1. Aussagenlogik und Prädikate

1. Aussagenlogik und Prädikate
¬
∧
∨
┴
┬
↔
→
∀
∃
∃!
Negation (nicht)
Konjunktion (und)
Disjunktion (oder)
falsch
wahr
Äquivalent (beide wahr oder beide falsch)
Aussprache: A genau dann wenn B
Implikation ( ¬ A ∨ B) – nur falsch wenn A wahr und B falsch ist
(A → B, A = Elefant, B = Tier, nur falsch wenn Elefant aber kein Tier)
Aussprache: wenn A dann B, oder aus A folgt B)
All-Aussage ( ∀ -Quantor)
Existenz-Aussage ( ∃ -Quantor)
Existenz-Aussage mit nur genau einem x
Formeln
A∧B ↔ B∧A
A∨B ↔ B∨A
A ∧ (A ∨ B) ↔ A
A ∨ (A ∧ B) ↔ A
A ∧ (B ∨ C) ↔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
A ∨ (B ∧ C) ↔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
¬ (A ∧ B) ↔ ¬ A ∨ ¬ B
¬ (A ∨ B) ↔ ¬ A ∧ ¬ B
(A → B) ↔ ( ¬ B → ¬ A)
(A → B) ↔ ( ¬ A ∨ B)
A→B ↔ ¬B→ ¬A
¬ (A → B) ↔ A ∧ ¬ B
(Kommutativ-Gesetz)
(Kommutativ-Gesetz)
(Verschmelzungs-Gesetz)
(Verschmelzungs-Gesetz)
(Distributive-Gesetz)
(Distributive-Gesetz)
(Morgan-Gesetz)
(Morgan-Gesetz)
(Kontra-Position)
Umwandlung jeder All-Aussage in eine Existenz-Aussage und umgekehrt:
¬∀xP( x) ↔ ∃x¬P( x)
¬∃xP( x) ↔ ∀x¬P( x)
Begriffe
Axiome
Unbestrittene Grundannahmen (Extensionalitätsaxiom, Paarmengenaxiom,
Teilmengenaxiom, Potenzmengenaxiom, …)
Tautologie
Allgemein gültige Aussage (immer wahr)
Indirekter Beweis
Falls die Negation von A auf einen Widerspruch führt, so muss A gelten.
( ¬ A → ┴) → A
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2. Mengenlehre
∈
∉
⊂
⊆
∩
∪
A
x
|M|
T()
P()
Element von (A ∈ B, A muss komplett Element von B sein)
nicht Element von
Teilmenge von (A ⊂ B, jedes Element von A muss auch Element von B
sein)
Teilmenge von
geschnitten mit ( {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} )
vereinigt mit ( {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} )
Komplement von A (A Quer)
Kartesisches Produkt {1,2,3}x{d,e}={(1,d),(1,e),(2,d),(2,e),(3,d),(3,e)}
Produktmenge: (AxB={(a,b) | a ∈ A und b ∈ B}
Mächtigkeit (Anzahl Elemente)
Teilermenge einer Zahl T(6) = {{},1,2,3,6}
Potenzmenge (Menge aller Teilmengen inklusive {} und M)
Begriffe
Differenz
A B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B} = A ∩ B
Komplement
A := {x ∈ U | x ∉ A} = U / A
Tupel, Tripel, n-Tupel
(a,b)
(a,b,c)
(a1 ,..., a n )
Gesetze
A= B ⇔ A⊂ B∧B⊂ A
A∩ B = A∪ B
A∪ B = A∩ B
A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C )
A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )
(Morgan-Gesetz)
(Morgan-Gesetz)
(Distributiv-Gesetz)
(Distributiv-Gesetz)
Mächtigkeit
Wenn die Menge M unendlich ist, dann muss die Mächtigkeit mit Hilfe von
Bijektionen definiert werden.
Zwei Mengen A und B heissen gleich mächtig, wenn es eine bijektive Abbildung
von A nach B gibt. ( f : A → B ist bijektive)
| P ( M ) |= 2 |M |
(Mächtigkeit der Potenzmenge)
| AxB |=| A | x | B | (Mächtigkeit einer Produktmenge gleich | A | mal | B | )
| N |=| Z |=| Q |
(Die Mengen der natürlichen Zahlen, ganzen Zahlen und
rationalen Zahlen ist gleich Mächtig)
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3. Funktionen (Abbildungen)
→
a
Definitionsmenge zu Zielmenge
Element der Definitionsmenge zu Element der Zielmenge
Begriffe
f :D→Z
f:= Name der Abbildung
D := Definitionsmenge
Z := Zielmenge
f : A → B : a a f (a)
a a f (a ) := Beziehung zwischen einem Element der Definitionsmenge und einem
Element der Zielmenge. (Bsp. f : A → B : a a a 2 )
f −1 := Umkehrfunktion
Injektive Abbildung
Auf jedes Element der Zielmenge verweist höchstens ein Element der
Definitionsmenge. (höchstens ein Pfeil)
Surjektive Abbildung
Auf jedes Element der Zielmenge verweist mindestens ein Element der
Definitionsmenge. Bzw. in der Zielmenge wird jedes Element erfasst (mindestens
ein Pfeil)
Bijektive Abbildung
Injektive und Surjektive.
