Übungen zu Experimentalphysik I

Übungen zu Experimentalphysik I
Prof. Dr. G. Abstreiter
Blatt 6
Ausgabe:
Besprechung:
21.11.2001
26.11. - 30.11.2001
WS 2001/02
Übungsgruppen:
Wochentag
Montag
Dienstag
Mittwoch
Donnerstag
Donnerstag
Donnerstag
Freitag
Freitag
Aufgabe 1
Uhrzeit
10.15 – 11.45
8.15 – 9.45
8.15 – 9.45
12.00 – 13.30
12.00 – 13.30
12.15 – 13.45
8.15 – 9.45
12.15 – 13.45
Raum-Nr.
N1095
1601
2370
N0116
N1090
1200
2100
N1070
Tutor
Karin Buchholz
Sebastian Luber
Ulrich Rant
Doris Heinrich (englisch)
Frank Fischer
Frank Ertl
Claus Ulbrich
Giovanni Tardini
Rollendes Rohr auf schiefer Ebene
Wir betrachten einen Hohlzylinder der Länge l = 1 m mit Zylinderradius r = 10 cm. Die
Zylindermasse m = 20 kg sei homogen auf dem Zylindermantel, dessen Dicke vernachlässigt
werden soll, verteilt. Der Hohlzylinder wird auf einer schiefen Ebene mit Neigung 45°
gegenüber der Erdoberfläche platziert und losgelassen. Die Lage der Zylinderachse sei
horizontal.
a)
Berechnen Sie das Trägheitsmoment I des Hohlzylinders.
b) Berechnen Sie die Rotationsenergie und die kinetische Energie der Schwerpunktsbewegung des Zylinders, nachdem dieser über eine Höhendifferenz von h= 5 m hinabgerollt
ist, ohne zu rutschen. Hinweis: Gehen Sie vom Energieerhaltungssatz aus.
c)
Die Masse m = 20 kg sei nun nicht mehr auf den Mantel konzentriert, sondern in einem
Vollzylinder homogen über das Gesamtvolumen verteilt. Wie groß ist die Volumendichte
ρ des Zylindermaterials.
d) Berechnen Sie für diesen Fall das Trägheitsmoment I. Hinweis: Das hierfür notwendige
Volumenintegral geht in ein eindimensionales Integral über, wenn man sich den
Vollzylinder als aus ineinandergeschachtelten Hohlzylindern mit infinitesimal kleiner
Wandstärke dr aufgebaut denkt, deren Trägheitsmomente dI von der Zylinderachse bis
zum Mantel aufintegriert werden: dI = ρ × r2 dV; Volumenelement: dV = 2π l r dr.
e)
Führen Sie die Rechnung aus Teilaufgabe b) für den Fall des Vollzylinders aus.
Aufgabe 2 Trägheitsmoment von N20
Das Molekül N20 (Lachgas) ist linear aufgebaut (N-N-O). Für die Isotope „14N“ und „16O“
besitzen die Atomkerne die Massen 14 mn bzw. 16 mn mit mn = 1.67 x 10-27 kg. Diese sind
von Elektronenhüllen aus 7 (für N) bzw. 8 Elektronen (für O) der Masse me = 9.1 x 10-31 kg
umgeben. Die Bindungslängen betragen N-N: 1,15 Å (Ångström: 1 Å = 10-10 m) = 115 pm
(picometer) = 115 x 10-12 m und N-O: 1,23 Å = 123 pm.
a) Berechnen Sie, unter Vernachlässigung des Elektronenbeitrags und der Annahme
punktförmiger Kerne, die Lage des Schwerpunkts.
b) Bestimmen Sie das Trägheitsmoment für eine Drehachse senkrecht zur Bindungsachse
durch den Schwerpunkt. Die Elektronen können hierbei wieder vernachlässigt und die
Kerne als punktförmig angenommen werden.
c) Schätzen Sie das Trägheitsmoment parallel zur Bindungsachse ab. Dieses besteht aus zwei
Anteilen, dem der Atomkerne und dem der Elektronenhüllen. Die Atomkerne sollen als
1
homogen dichte Kugeln angenommen werden mit dem Radius R = 3 A ⋅10 −15 m
4
(A: Massenzahl = 14 für N bzw. 16 für O). Für die Elektronen soll vereinfachend eine
einheitliche Entfernung von der Drehachse (100 pm) eingesetzt werden.
Aufgabe 3
Ein dünner Stab der Masse m = 1 kg (homogene Massenverteilung ) und der Länge l = 0,5 m
wird so in seinem Schwerpunkt an einem Torsionsdraht befestigt, daß die Stabachse senkrecht
zum Draht zeigt. Bei Auslenkung des Stabs um den Winkel ϕ aus der Ruhelage wirkt ein
rücktreibendes Drehmoment D = -Aϕ mit A = 0,1 Nm.
a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment des Stabs bezüglich Drehung um die durch den
Torsionsdraht definierte Drehachse.
b) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für die Drehbewegung des Stabs auf.
c) Geben Sie den Ansatz zur Lösung der Bewegungsgleichung an und berechnen Sie die
Schwingungsdauer der Torsionsschwingung.
d) Berechnen Sie nun das Trägheitsmoment des Stabs bei Drehung um eine Achse an einem
Stabende durch Integration, als auch durch Verwendung des „Satzes von Steiner“.
Aufgabe 4 Erzwungene Präzession (Kollergang)
Die waagerechte Achse einer Kreisscheibe, welche 2r = 1 m Durchmesser und m = 1500 kg
Masse hat, ist um eine vertikale Achse drehbar gelagert. Die Scheibe befindet sich in R = 2 m
Abstand von der vertikalen Achse und rollt um diese auf der horizontalen Unterlage ab. Die
Drehung um die vertikale Achse erfolgt gleichförmig mit der Drehfrequenz fP = 0,5 s-1.
Mit welcher Kraft drückt die Scheibe auf die Unterlage?