II Vektoralgebra

45
II Vektoralgebra
1 Grundbegriffe
1.1 Definition eines Vektors
Unter den in Naturwissenschaft und Technik auftretenden Größen kommt den Skalaren
und Vektoren eine besondere Bedeutung zu. Während man unter einem Skalar eine Größe
versteht, die sich eindeutig durch die Angabe einer Maßzahl und einer Maßeinheit
beschreiben lässt, benötigt man bei einer vektoriellen Größe zusätzlich noch Angaben
über die Richtung, in der sie wirkt.
Definition: Unter Vektoren verstehen wir Größen, die durch Angabe von Maßzahl
und Richtung vollständig beschrieben sind. Zu ihrer Kennzeichnung
verwenden wir Buchstabensymbole, die mit einem Pfeil versehen werden wie zum Beispiel:
a
Bild II-1
~, M
~, E
~
~
a, b~, ~
c, ~
r, ~
e, F
Ein Vektor ~
a ist in symbolischer Form durch einen Pfeil darstellbar
(Bild II-1). Die Maßzahl der Länge des Pfeils, der die Vektorgröße repräsentiert, heißt Betrag des Vektors und wird durch das Symbol j ~
aj
oder a gekennzeichnet. Die Pfeilspitze legt die Richtung (Orientierung) des Vektors fest. Durch Betrag und Richtung ist der Vektor eindeutig bestimmt.
Anmerkungen
(1)
Bei einer physikalisch-technischen Vektorgröße gehört zur vollständigen Beschreibung noch die Angabe der Maßeinheit. Daher verstehen wir unter dem Betrag eines
physikalischen Vektors die Angabe von Maßzahl und Einheit.
~1 : j F
~1 j ¼ F1 ¼ 100 N
Beispiel: Betrag einer Kraft F
(2)
Der Betrag eines Vektors ~
a ist stets größer oder gleich Null: j ~
aj ¼ a 0
(3)
Ein Vektor lässt sich auch eindeutig durch die Angabe von Anfangspunkt P und
!
Endpunkt Q festlegen (Bild II-2). Als Vektorsymbol verwendet man dann PQ .
Q
PQ
P
Bild II-2
L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1,
DOI 10.1007/978-3-658-05620-9_2, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014
46
&
II Vektoralgebra
Beispiele
Skalare: Masse m, Temperatur T, Zeit t, Arbeit W, Widerstand R, Spannung U,
Massenträgheitsmoment J
~, Impuls
Vektoren: Strecke (Weg) ~
s, Geschwindigkeit ~
v, Beschleunigung ~
a, Kraft F
~, Elektrische Feldstärke E
~, Magnetische Flussdichte
~
p, Drehmoment M
~
&
(magnetische Induktion) B
In den Anwendungen wird noch zwischen freien, linienflüchtigen und gebundenen Vektoren unterschieden:
1. Freie Vektoren dürfen beliebig parallel zu sich selbst verschoben werden.
2. Linienflüchtige Vektoren sind längs ihrer Wirkungslinie beliebig verschiebbar (z. B.
Kräfte, die an einem starren Körper angreifen).
3. Gebundene Vektoren werden von einem festen Punkt aus abgetragen. Beispiele hierfür
sind der Ortsvektor ~
r eines ebenen oder räumlichen Punktes, der vom Koordinaten~, der jedem
ursprung aus abgetragen wird, und der elektrische Feldstärkevektor E
Punkt eines elektrischen Feldes zugeordnet wird.
Spezielle Vektoren
Nullvektor ~
0:
Jeder Vektor vom Betrag Null, j ~
0 j ¼ 0, heißt Nullvektor
(für ihn lässt sich keine Richtung angeben, da Anfangs- und
Endpunkt zusammenfallen).
Einheitsvektor ~
e:
Jeder Vektor vom Betrag Eins, j~
e j ¼ 1, wird als Einheitsvektor oder Einsvektor bezeichnet.
!
Ortsvektor ~
r ðPÞ ¼ OP : Er führt vom Koordinatenursprung O zum Punkt P .
1.2 Gleichheit von Vektoren
Definition: Zwei Vektoren ~
a und b~ werden als gleich betrachtet, ~
a ¼ b~, wenn
sie in Betrag und Richtung übereinstimmen (Bild II-3).
a
b
Bild II-3 Zum Begriff der Gleichheit zweier Vektoren
Vektoren sind demnach gleich, wenn sie durch Parallelverschiebung ineinander überführbar sind. Diese Art von Vektoren bezeichnet man als freie Vektoren. Im weiteren Verlauf
der Vektorrechnung wollen wir uns ausschließlich mit den Eigenschaften und den Rechenoperationen dieser Vektorklasse auseinandersetzen.
1 Grundbegriffe
&
47
Beispiel
a 2, ~
a 3 und ~
a 4 lässt sich durch ParallelJeder der in Bild II-4 skizzierten Vektoren ~
a 1, ~
verschiebung in den Vektor ~
a überführen. Sie werden daher verabredungsgemäß als
gleich angesehen: ~
a1 ¼ ~
a2 ¼ ~
a3 ¼ ~
a4 ¼ ~
a.
a
a1
a2
a4
a3
Bild II-4
&
1.3 Parallele, antiparallele und kollineare Vektoren
Definitionen: (1) Zwei Vektoren ~
a und b~ mit gleicher Richtung (Orientierung)
heißen zueinander parallel (Bild II-5). Sie werden durch das
Symbol
~
a " " b~
gekennzeichnet.
(2) Besitzen zwei Vektoren ~
a und b~ entgegengesetzte Richtung
(Orientierung), so werden sie als zueinander antiparallel bezeichnet (Bild II-6). Symbolische Schreibweise:
~
a " # b~
Anmerkung
Parallele Vektoren werden auch als gleichsinnig parallel, antiparallele Vektoren auch
als gegensinnig parallel bezeichnet.
b
a
a
Bild II-5
Parallele Vektoren
b
Bild II-6
Antiparallele Vektoren
48
II Vektoralgebra
Vektoren, die zueinander parallel oder antiparallel orientiert sind, lassen sich stets durch
Parallelverschiebung in eine gemeinsame Linie (Wirkungslinie) bringen und heißen daher auch kollinear.
Inverser Vektor oder Gegenvektor
Wir betrachten nun einen beliebigen Vektor ~
a . Den zu ~
a antiparallelen Vektor gleicher
Länge bezeichnen wir als inversen Vektor (auch Gegenvektor genannt) und kennzeichnen
ihn durch das Symbol ~
a (Bild II-7). Der inverse Vektor ~
a entsteht also aus ~
a
durch Richtungsumkehr.
a
Bild II-7
Vektor und Gegenvektor (inverser Vektor)
–a
Inverser Vektor oder Gegenvektor (Bild II-7)
Der zu einem Vektor ~
a gehörende inverse Vektor oder Gegenvektor ~
a besitzt
den gleichen Betrag wie der Vektor ~
a, jedoch die entgegengesetzte Richtung.
&
Beispiel
~ belasEine elastische Schraubenfeder wird durch ein Gewicht G
tet und gedehnt (Bild II-8). Im Gleichgewichtszustand wird die
~ durch die Rückstellkraft F
~ der Feder kompenGewichtskraft G
~ inverse Vektor, d. h. es gilt
~ ist der zu G
siert. Der Vektor F
~
~ ¼ G
F
F
(sog. Kräftegleichgewicht).
G
Bild II-8 Kräftegleichgewicht bei einer belasteten elastischen Schraubenfeder
&
1.4 Vektoroperationen
Wir beschäftigen uns in diesem Abschnitt mit den elementaren Vektoroperationen. Dazu
zählen wir:
Addition von Vektoren
Subtraktion von Vektoren
Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl (einem Skalar)
1 Grundbegriffe
49
1.4.1 Addition von Vektoren
Aus der Mechanik ist bekannt, dass man zwei am gleichen Massenpunkt angreifende
~1 und F
~2 zu einer resultierenden Kraft F
~R zusammenfassen kann, die die gleiKräfte F
che physikalische Wirkung erzielt wie die beiden Einzelkräfte zusammen. Die Resultierende erhält man dabei durch eine geometrische Konstruktion, die unter der Bezeichnung
Parallelogrammregel (Kräfteparallelogramm) bekannt ist und in Bild II-9 näher erläutert
wird. Diese Regel stellt eine Anwendung einer allgemeinen Vorschrift dar, die aus zwei
Vektoren ~
a und b~ einen neuen Vektor erzeugt, der als Summenvektor ~
s ¼ ~
a þ b~
bezeichnet wird.
F2
FR
Bild II-9
~R ist die Resultierende
Kräfteparallelogramm: F
~2
~1 und F
aus F
F1
Wir definieren die Addition zweier Vektoren wie folgt:
Definition: Zwei Vektoren ~
a und b~ werden nach der folgenden Vorschrift geometrisch addiert (Bild II-10):
1. Der Vektor b~ wird parallel zu sich selbst verschoben, bis sein
Anfangspunkt in den Endpunkt des Vektors ~
a fällt.
2. Der vom Anfangspunkt des Vektors ~
a zum Endpunkt des verschobenen Vektors b~ gerichtete Vektor ist der Summenvektor
~
s ¼~
a þ b~.
b
b
a
a
s=
a+
b
b
a
Bild II-10 Zur geometrischen Addition zweier Vektoren
Der Summenvektor ~
s ¼ ~
a þ b~ lässt sich auch als gerichtete Diagonale in dem aus den
Vektoren ~
a und b~ konstruierten Parallelogramm nach Bild II-11 gewinnen.
50
II Vektoralgebra
b
s=
a+
b
Bild II-11
Summenvektor ~
s ¼~
a þ b~ als gerichtete Diagonale
im Parallelogramm
a
Die Addition von Vektoren unterliegt dabei den folgenden Rechenregeln:
~
a þ b~ ¼ b~ þ ~
a
ðII-1Þ
~
a þ ðb~ þ ~
c Þ ¼ ð~
a þ b~Þ þ ~
c
ðII-2Þ
Kommutativgesetz
Assoziativgesetz
Die Summe aus mehr als zwei Vektoren wird gebildet, indem man in der bekannten
Weise Vektor an Vektor setzt. Dies lässt sich durch Parallelverschiebung stets erreichen.
Das Ergebnis dieser Konstruktion ist ein sog. Vektorpolygon (Bild II-12). Der Summenvektor (in den Anwendungen meist „ Resultierende “ genannt) ist derjenige Vektor, der
vom Anfangspunkt des ersten Vektors zum Endpunkt des letzten Vektors führt.
letzter Vektor
3. Vektor
Bild II-12
Zur Konstruktion eines
Summenvektors (Vektorpolygon)
Summenvektor
2. Vektor
1. Vektor
~2 und F
~3 , die in einem Massen~1 , F
In Bild II-13 wird die Addition dreier Kräfte F
~R Schritt für Schritt vollzogen.
punkt angreifen, zu einem resultierenden Kraftvektor F
F3
F3
FR
F3
F2
F1
F1
F2
F1
F2
Bild II-13 Vektorielle Addition dreier Kräfte, die in einem Massenpunkt angreifen
Ist das Vektorpolygon in sich geschlossen, so ist der Summenvektor der Nullvektor. In
der physikalischen Realität bedeutet dies stets, dass sich die Vektoren in ihrer Wirkung
gegenseitig aufheben.
1 Grundbegriffe
51
1.4.2 Subtraktion von Vektoren
Die Subtraktion zweier Vektoren lässt sich wie bei den reellen Zahlen als Umkehrung
der Addition auffassen und damit auf die Addition zweier Vektoren zurückführen:
Definition: Unter dem Differenzvektor d~ ¼ ~
a b~ zweier Vektoren ~
a und b~
~
verstehen wir den Summenvektor aus ~
a und b, wobei b~ der zu
~
b inverse Vektor ist:
d~ ¼ ~
a b~ ¼ ~
a þ ð b~Þ
ðII-3Þ
Anmerkung
Der Differenzvektor d~ ¼ ~
a b~ ist also die Summe aus dem Vektor ~
a und dem Ge~
genvektor von b .
Die Konstruktion des Differenzvektors erfolgt daher nach der folgenden Vorschrift:
Konstruktion des Differenzvektors d~ ¼ ~
a b~ (Bild II-14)
1. Der Vektor b~ wird zunächst in seiner Richtung umgekehrt: Dies führt zu dem
inversen Vektor b~.
2. Dann wird der Vektor b~ parallel zu sich selbst verschoben, bis sein Anfangspunkt in den Endpunkt des Vektors ~
a fällt.
3. Der vom Anfangspunkt des Vektors ~
a zum Endpunkt des Vektors b~ gerichtete Vektor ist der gesuchte Differenzvektor d~ ¼ ~
a b~.
b
b
a
a
a
–b
d=
a–
b
–b
Bild II-14 Zur Subtraktion zweier Vektoren
Der Differenzvektor d~ ¼ ~
a b~ lässt sich auch mit Hilfe der Parallelogrammregel
konstruieren. In Bild II-15 wird diese geometrische Konstruktion näher erläutert.
b
d=
a–
b
a
Bild II-15
Differenzvektor d~ ¼ ~
a b~ als gerichtete Diagonale
im Parallelogramm
52
II Vektoralgebra
Parallelogrammregel für die Addition und Subtraktion zweier Vektoren
Summenvektor ~
s ¼~
a þ b~ und Differenzvektor d~ ¼ ~
a b~ lassen sich geometrisch als gerichtete Diagonalen eines Parallelogramms konstruieren, das von
den beiden Vektoren ~
a und b~ aufgespannt wird. Die Konstruktion des Summenbzw. Differenzvektors wird in Bild II-16 näher erläutert.
b
s
~
s ¼~
a þ b~
d~ ¼ ~
a b~
d
a
Bild II-16 Zur Parallelogrammregel
1.4.3 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Definition: Durch Multiplikation eines Vektors ~
a mit einer reellen Zahl (einem
Skalar) l entsteht ein neuer Vektor b~ ¼ l ~
a mit den folgenden Eigenschaften (Bild II-17):
1. Der Betrag von b~ ist das j l j-fache des Betrages von ~
a:
j b~j ¼ j l ~
a j ¼ j l j j~
aj
ðII-4Þ
2. Der Vektor b~ ist parallel oder antiparallel zu ~
a orientiert:
l > 0:
b~ " " ~
a
ðBild II-17 aÞÞ
l < 0:
b~ " # ~
a
ðBild II-17 bÞÞ
Für l ¼ 0 erhält man den Nullvektor ~
0.
la
a
a
la
a) l > 0
b) l < 0
Bild II-17 Zur Multiplikation eines Vektors ~
a mit einem Skalar l
1 Grundbegriffe
53
Anmerkungen
(1)
(2)
(3)
Die Vektoren l ~
a und ~
a sind kollinear.
Die Multiplikation eines Vektors mit einer negativen Zahl bewirkt stets eine Richtungsumkehr des Vektors (siehe hierzu Bild II-17 b)).
Die Division eines Vektors ~
a durch einen Skalar m 6¼ 0 entspricht einer Multiplikation von ~
a mit dem Kehrwert l ¼ 1=m .
Rechenregeln ðl 2 R; m 2 RÞ
&
l ð~
a þ b~Þ ¼ l ~
a þ l b~
ðII-5Þ
ðl þ mÞ ~
a ¼ l~
a þ m~
a
ðII-6Þ
ðl mÞ ~
a ¼ l ðm ~
aÞ ¼ m ðl ~
aÞ
ðII-7Þ
j l~
a j ¼ j l j j~
aj
ðII-8Þ
Beispiele
(1)
Wir multiplizieren den Vektor ~
a der Reihe nach mit den Skalaren 2, 1,5 und
4 (Bild II-18):
2~
a:
2~
a "" ~
a,
1,5 ~
a:
1,5 ~
a "# ~
a,
4~
a:
4~
a "" ~
a,
j 2~
aj ¼
2 j~
aj ¼
2a
j 1,5 ~
a j ¼ 1,5 j ~
a j ¼ 1,5 a
j 4~
aj ¼
4 j~
aj ¼
4a
a
2a
4a
–1,5 a
Bild II-18
Zur Multiplikation eines Vektors
mit einem Skalar
(2)
Beispiele aus Physik und Technik:
(a)
Kraft, Masse und Beschleunigung sind durch die Newtonsche Bewegungsglei~ ¼ m~
chung F
a miteinander verknüpft:
~ "" ~
F
a ðwegen m > 0Þ,
(b)
~j ¼ m j ~
jF
a j , d: h:
F ¼ ma
Impuls: ~
p ¼ m~
v (Impuls = Masse mal Geschwindigkeit)
~
p "" ~
v ðwegen m > 0Þ,
j~
p j ¼ m j~
vj,
d: h:
p ¼ mv
54
II Vektoralgebra
(c)
Ein geladenes Teilchen (Ladung q) erfährt in einem elektrischen Feld der Feld~ eine Kraft F
~ ¼ qE
~ in Richtung des Feldes (bei positiver Ladung)
stärke E
oder in die dem Feld entgegengesetzte Richtung (bei negativer Ladung wie etwa
bei Elektronen):
q > 0:
~ "" E
~,
F
~j ¼ q j E
~j , d: h:
jF
q < 0:
~ "# E
~,
F
~j ¼ j q j j E
~j , d: h:
jF
F ¼ qE
F ¼ qE
&
2 Vektorrechnung in der Ebene
Besonders anschaulich und übersichtlich ist die Vektorrechnung in der Ebene. Wir beschränken uns daher zunächst aus rein didaktischen Gründen auf die Darstellung der
Vektoren und ihrer Rechenoperationen in der Ebene, wobei ein rechtwinkliges (kartesisches) Koordinatensystem zugrundegelegt wird.
