Grundlegende
Begriffe
Topologische
Räume
Die Topologie des
n
n
Folgen im
R
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n
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Die Geometrie des
Rn
Hyperebenen
Es ist anschaulich klar, dass das Lot des Nullpunktes auf die
Ebene die Gestalt βq besitzt.
Aus der Gleichung für die Hyperebene erhalten wir β = α,
womit gezeigt ist, dass |α| den Abstand der Ebene zum
Nullpunkt angibt.
Hat man umgekehrt eine Ebene in der Darstellung (x, q̃) = α̃
mit q̃ 6= 0 gegeben, so bringt man sie zuerst auf die Form
(x, q) = α mit |q| = 1.
Der euklidische
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Hyperebenen
Es ist anschaulich klar, dass das Lot des Nullpunktes auf die
Ebene die Gestalt βq besitzt.
Aus der Gleichung für die Hyperebene erhalten wir β = α,
womit gezeigt ist, dass |α| den Abstand der Ebene zum
Nullpunkt angibt.
Hat man umgekehrt eine Ebene in der Darstellung (x, q̃) = α̃
mit q̃ 6= 0 gegeben, so bringt man sie zuerst auf die Form
(x, q) = α mit |q| = 1.
Anschließend ergänzt man q mit q1 , . . . , qn−1 zu einer
Orthogonalbasis des n und setzt U = span {q1 , . . . , qn−1 }.
Mit x0 = αq ist dann H = x0 + U die Hyperebene in
expliziter Darstellung.
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Beispiel
Sei n = 3. Wir bestimmen die Ebene H durch die Punkte
e1 , e2 , e3 in expliziter und in Hessescher Normalenformorm.
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Beispiel
Sei n = 3. Wir bestimmen die Ebene H durch die Punkte
e1 , e2 , e3 in expliziter und in Hessescher Normalenformorm.
Die Vektoren e2 − e1 , e3 − e1 sind linear unabhängig, also
.
H = x = e1 + λ(e2 − e1 ) + µ(e3 − e1 ) : λ, µ ∈
R
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Beispiel
Sei n = 3. Wir bestimmen die Ebene H durch die Punkte
e1 , e2 , e3 in expliziter und in Hessescher Normalenformorm.
Die Vektoren e2 − e1 , e3 − e1 sind linear unabhängig, also
.
H = x = e1 + λ(e2 − e1 ) + µ(e3 − e1 ) : λ, µ ∈
R
Zur Bestimmung der Hesseschen Normalenform müssen wir
ein q ∈ 3 finden mit
 
 
−1
−1
q ·  1  = 0, q ·  0  = 0, |q| = 1
1
0
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√
Dies ergibt q = (1, 1, 1)/ 3. Daher
1 o
x1 + x2 + x2
√
=√ .
H= x:
3
3
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1.6
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