Übungen Schwingungen WZMI

Vorschubantrieb
Nur zu Lehrzwecken
Übung
Vorschubantrieb
Aufg. 1
Beim Bau einer CNC-Drehmaschine wird von Ihnen ein Vorschubantrieb mit elektronisch
kommutierten Gleichstrommotor dimensioniert. Der Vorschubantrieb ist als Spindelantrieb entsprechend dem Abb. 1 ausgelegt.
Abb. 1: Spindelantrieb
Der Vorschubantrieb hat folgende technische Daten:
a) mechanische Daten
Spindellänge
Spindeldurchmesser
Spindelsteigung
Spindelzahnraddurchmesser
Spindelzahnradbreite
Dichte Stahl
ls
ds
hs
dzs
bzs
Stahl
=
=
=
=
=
=
2000 mm
50 mm
10 mm
80 mm
15 mm
7900 kg/m3
Vorschubgeschwindigkeit bei
Motornenndrehzahl
Nennschnittkraft
Nennvorschubskraft
linear bewegte Masse
VxN
FSN
FxN
m
=
=
=
=
7 m/min
10 kN
1,5 kN
100 kg
b) Motordaten des Gleichstrommotors
elektrische Nennleistung
Nenndrehzahl
Ankerlänge
PeN
nN
lA
=
=
=
22.10.2015
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15 kW
2500 /min
483 mm
 PD Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Vorschubantrieb
Ankerdurchmesser
mittlere Dichte Ankers
mechanisches Nenndrehmoment
maximales Drehmoment
Nur zu Lehrzwecken
dA
A
MN
Mmax
=
=
=
=
115 mm
76 % Stahl
56 Nm
250Nm für 200ms
Tab. 1: Datenblatt
a) Geben Sie die Gleichungen für die Berechnung der Trägheitsmomente von Spindel JS und
Spindelzahnrad JZS an.
b) Geben Sie die Gleichung für das Verhältnis der Trägheitsmomente der Getriebezahnräder JZM/JZS
über das Drehzahlverhältnis an. Gehen Sie dabei von gleichen Materialeigenschaften und Zahnradbreiten aus.
c) Geben Sie die Gleichung für das auf die Motorwelle reduzierte Trägheitsmoment JSZM der
Spindel-Zahnrad-Kombination und die Gleichung für die am Motor wirkenden Trägheitsmomente
JM an.
d) Stellen Sie die Gleichung für das Spindelmoment MS, das durch die linear bewegte Masse m
unter Berücksichtigung der Vorschubkraft Fx und unter Vernachlässigung von Spindel- und Lagerreibungskräften bzw. -Momenten entsteht, an.
e) Geben Sie die Gleichung für das Motorlastmoment MLM an und zerlegen Sie das Motorlastmoment in einen Momenten- und Trägheitsmomenten-Anteil.
f) Geben Sie die Gleichung des effektiven Motorträgheitsmoments Jeff an.
g) Geben Sie die Bewegungsgleichung bzw. Momentengleichung auf der Motorseite des
Spindelantriebes an und interpretieren Sie das Gleichungssystem im Zusammenhang mit einer
ingenieurmäßigen Analyse, die auf eine Abschätzung der physikalischen Größen mit einer
Genauigkeit von 10% abzielt.
h) Benennen Sie die Anteile bei der Bewegungsgleichung unter g), berechnen Sie die Zahlenwerte
dieser Anteile, bewerten Sie die Relationen, vergleichen Sie die Zahlenergebnisse mit der Struktur
der Bewegungsgleichung und interpretieren Sie Ihr Ergebnis bzw. leiten Sie ingenieurmäßige
Entwurfsregeln ab.
22.10.2015
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Vorschubantrieb
Nur zu Lehrzwecken
Lösung Übung
Vorschubantrieb
Vorüberlegungen
Entscheidend für die Dimensionierung von elektrischen Antrieben ist der Bedarf an mechanischer
oder elektrischer Leistung. Beschränkt man sich auf einfache Arbeitsmaschinen mit geradlinigen
und Drehbewegungen, so findet eine Umrechnung der Zustandsgrößen zwischen geradlinigen und
Drehbewegungen oder zwischen Drehbewegungen unterschiedlicher Drehzahlen zumeist unter der
Annahme verlustloser Übertragungsglieder statt. Aufgrund der Energieerhaltungssätze stellt man die
Energiebilanzen vor und hinter den Übertragungsgliedern (Getriebe, Spindel usw.) auf. Die Einund Ausgangsenergien müssen infolgedessen äquivalent sein, so dass man die Gleichungen formell
gleichsetzen kann, womit man die gesuchten mathematischen Transformationen der physikalischen
Größen, wie Momente, Trägheitsmomente usw. erhält.
n
v
E1
F
M
J 1
n
v
F
M
J 2
E2
verlustloses
Übertragungsglied
Abb. 2: verlustloses Übertragungsglied
translatorisch
rotatorisch
E  1/ 2 mV 2
E  1/ 2 J  2
kinetische Energie
dE  F V dt
dE  M  dt
differenzielle Energie
FA  FLA  mA
d VA
dt
M A  M LA  J effA
Bemerkung
dA
dt
Bewegungsgleichung
Tab. 2: Energiebeziehungen
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Anschließend berücksichtigt man die Verluste der Übertragungsglieder durch Angabe des
Wirkungsgrades 
PV
P1
Übertragungsglied
P2
Abb. 3: Wirkungsgrad und Übertragungsglied
P1  P2  PV
P
1
 2 
P1 1  PV
P2
(1)
(2)
a) Trägheitsmoment der Spindel bzw. eines Zylinders (Rotation um Zylinderachse):
JS 
1
  S dS4 lS ..
32
(3)
b) Bei gleichen Materialeigenschaften und Zahnradbreiten bzw. Zylinderlängen erhält man
J ZM  d ZM 