2.1 Komponentendarstellung eines Vektors
Das Koordinatensystem legen wir durch zwei aufeinander senkrecht stehende Einheitsvektoren ~
e x und ~
e y fest, die in diesem Zusammenhang auch als Basisvektoren bezeichnet werden (Bild II-19). Sie bestimmen Richtung und Maßstab der Koordinatenachsen.
y
y
P
ay
ey
a
ey
ex
x
Bild II-19 Festlegung eines ebenen rechtwinkligen Koordinatensystems durch zwei
Einheitsvektoren (Basisvektoren)
ex
ax
x
Bild II-20 Zerlegung eines Vektors in
Komponenten
Wir betrachten nun einen im Nullpunkt „ angebundenen “ Vektor ~
a . Die Projektionen
a y bedieses Vektors auf die beiden Koordinatenachsen führen zu den mit ~
a x und ~
zeichneten Vektoren (Bild II-20). Der Vektor ~
a ist dann als Summenvektor aus ~
a x und
~
a y darstellbar:
~
ay
a ¼ ~
ax þ ~
ðII-9Þ
2 Vektorrechnung in der Ebene
55
Die durch Projektion entstandenen Vektoren ~
a x und ~
a y werden als Vektorkomponenten
von ~
a bezeichnet. Sie lassen sich durch die Einheitsvektoren ~
e x und ~
e y wie folgt
ausdrücken:
~
ax ¼ ax ~
ex ,
~
ay ¼ ay~
ey
ðII-10Þ
(~
a x und ~
e x sind kollineare Vektoren, ebenso ~
a y und ~
e y ). Für den Vektor ~
a erhält
man somit die Darstellung
~
ay ¼ ax ~
a ¼~
ax þ ~
ex þ ay~
ey
ðII-11Þ
a. Sie werden
Die skalaren Größen a x und a y sind die sog. Vektorkoordinaten von ~
auch als skalare Vektorkomponenten bezeichnet und stimmen mit den Koordinaten des
Vektorendpunktes P überein, wenn der Vektor (wie hier) vom Nullpunkt aus abgetragen
wird ( ~
a ist dann der Ortsvektor von P). Die in Gleichung (II-11) angegebene Zerlegung
heißt Komponentendarstellung des Vektors ~
a. Bei fester Basis ~
e x, ~
e y ist der Vektor ~
a
in umkehrbar eindeutiger Weise durch die Vektorkoordinaten a x und a y bestimmt.
Daher schreibt man verkürzt in symbolischer Form
ax
~
ðII-12Þ
a ¼ ax~
ex þ ay~
ey ¼
ay
ax
als Spaltenvektor. Auch die Schreibweise in Form
und bezeichnet das Symbol
ay
eines Zeilenvektors ða x a y Þ ist grundsätzlich möglich. Wir werden jedoch zur Darstellung von Vektoren ausschließlich Spaltenvektoren verwenden, um Verwechslungen mit
Punkten zu vermeiden. Außerdem lassen sich die Rechenoperationen mit Spaltenvektoren wesentlich übersichtlicher durchführen, wie wir noch sehen werden.
Wir fassen zusammen:
Komponentendarstellung eines Vektors (Bild II-20)
ax
~
a ¼~
ax þ ~
ay ¼ ax ~
ex þ ay~
ey ¼
ay
ðII-13Þ
Dabei bedeuten:
)
~
ax ¼ ax ~
ex
Vektorkomponenten von ~
a
~
ay ¼ ay~
ey
a x, a y :
ax
:
ay
Vektorkoordinaten (skalare Vektorkomponenten) von ~
a
Spaltenvektor
Anmerkung
Eine Vektorkoordinate wird dabei positiv gezählt, wenn die Projektion des Vektors ~
a
auf die entsprechende Koordinatenachse in die positive Richtung dieser Achse zeigt.
56
II Vektoralgebra
Fällt der Projektionsvektor jedoch in die Gegenrichtung, d. h. in die negative Richtung
der Koordinatenachse, so ist die entsprechende Vektorkoordinate negativ.
Ist der Vektor ~
a durch den Anfangspunkt P 1 ¼ ðx 1 ; y 1 Þ und den Endpunkt
P 2 ¼ ðx 2 ; y 2 Þ gegeben, so lautet seine Komponentendarstellung wie folgt (Bild II-21):
P2
y
a=
P
P2
1
ay
ax ¼ x2 x1
y2
P1
ay ¼ y2 y1
ax
y1
Bild II-21
x1
x2
x
Komponentendarstellung eines durch zwei Punkte festgelegten Vektors (Bild II-21)
!
x2 x1
~
ðII-14Þ
e x þ ðy 2 y 1 Þ ~
ey ¼
a ¼ P 1 P 2 ¼ ðx 2 x 1 Þ ~
y2 y1
Dabei bedeuten:
!
a ¼ P1 P2
P 1 ¼ ðx 1 ; y 1 Þ: Anfangspunkt des Vektors ~
!
P 2 ¼ ðx 2 ; y 2 Þ: Endpunkt des Vektors ~
a ¼ P1 P2
Komponentendarstellung spezieller Vektoren
!
Der vom Koordinatenursprung zum Punkt P ¼ ðx; yÞ führende Ortsvektor ~
r ðPÞ ¼ O P
besitzt nach Bild II-22 die Komponentendarstellung
!
x
~
r ðPÞ ¼ O P ¼ x ~
e x þ y~
ey ¼
ðII-15Þ
y
y
r(
P)
P = (x;y)
y
ey
Bild II-22
Ortsvektor eines Punktes
ex
x
x
2 Vektorrechnung in der Ebene
57
Die Komponentendarstellung der Basisvektoren (Einheitsvektoren) ~
e x und ~
e y lautet:
1
0
~
~
,
e y ¼ 0~
ðII-16Þ
e x þ 0~
ey ¼
e x þ 1~
ey ¼
e x ¼ 1~
0
1
Der Nullvektor ~
0 hat die Gestalt
0
~
ey ¼
0 ¼ 0~
e x þ 0~
0
ðII-17Þ
Betrag eines Vektors
Den Betrag eines Vektors ~
a erhält man unmittelbar aus dem Satz des Pythagoras nach
Bild II-23:
Betrag eines Vektors (Bild II-23)
y
a
j~
aj ¼ a ¼
|a|
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
a 2x þ a 2y
ðII-18Þ
ay
Bild II-23
ax
x
Gleichheit von Vektoren
Zwei Vektoren ~
a und b~ sind genau dann gleich, wenn sie in ihren entsprechenden
Vektorkoordinaten übereinstimmen:
~
a ¼ b~
ax ¼ bx , ay ¼ by
ðII-19Þ
Beispiele
Der Ortsvektor des Punktes P ¼ ð6; 8Þ lautet (Bild II-24):
!
6
~
ey ¼
r ðPÞ ¼ O P ¼ 6~
e x þ 8~
8
Sein Betrag ist
y
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
j~
r ðPÞ j ¼ r ðPÞ ¼
6 2 þ 8 2 ¼ 10
P = (6;8)
P)
(1)
r(
&
,
8
Bild II-24
0
6
x
58
II Vektoralgebra
(2)
!
Der von P 1 ¼ ð2; 4Þ nach P 2 ¼ ð 4; 1Þ gerichtete Vektor ~
a ¼ P 1 P 2 besitzt
die folgende Komponentendarstellung (Bild II-25):
ax ¼ x2 x1 ¼ 4 2 ¼ 6
ay ¼ y2 y1 ¼ 1 4 ¼ 3
6
!
~
e x 3~
ey ¼
a ¼ P 1 P 2 ¼ 6~
3
y
P1
P1
P2
P2
4
1
Bild II-25
–4
2
x
Sein Betrag ist
!
j~
a j ¼ j P1 P2 j ¼
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð 6Þ 2 þ ð 3Þ 2 ¼ 45 ¼ 6,71
&
2.2 Darstellung der Vektoroperationen
2.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Die Multiplikation eines Vektors ~
a mit einer reellen Zahl (einem Skalar) l erfolgt
komponentenweise, d. h. jede Vektorkoordinate wird mit l multipliziert.
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Die Multiplikation eines Vektors ~
a mit einem Skalar l erfolgt komponentenweise:
l ax
ax
¼
ðII-20Þ
l~
a ¼ l
ay
l ay
Anmerkung
Umgekehrt gilt: Besitzen die skalaren Vektorkomponenten einen gemeinsamen Faktor,
so darf dieser vor den Spaltenvektor gezogen werden.
2 Vektorrechnung in der Ebene
&
Beispiele
ey ¼
(1) ~
a ¼ 4~
e x 3~
59
4
3
Wir multiplizieren diesen Vektor der Reihe nach mit den Skalaren l 1 ¼ 6 und
l 2 ¼ 10 und erhalten die folgenden Vektoren:
4
24
6~
a ¼ 6
¼
¼ 24~
e x 18~
ey
3
18
4
40
10 ~
a ¼ 10
¼
¼ 40~
e x þ 30~
ey
3
30
Dabei gilt:
6~
a "" ~
a
(2)
10 ~
a "# ~
a
und
~ mit den skalaren VekZulässige Schreibweisen für einen (ebenen) Kraftvektor F
torkomponenten (Kraftkomponenten) Fx ¼ 15 N und Fy ¼ 6 N sind (die Maßeinheit wird dabei wie ein Skalar behandelt):
~ ¼ ð15 NÞ ~
ey ¼
F
e x þ ð6 NÞ ~
15 N
6N
¼
15
6
N
&
2.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren
Aus Bild II-26 folgt unmittelbar, dass die Addition zweier Vektoren ~
a und b~ komponentenweise geschieht:
~
a þ b~ ¼
ax
þ
ay
bx
¼
by
ax þ bx
ðII-21Þ
ay þ by
y
a+
b
b
by
ay + by
a
ax
bx
ax + bx
Bild II-26
Zur komponentenweisen Addition
zweier Vektoren
ay
x
60
II Vektoralgebra
Dies gilt auch für die Subtraktion zweier Vektoren:
bx
ax
bx
ax bx
ax
~
¼
þ
¼
a b~ ¼
ay
by
ay
by
ay by
ðII-22Þ
Addition und Subtraktion zweier Vektoren (Bild II-26)
Zwei Vektoren ~
a und b~ werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert:
bx
ax bx
ax
~
¼
ðII-23Þ
a b~ ¼
ay
by
ay by
Anmerkung
Diese Regel gilt sinngemäß auch für endlich viele Vektoren.
&
Beispiele
(1)
2
1
3
, b~ ¼
und ~
c ¼
soll der
3
5
2
Vektor ~
s ¼ ~
a þ 2 b~ 5~
c berechnet werden. Welchen Betrag besitzt dieser Vektor?
Mit den Spaltenvektoren ~
a ¼
Lösung:
3
2
1
5
¼
þ2
2
3
5
15
15
2 2 15
2
2
¼
¼
þ
þ
¼
3
3 þ 10 10
10
10
3
~
s ¼ ~
a þ 2 b~ 5~
c ¼
j~
sj ¼
(2)
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð 15Þ 2 þ ð 3Þ 2 ¼ 234 ¼ 15,3
~1 ¼
F
4N
,
5N
Die an einem Massenpunkt gleichzeitig angreifenden Kräfte
~3 ¼ 4 N
~2 ¼ 2 N
und F
können durch die folgende resultierende
F
3N
1N
~R ersetzt werden:
Kraft F
~1 þ F
~2 þ F
~3 ¼
~R ¼ F
F
4N 2N þ 4N
4N
2 N
4N
¼
¼
þ
þ
¼
5N þ 3N þ 1N
1N
3N
5N
¼
6N
9N
6
N
¼
9
2 Vektorrechnung in der Ebene
(3)
61
Schiefer Wurf : Ein Körper wird unter dem Winkel a (gemessen gegen die Horizontale) mit einer Geschwindigkeit vom Betrage v 0 abgeworfen (Bild II-27). Wie
lautet die Komponentendarstellung des Geschwindigkeitsvektors ~
v 0?
Lösung:
y
~
v0 ¼ v0x ~
ex þ v0y~
ey ¼
v0
v0x
v0y
v0
v 0y
a
Bild II-27
v 0x
x
Aus dem rechtwinkligen Dreieck in Bild II-27 folgt unmittelbar:
v0x
v0
v0y
sin a ¼
v0
cos a ¼
)
v 0 x ¼ v 0 cos a
)
v 0 y ¼ v 0 sin a
Damit besitzt der Geschwindigkeitsvektor ~
v 0 die folgende Komponentendarstellung:
v0x
v 0 cos a
cos a
~
¼ v0
¼
v0 ¼
&
v0y
v 0 sin a
sin a
2.3 Skalarprodukt zweier Vektoren
2.3.1 Definition und Berechnung eines Skalarproduktes
Als weitere Vektoroperation führen wir die skalare Multiplikation zweier Vektoren ein.
Sie erzeugt aus den Vektoren ~
a und b~ einen Skalar, also eine reelle Zahl, das sog.
~
Skalarprodukt ~
a b (gelesen: a Punkt b). In den Anwendungen treten Skalarprodukte
z. B. im Zusammenhang mit den folgenden Größen auf:
Arbeit einer Kraft beim Verschieben einer Masse
Spannung (Potentialdifferenz) zwischen zwei Punkten eines elektrischen Feldes
Winkelberechnung zwischen zwei Kräften oder in ebenen geometrischen Figuren
(z. B. in Dreiecken)
62
II Vektoralgebra
Das Skalarprodukt wird wie folgt definiert:
Definition: Unter dem Skalarprodukt ~
a b~ zweier Vektoren ~
a und b~ wird das
Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des
von den Vektoren eingeschlossenen Winkels j verstanden (Bild II-28):
~
a b~ ¼ j ~
a j j b~j cos j ¼ a b cos j
ðII-24Þ
ð0 j 180 Þ
b
Bild II-28
Zum Begriff des Skalarproduktes zweier Vektoren
f
a
Anmerkungen
(1)
Das Skalarprodukt ist eine skalare Größe und wird auch als inneres Produkt der
Vektoren ~
a und b~ bezeichnet.
(2)
Man beachte, dass der in der Definitionsformel (II-24) des Skalarproduktes auftretende Winkel j stets der kleinere der beiden Winkel ist, den die Vektoren ~
a und
b~ miteinander bilden.
Rechenregeln für Skalarprodukte
Die Skalarproduktbildung ist sowohl kommutativ als auch distributiv:
Kommutativgesetz
~
a b~ ¼ b~ ~
a
ðII-25Þ
Distributivgesetz
~
a ðb~ þ ~
cÞ ¼ ~
a b~ þ ~
a~
c
ðII-26Þ
Ferner gilt für einen beliebigen reellen Skalar l:
l ð~
a b~Þ ¼ ðl ~
aÞ b~ ¼ ~
a ðl b~Þ
ðII-27Þ
Orthogonale Vektoren
a b~ zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren kann nur verDas Skalarprodukt ~
schwinden, wenn cos j ¼ 0, d. h. j ¼ 90 ist. In diesem Fall stehen die Vektoren
aufeinander senkrecht (sog. orthogonale Vektoren, siehe hierzu Bild II-29).
b
a·b=0
Bild II-29
Orthogonale Vektoren
a
2 Vektorrechnung in der Ebene
63
Orthogonale Vektoren (Bild II-29)
Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren ~
a und b~ stehen genau dann aufeinander senkrecht, sind also orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt verschwindet:
~
a b~ ¼ 0
~
a ? b~
,
ðII-28Þ
Die Bedingung der Orthogonalität erfüllen beispielsweise die Einheitsvektoren (Basisey:
vektoren) ~
e x und ~
~
ey ¼ ~
ey ~
ex ¼ 0
ex ~
ðII-29Þ
Das skalare Produkt eines Vektors ~
a mit sich selbst führt zu
~
a~
a ¼ j~
a j j~
a j cos 0 ¼ j ~
a j j~
a j 1 ¼ j~
a j2 ¼ a2 0
ðII-30Þ
Der Betrag eines Vektors ~
a kann daher aus dem Skalarprodukt ~
a~
a berechnet werden:
j~
aj ¼ a ¼
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
~
a~
a
ðII-31Þ
So erhält man beispielsweise für die Einheitsvektoren (Basisvektoren) ~
e x und ~
ey:
~
e x ¼ j~
e x j 2 ¼ 1,
ex ~
~
ey ~
e y ¼ j~
ey j2 ¼ 1
ðII-32Þ
Berechnung eines Skalarproduktes aus den skalaren Vektorkomponenten
(Vektorkoordinaten)
Das skalare Produkt zweier Vektoren ~
a ¼ ax~
ex þ ay~
e y und b~ ¼ b x ~
ex þ by~
e y lässt
sich auch direkt aus den Vektorkoordinaten (skalaren Vektorkomponenten) der beiden
Vektoren wie folgt berechnen (wir verwenden dabei die Rechenregeln (II-26) und
(II-27)):
~
ex þ ay~
e y Þ ðb x ~
ex þ by~
e yÞ ¼
a b~ ¼ ða x ~
ex ~
e x Þ þ a x b y ð~
ex ~
e y Þ þ a y b x ð~
ey ~
e x Þ þ a y b y ð~
ey ~
e yÞ ¼
¼ a x b x ð~
|ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ}
1
0
0
1
¼ ax bx þ ay by
ðII-33Þ
In der Praxis verwenden wir für die Skalarproduktbildung das folgende Rechenschema:
~
a b~ ¼
ax
ay
bx
by
¼ ax bx þ ay by
ðII-34Þ
64
II Vektoralgebra
Wir fassen diese Ergebnisse wie folgt zusammen:
Berechnung eines Skalarproduktes aus den skalaren Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) der beteiligten Vektoren
Das Skalarprodukt ~
a b~ zweier Vektoren ~
a und b~ lässt sich aus den skalaren
Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) der beiden Vektoren wie folgt berechnen:
bx
ax
~
~
¼ ax bx þ ay by
ðII-35Þ
ab ¼
ay
by
Regel: Komponentenweise Multiplikation, anschließende Addition der Produkte.
