Bonus-Aufgaben zu Experimentalphysik I – Nr. 2

Bonus-Aufgaben zu Experimentalphysik I – Nr. 2
Aufgaben zu Blatt 8
Ausgabe: 10.12. - 14.12.2001
WS 2001/02
Namen und Matrikelnummer:
1.____________________________________
3._____________________________________
2.____________________________________
4._____________________________________
Aufgabe 1:
Eine Garnrolle mit den Radien r1=1.25 cm und r2=2.00 cm liegt auf einer horizontalen Unterlage, so
dass sie rollen kann. Ein Stück des Fadens ist nicht auf die Rolle gewickelt. Abhängig vom
Zugwinkel α läuft die Rolle entweder von der (sanft) am Faden ziehenden Person fort oder auf sie zu.
Ein Gleiten der Rolle auf der Unterlage soll vermieden werden.
a) Erklären Sie das unterschiedliche Verhalten qualitativ.
b) Berechnen Sie den Grenzwinkel α0 bei dem die Rolle keine Bewegung ausführt.
Lösung:
Die Drehachse der Rolle ist die Gerade, auf der die Rolle die Unterlage berührt. Das auf die Rolle
K
K
wirkende Drehmoment bezüglich dieser Achse (aus Zugkraft F und Ortsvektor r ) wirkt je nach
r
Winkel α im Gegen- bzw. Uhrzeigersinn. Es ist gleich Null für die Bedingung cos α 0 = 1 , d.h.
r2
α 0 = 51.3° .
Aufgabe 2: Trägheitsmomente eines Würfels
a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment eines homogenen
(gefüllten) Würfels mit der Masse M und einer Seitenlänge
a für eine Rotationsachse durch den Schwerpunkt und
senkrecht zu zwei Würfelflächen (Skizze: Achse 1).
Lösung:
a a a
2 2 2
I1 = ∫ r 2 dm = ∫ r 2 ρ dV = ρ ∫
a a a
2 2 2
∫ ∫ r dxdydz =ρ ∫ ∫ ∫ ( x
2
a a a
− − −
2 2 2
a
2
a a
2 2
a
2
a a
− −
2 2
= ρ ∫ dz ∫
−
=
∫ (x
2
a a a
− − −
2 2 2
2
+ y 2 ) dxdydz =
a
2
1 
1

1
+ y 2 ) dxdy = ρ ⋅ a ⋅ ∫  a 3 + a ⋅ y 2  dy = ρ ⋅ a ⋅  a 3 ⋅ a + a ⋅ a 3  =
12 

 12
a  12
−
2
1
1
ρ ⋅ a5 = M ⋅ a2
6
6
b) Bestimmen Sie das Trägheitsmoment dieses Würfels für eine Drehung entlang einer
Raumdiagonalen (Skizze: Achse 2).
Lösung:
Aus Symmetriegründen (die Hauptträgheitsmomente sind alle gleich) ist das Trägheitsellipsoid
beim Würfel eine Kugel. Damit sind alle Trägheitsmomente für Drehachsen durch den
Schwerpunkt gleich. Also gilt auch hier:
1
I 2 = I1 = M ⋅ a 2
6
Aufgabe 3:
Ein homogener Bleistift wird senkrecht auf einen Tisch gestellt. Er kann näherungsweise als langer,
dünner Stab mit der Länge l = 15 cm und der Masse m = 4g betrachtet werden. Durch eine kleine
Störung wird der Stift aus seiner labilen Gleichgewichtslage gebracht und fällt um, wobei sich der
Fußpunkt nicht bewegen soll.
Leiten Sie einen Ausdruck für die Geschwindigkeit, die das obere Ende des Stiftes im Moment des
Auftreffens auf den Tisch hat, her. Berechnen Sie diese Geschwindigkeit.
Lösung:
1
Aus Blatt 6: I Stab = ml 2
3
Energieerhaltung:
l 1 2
= I ω = ERot
2 2
mgl
3g
⇒ ω=
=
I
l
EPot = mg
v = l ⋅ω = l ⋅
3g
= 3 gl = 2,1m / s
l