Lösungsvorschläge zu Blatt 7 53) ZV X := Produkt der Augenzahlen

Lösungsvorschläge zu Blatt 7
53) ZV X := Produkt der Augenzahlen bei einem Wurf mit 2 Würfeln
Mögl. Werte k
des Produktes
1
2
3
4
5
6
8
9
10
12
15
16
18
20
24
25
30
36
Wurfergebnis
P (X = k)
(1, 1)
1/36
(1, 2), (2, 1)
2/36
(1, 3), (3, 1)
2/36
(1, 4), (2, 2), (4, 1)
3/36
(1, 5), (5, 1)
2/36
(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)
4/36
(2, 4), (4, 2)
2/36
(3, 3)
1/36
(2, 5), (5, 2)
2/36
(2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2)
4/36
(3, 5), (5, 3)
2/36
(4, 4)
1/36
(3, 6), (6, 3)
2/36
(4, 5), (5, 4)
2/36
(4, 6), (6, 4)
2/36
(5, 5)
1/36
(5, 6), (6, 5)
2/36
(6, 6)
1/36
54) a) Zunächst soll kontrolliert werden, ob X tatsächlich eine ZV ist, d.h.
ob durch die angebene Formel eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben ist:
0 < p < 1 ⇒ p > 0 ∧ (1 − p) > (1 − 1) = 0 ⇒ (1 − p)k−1 p > 0 für alle k,
∞
∞
X
X
1
k−1
(1 − p) p = p
(1 − p)j = p
= 1.
1 − (1 − p)
j=0
k=1
Dabei
die Substitution k − 1 =: j und die Summenformel
P∞ wurden
j
j=0 q = 1/(1 −q), |q| < 1 für die unendliche geometrische Reihe benutzt, wobei
die Bedingung |q| < 1 wegen 0 < (1 − p) < (1 − 0) = 1 erfüllt ist.
b) Da X nur ganzzahlige Werte ≥ 1 annehmen kann, erhalten wir
P (X 6 n) =
n
X
k=1
P (X = k) =
n
X
k=1
(1 − p)k−1 p
1
k−1=:m
=
p
n−1
X
(1 − p)m = p
m=0
1 − (1 − p)(n−1)+1
1 − (1 − p)
= 1 − (1 − p)n ,
wobei die Summenformel
l
X
j=0
für q 6= 1 benutzt wurde.
qj =
q l+1 − 1
q−1
P (X 6 5) = 1 − (1 − p)5 .
Wegen (X = 5 ⇒ X 6 5) gilt:
P (X < 5) = P (X 6 5) − P (X = 5)
= 1 − (1 − p)5 − p(1 − p)5−1
= 1 − (1 − p)4 (1 − p + p) = 1 − (1 − p)4
Da X nur ganzzahlige Werte ≥ 1 annehmen kann, kann man die gesuchte Wahrscheinlichkeit auch anders ausrechnen:
P (X < 5) = P (X 6 4) = 1 − (1 − p)4
Wegen (X 6 3 ⇒ X 6 8) gilt:
P (3 < X 6 8) = P (X 6 8) − P (X 6 3)
= 1 − (1 − p)8 − 1 − (1 − p)3 = (1 − p)3 − (1 − p)8
P (A \ B) = P (A) − P (B), falls B ⊂ A ist.
c) n und m seien nun zwei beliebige natürliche Zahlen. Dann gilt:
P (X > n + m/X > n) =
=
P (X > n + m ∧ X > n) (∗) P (X > n + m)
=
P (X > n)
P (X > n)
1 − (1 − (1 − p)n+m )
(1 − p)n+m
1 − P (X ≤ n + m)
=
=
= (1 − p)m .
1 − P (X ≤ n)
1 − (1 − (1 − p)n )
(1 − p)n
Dabei wurde bei (∗) benutzt, dass (X > n + m ⇒ X > n) wegen m > 0 gilt.
55)
−0.9 0.9
k
P (X = k) = e
k!
In dieser Aufgabe verwenden wir wieder, dass X nur ganzzahlige Werte ≥ 0
annehmen kann.
a)
P (1 6 X 6 3.5) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)
1
0.9
0.92 0.93
−0.9
= e
+
+
1!
2!
3!
0.92 0.93
−0.9
+
0.9 +
= e
2
6
= 0.580
2
b)
P (X 6 4) =
4
X
P (X = k)
k=0
−0.9
= e
4
X
0.9k
k!
k=0
0.92 0.93 0.94
−0.9
1 + 0.9 +
= e
+
+
2
6
24
= 0.998
c)
P (X > 2) = 1 − P (X < 2)
= 1 − P (X = 0) + P (X = 1)
= 1 − e−0.9 (1 + 0.9) = 0.228
56) a)
X=
−1
+1
mit Wahrscheinlichkeit
mit Wahrscheinlichkeit
p, q > 0
q
p
p+q =1
F (x) := P (X 6 x) =?
F (−1) := P (X 6 −1) = P (X = −1) = q
b)
F (+1) := P (X 6 1) = P (X = −1) + P (X