Die Berechnung eines Skalarproduktes kann somit grundsätzlich auf zwei verschiedene
Arten erfolgen: Entweder nach der Definitionsformel (II-24), wenn die Beträge der beiden Vektoren sowie der von ihnen eingeschlossene Winkel bekannt sind oder über die
skalaren Vektorkomponenten nach Formel (II-35), wenn beide Vektoren als Spaltenvektoren vorliegen:
~
a b~ ¼ j ~
a j j b~j cos j ¼ a x b x þ a y b y
&
ðII-36Þ
Beispiele
(1)
(2)
1
3
:
und b~ ¼
Wir berechnen das Skalarprodukt der Vektoren ~
a ¼
5
2
1
3
~
¼ 3 ð 1Þ þ 2 5 ¼ 3 þ 10 ¼ 7
a b~ ¼
5
2
1
1
sind orthogonal, d. h. sie stehen aufund b~ ¼
1
1
einander senkrecht, da ihr skalares Produkt verschwindet:
Die Vektoren ~
a ¼
~
a b~ ¼
1
1
¼ 1 ð 1Þ þ 1 1 ¼ 1 þ 1 ¼ 0
1
1
&
2.3.2 Winkel zwischen zwei Vektoren
Bei der Berechnung des von zwei Vektoren ~
a und b~ eingeschlossenen Winkels j
wird von der Gleichung (II-36) Gebrauch gemacht, die zunächst nach cos j aufgelöst
wird:
cos j ¼
~
ax bx þ ay by
a b~
¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2
j~
a j j b~ j
a x þ a 2y b 2x þ b 2y
ðII-37Þ
2 Vektorrechnung in der Ebene
65
Durch Umkehrung 1) folgt schließlich:
Winkel zwischen zwei Vektoren (Bild II-28)
Der von den Vektoren ~
a und b~ eingeschlossene Winkel j lässt sich wie folgt
berechnen:
!
~
a b~
j ¼ arccos
ð~
a 6¼ ~
0, b~ 6¼ ~
0Þ
ðII-38Þ
j~
a j j b~ j
Anmerkung
Aus dem Vorzeichen des Skalarproduktes ~
a b~ lassen sich bereits Rückschlüsse auf
den Winkel j zwischen den Vektoren ~
a und b~ ziehen (Bild II-30):
~
a b~ > 0
~
a b~ ¼ 0
~
a b~ < 0
)
j < 90
(spitzer Winkel; Bild II-30a))
)
j ¼ 90
(rechter Winkel; Bild II-30b))
)
b
j > 90
(stumpfer Winkel; Bild II-30c))
b
b
f < 90°
f = 90°
f
f > 90°
f
f
a
a) ~
a b~ > 0
a
b) ~
a b~ ¼ 0
a
c) ~
a b~ < 0
Bild II-30 Winkel zwischen zwei vom Nullvektor verschiedenen Vektoren
&
Beispiele
(1)
Welche Winkel bildet der Vektor ~
a ¼
(Bild II-31)?
2
mit den beiden Koordinatenachsen
1
y
2
ey
a
1
b
a
Bild II-31
ex
1)
x
Die Auflösung der Gleichung (II-37) nach dem unbekannten Winkel j führt auf die Umkehrfunktion der
Kosinusfunktion, die als Arkuskosinusfunktion bezeichnet und im nächsten Kapitel (Kap. III, Abschnitt 10.3)
noch ausführlich behandelt wird.
66
II Vektoralgebra
Lösung: Die gesuchten Winkel a und b sind nach Bild II-31 genau die Winkel,
die der Vektor ~
a mit den beiden Einheitsvektoren ~
e x und ~
e y einschließt. Sie
lassen sich daher über die Skalarprodukte des Vektors ~
a mit diesen Einheitsvektoren bestimmen. Es gilt nämlich:
~
a~
ex ¼ j~
a j j~
e x j cos a
)
cos a ¼
~
a~
ex
j~
a j j~
ex j
~
a j j~
e y j cos b
a~
ey ¼ j~
)
cos b ¼
~
a~
ey
j~
a j j~
ey j
Wir berechnen zunächst die in diesen Bestimmungsgleichungen für a und b auftretenden Skalarprodukte und Beträge:
1
2
~
¼ 2,
a~
ex ¼
0
1
j~
aj ¼
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
22 þ 12 ¼ 5 ,
0
2
~
a~
ey ¼
¼ 1
1
1
ey j ¼ 1
j~
e x j ¼ j~
Damit erhalten wir:
cos a ¼
~
2
a~
ex
¼ pﬃﬃﬃﬃﬃ
j~
a j j~
ex j
5
)
cos b ¼
~
1
a~
ey
¼ pﬃﬃﬃﬃﬃ
j~
a j j~
ey j
5
)
2
pﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 26,6
5
1
b ¼ arcccos pﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 63,4
5
a ¼ arcccos
Kontrolle: Es ist (wie erwartet) a þ b ¼ 90 .
(2)
4
und
Wir interessieren uns für den Winkel j zwischen den Vektoren ~
a ¼
3
3
(siehe Bild II-32).
b~ ¼
2
y
a
3
b
2
≈ 110°
Bild II-32
–3
4
x
2 Vektorrechnung in der Ebene
67
Mit
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
j b~j ¼
ð 3Þ 2 þ 2 2 ¼ 13
4 2 þ 3 2 ¼ 25 ¼ 5 ,
4
3
~
~
ab ¼
¼ 12 þ 6 ¼ 6
3
2
j~
aj ¼
erhalten wir nach Formel (II-38) den folgenden Wert:
!
~
6
a b~
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼
¼ arccos
j ¼ arccos
5 13
j~
a j j b~ j
¼ arccos ð 0,3328Þ ¼ 109,4
&
2.4 Linear unabhängige Vektoren
Aus Abschnitt 2.1 ist bekannt: Jeder Vektor ~
a ist in eindeutiger Weise als Linearkombination der Einheitsvektoren ~
e x, ~
e y darstellbar:
~
ex þ ay~
ey
a ¼ ax~
ðII-39Þ
e y bilden dabei eine sog. Basis
(sog. Komponentendarstellung). Die Vektoren ~
e x und ~
der Ebene, erzeugen also einen 2-dimensionalen Raum und werden daher folgerichtig
als Basisvektoren bezeichnet. Grundsätzlich können als Basis zwei beliebige (vom Nullvektor verschiedene) Vektoren ~
e 1, ~
e 2 gewählt werden, sofern sie (wie ~
e x und ~
e y)
nicht kollinear sind, also einen von 0 und 180 verschiedenen Winkel miteinander
einschließen (Bild II-33).
f
a) f = 0°
b) f = 180°
Bild II-33 a) und b) Kollineare Vektoren
c) 0° < f < 180°
c) Nichtkollineare Vektoren
Jeder Vektor ~
a lässt sich dann in eindeutiger Weise als Linearkombination dieser Basisvektoren darstellen:
~
e2
a ¼ l~
e 1 þ m~
ðII-40Þ
Die reellen Zahlen l und m sind dabei die Vektorkoordinaten von ~
a, bezogen auf die
e 2 (Bild II-34).
Basis ~
e 1, ~
68
II Vektoralgebra
a = le 1 + me 2
me 2
e2
Bild II-34
Darstellung eines Vektors ~
a in der Basis ~
e 1, ~
e2
le1
e1
Basisvektoren sind dabei stets linear unabhängig, d. h. die mit ihnen gebildete lineare
Vektorgleichung
l1~
0
e1 þ l2~
e2 ¼ ~
ðII-41Þ
kann nur für l 1 ¼ l 2 ¼ 0 erfüllt werden 2).
&
Beispiel
1
1
und ~
e2 ¼
sind wie man aus Bild II-35 un0
1
mittelbar entnehmen kann nichtkollinear und somit linear unabhängig.
ex ¼
Die Vektoren ~
e1 ¼ ~
y
e2
1
Bild II-35
Linear unabhängige Vektoren
~
e 1, ~
e2
e1
–1
1
x
Wir wollen diese Aussage auf rechnerischem Wege bestätigen. Aus der Vektorgleichung
0
1
1
~
l1~
þ l2
¼
oder
l1
e1 þ l2~
e2 ¼ 0
0
0
1
erhalten wir das homogene lineare Gleichungssystem
1 l1 1 l2 ¼ 0
0 l1 þ 1 l2 ¼ 0
oder
l1 l2 ¼ 0
l2 ¼ 0
e 1 und ~
e 2 sind somit linear
mit der trivialen Lösung l 1 ¼ l 2 ¼ 0. Die Vektoren ~
&
unabhängig.
2)
Die Komponentenschreibweise der Vektorgleichung (II-41) führt zu einem homogenen linearen Gleichungssystem, das nur trivial lösbar ist ðl 1 ¼ l 2 ¼ 0Þ.
2 Vektorrechnung in der Ebene
69
Der Begriff der Linearen Unabhängigkeit von Vektoren lässt sich auch auf Systeme von
k Vektoren ausdehnen.
Definition: Die k Vektoren ~
a 1, ~
a 2, . . . , ~
a k der Ebene heißen linear unabhängig,
wenn die lineare Vektorgleichung
l1 ~
0
a1 þ l2 ~
a2 þ . . . þ lk ~
ak ¼ ~
ðII-42Þ
nur für l 1 ¼ l 2 ¼ . . . ¼ l k ¼ 0 erfüllt werden kann. Verschwinden jedoch nicht alle Koeffizienten in dieser Gleichung, so heißen die
k Vektoren linear abhängig.
Anmerkungen
(1)
Es lässt sich zeigen, dass es in der Ebene maximal zwei linear unabhängige Vektoren gibt (daher stammt auch die Bezeichnung „ 2-dimensionaler “ Raum für die
Ebene), mehr als zwei Vektoren sind immer linear abhängig.
(2)
Die k Vektoren sind linear abhängig, wenn sie den Nullvektor oder kollineare
Vektoren enthalten oder wenn mindestens einer der Vektoren als Linearkombination
der übrigen darstellbar ist.
2.5 Ein Anwendungsbeispiel:
Resultierende eines ebenen Kräftesystems
Wir behandeln ein Problem, das in der Technischen Mechanik von großer Bedeutung ist:
Die vektorielle Addition von mehreren an einem gemeinsamen Massenpunkt angreifenden (ebenen) Kräften zu einer resultierenden Kraft.
Graphische Lösung durch ein Krafteck
~1 ,
Es wird ein Kräfteplan erstellt: Er enthält die n angreifenden Kraftvektoren F
3)
~
~
~
F2 , . . . , Fn in einem geeigneten Kräftemaßstab . Von F1 ausgehend wird zunächst
~2 parallel zu sich verschoben, bis sein Anfangspunkt in den Endpunkt
der Kraftvektor F
~
~3 parallel zu sich selbst und bringen seivon F1 fällt. Anschließend verschieben wir F
~2 zur Deckung. Auf diese Weise wird
nen Anfangspunkt mit dem Endpunkt von F
Kraftvektor an Kraftvektor gereiht und man erhält ein sog. Krafteck (auch Kräftepolygon
~R ist der vom Anfangspunkt des Vektors F
~1 zum
genannt). Die resultierende Kraft F
~n gerichtete Vektor (Bild II-36).
Endpunkt des Vektors F
3)
Der Kräftemaßstab regelt die Umrechnung von der Längen- in die Krafteinheit, z. B. 1 cm ¼
b 100 N.
70
II Vektoralgebra
F n–1
Fn
FR
F5
F4
Bild II-36
Krafteck (Kräftepolygon)
F3
F1
F2
Rechnerische Lösung
~R ist die Vektorsumme aus den n Einzelkräften:
Die resultierende Kraft F
~R ¼ F
~1 þ F
~2 þ . . . þ F
~n
F
&
ðII-43Þ
Beispiel
Wir bestimmen graphisch und rechnerisch die Resultierende des in Bild II-37 skizzierten
Kräftesystems:
y
F 2 = 300 N
F 1 = 500 N
45°
30°
Bild II-37
15°
20°
x
F 4 = 200 N
F 3 = 250 N
a) Graphische Lösung (Bild II-38)
F2
F3
F4
Abgelesene Werte:
FR
FR 370 N
a 61
F1
a
Bild II-38
x
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
71
b) Rechnerische Lösung
Wir berechnen zunächst anhand des Bildes II-37 die x- und y-Komponenten der vier
~R :
Einzelkräfte und daraus dann die Resultierende F
~1 :
F
F1 x ¼ F1 cos 30 ¼ 500 N cos 30 ¼
F1 y ¼ F1 sin 30 ¼ 500 N sin 30 ¼
~2 :
F
F2 x ¼ F2 cos 135 ¼ 300 N cos 135 ¼ 212,1 N
F2 y ¼ F2 sin 135 ¼ 300 N sin 135 ¼ 212,1 N
~3 :
F
F3 x ¼ F3 cos 200 ¼ 250 N cos 200 ¼ 234,9 N
F3 y ¼ F3 sin 200 ¼ 250 N sin 200 ¼ 85,5 N
~4 :
F
F4 x ¼ F4 cos 345 ¼ 200 N cos 345 ¼ 193,2 N
F4 y ¼ F4 sin 345 ¼ 200 N sin 345 ¼ 51,8 N
433 N
250 N
~R :
Resultierende Kraft F
~1 þ F
~2 þ F
~3 þ F
~4 ¼
~R ¼ F
F
179,2 N
193,2 N
234,9 N
212,1 N
433 N
¼
þ
þ
þ
¼
324,8 N
51,8 N
85,5 N
212,1 N
250 N
Wir können die resultierende Kraft aber auch durch ihren Betrag und den in Bild II-38
eingezeichneten Winkel a eindeutig festlegen:
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
~
j FR j ¼
ð179,2 NÞ 2 þ ð324,8 NÞ 2 ¼ 137 607,7 N ¼ 371,0 N
1
179,2 N
~R ~
0
324,8 N
ex
179,2 N
F
¼
¼ 0,4830 )
cos a ¼
¼
~R j j~
371,0 N 1
371,0 N
jF
ex j
a ¼ arccos 0,4830 ¼ 61,1
&
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
Nachdem wir uns in Abschnitt 2 eingehend mit den Vektoren der Ebene und ihren Eigenschaften beschäftigt haben, gehen wir jetzt zur Darstellung von Vektoren im 3-dimensionalen Anschauungsraum (im Folgenden kurz als Raum bezeichnet) über. Hier liegen die
Verhältnisse ganz ähnlich. Zur Festlegung eines Vektors benötigt man jedoch eine weitere
Komponente. Die Rechenoperationen unterliegen dabei den bereits aus der Ebene bekannten Regeln: Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar sowie die Addition
und Subtraktion von Vektoren erfolgen jeweils komponentenweise. Die Definition des
Skalarproduktes zweier Vektoren und die sich daraus ergebenden Eigenschaften behalten
auch im Raum ihre Gültigkeit. Als neue Begriffe werden wir schließlich das aus zwei
Vektoren gebildete Vektorprodukt sowie das aus drei Vektoren gebildete gemischte oder
Spatprodukt einführen.