Auf jedes Element der Zielmenge verweist genau ein Element der
Definitionsmenge. (genau ein Pfeil)
Relation
n
R ⊂ ∏ Ai
i =1
Eine Teilmenge der Produktmenge (Beziehung der Mengen)
Prädikat
Auswahlkriterium der Produktmenge um eine Relation zu erhalten.
Selektion
S = {r ∈ R | erfüllt P}
Nur gewisse Elemente (Zeilen)
Projektion
Nur gewisse Attribute (Spalten)
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4. Kombinatorik
n-Fakultät
Anzahl Möglichkeiten (Eigene Definition)
Mit Wiederholungen (Eigene Definition)
n!
A
W
Formeln
Anordnung
von n Elementen
Auswahl
von k Elementen aus n möglichen Elementen
Reihenfolge
wichtig
Reihenfolge
wichtig
Permutationen
alle n Elemente
n!
n!
k1!⋅k 2 !⋅...ki !
Reihenfolge
unwichtig
Variationen
geordnet
W
n!
(n − k )!
nk
Kombinationen
ungeordnet
W
n!
(n − k )!⋅k!
(n + k − 1)!
(n − k )!⋅k!
W
Permutationen
(Anzahl der Anordnungen ohne Wiederholungen)
Pn gibt A = n!
Permutationen mit Wiederholungen
(Jeweils k i Elemente sind gleich)
( k1,k2 ,...,ki )
Pn
gibt A =
n!
k1!⋅k 2 !⋅...ki !
Variationen
(geordnete k-Tupel ohne Wiederholungen aus n Zeichen)
n!
Vnk gibt A =
= ( nk ) ⋅ k!
(n − k )!
Variationen mit Wiederholungen
(geordnete k-Tubel mit Wiederholungen aus n Zeichen)
Vnk gibt A = n k
w
Kombinationen
(ungeordnete k-Teilmengen aus einer n-Menge)
C nk = C nn−k = ( nk ) = ( nn −k ) =
Vnk
n!
gibt A =
(n − k )!⋅k!
Pn
( 0n ) = ( nn ) = 1 , (1n ) = n , C nk = C nk++11 − C nk + n , C nk++11 = C nk + C nk + n
Kombinationen mit Wiederholungen
(ungeordnete k-Tupel mit Wiederholungen aus n Zeichen)
(n + k − 1)!
w k
n + k −1
Cn = ( k
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) gibt A =
(n − k )!⋅k!
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5. Folgen, Reihen und Landau Symbol
Ο
Ω
Θ
Obere Schranke
Untere Schranke
Obere und untere Schranke
Begriffe
Arithmetische Folge
d = a n −1 − a n
a n = a1 + (n − 1) ⋅ d
a n = a n −1 + d
Sn =
n ⋅ (a1 + a n )
2
Arithmetische Reihe
Sn = n ⋅
n
a1 + a n
= ∑ ak
2
k =1
Geometrische Folge
a n +1
an
q>0 steigend
q=
a n = a1 ⋅ q n −1
a n = a n −1 ⋅ a n +1
0<q<1 fallend
q<0 oszillierend
Geometrische Reihe
S n = a1 ⋅
qn −1
(steigend)
q −1
S n = a1 ⋅
1− qn
(fallend)
1− q
Landau Symbol
Wird verwendet um das asymptotische Verhalten von Funktionen und Folgen zu
beschreiben sowie um die Komplexität und Aufwändigkeit zu vergleichen.