 P (∅) = 0
F (x) := P (X 6 x) =
P (X = −1) = q

1
X=
∓1
0
= +1) = q + p = 1
für
für
für
jeweils mit Wahrscheinlichkeit
mit Wahrscheinlichkeit
0 6 p 6 0.5
x < −1
−1 6 x < 1
x>1
p
1 − 2p
F (−1) := P (X 6 −1) − P (X = −1) = p
F (0) := P (X 6 0) = P (X = −1) + P (X = 0) = p + (1 − 2p) = 1 − p
F (1) := P (X 6 1) = 1
3
57) a)

0



p
F (x) := P (X 6 x) =
1
−p



1
f (x) :=
(
1
b−a
0
für
für
für
für
−∞ < x < −1
−1 6 x < 0
06x<1
16x<∞
für a 6 x 6 b
sonst
f (x) > 0 für alle x ∈ R
1
b−a
Z
s
s
c
c
a
b
∞
f (x)dx = Fläche unter der Kurve zu f (x) = Fläche des eingezeichneten Rechtecks
−∞
=
1
· (b − a) = 1
b−a
Verteilungsfunktion:
F (x) =
Z
x
f (t)dt
−∞
x 6 a:
F (x) =
denn es gilt
Z
x
f (t)dt =
−∞
Z
x
0 dt = 0;
−∞
0
für t < x(6 a)
1
,
für t = x = a
b−a
d.h. der Integrand weicht an höchstens einer Stelle von 0 ab, und dies hat auf
den Wert des Integrals keinen Einfluss.
f (t) =
(
4
a < x 6 b:
F (x) − F (a) =
Z
a
x
Z
x
f (t)dt ⇒ F (x) = F (a) +
f (t)dt
a
x
t
= 0+
b − a t=a
x−a
,
=
b−a
da a 6 t 6 x 6 b ist
x>b:
F (x) = F (b) +
Z
x
f (t)dt =
b
b−a
+0=1
b−a
denn es gilt
0
für t > b
1
,
für t = b
b−a
d.h. der Integrand weicht an einer Stelle von 0 ab, und dies hat auf den Wert des
Integrals keinen Einfluss.
f (t) =
1
(
a
y = F (x)
b
5
57 b) Bild der Verteilungsdichte:
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-4
-2
0
2
4
x
Verteilungsfunktion:
Z x
Z
x ≤ 0 : F (x) =
f (t)dt = 0.5
−∞
= 0.5 lim
a→−∞
Z
−|t|
e
dt
−|t|=−(−t)=t
=
wegen
t≤0
0.5
−∞
x
et dt = 0.5 lim
a→−∞
a
x > 0 : F (x) = F (0) +
x
Z
0
x
Z
x
et dt
−∞
t x
e t=a = 0.5 lim (ex − ea ) = 0.5ex ,
a→−∞
0
f (t)dt = 0.5 · e + 0.5
Z
x
−|t|
e
0≤t≤x
dt = 0.5 + 0.5
0
x
= 0.5 + 0.5 −e−t t=0 = 0.5 + 0.5(−e−x + e−0 ) = 1 − 0.5e−x ,
6
Z
0
x
e−t dt
Bild der Verteilungsfunktion:
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-4
-2
0
2
4
x
58) a) Die vorgegebene Funktion f ist Verteilungsdichte:
0 ≤ x ≤ 1 : f (x) := x ≥ 0,
1 < x ≤ 2 : f (x) := 2 − x ≥ 2 − 2 = 0.
Damit gilt: f (x) ≥ 0 für alle reellen x.
Z
∞
−∞
f (x)dx = 0+
Z
0
1
xdx+
Z
2
1
x2
(2−x)dx+0 =
2
7
1 2
x2
1
4
1
+ 2x −
= ( −0)+(4− −2+ ) = 1.
2 1
2
2
2
0
Bild der Verteilungsdichte:
-2
-1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
x
b) Verteilungsfunktion:
Z x
x ≤ 0 : F (x) =
f (t)dt = 0 (f (t) = 0 für t ≤ x ≤ 0),
−∞
2 x
Z x
x2
t
= ,
0 < x ≤ 1 : F (x) = F (0) +
tdt = 0 +
2 t=0
2
0
x
Z x
1
1
t2
x2
1
1 < x ≤ 2 : F (x) = F (1) +
= + 2x −
(2 − t)dt = + 2t −
−2+
2
2 t=1 2
2
2
1
x2
= 2x − 2 −Z 1,
x
4
x > 2 : F (x) = F (2) +
0 dt = 4 − − 1 + 0 = 1.
2
2
8
Bild der Verteilungsfunktion:
-2
-1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
x
59)
Z
∞
f (x)dx =
Z
π/2
π/2
C · cos xdx = C[sin x]−π/2
−∞
−π/2
π π
!
=C ·2=1
= C sin − sin −
2
2
1
⇔ C=
2
π π
C > 0 ∧ cos x > 0 für alle |x| 6
∧ f (x) = 0 für alle |x| >
⇒ f (x) > 0 für alle x,
2
2
f (x) ist also Verteilungsdichte.
9
60) Da das Teilchen sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit bewegt und
zufällig gestoppt wird und da Z und Z +2kπ, k ∈ Z, das gleiche X liefern, kann Z
als eine auf [−π, π] gleichverteilte ZV angesehen und X = cos Z gesetzt werden.
Die Verteilungsdichte von Z ist somit (vergl. 57a) mit a = −π und b = π):
1/(2π) für − π ≤ z ≤ π
fZ (z) =
0
sonst
a) Verteilungsfunktion von X:
−1 ≤ x ≤ 1 :
F (x) := P (X ≤ x) = P (cos Z ≤ x) = P (cos Z < x) = P (cos |Z| < x),
da Z eine stetige ZV und cos eine gerade Funktion ist (cos(−α) = cos α). Da nun
arccos eine streng monoton fallende Funktion ist, x in ihrem Definitionsbereich
liegt und arccos(cos α) = α für 0 ≤ α ≤ π gilt, kann man weiter folgern:
F (x) = P (|Z| > arccos x) = 1 − P (|Z| ≤ arccos x)
Intervallänge von [− arccos x, arccos x]
(∗)
= 1−P (− arccos x ≤ Z ≤ arccos x) = 1−
Intervallänge von [−π, π]
arccos x
2 arccos x
=1−
.
= 1−
2π
π
Dabei wurde für (∗) benutzt, dass [− arccos x, arccos x] ⊂ [−π, π] und dass Z in
[−π, π] gleichverteilt ist. Da die Verteilungsfunktion monoton wachsend ist, gilt
schließlich:
x < −1 ⇒ 0 ≤ F (x) ≤ F (−1) = 1 − (arccos(−1))/π = 1 − π/π = 0 ⇒ F (x) = 0.
x > +1 ⇒ 1 ≥ F (x) ≥ F (1) = 1 − (arccos 1)/π = 1 − 0/π = 1 ⇒ F (x) = 1.
b)

0






 −1
−1
′
·√
f (x) = F (x) =
π

1 − x2






0
für x < −1
für
−1<x<1
für x > 1
f (x) kann in endlich vielen Stellen x (also z.B. in ±1) undefiniert bleiben oder
willkürlich definiert werden (z.B. f (±1) := 0). Es bleibt dann zu beweisen, was
aber hier nicht durchgeführt werden soll:
Z x
F (x) =
f (t)dt für alle x
−∞
10