72
II Vektoralgebra
3.1 Komponentendarstellung eines Vektors
Wir legen der Betrachtung ein rechtshändiges kartesisches Koordinatensystem mit einer
x, y - und z-Achse zugrunde. Es wird durch drei paarweise aufeinander senkrecht stehende Einheitsvektoren ~
e x, ~
e y und ~
e z festgelegt (Bild II-39) 4). Richtung und Maßstab
der Koordinatenachsen sind dadurch eindeutig bestimmt. Daher bezeichnet man die Einheitsvektoren in diesem Zusammenhang auch als Basisvektoren.
z
az
z
az
P
ez
a
ex
ey
ax
y
ay
ay
y
ax
x
x
Bild II-39 Basisvektoren eines räumlichen
rechtwinkligen Koordinatensystems
Bild II-40 Zerlegung eines Vektors
in drei Komponenten
Ein im Nullpunkt „ angebundener “ Vektor ~
a ist dann in der Form
~
a ¼ ~
ax þ ~
ay þ ~
az
ðII-44Þ
a y, ~
a z sind
darstellbar. Die als Vektorkomponenten von ~
a bezeichneten Vektoren ~
a x, ~
die Projektionen des Vektors ~
a auf die einzelnen Koordinatenachsen (Bild II-40). Sie
liegen in Richtung oder in Gegenrichtung des jeweiligen Einheitsvektors. Daher gilt:
~
ex ,
ax ¼ ax ~
~
ay ¼ ay~
ey ,
~
az ¼ az~
ez
ðII-45Þ
Für den Vektor ~
a erhält man somit die Komponentendarstellung
~
ay þ ~
az ¼ ax ~
ex þ ay~
ey þ az~
ez
a ¼ ~
ax þ ~
ðII-46Þ
Die skalaren Größen a x , a y , a z werden als Vektorkoordinaten oder skalare Vektorkomponenten von ~
a bezeichnet. Wird der Vektor ~
a vom Koordinatenursprung aus abgetragen, so stimmen die Vektorkomponenten von ~
a mit den Koordinaten des Vektorendpunktes P überein (~
a ist der Ortsvektor von P). Bei fester Basis ~
e x, ~
e y, ~
e z ist der Vektor ~
a
in umkehrbar eindeutiger Weise durch die drei Vektorkoordinaten a x , a y , a z bestimmt.
4)
Rechtshändiges System (Rechtssystem): Spreizt man Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten
Hand so, dass sie jeweils einen rechten Winkel miteinander bilden, dann zeigen sie der Reihe nach in
Richtung der drei Einheitsvektoren und damit in Richtung der x-, y- und z-Achse. Statt ~
e x, ~
e y, ~
e z sind
auch folgende Symbole üblich: ~
e 1, ~
e 2, ~
e 3 und ~
i, ~
j, k~.
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
73
Es genügt daher die Angabe der skalaren Komponenten in Form eines Spaltenvektors:
0 1
ax
@
~
ðII-47Þ
ex þ ay~
ey þ az~
ez ¼ ay A
a ¼ ax~
az
Von der ebenfalls möglichen Darstellung durch einen Zeilenvektor ða x a y a z Þ werden
wir keinen Gebrauch machen 5Þ .
Komponentendarstellung eines Vektors (Bild II-40)
0
1
ax
~
ay þ ~
az ¼ ax ~
ex þ ay~
ey þ az~
ez ¼ @ ay A
a ¼~
ax þ ~
az
ðII-48Þ
Dabei bedeuten:
9
~
ax ¼ ax ~
ex >
=
~
a
ay ¼ ay~
e y Vektorkomponenten von ~
>
;
~
az ¼ az~
ez
a x, a y, a z :
0 1
ax
@ a y A:
az
Vektorkoordinaten (skalare Vektorkomponenten) von ~
a
Spaltenvektor
Sind Anfangspunkt P 1 ¼ ðx 1 ; y 1 ; z 1 Þ und Endpunkt P 2 ¼ ðx 2 ; y 2 ; z 2 Þ eines Vek!
tors ~
a bekannt, so lautet die Komponentendarstellung von ~
a ¼ P 1 P 2 wie folgt:
Komponentendarstellung eines durch zwei Punkte festgelegten Vektors
0
1
x2 x1
!
~
e x þ ðy 2 y 1 Þ ~
e y þ ðz 2 z 1 Þ ~
ez ¼ @ y2 y1 A
a ¼ P 1 P 2 ¼ ðx 2 x 1 Þ ~
z2 z1
(II-49)
Dabei bedeuten:
!
a ¼ P1 P2
P 1 ¼ ðx 1 ; y 1 ; z 1 Þ: Anfangspunkt des Vektors ~
!
P 2 ¼ ðx 2 ; y 2 ; z 2 Þ: Endpunkt des Vektors ~
a ¼ P1 P2
5)
Mit Spaltenvektoren lässt sich besonders einfach und übersichtlich rechnen (siehe folgende Abschnitte).
74
II Vektoralgebra
Komponentendarstellung spezieller Vektoren
Der Ortsvektor des Punktes P ¼ ðx; y; zÞ lautet:
0 1
x
!
@
~
e y þ z~
ez ¼ y A
r ðPÞ ¼ O P ¼ x ~
e x þ y~
z
ðII-50Þ
Für die drei Basisvektoren (Einheitsvektoren) ~
e x, ~
e y, ~
e z erhält man die folgende Komponentendarstellung:
0 1
0 1
1
0
~
~
e x ¼ 1~
e x þ 0~
e y þ 0~
ez ¼ @ 0 A ,
e y ¼ 0~
e x þ 1~
e y þ 0~
ez ¼ @ 1 A ,
0
0
0 1
0
~
e z ¼ 0~
e x þ 0~
e y þ 1~
ez ¼ @ 0 A
ðII-51Þ
1
Der Nullvektor ~
0 besitzt die Komponentendarstellung
0 1
0
~
e y þ 0~
ez ¼ @ 0 A
0 ¼ 0~
e x þ 0~
ðII-52Þ
0
Betrag eines Vektors
Der Betrag eines Vektors ~
a lässt sich nach Bild II-41 aus dem rechtwinkligen Dreieck
O P 0 P unter (zweimaliger) Verwendung des Satzes von Pythagoras leicht berechnen:
!
j O P j ¼ j~
aj ¼ a
z
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
!
jOP0 j ¼
a 2x þ a 2y
az
!
j P 0 P j ¼ az
a
P
|a|
az
0
ay
y
!
!
j~
a j2 ¼ a2 ¼ j O P 0 j2 þ j P 0 P j2 ¼
ax
P′
¼
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2
a 2x þ a 2y
þ a 2z ¼
x
Bild II-41
¼ a 2x þ a 2y þ a 2z
j~
aj ¼ a ¼
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
a 2x þ a 2y þ a 2z
ðII-53Þ
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
75
Betrag eines Vektors (Bild II-41)
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
j~
aj ¼ a ¼
a 2x þ a 2y þ a 2z
ðII-54Þ
Gleichheit von Vektoren
Zwei Vektoren ~
a und b~ sind genau dann gleich, wenn sie in ihren entsprechenden
Komponenten übereinstimmen:
~
a ¼ b~
&
,
ax ¼ bx , ay ¼ by ,
az ¼ bz
ðII-55Þ
Beispiele
(1)
Der Ortsvektor des Punktes P ¼ ð3; 2; 1Þ lautet:
0
1
3
!
~
e y þ 1~
ez ¼ @ 2 A
r ðPÞ ¼ O P ¼ 3~
e x 2~
1
Sein Betrag ist
j~
r ðPÞ j ¼ r ðPÞ ¼
(2)
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
3 2 þ ð 2Þ 2 þ 1 2 ¼ 14 ¼ 3,74
Wir berechnen die Länge des Vektors ~
a ¼ 3~
ex þ ~
e y þ 8~
ez:
0
1
3
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
~
a ¼ @ 1A ) j ~
a j¼ ð 3Þ 2 þ 1 2 þ 8 2 ¼ 74 ¼ 8,60
8
&
3.2 Darstellung der Vektoroperationen
3.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Die Multiplikation eines Vektors ~
a mit einem Skalar (einer reellen Zahl) l wird wie in
der Ebene komponentenweise durchgeführt:
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Die Multiplikation eines Vektors ~
a mit einem Skalar l erfolgt komponentenweise:
1
0 1
0
l ax
ax
C
B C
B
ðII-56Þ
l~
a ¼ l @ ay A ¼ @ l ay A
az
l az
76
&
II Vektoralgebra
Beispiel
~ die Beschleunigung
Eine Masse von m ¼ 5 kg erfahre durch eine Kraft F
0
1
2
m
~
a ¼ @ 1 A 2 . Die Komponentendarstellung der einwirkenden Kraft lautet dann:
s
4
0
1
0
1
0
1
10
10
2
m
m
~ ¼ m~
F
a ¼ 5 kg @ 1 A 2 ¼ @ 5 A kg 2 ¼ @ 5 A N
s
s
&
20
20
4
Normierung eines Vektors
~
a sei ein beliebiger vom Nullvektor verschiedener Vektor. Wie lautet der in die gleiche
Richtung weisende Einheitsvektor ~
e a ? Wir lösen diese Aufgabe wie folgt:
~
a "" ~
e a . Der Vektor ~
a besitzt die Länge j ~
a j,
a und ~
e a sind parallele Vektoren: ~
der Vektor ~
e a die Länge 1. Daher gilt (siehe Bild II-42):
a
~
a ¼ j~
aj~
ea
ea
|a
~
ea ¼
|
~
1
a
~
a ¼
j~
aj
j~
aj
ðII-57Þ
ðII-58Þ
Bild II-42
Normierung eines Vektors
Diesen Vorgang bezeichnet man als Normierung eines Vektors.
Normierung eines Vektors (Bild II-42)
Durch Normierung erhält man aus einem vom Nullvektor verschiedenen Vektor ~
a
einen Einheitsvektor gleicher Richtung. Er lautet wie folgt:
1
~
~
a
ðII-59Þ
ea ¼
j~
aj
Regel: Die Vektorkoordinaten werden durch den Betrag des Vektors dividiert.
&
1
2
Wir normieren den Vektor ~
a ¼ @ 1 A:
2
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
j~
aj ¼
2 2 þ ð 1Þ 2 þ 2 2 ¼ 9 ¼ 3
1
0
1
0
2=3
2
1
1 B
C
B
C
~
~
a ¼
ea ¼
a ¼ 3~
ea ) ~
@ 1 A ¼ @ 1=3 A
3
3
2=3
2
Beispiel
0
&
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
77
3.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren
Die Addition und Subtraktion zweier Vektoren ~
a und b~ erfolgt (wie in der Ebene)
komponentenweise:
Addition und Subtraktion zweier Vektoren
Zwei Vektoren ~
a und b~ werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert:
0 1
0 1
0
1
ax
bx
ax bx
B C
B C
B
C
~
a b~ ¼ @ a y A @ b y A ¼ @ a y b y A
ðII-60Þ
az
&
bz
az bz
0 1
0 1
0
1
2
3
4
Wir berechnen mit ~
a ¼ @ 3 A, b~ ¼ @ 0 A und ~
c ¼ @ 1 A den folgenden
Vektor:
4
1
5
Beispiele
(1)
0 1
0 1
0
1
2
3
4
~
s ¼ 4~
a þ 3 b~ 8~
c ¼ 4@3A þ 3@0A 8@ 1A ¼
4
1
5
0
1
0 1
0
1
0
1
0
1
8
9
32
8 þ 9 þ 32
49
¼ @ 12 A þ @ 0 A þ @ 8 A ¼ @ 12 þ 0 8 A ¼ @
4A
16
3
40
16 þ 3 40
21
(2) Wir zeigen, dass die an einem Massenpunkt gleichzeitig angreifenden Kräfte
1
20
C
~1 ¼ B
F
@ 11 A N ,
3
0
1
1
C
~3 ¼ B
F
@ 10 A N ,
4
0
0 1
4
B C
~
F2 ¼ @ 8 A N ,
9
0
1
25
C
~4 ¼ B
F
@ 13 A N ,
2
sich in ihrer physikalischen Wirkung aufheben.
~R
Lösung: Die vier Kräfte heben sich gegenseitig auf, wenn die Resultierende F
den Nullvektor ergibt. Dies ist hier der Fall:
78
II Vektoralgebra
~1 þ F
~2 þ F
~3 þ F
~4 ¼
~R ¼ F
F
0
1
0 1
0
1
0
1
20
4
1
25
¼ @ 11 A N þ @ 8 A N þ @ 10 A N þ @ 13 A N ¼
3
9
4
2
0
1
0 1
20 þ 4 þ 1 25
0
¼ @ 11 þ 8 10 þ 13 A N ¼ @ 0 A N
3 þ 9 4 2
0
(3)
Welche Koordinaten besitzt der Punkt Q, der die Strecke zwischen den Punkten
P 1 ¼ ð 4; 3; 2Þ und P 2 ¼ ð1; 0; 4Þ halbiert (Bild II-43)?
P1
P1 Q
Q
r (P 1 )
P1 P2
P2
r (Q)
r (P 2 )
Bild II-43
0
!
!
Lösung: Der Vektor P 1 Q ist parallel zum Vektor P 1 P 2, jedoch nur von halber
Länge:
!
1 !
P1 Q ¼
P1 P2
2
Aus der Skizze folgt ferner, dass der Ortsvektor ~
r ðQÞ des gesuchten Punktes Q
!
als Vektorsumme aus ~
r ðP 1 Þ und P 1 Q darstellbar ist:
!
1 !
~
r ðP 1 Þ þ
r ðQÞ ¼ ~
r ðP 1 Þ þ P 1 Q ¼ ~
P1 P2
2
!
Wir berechnen zunächst die benötigten Vektoren ~
r ðP 1 Þ und P 1 P 2 :
0
1
0
1
x1
4
B C
B
C
~
r ðP 1 Þ ¼ @ y 1 A ¼ @ 3 A
z1
2
0
1
0
1
0
1
x2 x1
1 ð 4Þ
5
!
B
C
B
C
B
C
P1 P2 ¼ @ y2 y1 A ¼ @ 0 3
A ¼ @3A
z2 z1
42
2
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
79
Für den Ortsvektor ~
r ðQÞ erhalten wir dann:
0
1
0
1
5
4
1 !
1
@3A ¼
~
P1 P2 ¼ @ 3 A þ
r ðQÞ ¼ ~
r ðP 1 Þ þ
2
2
2
2
0
1
0
1
0
1
0
1
4
2,5
4 þ 2,5
1,5
¼ @ 3 A þ @ 1,5 A ¼ @ 3 1,5 A ¼ @ 1,5 A
2
1
2þ1
3
Ergebnis: Q ¼ ð 1,5; 1, 5; 3Þ.
&
3.3 Skalarprodukt zweier Vektoren
3.3.1 Definition und Berechnung eines Skalarproduktes
Die in Abschnitt 2.3 gegebene Definition des skalaren Produktes zweier Vektoren lässt
sich sinngemäß auch auf räumliche, d. h. 3-dimensionale Vektoren übertragen:
Definition: Unter dem Skalarprodukt ~
a b~ zweier Vektoren ~
a und b~ versteht
man den Skalar
~
a b~ ¼ j ~
a j j b~j cos j ¼ a b cos j
ðII-61Þ
wobei j der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist
(0 j 180 ; Bild II-44).
b
Bild II-44
Zum Begriff des Skalarproduktes zweier Vektoren
f
a
Rechenregeln für Skalarprodukte
Die Skalarproduktbildung ist sowohl kommutativ als auch distributiv:
Kommutativgesetz
~
a b~ ¼ b~ ~
a
(II-62)
Distributivgesetz
~
a ðb~ þ ~
cÞ ¼ ~
a b~ þ ~
a~
c
(II-63)
Ferner gilt für einen beliebigen reellen Skalar l:
l ð~
a b~Þ ¼ ðl ~
aÞ b~ ¼ ~
a ðl b~Þ
ðII-64Þ
80
II Vektoralgebra
Orthogonale Vektoren
Verschwindet das skalare Produkt zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren, so bilden sie einen rechten Winkel miteinander, stehen also aufeinander senkrecht (auch die
Umkehrung gilt). Solche Vektoren heißen (wie in der Ebene) orthogonal.
Orthogonale Vektoren
Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren ~
a und b~ stehen genau dann aufeinander senkrecht, sind also orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt verschwindet:
~
a b~ ¼ 0
,
~
a ? b~
ðII-65Þ
Die drei Einheitsvektoren ~
e x, ~
e y, ~
e z bilden eine sog. orthonormierte Basis, d. h. die
Vektoren stehen paarweise aufeinander senkrecht (orthogonale Vektoren) und besitzen
jeweils den Betrag Eins (normierte Vektoren):
~
ey ¼ ~
ey ~
ez ¼ ~
ez ~
ex ¼ 0
ex ~
~
ex ¼ ~
ey ~
ey ¼ ~
ez ~
ez ¼ 1
ex ~
ðII-66Þ
Für den Sonderfall ~
a ¼ b~ erhält man:
~
a j j~
a j 1 ¼ j~
a j2 ¼ a2
a~
a ¼ j~
a j j~
a j cos 0 ¼ j ~
ðII-67Þ
Der Betrag eines Vektors ~
a lässt sich daher auch über das Skalarprodukt ~
a~
a berechnen:
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
j~
aj ¼ a ¼ ~
a~
a
ðII-68Þ
Berechnung eines Skalarproduktes aus den skalaren Vektorkomponenten
(Vektorkoordinaten)
Das Skalarprodukt zweier Vektoren kann auch direkt aus den skalaren Komponenten der
beiden Vektoren bestimmt werden:
~
ex þ ay~
ey þ az~
e z Þ ðb x ~
ex þ by~
ey þ bz~
e zÞ ¼
a b~ ¼ ða x ~
¼ a x b x ð~
ex ~
e x Þ þ a x b y ð~
ex ~
e y Þ þ a x b z ð~
ex ~
e zÞ þ
ey ~
e x Þ þ a y b y ð~
ey ~
e y Þ þ a y b z ð~
ey ~
e zÞ þ
þ a y b x ð~
ez ~
e x Þ þ a z b y ð~
ez ~
e y Þ þ a z b z ð~
ez ~
e zÞ
þ a z b x ð~
ðII-69Þ
Die dabei auftretenden Skalarprodukte verschwinden, wenn an ihrer Bildung zwei verschiedene Einheitsvektoren beteiligt sind. In allen anderen Fällen haben die Skalarprodukte den Wert 1. Damit reduziert sich die Gleichung (II-69) wie folgt:
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
81
~
a b~ ¼ a x b x 1 þ a x b y 0 þ a x b z 0 þ a y b x 0 þ a y b y 1 þ
þ ay bz 0 þ az bx 0 þ az by 0 þ az bz 1 ¼
¼ ax bx þ ay by þ az bz
ðII-70Þ
Wir fassen zusammen:
Berechnung eines Skalarproduktes aus den skalaren Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) der beteiligten Vektoren
Das Skalarprodukt ~
a b~ zweier Vektoren ~
a und b~ lässt sich aus den skalaren
Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) der beiden Vektoren wie folgt berechnen:
0 1 0 1
ax
bx
B C B C
~
a b~ ¼ @ a y A @ b y A ¼ a x b x þ a y b y þ a z b z
ðII-71Þ
az
bz
Regel: Komponentenweise Multiplikation, anschließende Addition der Produkte.