Ο(log 2 (n)) = Ο(ln(n)) = Ο(log(n)) ⊂
Ο( n ) ⊂
Ο(n) = Ο(n + log(n)) ⊂
Ο(n ⋅ log(n)) ⊂
Ο(n 2 ) = Ο(5 ⋅ n 2 + 2n + 100) ⊂
Ο(n1000 ) ⊂
Ο( 2
1000
n
) ⊂
Ο( 2 n ) ⊂
Ο( 2 2 n ) = Ο( 4 n ) ⊂
Ο( 2 n )
2
Ο( 2 n )
Ο ( f ) = Ο( g ) ⇒ Θ( f ) = Θ( g )
Θ( f ) = Θ( g ) ⇒ Ο ( f ) = Ο ( g )
Θ( f ) ⊂ Θ( g ) ⇒ Θ( f ) = Θ( g )
f ∈ Ο( g ) ⇒ Ο ( f ) ⊂ Ο ( g )
f ∈ Θ( g ) ⇒ Θ( f ) ⊂ Θ( g )
f ∈ Θ( g ) ⇒ Θ( f ) = Θ ( g )
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falsch: Ο( f ) ⊂ Ο( g ) ⇒ Ο( f ) = Ο( g )
falsch: f ∈ Ο( g ) ⇒ Ο( f ) = Ο( g )
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6. Boolesche Terme (Digitale Schaltkreise)
~
|
≡
w
f
τ
Negation, Inversion (nicht, NOT,INV)
Konjunktion (und, AND)
Disjunktion (oder, OR)
Sheffer-Strich (nicht und, NAND)
Äquivalent (gleich, EQUAL)
Wahr (TRUE)
Falsch (FALSE)
Term
AND (und, Negation)
OR (oder, Konjunktion)
NOT (nicht, Disjunktion)
Begriffe
Syntax Boolscher Terme
Folgende Boolschen Terme sind erlaubt:
Atomare Terme: Variablen
Konstanten: (w und f)
Inversionen: ~
Konjunktionen:
Disjunktionen:
BT – Boolscher Term
Folgende Gesetze der Aussagenlogik gelten auch bei den BT:
Kommutativ- Verschmelzungs- Distributive- und Morgan-Gesetz
τ ϑ ≡ ~(~τ ~ ϑ )
τ ϑ ≡ ~(~τ ~ ϑ )
Zusätzliche Gesetze:
τ
~τ ≡ f
τ
f ≡ f
τ ~τ ≡ w
τ w ≡w
x | y ≡ ~(x y)
(x ~y) (~x y) ≡ (x y) ~(x y)
τ
w ≡ τ
τ f ≡ τ
(NAND, Sheffer-Strich)
(XOR)
NNF – Negations-Normalform
Inversionen dürfen nur vor Variablen stehen, soweit umformen bis dies erfüllt ist.
NNF( τ ) = NNF (~(~ υ 0 υ1 ) = NNF(~~ υ 0 ) NNF(~ υ1 ) = υ 0 ~ υ1
KNF – Konjunktive-Normalform
Konjunktion von Disjunktionen (Zwischen jeder Klammer muss ein AND sein)
(… … …) (… …)
( υ1 υ 2 ~ υ 3 )
( υ1 υ 2 ) (~ υ1 υ 2 υ 3 )
DNF – Disjunktive-Normalform
Disjunktion von Konjunktionen (Zwischen jeder Klammer muss ein OR sein)
(… …) (… … …)
( υ1 υ 2 ) ( υ1 ~ υ 2 υ 3 ) ( υ1 υ 2 ~ υ 3 )
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7. Graphen (Matrizen)
Platzbedarf: Ο(| V | 2 )
Nachbarschaft: Ο(| V |)
Platzbedarf: Ο(| V | + | E |) Nachbarschaft: Ο(deg(v))
Adjazenz-Matrix
Adjazenz-Liste
Begriffe
Knoten
Sind die Elemente eines Graphen.
V = Knotenmenge
Kanten
Sind die Verbindungen eines Graphen.
E = Kantenmenge
n = Anzahl Knoten, k = Anzahl Kanten
Max Anz. Kanten = ( n2 ) =
n ⋅ (n − 1)
2
Grad
Definiert die Anzahl Nachbarn.
Matrizen
Addition
⎛ a11
⎜⎜
⎝ a 21
a12 ⎞ ⎛ b11
⎟+⎜
a 22 ⎟⎠ ⎜⎝ b21
b12 ⎞ ⎛ (a11 + b11 ) (a12 + b12 ) ⎞
⎟=⎜
⎟
b22 ⎟⎠ ⎜⎝ (a 21 + b21 ) (a 22 + b22 ) ⎟⎠
Multiplikation
⎛ a11
⎜⎜
⎝ a 21
b12 ⎞ ⎛ (a11 ⋅ b11 ) + (a 21 ⋅ b12 ) (a12 ⋅ b12 ) + (a11 ⋅ b22 ) ⎞
⎟=⎜
⎟
b22 ⎟⎠ ⎜⎝ (a 21 ⋅ b21 ) + (a11 ⋅ b22 ) (a 22 ⋅ b22 ) + (a 21 ⋅ b12 ) ⎟⎠
a12 ⎞ ⎛ b11
⎟⋅⎜
a 22 ⎟⎠ ⎜⎝ b21
Adjazenz-Matrix
Zeigt die Erreichbarkeit von jedem Knoten zu einem anderen. Wenn die beiden
Knoten miteinander Verbunden sind, wird eine 1 eingetragen.
1
2
4
3
1
A=2
3
4
1
0
1
1
1
2
1
0
1
0
3
1
1
0
0
4
1
0
0
0
1
A =2
3
4
2
1
3
1
1
0
2
1
2
1
1
3
1
1
2
1
4
0
1
1
1
M 2 = A ⋅ A = A 2 (Anzahl möglicher Verbindungen über genau zwei Kanten)
M 3 = A ⋅ A ⋅ A = A 3 (Anzahl möglicher Verbindungen über genau drei Kanten)
A n (Anzahl möglicher Verbindungen über genau n Kanten)
A + A 2 (Knoten die über höchstens zwei Kanten miteinander verbunden sind)
A + A 2 + A 3 (Knoten die über höchstens drei Kanten miteinander verbunden
sind)
Adjazenz-Liste
Eine Liste aller Knoten und für jeden Knoten eine Liste mit seinen Nachbarn.
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