J ZS  d ZS 
4
(4.1)
4
n 
J
bzw. ZM   S  mit
J ZS  nM 
J ZS 
(4.2)
1
4
  d ZS
lZS
32
(4.3)
c) Das Trägheitsmoment der Spindel-Zahnrad-Kombination ergibt sich aus der Summe der
Trägheitsmomente von Spindel und spindelseitigem Zahnrad:
J ZS  JS  J ZS
(5)
In einem um eine Achse rotierenden System berechnet sich die in dem System gespeicherte Energie
zu:
E
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1
J 2
2
(6)
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Aufgrund des im Abschnitt Vorüberlegungen skizzierten Ansatzes, erhält man bei einem verlustlosen masselosen Getriebe, welches einen massebehafteten Körper antreibt, die Gleichungen:
E1  E2

1
1
J1 12  J 2 22
2
2
2
J    n 
 1  2   2 
J 2  1   n1 
2
(7)
Interpretation: Die Trägheitsmomente vor und hinter dem masselosen Getriebe verhalten sich
umgekehrt proportional zum Quadrat der Drehzahlverhältnisse vor und hinter dem Getriebe. Diese
Beziehung gibt nur an, wie ein Trägheitsmoment von der Welle 1 auf die Welle 2 und umgekehrt
transformiert wird. Für eine Abschätzung der Trägheitsmomente eines Getriebe-Systems mit einer
10%-tigen Genauigkeit können ab einem Drehzahlverhältnis von n1 / n2  10  3,16 die Trägheitsmomente auf den niedertourigen Wellen gegenüber den höhertourigen Wellen vernachlässigt
werden, wenn die Trägheitsmomente der Wellen-Zahnrad-Kombinationen auf der nieder- und hochtourigen Seite in der gleichen Größenordnung liegen.
Das am Motor wirkende Motorträgheitsmoment der Spindel-Zahnrad-Kombination berechnet sich
deshalb zu:
2
J SZM
n 
  S   J S  J ZS 
 nM 
(8)
Die am Motor wirkenden Trägheitsmomente in Gleichung (8) müssen um die Trägheitsmomente
des motorseitigen Zahnrades und den Motor- bzw. Ankerträgheitsmomenten erweitert bzw.
superpositioniert werden. Für eine Systemanalyse ist es sinnvoll, das Trägheitsmoment des Zahnrades auf der Motorseite über das Trägheitsmoment des Zahnrades auf der Spindelseite zu
beschreiben, so dass man die Gleichung
2
4
n 
n 
1
J M   S   J S  J ZS    S  J ZS  J A mit J A 
  A d A4 lA
32
 nM 
 nM 
(9)
erhält.
d) Für einen bewegten Massenpunkt berechnet sich die Arbeit zu
S2
E   F(s) ds  dE  F(s) d s ,
(10)
S1
so dass man für die Augenblicksleistung
Pmech 
dE
 F(s) ds / dt  F v
dt
(11)
erhält.
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Wird eine geradlinige Bewegung verlustlos in eine Drehbewegung umgesetzt, so gilt die
Leistungsbilanz
v F  vx FSx  M S S ,
(12)
weshalb an der Spindel das Drehmoment
MS 
vSx
S
FSx 
vSx
FSx
2 nS
(13)
zur Wirkung kommt. Bei einem Spindelantrieb können im allgemeinen Beschleunigungen auftreten,
weshalb sich die am Schlitten wirkende Kraft zu
FSx  m
d vx
 Fx
dt
(14)
ergibt, so dass man das Spindellastmoment zu
M LS 

vx  d vx
 Fx 
m
2 nS  dt

mit
vx
h
nS
(15)
erhält.
e) Die Transformation der Getriebemomente, also des Spindellastmoments MLS in das Motorlastmoment MLM, kann gleichwohl über den Energieansatz bestimmt werden:
E1  E2  d E1  d E2
(16.1)
d E1  M1 1 dt  d E2  M 2 2 dt
(16.2)
 M1 1 dt  M 2 2 dt
(16.3)