Das skalare Produkt zweier Vektoren kann somit (wie in der Ebene) auf zwei verschiedene Arten berechnet werden:
~
a b~ ¼ j ~
a j j b~j cos j ¼ a x b x þ a y b y þ a z b z
&
0
1
0
1
1
3
Das skalare Produkt der Vektoren ~
a ¼ @ 2 A und b~ ¼ @ 2 A beträgt:
2
4
0
1 0
1
1
3
~
a b~ ¼ @ 2 A @ 2 A ¼ 3 4 8 ¼ 9
2
4
Beispiele
(1)
(2)
ðII-72Þ
0 1
2
@
Die Vektoren ~
a ¼ 1A
5
Skalarprodukt verschwindet:
0
und
1
3
b~ ¼ @ 4 A
2
sind orthogonal, da ihr
0 1 0
1
2
3
~
a b~ ¼ @ 1 A @ 4 A ¼ 6 þ 4 10 ¼ 0
5
2
(3) Wir beweisen den Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die
Summe der beiden Kathetenquadrate gleich dem Quadrat der Hypotenuse.
82
II Vektoralgebra
Beweis: Die beiden Katheten sowie die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks
legen wir in der aus Bild II-45 ersichtlichen Weise durch Vektoren fest, wobei gilt:
~
a~
a ¼ a2 ,
~
a b~ ¼ 0
b~ b~ ¼ b 2 ,
~
c~
c ¼ c2 ,
ðda nach Voraussetzung ~
a ? b~Þ
c
b
c
b
Bild II-45
Zur Herleitung des Satzes des Pythagoras
a
a
Der Hypotenusenvektor ~
c ist ferner die Summe der beiden Kathetenvektoren ~
a
und b~:
~
c ¼ ~
a þ b~
Wir bilden nun das skalare Produkt von ~
c mit sich selbst:
~
c~
c ¼ ð~
a þ b~Þ ð~
a þ b~Þ ¼ ~
a~
aþ~
a b~ þ b~ ~
a þ b~ b~
Wegen der Orthogonalität von ~
a und b~ ist ~
a b~ ¼ b~ ~
a ¼ 0 und es folgt:
~
c~
c ¼~
a~
a þ b~ b~
oder
c2 ¼ a2 þ b2
&
Damit ist der Lehrsatz des Pythagoras bewiesen.
3.3.2 Winkel zwischen zwei Vektoren
Aus Gleichung (II-72) erhalten wir die folgende wichtige Beziehung für den Winkel j
zwischen zwei Vektoren ~
a und b~:
cos j ¼
~
ax bx þ ay by þ az bz
a b~
¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2
j~
a j j b~ j
a x þ a 2y þ a 2z b 2x þ b 2y þ b 2z
ðII-73Þ
Diese Gleichung lösen wir nach dem gesuchten Winkel j auf und erhalten das folgende Ergebnis:
Winkel zwischen zwei Vektoren (Bild II-44)
Der von den Vektoren ~
a und b~ eingeschlossene Winkel j lässt sich wie folgt berechnen:
!
~
a b~
ð~
a 6¼ ~
0, b~ 6¼ ~
0Þ
ðII-74Þ
j ¼ arccos
j~
a j j b~ j
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
&
83
Beispiel
Wir berechnen nach Gleichung (II-73) bzw. (II-74) den Winkel j, den die Vektoren
0
1
0 1
3
1
~
a ¼ @ 1 A und b~ ¼ @ 2 A miteinander einschließen:
2
4
0
1 0 1
3
1
B
C B C
~
~
a b ¼ @ 1 A @ 2 A ¼ 3 1 þ ð 1Þ 2 þ 2 4 ¼ 3 2 þ 8 ¼ 9
2
4
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
j b~j ¼
1 2 þ 2 2 þ 4 2 ¼ 21
j~
aj ¼
3 2 þ ð 1Þ 2 þ 2 2 ¼ 14 ,
cos j ¼
~
9
a b~
¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 0,5249
~
14 21
j~
aj jb j
)
j ¼ arcccos 0,5249 ¼ 58,3
&
3.3.3 Richtungswinkel eines Vektors
Ein Vektor ~
a ist bekanntlich eindeutig durch Betrag und Richtung festgelegt. Die Berechnung des Betrages j ~
a j erfolgt dabei nach Gleichung (II-54). Die Richtung des Vektors legen wir durch die Winkel fest, die der Vektor mit den drei Koordinatenachsen
(d. h. mit den drei Basisvektoren ~
e x, ~
e y und ~
e z ) bildet. Diese Richtungswinkel kennzeichnen wir der Reihe nach mit a, b und g (Bild II-46). Sie lassen sich mit Hilfe des
Skalarproduktes aus der Beziehung (II-73) bzw. (II-74) berechnen, indem man dort für
b~ der Reihe nach ~
e x, ~
e y, ~
e z setzt. So erhält man beispielsweise für den Winkel a
zwischen dem Vektor ~
a und der x-Achse die folgende Beziehung:
0 1 0 1
ax
1
@ ay A @ 0 A
0
az
~
ax þ 0 þ 0
ax
ax
a~
ex
cos a ¼
¼
¼
ðII-75Þ
¼
¼
j~
a j j~
ex j
j~
aj
a
j~
aj 1
j~
aj
z
az
az
|a|
g
a
ax
ax
x
Bild II-46
Richtungswinkel
eines Vektors
a
ay
b
ay
y
84
II Vektoralgebra
Analoge Gleichungen bestehen für die beiden übrigen Richtungswinkel:
cos b ¼
ay
ay
¼
,
j~
aj
a
cos g ¼
az
az
¼
j~
aj
a
ðII-76Þ
Die Größen cos a, cos b und cos g werden als Richtungskosinus von ~
a bezeichnet.
Sie genügen der Bedingung
cos 2 a þ cos 2 b þ cos 2 g ¼
a 2y
a 2x þ a 2y þ a 2z
a 2z
a 2x
a2
þ
þ
¼
¼
¼ 1
a2
a2
a2
a2
a2
ðII-77Þ
Die drei Richtungswinkel a, b und g sind somit voneinander abhängige Größen.
Wir fassen zusammen:
Richtungswinkel zwischen einem Vektor und den Koordinatenachsen
(Richtungskosinus; Bild II-46)
Ein Vektor ~
a bildet mit den drei Koordinatenachsen der Reihe nach die Winkel
a, b und g, die als Richtungswinkel bezeichnet werden. Sie lassen sich aus den
skalaren Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) des Vektors ~
a wie folgt berechnen:
ax
ay
az
cos a ¼
,
cos b ¼
,
cos g ¼
ðII-78Þ
j~
aj
j~
aj
j~
aj
Die Richtungswinkel sind jedoch nicht unabhängig voneinander, sondern über die
Beziehung
cos 2 a þ cos 2 b þ cos 2 g ¼ 1
ðII-79Þ
miteinander verknüpft.
Sind von einem Vektor ~
a Betrag und Richtung (d. h. die drei Richtungswinkel) bekannt, so berechnen sich die Vektorkoordinaten nach (II-78) der Reihe wie folgt:
a j cos a,
ax ¼ j~
&
az ¼ j~
a j cos g
0
ðII-80Þ
1
2
Wir wollen die Richtungswinkel des Vektors ~
a ¼ @ 1 A berechnen. Mit dem
Betrag
2
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
j~
aj ¼
2 2 þ ð 1Þ 2 þ ð 2Þ 2 ¼ 9 ¼ 3
Beispiele
(1)
ay ¼ j~
a j cos b,
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
85
folgt unmittelbar aus den Gleichungen (II-78):
ax
2
cos a ¼
¼
3
j~
aj
)
cos b ¼
ay
1
¼ 3
j~
aj
)
cos g ¼
az
2
¼ j~
aj
3
)
2
a ¼ arccos
¼ 48,2
3
1
b ¼ arccos ¼ 109,5
3
2
g ¼ arccos ¼ 131,8
3
Die drei Richtungswinkel des Vektors ~
a lauten damit der Reihe nach wie folgt:
a ¼ 48,2 ,
(2)
b ¼ 109,5 ,
g ¼ 131,8
Ein Vektor ~
a vom Betrage j ~
a j ¼ 5 bilde mit der x- und y-Achse jeweils einen
Winkel von 60 und mit der z-Achse einen spitzen Winkel ð0 < g < 90 Þ. Wie
lauten seine skalaren Vektorkomponenten?
Lösung: Der noch unbekannte dritte Richtungswinkel g wird aus der Beziehung
(II-79) berechnet, die wir zunächst nach cos g auflösen:
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
cos g ¼ 1 cos 2 a cos 2 b
Es kommt jedoch nur die positive Lösung infrage, da der Winkel g nach Voraussetzung spitz ist und somit cos g > 0 sein muss. Mit a ¼ b ¼ 60 erhält
man:
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
cos g ¼ 1 cos 2 60 cos 2 60 ¼
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
¼ 1 0,25 0,25 ¼ 0,5 ¼ 0,7071 )
g ¼ arccos 0,7071 ¼ 45
Die skalaren Vektorkomponenten von ~
a bestimmen wir nach Gleichung (II.80)
wie folgt:
a j cos a ¼ 5 cos 60 ¼ 2,5
ax ¼ j~
ay ¼ j~
a j cos b ¼ 5 cos 60 ¼ 2,5
a j cos g ¼ 5 cos 45 ¼ 3,54
az ¼ j~
&
3.3.4 Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor
Ein in der Mechanik häufig wiederkehrendes Problem besteht in der Zerlegung einer
Kraft in ihre Komponenten. Zum Beispiel bei einer schiefen Ebene: Die Gewichtskraft
~ einer Masse m soll in eine Tangential- und eine Normalkomponente zerlegt werden.
G
~ auf die Richtung der
Diese Komponenten erhält man durch Projektion des Vektors G
schiefen Ebene bzw. auf die dazu senkrechte Richtung (siehe Bild II-47). Sie werden in
der Mechanik auch als Hangabtrieb und Normalkraft bezeichnet.
86
II Vektoralgebra
H
Bild II-47
~ in die
Zerlegung der Gewichtskraft G
~ („ Hangabtrieb “)
Tangentialkomponente H
~ („ Normalkraft “)
und die Normalkomponente N
N
G
Wir beschäftigen uns jetzt mit der Projektion eines Vektors b~ auf einen zweiten Vektor
~
a und setzen dabei zunächst voraus, dass die Vektoren ~
a und b~ einen spitzen Winkel
miteinander einschließen (Bild II-48).
b
Bild II-48
Komponente eines Vektors b~ in Richtung
eines vorgegebenen Vektors ~
a
f
ba
a
Der durch die Projektion erhaltene Vektor wird mit b~a bezeichnet, sein Betrag ist
j b~a j ¼ j b~j cos j
ðII-81Þ
wobei j der Winkel zwischen den Vektoren b~ und ~
a ist. Aus dem Skalarprodukt
~
a j j b~a j
a b~ ¼ j ~
a j j b~j cos j ¼ j ~
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
j b~a j
ðII-82Þ
erhalten wir dann nach Division durch j ~
a j den folgenden Ausdruck für j b~a j:
j b~a j ¼
~
a b~
j~
aj
ðII-83Þ
a und ist somit in der Form
Der Vektor b~a besitzt die gleiche Richtung wie der Vektor ~
~
a
b~a ¼ j b~a j ~
e a ¼ j b~a j
j~
aj
ðII-84Þ
a ist (wir erhalten ihn durch
darstellbar, wobei ~
e a der Einheitsvektor in Richtung von ~
Normierung des Vektors ~
a ). Unter Berücksichtigung der Beziehung (II-83) wird hieraus
schließlich
!
!
~
a
~
a b~
~
a
~
a b~
~
a
~
a
~
~
~
~
¼
¼
b
¼
a ¼
ba ¼ j ba j
2
j~
aj
j~
aj
j~
aj
j~
aj
j~
aj
j~
aj
¼ ð~
e a b~Þ ~
ea
ðII-85Þ
Dieser Vektor wird auch als Komponente des Vektors b~ in Richtung des Vektor ~
a
bezeichnet.
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
87
Projektion eines Vektors b~ auf einen zweiten Vektor ~
a (Bild II-48)
Durch Projektion des Vektors b~ auf den Vektor ~
a entsteht der Vektor
!
~
a b~
~
a ¼ ð~
e a b~Þ ~
ea
b~a ¼
j~
a j2
ðII-86Þ
Er wird als Komponente des Vektors b~ in Richtung des Vektors ~
a bezeichnet.
Anmerkungen
(1)
(2)
&
Die Vektoren b~a und ~
a sind kollinear (parallel, wenn ~
a b~ > 0, antiparallel,
~
wenn ~
a b < 0 ist).
j~
a b~ j
.
Der Projektionsvektor b~a hat die Länge j b~a j ¼
j~
aj
0
1
0 1
4
3
~
@
A
@
Wir projizieren den Vektor b ¼ 1
auf den Vektor ~
a ¼ 0 A. Um den
7
4
~
gesuchten Vektor b a bestimmen zu können, benötigen wir noch das Skalarprodukt ~
a b~ und den Betrag von ~
a:
1
0 1 0
4
3
C
B C B
~
~
a b ¼ @ 0 A @ 1 A ¼ 12 þ 0 þ 28 ¼ 40
Beispiele
(1)
4
7
j~
a j 2 ¼ 3 2 þ 0 2 þ 4 2 ¼ 9 þ 16 ¼ 25
)
j~
a j¼ 5
Die Komponente des Vektors b~ in Richtung des Vektors ~
a lautet dann nach Formel (II-86) wie folgt:
0 1
0 1
0
1
!
3
3
4,8
~
~
40
a
b
@ 0 A ¼ 1,6 @ 0 A ¼ @ 0 A
~
a ¼
b~a ¼
25
j~
a j2
4
4
6,4
(2)
~s , die der Kraftvektor
Wir interessieren uns für die Komponente F
0 1
0
1
4
2
~ ¼ @ 2 A N in Richtung des Verschiebungsvektors ~
F
s ¼ @ 1 A m besitzt.
6
2
Welchen Betrag hat diese Komponente?
88
II Vektoralgebra
Lösung: Mit
0
1 0 1
2
4
C B C
~¼ B
~
sF
@ 1 A @ 2 A Nm ¼ ð8 2 þ 12Þ Nm ¼ 18 Nm
2
6
j~
s j 2 ¼ ð2 2 þ ð 1Þ 2 þ 2 2 Þ m 2 ¼ 9 m 2
erhalten wir dann nach Formel (II-86):
0
1
0
1
0
1
!
2
2
4
~
18 Nm @
sF
~s ¼ ~
~
1A m ¼ 2@1AN ¼ @2AN
s ¼
F
j~
s j2
9 m2
2
2
4
~s hat den folgenden Betrag:
Die Komponente F
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
~s j ¼ 4 2 þ ð 2Þ 2 þ 4 2 N ¼ 36 N ¼ 6 N
Fs ¼ j F
&
3.3.5 Ein Anwendungsbeispiel: Arbeit einer Kraft
~ um die Strecke ~
Wird ein Massenpunkt m durch eine konstante Kraft F
s verschoben,
so ist die an ihm verrichtete Arbeit W definitionsgemäß das skalare Produkt aus dem
~ und dem Verschiebungsvektor ~
Kraftvektor F
s (Bild II-49):
~~
~j j~
W ¼ F
s ¼ jF
s j cos j ¼ F s cos j
ðII-87Þ
~s besitzt nach Bild II-49 den
Die in Richtung des Weges wirkende Kraftkomponente F
Betrag
~s j ¼ Fs ¼ j F
~j cos j ¼ F cos j
jF
ðII-88Þ
F
m
f
Fs
m
Bild II-49
Zur Definition des
Arbeitsbegriffes
s
|s| = s
Wir können daher die Definitionsgleichung (II-87) für die Arbeit W auch auf die folgende Form bringen:
~~
W ¼ F
s ¼ F s cos j ¼ ðF cos j Þ s ¼ Fs s
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
Fs
ðII-89Þ
Dies aber ist die bereits aus der Schulphysik bekannte Formel Arbeit ¼ Kraftkomponente
in Wegrichtung mal zurückgelegtem Weg!
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
&
0
Beispiel
~¼ B
Die konstante Kraft F
@
10 N
89
1
C
2 N A verschiebe einen Massenpunkt geradlinig vom
5N
Punkt P 1 ¼ ð1 m; 5 m; 3 mÞ aus in den Punkt P 2 ¼ ð0 m; 1 m; 4 mÞ (siehe hierzu
Bild II-50). Welche Arbeit wird dabei verrichtet? Wie groß ist der Winkel j zwischen
dem Kraft- und dem Verschiebungsvektor?
F
P1
r (P 1 )
f
s
P2
Bild II-50
Verschiebung einer Masse
längs einer Geraden vom
Punkt P 1 aus nach P 2
r (P 2 )
0
Lösung: Der Verschiebungsvektor lautet nach Bild II-50 wie folgt:
0
1
0
1
0
1
x2 x1
01
1
!
B
C
B
C
B
C
~
s ¼ P1 P2 ¼ @ y2 y1 A ¼ @ 1 þ 5 A m ¼ @ 6 A m
z2 z1
43
1
Die dabei verrichtete Arbeit beträgt dann nach Gleichung (II-87):
0
1 0
1
10
1
~~
W ¼ F
s ¼ @
2 A @ 6 A Nm ¼ ð10 þ 12 þ 5Þ Nm ¼ 27 Nm
5
1
~ und ~
Für die Winkelberechnung benötigen wir noch die Beträge von F
s:
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
~j ¼
jF
ð 10Þ 2 þ 2 2 þ 5 2 N ¼ 129 N
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
j~
sj ¼
ð 1Þ 2 þ 6 2 þ 1 2 m ¼ 38 m
Dann aber gilt:
~~
~j j~
F
s ¼ W ¼ jF
s j cos j )
|ﬄ{zﬄ}
W
~~
W
27 Nm
F
s
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 0,3856
¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
¼
cos j ¼
~
~
129 N 38 m
j F j j~
sj
j F j j~
sj
j ¼ arccos 0,3856 ¼ 67,3
)
&
90
II Vektoralgebra
3.4 Vektorprodukt zweier Vektoren
3.4.1 Definition und Berechnung eines Vektorproduktes
Neben der Addition und Subtraktion von Vektoren und der Skalarproduktbildung wird in
den Anwendungen eine weitere Vektoroperation benötigt, die sog. vektorielle Multiplikation. Sie erzeugt aus zwei Vektoren ~
a und b~ nach einer bestimmten Vorschrift einen
neuen Vektor, der die Bezeichnung Vektorprodukt erhält und durch das Symbol ~
a b~
gekennzeichnet wird (gelesen: a Kreuz b). So sind beispielsweise die folgenden physikalischen Größen als Vektorprodukte darstellbar:
~ einer an einem starren Körper angreifenden Kraft
Drehmoment M
~ eines rotierenden Körpers
Drehimpuls L
~L , die ein Ladungsträger (z. B. ein Elektron) beim Durchgang durch
Lorentz-Kraft F
ein Magnetfeld erfährt
Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem Magnetfeld
Das Vektorprodukt zweier Vektoren ist wie folgt definiert:
Definition: Unter dem Vektorprodukt ~
c ¼~
a b~ zweier Vektoren ~
a und b~ versteht man den eindeutig bestimmten Vektor mit den folgenden Eigenschaften (Bild II-51):
1. ~
c ist sowohl zu ~
a als auch zu b~ orthogonal:
~
c~
a ¼ 0
und
~
c b~ ¼ 0
ðII-90Þ
2. Der Betrag von ~
c ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der
Vektoren ~
a und b~ und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels j:
j~
c j ¼ j~
a j j b~j sin j
ð0 j 180 Þ
ðII-91Þ
3. Die Vektoren ~
a, b~, ~
c bilden in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges System.
c=axb
b
Bild II-51
Zum Begriff des Vektorsproduktes
zweier Vektoren
f
a
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
91
Anmerkung
Das Vektorprodukt ~
a b~ ist im Gegensatz zum Skalarprodukt eine vektorielle Größe
und wird auch als äußeres Produkt oder Kreuzprodukt der Vektoren ~
a und b~ bezeichnet.
Geometrische Deutung eines Vektorproduktes
Für den Flächeninhalt A des von den Vektoren ~
a und b~ aufgespannten Parallelogramms erhalten wir nach Bild II-52 (grau unterlegte Fläche):
A ¼ ðGrundlinieÞ ðHöheÞ ¼ a h ¼ a b sin j ¼ j ~
a j j b~j sin j
ðII-92Þ
Dies aber ist genau der Betrag des Vektorproduktes ~
a b~.
b
b
sin j ¼
h
b
h ¼ b sin j
h
f
Bild II-52
a
a
Geometrische Deutung eines Vektorproduktes (Bild II-52)
Der Betrag des Vektorproduktes ~
a b~ entspricht dem Flächeninhalt des von den
~
Vektoren ~
a und b aufgespannten Parallelogramms.
Rechenregeln für Vektorprodukte
Distributivgesetze
~
a ðb~ þ ~
cÞ ¼ ~
a b~ þ ~
a~
c
(II-93)
ð~
a þ b~Þ ~
c ¼ ~
a~
c þ b~ ~
c
(II-94)
~
a b~ ¼ ðb~ ~
aÞ
(II-95)
Anti-Kommutativgesetz
Ferner gilt für einen beliebigen reellen Skalar l:
l ð~
a b~Þ ¼ ðl ~
a Þ b~ ¼ ~
a ðl b~Þ
ðII-96Þ
Das vektorielle Produkt ~
a b~ zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren ~
a und
~
a und b~ sind dann zueib verschwindet für j ¼ 0 und j ¼ 180 . Die Vektoren ~
nander parallel oder antiparallel, d. h. kollinear.
92
II Vektoralgebra
Wir können damit das folgende Kriterium für kollineare Vektoren formulieren:
Kriterium für kollineare Vektoren
Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren ~
a und b~ sind genau dann kollinear,
wenn ihr Vektorprodukt verschwindet:
~
a b~ ¼ ~
0
,
~
a und b~ sind kollinear
ðII-97Þ
Für den Sonderfall ~
a ¼ b~ folgt unmittelbar aus der Definitionsgleichung (II-91)
j~
a~
a j ¼ j~
a j j~
a j sin 0 ¼ j ~
a j2 0 ¼ 0
)
~
a~
a ¼~
0
ðII-98Þ
Zwischen den Basisvektoren (Einheitsvektoren) ~
e x, ~
e y, ~
e z bestehen die folgenden wichtigen Beziehungen (Bild II-53):
~
ex ~
ex ¼ ~
ey ~
ey ¼ ~
ez ~
ez ¼ ~
0
ez
~
ey ¼ ~
ez ,
ex ~
ðII-99Þ
~
ey ~
ez ¼ ~
ex ,
~
ex ¼ ~
ey
ez ~
ðII-100Þ
ey
ex
Bild II-53
Berechnung eines Vektorproduktes aus den skalaren Vektorkomponenten
(Vektorkoordinaten)
Die Komponenten des Vektorproduktes ~
a b~ lassen sich auch direkt aus den skalaren
~
Komponenten der Vektoren ~
a und b berechnen (wir verwenden bei der Herleitung der
Formel das Distributiv- und das Anti-Kommutativgesetz sowie die Beziehungen (II-99)
und (II-100)):
~
a b~ ¼ ða x ~
ex þ ay~
ey þ az~
e z Þ ðb x ~
ex þ by~
ey þ bz~
e zÞ ¼
ex ~
e x Þ þ a x b y ð~
ex ~
e y Þ þ a x b z ð~
ex ~
e zÞ þ
¼ a x b x ð~
|ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ}
~
~
ez
~
ey
0
þ a y b x ð~
ey ~
e x Þ þ a y b y ð~
ey ~
e y Þ þ a y b z ð~
ey ~
e zÞ þ
|ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ}
~
~
~
ez
ex
0
þ a z b x ð~
ez ~
e x Þ þ a z b y ð~
ez ~
e y Þ þ a z b z ð~
ez ~
e zÞ ¼
|ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ}
~
~
ey
~
ex
0
¼ ax by~
ez ax bz~
ey ay bx ~
ez þ ay bz~
ex þ az bx ~
ey az by~
ex ¼
¼ ða y b z a z b y Þ ~
e x þ ða z b x a x b z Þ ~
e y þ ða x b y a y b x Þ ~
ez
ðII-101Þ
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
93
Unter Verwendung von Spaltenvektoren lässt sich diese Formel auch wie folgt schreiben:
1
0 1
0 1 0
ay bz az by
bx
ax
C
B C
B C B
~
ðII-102Þ
a b~ ¼ @ a y A @ b y A ¼ @ a z b x a x b z A
az
ax by ay bx
bz
Berechnung eines Vektorproduktes aus den skalaren Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) der beteiligten Vektoren
Das Vektorprodukt ~
a b~ zweier Vektoren ~
a und b~ lässt sich aus den skalaren
Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) der beiden Vektoren wie folgt berechnen:
1
0 1
0 1 0
ay bz az by
ax
bx
C
B C
B C B
~
a b~ ¼ @ a y A @ b y A ¼ @ a z b x a x b z A
ðII-103Þ
ax by ay bx
az
bz
Anmerkung
Bei der Berechnung der Komponenten eines Vektorproduktes beachte man den folgenx
den Hinweis: Durch zyklisches Vertauschen der Indizes erhält man
aus der ersten Komponente die zweite und aus dieser schließlich
die dritte Komponente:
y
z
x ! y ! z ! x
Determinantendarstellung eines Vektorproduktes
Formal lässt sich ein Vektorprodukt ~
a b~ auch durch eine dreireihige Determinante
darstellen (sie enthält drei Zeilen und drei Spalten und insgesamt 9 Elemente):
~
ey ~
e z ex ~
~
a b~ ¼ a x a y a z bx by bz Basisvektoren
Koordinaten von ~
a
Koordinaten von b~
Wir dürfen die Basisvektoren und Vektorkoordinaten auch spaltenweise anordnen:
~
~
ey ~
e z ex ~
ex
~
a
a
a
~
ab ¼ x
e
y
z ¼ ~
y
bx by bz ~
ez
ax
ay
az
b x by bz ðII-104Þ
94
II Vektoralgebra
Definitionsgemäß
a11
D ¼ a21
a31
besitzt eine dreireihige Determinante vom allgemeinen Typ
a 1 2 a 1 3 a22 a23 a32 a33 ðII-105Þ
den folgenden Wert:
D ¼ a11 a22 a33 þ a12 a23 a31 þ a13 a21 a32 a31 a22 a13 a32 a23 a11 a33 a21 a12
ðII-106Þ
Dieser Wert kann auch nach der Regel von Sarrus berechnet werden:
1. und 2. Spalte werden dabei rechts neben die Determinante gesetzt, die durch eine
Linie miteinander verbundenen Elemente werden dann miteinander multipliziert und ergeben insgesamt sechs Produkte mit je drei Faktoren. Die in dem Schema angegebenen
Vorzeichen bedeuten eine nachträgliche Multiplikation des Produktes mit dem Faktor
þ 1 oder 1. Durch Addition der sechs (vorzeichenbehaftenen) Produkte erhält man
schließlich den Wert der Determinante D.
Die formale Ausrechnung der Determinante (II-104) führt auf das Vektorprodukt ~
a b~
in der Komponentenschreibe
~
a b~ ¼ ða y b z a z b y Þ~
e x þ ða z b x a x b z Þ~
e y þ ða x b y a y b x Þ~
ez
Eine ausführliche Darstellung der Determinanten erfolgt in Band 2 (Kapitel I).
Rechenbeispiel
3
D ¼ 1
4
für eine Determinante
2 0 3 1 ¼ ?
5 4
Berechnung nach der Regel von Sarrus:
3
1
4
2
3
5
0 3
1 1
4 4
2
3
5
D ¼ 334þ214þ015430513412 ¼
¼ 36 þ 8 þ 0 0 15 8 ¼ 21
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
&
95
Beispiele
(1)
Wir berechnen den Flächeninhalt A des von den beiden Spaltenvektoren
0
1
0 1
1
2
~
a ¼ @ 5 A und b~ ¼ @ 0 A aufgespannten Parallelogramms:
2
3
0
1
0 1 0
1
2
15 B
C
B
C
B
~
a b~ ¼ @ 5 A @ 0 A ¼ @
4
2
3
0þ
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
A ¼ j~
a b~j ¼
ð 15Þ 2 þ 1 2 þ 10 2
(2)
1 0
1
0
15
C B
C
3A ¼ @
1A
10
¼
10
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
326 ¼ 18,06
~
Elektronen, die mit der Geschwindigkeit ~
v in ein Magnetfeld der Flussdichte B
eintreten, erfahren dort die sog. Lorentz-Kraft
~L ¼ e ð~
~Þ :
F
vB
Wie groß ist die Kraftwirkung auf ein Elektron mit der Elementarladung e, wenn
~ die folgenden Komponenten besitzen?
~
v und B
1
0
1
1
0
0
0
0
2000
C Vs
B
C
C m
B
~¼ B
~
,
B
v ¼ @ 2000 A
@0 A T ¼ @0 A 2 ,
s
m
0,1
0,1
0
e ¼ 1,6 10 19 C
Lösung:
0
1
0
1
2000
0
~Þ ¼ 1,6 10 19 @ 2000 A @ 0 A C m Vs ¼
~L ¼ e ð~
vB
F
s m2
0
0,1
0
1
0
1
200 0
200
¼ 1,6 10 19 @ 0 200 A N ¼ 1,6 10 19 @ 200 A N ¼
0 0
0
0
1
1
1
1
¼ 1,6 10 19 ð 200Þ @ 1 A N ¼ 3,2 10 17 @ 1 A N
0
0
0 1
0 1
1
4
(3) Wir berechnen das Vektorprodukt der Vektoren ~
a ¼ @ 2 A und b~ ¼ @ 3 A mit
Hilfe der Determinante (II-104):
8
5
~
ey ~
e z ex ~
~
a b~ ¼ 1 2 8 4 3 5 0
96
II Vektoralgebra
Nach der Regel von Sarrus gilt:
~
ex
1
4
~
ey
2
3
~
ex
e z ~
8 1
5 4
~
ey
2
3
~
a b~ ¼ 10~
e x þ 32~
e y þ 3~
e z 8~
e z 24~
e x 5~
ey ¼
0
1
14
e y 5~
e z ¼ @ 27 A
¼ 14~
e x þ 27~
5
&
3.4.2 Anwendungsbeispiele
3.4.2.1 Drehmoment (Moment einer Kraft)
Drehmomente sind vektorielle Größen, die bei der Behandlung statischer Systeme von
großer Bedeutung sind.
Wir betrachten einen starren Körper in Form einer Kreisscheibe, der um seine Symmetrieachse drehbar gelagert ist (Bild II-54).
M=r xF
0
F
F
0
r
r
f
Q
Bild II-54 Zum Begriff des Drehmomentes
P
rQ
P
s
Bild II-55
Die an einem starren Körper angreifende Kraft
als linienflüchtiger Vektor
~ erzeugt dann
Eine im Punkt P angreifende (in der Scheibenebene liegende) Kraft F
~, das als Vektorprodukt aus dem Ortsvektor ~
ein Drehmoment M
r und dem Kraftvek~ in der Form
tor F
~ ¼~
~
M
r F
ðII-107Þ
~ ist
darstellbar ist (~
r ist der Ortsvektor des Angriffspunktes P). Der Betrag von M
~ j ¼ M ¼ j~
~j sin j
jM
rj jF
ðII-108Þ
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
97
Der Drehmomentvektor liegt in der Drehachse und ist daher so orientiert, dass die drei
~ und M
~ in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden. Die physikalische
Vektoren ~
r, F
~ ist die einer Drehung um die in Bild II-54 eingezeichnete Drehachse.
Wirkung von M
~ längs ihrer Wirkungslinie verschoben werden.
Als linienflüchtiger Vektor darf die Kraft F
~ unverändert, wie wir jetzt zeiBei dieser Verschiebung bleibt jedoch das Drehmoment M
gen wollen. Ist ~
s der Verschiebungsvektor von P nach Q, so gilt nach Bild II-55
~
r þ~
s
rQ ¼ ~
Unter Verwendung dieser Beziehung und des Distributivgesetzes für Vektorprodukte er~ im neuen Angriffspunkt Q den Formelaushalten wir für das Moment der Kraft F
druck
~ ¼ ð~
~¼~
~ þ~
~¼ M
~þ~
~
~Q ¼ ~
rQ F
r þ~
sÞ F
r F
sF
sF
M
|ﬄﬄ{zﬄﬄ}
~
M
~ sind aber kollinear, ihr Vektorprodukt ~
~ verschwindet
Die Vektoren ~
s und F
sF
~
~
daher: ~
s F ¼ 0. Wir erhalten schließlich:
~Q ¼ M
~þ~
~¼ M
~þ~
~
M
sF
0 ¼ M
ðII-109Þ
Damit haben wir bewiesen, dass die an einem starren Körper angreifende Kraft einen
linienflüchtigen Vektor darstellt. Mit anderen Worten: Das Moment einer Kraft bleibt
erhalten, wenn diese längs ihrer Wirkungslinie verschoben wird.