M1 2

M 2 1
(16.4)
Zwischen der linearen Bewegung des Schlittens und dem Bogenmaß der Motorwelle gilt die
Beziehung
sx 
nS h
 ,
nM 2
(17)
woraus sich nach zweimaliger Ableitung
d vx d 2 s x
 2 
dt
dt
dvx nS h

dt nM 2
nS h d 2
nM 2 dt 2
d
dt
(18)
ergibt.
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Setzt man diese Beziehung in die Spindellastmomentengleichung (15) unter Berücksichtigung von
(16) ein, so erhält man das Motorlastmoment
2
M LM
n   h 
d nS h
 S  

Fx .
 m
dt nM 2
 nM   2 
2
(19)
Das Motorlastmoment lässt sich in einen MomentenMM 
nS h
Fx
nM 2
(20)
und reduzierten Trägheitsmomentenanteil
2
J Mred
n   h 
 S  
 m
n
2



M


2
(21)
zerlegen.
f) Das am Motor wirkende effektive Trägheitsmoment ergibt sich zu
2
J eff
4
2
n 
n 
n   h 
  S   J S  J ZS    S  J ZS   S  
 m  JA
 nM 
 nM 
 nM   2 
2
(22)
g) Aufgrund des dynamischen Grundgesetzes von Newton (2. Newtonsches Axiom) erhält man für
den Spindelantrieb die Bewegungsgleichung
M el  M M  J eff
dM
,
dt
worin Mel das elektrische Moment
der Gleichstrommaschine repräsentiert.
(23)
Eine Auflösung der obigen Gleichung für die konstruktive ingenieurmäßige Analyse ergibt:
M el 
Komponenten der Bewegungsgleichung
reduziertes Motordrehmoment der am Schlitten
wirkenden Kraft
nS h
Fx
nM 2
 n  2  
4
bZS
+  S  Stahl dS4 lS  d ZS
 nM  32


4
Trägheitsmomentenanteile
Spindel + Zahnrad-Anteil
n    4
bZS
+  S  Stahl d ZS
 nM  32
Zahnrad motorseitig
+
Ankeranteil Motor
A
32
d A4 lA
2
2
 nS   h   dM
+
 
 m
 nM   2   dt
reduzierter linearer Beschleunigungsanteil
(24)
Im Zusammenhang mit einer ingenieurmäßigen Analyse bzw. Größenabschätzung bei einer 10%igen Genauigkeit, kann man ab einem Drehzahlverhältnis von nM / nS  10  3,16 die Wirkung des
motorseitigen Zahnrades gegenüber dem Spindelzahnrad, wirkend auf der Motorseite,
vernachlässigen (siehe Gleichung (24) Term 2 zweiter Teil gegenüber Term 3). Weitere Näherungen
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Vorschubantrieb
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in dieser allgemeinen Form sind erst unter der Kenntnis der konstruktiven Daten des
Spindelantriebes zulässig.
h) Berechnung des Getriebeübersetzungsverhältnis
nSN 

vxN
n
n
und Ü  S  SN
h
nM nMN
nS 1 vxN

nM h nMN
(25)
nS
 1/(10mm) (7m/min)/(2500/min) = 0,28
nM
Berechnung der Terme der Momentengleichung
Mel = 0,28 10mm/(2) 1,5 kN
+ ( 0,282 1/32  7,9 103kg/m3 ((50mm)4 2000mm + (80mm)4 15mm)
+ 0,284 1/32  7,9 103kg/m3 (80mm)4 15mm
1/32  0,76 7,9 103kg/m3 (115mm)4 483mm
+
+
0,282 (10mm/(2))2 100kg ) dM/dt
Mel =
+[
+
+
+
+
0,67
Nm
-5
76,01 10 kgm2
3,74 10-5 kgm2
29,00 10-7 kgm2
4,98 10-2 kgm2
1,98 10-5 kgm2 ] dM/dt
(26.1)
(Vorschubskraft-Anteil)
(Spindel-Anteil)
(Zahnrad-Spindel-Anteil)
(Zahnrad-Motor-Anteil)
(Anker-Anteil)
(linear bewegter Massen-Anteil)
(26.2)
Betrachtet man die obigen Formeln, so zeigt sich, dass bei den vorliegenden Verhältnissen das
Trägheitsmoment des Ankers, des im allgemeinen höhertourigen Antriebaggregats, um ca.
2 Zehnerpotenzen größer als das der Spindel und der Zahnräder ausfällt. Bei Antrieben dieser Art
wird das Trägheitsmoment des Systems im wesentlichen durch das Trägheitsmoment des Antriebs
bestimmt. Selbst die linear beschleunigten Massen werden erst bedeutsam, wenn pro kg linear beschleunigter Masse die Winkelbeschleunigung der Ungleichung
d M
104 / s 2
/ kg 
dt
kg
(27)
genügt, was für die meisten Anwendungsfälle nicht der Fall ist.
Die Bewegungsgleichung und der Leistungsbedarf eines typischen linearen Antriebs wird daher
dominierend von den Trägheitsmomenten des Antriebaggregats und der am Schlitten wirkenden
Vorschubkraft Fx bestimmt:
M el 
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nS h
d
Fx  J A M
nM 2
dt
(28)
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