3.4.2.2 Bewegung von Ladungsträgern in einem Magnetfeld (Lorentz-Kraft)
Bewegt sich ein geladenes Teilchen mit der Geschwindigkeit ~
v durch ein homogenes
~, so erfährt es eine Kraft
Magnetfeld mit der magnetischen Flussdichte B
~Þ
~L ¼ q ð~
vB
F
ðLorentz-KraftÞ
ðII-110Þ
(q: Ladung des Teilchens). Die Kraftwirkung erfolgt senkrecht sowohl zur Bewegungsrichtung als auch zur Richtung des Magnetfeldes. Handelt es sich bei den Ladungsträgern um Elektronen (q ¼ e; e: Elementarladung), so ist
~L ¼ e ð~
~Þ
F
vB
Wir untersuchen jetzt das Verhalten der Elektronen für spezielle Einschusswinkel.
(1)
Die Elektronen werden in Feldrichtung (oder in der Gegenrichtung) in das Magnet~ sind dann kollinear):
feld eingeschossen (die Vektoren ~
v und B
~Þ ¼ ~
~L ¼ e ð~
vB
0
F
|ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ}
~
0
Sie gehen ungehindert, d. h. kräftefrei durch das Feld hindurch, da der Geschwin~ kollineare Vektoren darstellen und
digkeitsvektor ~
v und der Flussdichtevektor B
~
somit das Vektorprodukt ~
v B verschwindet (Bild II-56).
98
II Vektoralgebra
B
B
v
Bild II-56
Parallel zu einem homogenen Magnetfeld
eintretende Elektronen
e
(2)
Bewegen sich die Elektronen senkrecht zum Magnetfeld, so wirkt die Lorentz-Kraft
~
als Zentripetalkraft und zwingt die Elektronen auf eine Kreisbahn (die Vektoren ~
v, B
~
und FL stehen in diesem Sonderfall paarweise aufeinander senkrecht; Bild II-57).
B
B
B
FL
v
e
Bild II-57 Senkrecht in ein homogenes
Magnetfeld eintretende Elektronen
werden auf eine Kreisbahn
gezwungen
(3)
e
v
Bild II-58
Schraubenlinienförmige Bahn
eines Elektrons in einem
homogenen Magnetfeld
Die Elektronen werden unter einem Winkel a gegen die Feldrichtung eingeschossen
ð0 < a < 180 , a 6¼ 90 Þ. Die Geschwindigkeitskomponente in Feldrichtung
(oder in der Gegenrichtung) bewirkt eine Translation parallel zu den Feldlinien, während gleichzeitig aufgrund der zum Feld senkrechten Geschwindigkeitskomponente
eine Kreisbewegung um die Feldlinien ausgeführt wird. Die Elektronenbahn ist demnach eine Schraubenlinie (Bild II-58).
3.5 Spatprodukt (gemischtes Produkt)
In den Anwendungen wird häufig ein weiteres, diesmal aber aus drei Vektoren gebildetes „ Produkt “ benötigt, das als Spatprodukt oder auch gemischtes Produkt bezeichnet
wird. Es ist wie folgt definiert:
Definition: Unter dem Spatprodukt ½ ~
a b~~
c dreier Vektoren ~
a, b~ und ~
c versteht
man das skalare Produkt aus dem Vektor ~
a und dem aus den Vektoren b~ und ~
c gebildeten Vektorprodukt b~ ~
c:
½~
a b~~
c ¼ ~
a ðb~ ~
cÞ
ðII-111Þ
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
99
Anmerkungen
(1)
Das Spatprodukt ist eine skalare Größe, also eine reelle Zahl.
(2)
Das Spatprodukt wird auch als gemischtes Produkt bezeichnet, da bei seiner Bildung beide Multiplikationsarten (skalare und vektorielle Multiplikation) auftreten.
Bilden die Vektoren ~
a, b~, ~
c in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (Linkssystem),
so ist das aus ihnen gebildete Spatprodukt stets positiv (negativ).
(3)
Rechenregeln für Spatprodukte
(1)
Bei einer zyklischen Vertauschung der drei Vektoren ~
a, b~ und ~
c ändert sich das
Spatprodukt nicht:
½~
a b~~
c ¼ ½ b~~
c~
a ¼ ½~
c~
a b~ ðII-112Þ
(2) Vertauschen zweier Vektoren bewirkt stets einen Vorzeichenwechsel. Zum Beispiel:
½~
a b~~
c ¼ ½~
a~
c b~ ðb~ und ~
c wurden vertauschtÞ
ðII-113Þ
Geometrische Deutung eines Spatproduktes
Die drei Vektoren ~
a, b~ und ~
c spannen ein sog. Parallelepiped (auch Spat genannt) auf
6Þ
a b~~
c kommt dabei die geometrische
(Bild II-59) . Dem Betrag des Spatproduktes ½ ~
Bedeutung des Spatvolumens zu, wie wir jetzt zeigen werden.
b xc
cos j ¼
h
j~
aj
h ¼ j~
a j cos j
a
f
h
h
c
f
A = |b x c|
Bild II-59
Zum Begriff des Spatproduktes
b
Die aus der Elementarmathematik bekannte Formel V ¼ A h (Volumen ¼ Grundfläche mal Höhe) führt bei Anwendung auf den in Bild II-59 skizzierten Spat zu dem
folgenden Ergebnis ðf ür 0 j 90 Þ:
V ¼ A h ¼ j b~ ~
c j j~
a j cos j ¼ j ~
a j j b~ ~
c j cos j
6Þ
Spat: Körper, dessen Oberfläche aus sechs Parallelogrammen besteht, von denen je zwei gegenüberliegende
kongruent (deckungsgleich) sind (viele Kristalle haben diese Gestalt, z. B. Kalkspat).
100
II Vektoralgebra
Für Winkel zwischen 90 und 180 ist cos j durch j cos j j zu ersetzen. Somit gilt:
V ¼ j~
a j j b~ ~
c j j cos j j
Dies aber ist nichts anderes als der Betrag des Spatproduktes ½ ~
a b~~
c ¼ ~
a ðb~ ~
c Þ,
~
da j der Winkel zwischen den Vektoren ~
a und b ~
c ist:
V ¼ j~
a ðb~ ~
c Þ j ¼ j ½~
a b~~
c j ¼ j~
a j j b~ ~
c j j cos j j
ðII-114Þ
Geometrische Deutung eines Spatproduktes (Bild II-59)
Das Volumen eines von drei Vektoren ~
a, b~ und ~
c aufgespannten Spats ist gleich
~
dem Betrag des Spatproduktes ½ ~
a b~
c :
V Spat ¼ j ½ ~
a b~~
c j ¼ j~
a ðb~ ~
c Þj
ðII-115Þ
Berechnung eines Spatproduktes aus den skalaren Vektorkomponenten
(Vektorkoordinaten)
hnlich wie beim Skalar- und Vektorprodukt lässt sich auch das Spatprodukt aus den
skalaren Vektorkomponenten der beteiligten Vektoren berechnen:
Berechnung eines Spatproduktes aus den skalaren Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) der beteiligten Vektoren
Das Spatprodukt oder gemischte Produkt ½ ~
a b~~
c dreier Vektoren ~
a, b~ und ~
c
lässt sich aus den skalaren Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) der beteiligten
Vektoren wie folgt berechnen:
½~
a b~~
c ¼ ~
a ðb~ ~
cÞ ¼
¼ a x ðb y c z b z c y Þ þ a y ðb z c x b x c z Þ þ a z ðb x c y b y c x Þ
ðII-116Þ
Anmerkung
Das Spatprodukt ½ ~
a b~~
c lässt sich auch als dreireihige Determinante darstellen:
ax
~
~
½~
a b~
c ¼ ~
a ðb ~
c Þ ¼ bx
cx
ay
by
cy
a z bz cz ðII-117Þ
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
101
Komplanare Vektoren
Verschwindet das Spatprodukt ~
a ðb~ ~
c Þ der drei vom Nullvektor verschiedenen Vek~
toren ~
a, b und ~
c, so sind die Vektoren ~
a und b~ ~
c zueinander orthogonal und
umgekehrt. Dies aber bedeutet, dass der Vektor ~
a in der von b~ und ~
c aufgespannten
Ebene liegt. Die drei Vektoren liegen damit in einer gemeinsamen Ebene (sog. komplanare Vektoren, siehe Bild II-60).
b xc
c
Bild II-60
Komplanare Vektoren ~
a, b~ und ~
c
(die drei Vektoren liegen in einer Ebene)
a
b
Wir können damit das folgende Kriterium für komplanare Vektoren formulieren:
Kriterium für komplanare Vektoren (Bild II-60)
Drei vom Nullvektor verschiedene Vektoren ~
a, b~ und ~
c sind genau dann komplanar (liegen also in einer gemeinsamen Ebene), wenn das aus ihnen gebildete Spatprodukt verschwindet:
½~
a b~~
c ¼ 0
&
,
~
a, b~ und ~
c sind komplanar
ðII-118Þ
0 1
1
0
0 1
2
0
1
B C
C
B C ~ B
c ¼ @ 5 A gebildete
Das aus den Vektoren ~
a ¼ @ 4 A, b ¼ @ 1 A und ~
13
3
2
Spatprodukt verschwindet:
1
4
2 ½~
a b~~
c ¼ 0 1
3 ¼ 0
2
5 13 Beispiele
(1)
Die Berechnung der Determinante erfolgt dabei nach der Regel von Sarrus:
1
4
4
2 1
0 1
3 0 1
2
5
5 13 2
½~
a b~~
c ¼ 13 þ 24 þ 0 ð 4 þ 15 þ 0Þ ¼ 11 11 ¼ 0
Die drei Vektoren sind daher komplanar, d. h. sie liegen in einer gemeinsamen
Ebene.
102
(2)
II Vektoralgebra
Welches Volumen V Spat besitzt der von den drei Vektoren
0 1
2
B C
~
a ¼ @0A,
5
0
0 1
2
B
C
B C
~
b ¼ @ 5 A und ~
c ¼ @1A
2
2
1
1
aufgespannte Spat?
Lösung: Wir berechnen zunächst das Spatprodukt
2
½~
a b~~
c ¼ 1
2
0
5
1
5 2 2
mit Hilfe der Regel von Sarrus:
2
0
5 2
0
5 2 1
5
1
2
1
2 2
1
½~
a b~~
c ¼ 20 0 5 ð50 4 0Þ ¼ 15 46 ¼ 31
a b~~
c j ¼ j 31 j ¼ 31
Ergebnis: V Spat ¼ j ½ ~
&
3.6 Linear unabhängige Vektoren
Räumliche Vektoren haben wir als Linearkombinationen der drei Einheitsvektoren
~
e x, ~
e y und ~
e z in der Form
~
ex þ ay~
ey þ az~
ez
a ¼ ax ~
ðII-119Þ
dargestellt (sog. Komponentendarstellung, siehe Abschnitt 3.1). Die nicht komplanaren
(d. h. nicht in einer Ebene liegenden) Vektoren ~
e x, ~
e y und ~
e z werden in diesem Zusammenhang auch als Basisvektoren bezeichnet. Sie erzeugen den 3-dimensionalen
Raum R3 , auch Anschauungsraum genannt. Als Basis können dabei grundsätzlich drei
beliebige (von Nullvektor verschiedene) Vektoren ~
e 1, ~
e 2, ~
e 3 dienen, sofern sie wie
die Vektoren ~
e x, ~
e y, ~
e z nicht komplanar sind. Dies ist der Fall, wenn das Spatprodukt ½~
e1~
a des Anschauungsraumes ist dann
e2~
e 3 nicht verschwindet. Jeder Vektor ~
als Linearkombination dieser Basisvektoren darstellbar:
~
a ¼ l~
e 1 þ m~
e 2 þ n~
e3
ðII-120Þ
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
103
Die Basisvektoren sind dabei stets linear unabhängig, d. h. die lineare Vektorgleichung
e1 þ l2~
e2 þ l3~
e3 ¼ ~
0
l1~
ðII-121Þ
ist nur für l 1 ¼ l 2 ¼ l 3 ¼ 0 erfüllbar 7).
Wie in der Ebene lässt sich auch im 3-dimensionalen Raum der Begriff der Linearen
Unabhängigkeit auf Systeme von k Vektoren ~
a 1, ~
a 2, . . . , ~
a k übertragen. Diese k Vektoren werden als linear unabhängig bezeichnet, wenn die aus ihnen gebildete lineare
Vektorgleichung
0
l1 ~
a1 þ l2 ~
a2 þ . . . þ lk ~
ak ¼ ~
ðII-122Þ
nur für verschwindende Koeffizienten erfüllt werden kann ðl 1 ¼ 0, l 2 ¼ 0, . . . ,
l k ¼ 0Þ. Anderenfalls heißen die k Vektoren linear abhängig (es ist dann mindestens
ein Koeffizient von Null verschieden).
Im 3-dimensionalen Raum R3 gibt es maximal drei linear unabhängige Vektoren, mehr
als drei Vektoren sind dagegen stets linear abhängig.
&
Beispiele
(1)
Die drei Einheitsvektoren ~
e x, ~
e y, ~
e z sind linear unabhängig, denn das mit diesen
Vektoren gebildete Spatprodukt ist von Null verschieden (wir verwenden die Determinantenschreibweise):
1
½~
ex ~
ey ~
e z ¼ 0
0
0
1
0
0
0
1
¼ 1 6¼ 0
(Berechnung nach der Regel von Sarrus).
(2)
Wir prüfen, ob die drei Kraftvektoren
0 1
1
~1 ¼ @ 0 A ,
F
1
0
1
1
~2 ¼ @ 1 A ,
F
0
0 1
1
~3 ¼ @ 1 A
F
2
in einer Ebene liegen, also komplanar sind (alle Kraftkomponenten in der Einheit Newton). Dies wäre genau dann der Fall, wenn die Kraftvektoren linear
abhängig sind.
7)
Die Vektorgleichung führt zu einem homogenen linearen Gleichungssystem, das nur trivial lösbar ist, d. h.
nur die Lösung l 1 ¼ l 2 ¼ l 3 ¼ 0 besitzt.
104
II Vektoralgebra
1. Lösungsweg
Wir berechnen das Spatprodukt
1 0
~1 F
~2 F
~3 ¼ 1 1
½F
1 1
der drei Vektoren:
1 0 ¼ 2 þ 0 1 ð1 þ 0 þ 0Þ ¼ 1 1 ¼ 0
2
Folgerung: Das Spatprodukt verschwindet, die drei Kräfte liegen somit in einer
Ebene.
2. Lösungsweg
Wir prüfen, für welche Werte der Koeffizienten l 1 , l 2 , l 3 die Vektorgleichung
~1 þ l 2 F
~2 þ l 3 F
~3 ¼ ~
l1 F
0
erfüllt ist. Dies führt zu dem folgenden linearen
0 1
0
1
0 1
1
1
1
B C
B
C
B C
l1 @ 0 A þ l2 @ 1 A þ l3 @ 1 A ¼
1
0
2
Gleichungssystem:
0 1
0
B C
@0A
0
Komponentenweise geschrieben:
ðIÞ
l1 l2 þ
l3 ¼ 0
l2 þ
l3 ¼ 0
)
l2 ¼ l3
þ 2 l3 ¼ 0
)
l1 ¼ 2 l3
ðIIÞ
ðIIIÞ
l1
Wir setzen die aus den Gleichungen (II) und (III) gefundenen Ausdrücke
l 2 ¼ l 3 und l 1 ¼ 2 l 3 in die erste Gleichung ein:
2 l3 þ l3 þ l3 ¼ 0 ) 0 ¼ 0
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
0
Diese Gleichung ist also unabhängig vom Wert des Koeffizienten l 3 immer erfüllt, d. h. l 3 ist ein frei wählbarer Parameter (wir setzen l 3 ¼ m mit m 2 R).
Aus (II) und (III) erhalten wir die übrigen Unbekannten:
ðIÞ
)
l2 ¼ l3 ¼ m ,
l1 ¼ 2 l3 ¼ 2 m
Die vom reellen Parameter m abhängende Lösung lautet damit:
l1 ¼ 2 m ,
l2 ¼ m ,
l3 ¼ m
ðm 2 RÞ
Es gibt also neben der trivialen Lösung l 1 ¼ l 2 ¼ l 3 ¼ 0 ðf ür m ¼ 0Þ noch
unendlich viele weitere Lösungen ðf ür m 6¼ 0Þ. Die drei Kraftvektoren sind somit
&
linear abhängig und liegen daher in einer Ebene.
4 Anwendungen in der Geometrie
105
4 Anwendungen in der Geometrie
4.1 Vektorielle Darstellung einer Geraden
4.1.1 Punkt-Richtungs-Form einer Geraden
Eine Gerade g soll durch den Punkt P 1 mit dem Ortsvektor ~
r 1 und parallel zu einem
(vorgegebenen) Vektor ~
a (Richtungsvektor genannt) verlaufen (Bild II-61). Wie lautet
die Gleichung dieser Geraden in vektorieller Form?
P1
r1
a
la
P
r ( l)
g
Bild II-61
Zur Punkt-Richtungs-Form einer Geraden
0
Bezeichnet man den laufenden Punkt der Geraden mit P, so ist der zugehörige Orts!
vektor ~
r ðPÞ die geometrische (vektorielle) Summe aus ~
r 1 und P 1 P :
!
~
r ðPÞ ¼ ~
r1 þ P1 P
ðII-123Þ
!
Da die Vektoren P 1 P und ~
a kollinear sind (sie liegen beide in der Geraden), gilt
ferner
!
P1 P ¼ l~
a
ðII-124Þ
l ist dabei ein geeigneter reeller Parameter, d. h. eine bestimmte reelle Zahl. Für den
Ortsvektor ~
r ðPÞ erhält man dann unter Verwendung dieser Beziehung
!
~
r ðPÞ ¼ ~
r1 þ P1 P ¼ ~
r1 þ l~
a
ðII-125Þ
Die Lage des Punktes P auf der Geraden g ist somit eindeutig durch den Parameter l
festgelegt. Wir bringen dies durch die Schreibweise ~
r ðPÞ ¼ ~
r ðlÞ zum Ausdruck. Die
gesuchte Geradengleichung lautet damit in der vektoriellen Parameterdarstellung wie
folgt:
106
II Vektoralgebra
Vektorielle Punkt-Richtungs-Form einer Geraden (Bild II-61)
~
a
r ðPÞ ¼ ~
r ðlÞ ¼ ~
r1 þ l~
ðII-126Þ
oder (in der Komponentenschreibweise)
0 1
0 1
0
1
0 1
x
ax
x1 þ l ax
x1
@ y A ¼ @ y1 A þ l @ ay A ¼ @ y1 þ l ay A
z1
az
z1 þ l az
z
ðII-127Þ
Dabei bedeuten:
x, y, z:
Koordinaten des laufenden Punktes P der Geraden
x 1, y 1, z 1 :
Koordinaten des vorgegebenen Punktes P 1 der Geraden
a der Geraden
a x , a y , a z : Skalare Vektorkomponenten des Richtungsvektors ~
Reeller Parameter ðl 2 RÞ
l:
Für l ¼ 0 erhält man den Punkt P 1 , für l > 0 werden alle Punkte in Richtung des
Richtungsvektors ~
a durchlaufen, für l < 0 alle Punkte in der Gegenrichtung (jeweils
vom Punkte P 1 aus betrachtet).
&
Beispiel
Wir bestimmen die Gleichung der Geraden g, die durch den Punkt P 1 ¼ ð 3; 2; 1Þ
0 1
5
B C
in Richtung des Vektors ~
a ¼ @ 2 A verläuft:
3
0
0 1
0
1
5
3 þ 5l
B
C
B C
B
C
~
r ðlÞ ¼ ~
r1 þ l~
a ¼ @2A þ l@2A ¼ @2 þ 2lA
1
3
1 þ 3l
3
1
ðl 2 RÞ
So gehört beispielsweise zum Parameterwert l ¼ 3 der folgende Punkt Q:
0
1
0 1
3þ53
18
B
C
B C
~
r ðQÞ ¼ ~
r ðl ¼ 3Þ ¼ @ 2 þ 2 3 A ¼ @ 4 A ) Q ¼ ð18; 4; 10Þ
1þ33
10
Zum Parameter l ¼ 1 gehört der Punkt R mit den folgenden Koordinaten:
1
0
1
0
2
35
C
B
C
B
~
r ðRÞ ¼ ~
r ðl ¼ 1Þ ¼ @ 2 2 A ¼ @ 4 A ) R ¼ ð 2; 4; 2Þ
2
13
&
4 Anwendungen in der Geometrie
107
4.1.2 Zwei-Punkte-Form einer Geraden
Eine Gerade g soll durch die beiden (voneinander verschiedenen) Punkte P 1 und P 2
mit den Ortsvektoren ~
r 1 und ~
r 2 verlaufen (Bild II-62).
r1
P1
r2 – r1
P2
r2
l (r 2 – r 1 )
P
r ( l)
g
Bild II-62
Zur Zwei-Punkte-Form einer Geraden
0
Die vektorielle Gleichung dieser Geraden erhalten wir durch analoge berlegungen wie
im vorangegangenen Abschnitt 4.1.1. Der Ortsvektor des laufenden Punktes P der Geraden g ist wiederum als Summenvektor in der Form
!
~
r ðPÞ ¼ ~
r1 þ P1 P
ðII-128Þ
!
!
r2 ~
r 1 kollinear sind, gilt
darstellbar. Da die Vektoren P 1 P und P 1 P 2 ¼ ~
!
!
P 1 P ¼ l P 1 P 2 ¼ l ð~
r2 ~
r 1Þ
ðII-129Þ
und somit
!
!
~
r 1 þ l ð~
r1 þ l P1 P2 ¼ ~
r2 ~
r 1Þ
r ðPÞ ¼ ~
r1 þ P1 P ¼ ~
ðII-130Þ
Dies ist die Parameterdarstellung einer Geraden durch zwei vorgegebene Punkte P 1
!
r2 ~
und P 2 in vektorieller Form, wobei der Vektor P 1 P 2 ¼ ~
r 1 als Richtungsvektor
angesehen werden kann. Für ~
r ðPÞ schreiben wir wieder ~
r ðlÞ, um die Abhängigkeit
vom Parameter l zum Ausdruck zu bringen.
Zusammenfassend gilt somit:
Vektorielle Zwei-Punkte-Form einer Geraden (Bild II-62)
!
~
r ðPÞ ¼ ~
r ðlÞ ¼ ~
r1 þ l P1 P2 ¼ ~
r 1 þ l ð~
r2 ~
r 1Þ
oder (in der Komponentenschreibweise)
0
1
0 1
0 1
0
1
x
x1
x2 x1
x 1 þ l ðx 2 x 1 Þ
B
C
B C
B C
B
C
@ y A ¼ @ y 1 A þ l @ y 2 y 1 A ¼ @ y 1 þ l ðy 2 y 1 Þ A
z1
z2 z1
z
z 1 þ l ðz 2 z 1 Þ
ðII-131Þ
ðII-132Þ
108
II Vektoralgebra
Dabei bedeuten:
x, y, z:
x 1, y 1, z 1
x 2, y 2, z 2
Koordinaten des laufenden Punktes P der Geraden
l:
Reeller Parameter ðl 2 RÞ
Koordinaten der vorgegebenen Punkte P 1 und P 2 der Geraden
Die Punkte P 1 und P 2 gehören zu den Parameterwerten l ¼ 0 bzw. l ¼ 1.
&
Beispiel
Wie lautet die Gleichung der Geraden g durch die beiden Punkte P 1 ¼ ð1; 1; 1Þ und
P 2 ¼ ð2; 0; 4Þ?
Lösung:
0 1
0
1
0
1
1
21
1þl
B C
B
C
B
C
~
r2 ~
r 1Þ ¼ @ 1 A þ l @ 0 1 A ¼ @ 1 l A
r ðlÞ ¼ ~
r 1 þ l ð~
1
41
1 þ 3l
ðl 2 RÞ
Zum Parameterwert l ¼ 2 beispielsweise gehört demnach der folgende Punkt Q:
0
1
0
1
1þ2
3
A ¼ @ 1 A ) Q ¼ ð3; 1; 7Þ
~
r ðQÞ ¼ ~
r ðl ¼ 2Þ ¼ @ 1 2
1þ32
7
&
4.1.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden
Gegeben ist eine Gerade g in der vektoriellen Punkt-Richtungs-Form
~
a
r ðlÞ ¼ ~
r1 þ l~
ðII-133Þ
und ein Punkt Q mit dem Ortsvektor ~
rQ (Bild II-63). Wir stellen uns die Aufgabe,
den (senkrechten) Abstand d dieses Punktes von der Geraden g zu bestimmen.
r1
P1
P1 Q
a
Q
rQ
d
P2
P1 P2
r2
0
g
Bild II-63
Zur Berechnung des
Abstandes eines Punktes
von einer Geraden
4 Anwendungen in der Geometrie
109
!
Dazu wählen wir auf der Geraden einen weiteren Punkt P 2 im Abstand j P 1 P 2 j ¼ 1
!
vom Punkte P 1 . Der Vektor P 1 P 2 ist somit der Einheitsvektor in Richtung des
Vektors ~
a:
~
a
!
P1 P2 ¼ ~
ea ¼
j~
aj
ðII-134Þ
!
rQ ~
r 1 das in Bild II-63
Dieser Vektor bildet zusammen mit dem Vektor P 1 Q ¼ ~
grau unterlegte Parallelogramm, dessen Höhe der gesuchte Abstand d des Punktes Q
von der Geraden g ist. Für den Flächeninhalt A dieses Parallelogramms gilt dann einerseits
!
A ¼ ðGrundlinieÞ ðHöheÞ ¼ j P 1 P 2 j d ¼ 1 d ¼ d
ðII-135Þ
andererseits
~
!
j~
a ð~
rQ ~
r 1 Þj
a
!
r 1 Þ ¼
A ¼ j P1 P2 P1 Q j ¼ ð~
rQ ~
j~
aj
j~
aj
ðII-136Þ
Durch Gleichsetzen erhält man schließlich die gewünschte Abstandsformel:
d ¼
j~
a ð~
rQ ~
r 1 Þj
j~
aj
ðII-137Þ
Wir halten fest:
Abstand eines Punktes von einer Geraden (II-63)
Der Abstand eines Punktes Q mit dem Ortsvektor ~
r Q von einer Geraden g mit
der Gleichung ~
r ðlÞ ¼ ~
r1 þ l~
a lässt sich wie folgt berechnen:
d ¼
j~
a ð~
rQ ~
r 1 Þj
j~
aj
ðII-138Þ
Anmerkung
Ist d ¼ 0, so liegt der Punkt Q auf der Geraden.
&
Beispiel
Die Gleichung einer Geraden g laute:
0 1
0 1
1
2
~
a ¼ @0A þ l@5A
r ðlÞ ¼ ~
r1 þ l~
1
2
ðl 2 RÞ
110
II Vektoralgebra
Wir berechnen den Abstand d des Punktes Q ¼ ð5; 3; 2Þ von dieser Geraden:
1
0
0 1
1
0
0 1
4
2
51
2
C
B
B C
C
B
B C
~
r 1Þ ¼ @ 5 A @ 3 0 A ¼ @ 5 A @ 3 A ¼
a ð~
rQ ~
3
2
2 1
2
1
0
1
0
21
15 6
C
B
C
B
¼ @
8 þ 6 A ¼ @ 14 A
14
6 20
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
j~
a ð~
rQ ~
r 1 Þj ¼
ð 21Þ 2 þ 14 2 þ ð 14Þ 2 ¼ 833
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
j~
aj ¼
2 2 þ 5 2 þ 2 2 ¼ 33
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
833
j~
a ð~
rQ ~
r 1 Þj
d ¼
¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 5,02
j~
aj
33
&
4.1.4 Abstand zweier paralleler Geraden
Zwei Geraden g 1 und g 2 können folgende Lagen zueinander haben:
g 1 und
g 1 und
g 1 und
g 1 und
Schnitt
g2
g2
g2
g2
fallen zusammen
sind zueinander parallel
schneiden sich in genau einem Punkt
sind windschief, d. h. sie verlaufen weder parallel noch kommen sie zum
In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit dem (senkrechten) Abstand d zweier
paralleler Geraden g 1 und g 2 mit den Gleichungen
~
r1 þ l1 ~
a1
r ðl 1 Þ ¼ ~
und
~
r ðl 2 Þ ¼ ~
r2 þ l2 ~
a2
ðII-139Þ
(l 1 , l 2 2 R; Bild II-64). Diese Geraden sind genau dann parallel, wenn ihre Richa 2 kollinear sind, d. h. ~
a1 ~
a2 ¼ ~
0 ist.
tungsvektoren ~
a 1 und ~
P2
r2
P1
r1
a1
a2
d
g2
Bild II-64
Zur Berechnung des Abstandes
zweier paralleler Geraden
0
g1
4 Anwendungen in der Geometrie
111
Wir betrachten den auf der Geraden g 2 gelegenen Punkt P 2 mit dem Ortsvektor ~
r 2.
Sein senkrechter Abstand von der Geraden g 1 beträgt dann nach Formel (II-138):
d ¼
j~
a 1 ð~
r2 ~
r 1 Þj
j~
a1 j
ðII-140Þ
rQ ¼ ~
r 2 ). Dieser Abstand ist zugleich der gesuchte
(Punkt Q ¼ Punkt P 2 und somit ~
Abstand der beiden parallelen Geraden.
Wir fassen wie folgt zusammen:
Abstand zweier paralleler Geraden (Bild II-64)
Der Abstand zweier paralleler Geraden g 1 und g 2 mit den Gleichungen
~
r ðl 1 Þ ¼ ~
r1 þ l1 ~
a1
und
~
r ðl 2 Þ ¼ ~
r2 þ l2 ~
a2
ðII-141Þ
lässt sich wie folgt berechnen:
d ¼
j~
a 1 ð~
r2 ~
r 1 Þj
j~
a1 j
ðII-142Þ
Anmerkungen
&
(1)
a1 ~
a2 ¼ ~
0 ist.
Die Geraden g 1 und g 2 sind genau dann parallel, wenn ~
(2)
Ist d ¼ 0, so fallen die beiden Geraden zusammen.
Beispiel
Die Geraden
g1 :
0 1
0 1
1
1
B C
B C
~
r ðl 1 Þ ¼ ~
r1 þ l1 ~
a1 ¼ @ 1 A þ l1 @ 1 A
1
4
ðl 1 2 RÞ
g2 :
0 1
0 1
3
4
B C
B C
~
r ðl 2 Þ ¼ ~
r2 þ l2 ~
a2 ¼ @ 0 A þ l2 @ 3 A
3
3
ðl 2 2 RÞ
und
a 2 kollineare Vektoren darstellen:
sind parallel, da ihre Richtungsvektoren ~
a 1 und ~
~
a2 ¼ 3~
a 1 . Wir berechnen jetzt den Abstand dieser Geraden:
112
II Vektoralgebra
0 1
0
1
0 1
0
1
1
41
1
3
B C
B
C
B C
B
C
~
r2 ~
r 1Þ ¼ @ 1 A @ 0 1 A ¼ @ 1 A @ 1 A ¼
a 1 ð~
1
34
1
1
0
1
0
B
C
B
C
¼ @ 3 þ 1A ¼ @ 4A
1 3
4
r2 ~
r 1Þ j ¼
j~
a 1 ð~
j~
a1 j ¼
1 þ 1
1
0
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
0 2 þ 4 2 þ ð 4Þ 2 ¼ 32 ¼ 4 2
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
12 þ 12 þ 12 ¼ 3
pﬃﬃﬃﬃﬃ
j~
a 1 ð~
r2 ~
r 1 Þj
4 2
¼ pﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 3,27
d ¼
j~
aj
3
&
4.1.5 Abstand zweier windschiefer Geraden
Wir gehen von zwei windschiefen Geraden g 1 und g 2 mit den Gleichungen
~
r1 þ l1 ~
r ðl 1 Þ ¼ ~
a1
~
r ðl 2 Þ ¼ ~
r2 þ l2 ~
a2
und
ðl 1 , l 2 2 RÞ
ðII-143Þ
aus (die Geraden verlaufen somit weder parallel noch kommen sie zum Schnitt, siehe
Bild II-65). Ihren Abstand d bestimmen wir wie folgt:
P2
a2
S2
g2
r2
E2
g 1*
d
g1
S1
P1
r1
a1
g 2*
E1
Bild II-65
Zur Berechnung des Abstandes zweier
windschiefer Geraden
0
Zunächst wird die Gerade g 2 so parallelverschoben, dass sie mit der Geraden g 1
zum Schnitt kommt (Schnittpunkt S 1 ). Die durch Parallelverschiebung erhaltene Gera-
4 Anwendungen in der Geometrie
113
de bezeichnen wir mit g *2 , sie bildet zusammen mit der Geraden g 1 die (untere) Ebene E 1 in Bild II-65. Jetzt verschieben wir die Gerade g 1 parallel zu sich selbst nach
„ oben “, bis sie die Gerade g 2 in S 2 schneidet. Die durch Parallelverschiebung gewonnene Gerade bezeichnen wir mit g *1 . Die Geraden g 2 und g *1 bilden die (obere)
Ebene E 2 in Bild II-65, die parallel zur Ebene E 1 verläuft. Der Abstand dieser Parallelebenen ist zugleich der gesuchte Abstand d der beiden windschiefen Geraden g 1
und g 2 . Auf die Herleitung der Abstandsformel wollen wir verzichten und teilen nur
das Ergebnis mit:
Abstand zweier windschiefer Geraden (Bild II-65)
Der Abstand zweier windschiefer Geraden g 1 und g 2 mit den Gleichungen
~
r ðl 1 Þ ¼ ~
r1 þ l1 ~
a1
und
~
r ðl 2 Þ ¼ ~
r2 þ l2 ~
a2
ðII-144Þ
lässt sich wie folgt berechnen:
d ¼
j ½~
a1 ~
r2 ~
r 1Þ j
a 2 ð~
j~
a1 ~
a2 j
ðII-145Þ
Anmerkung
Die Geraden g 1 und g 2 sind genau dann windschief, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
~
a 2 6¼ ~
0
a1 ~
&
und
½~
a1 ~
r2 ~
r 1 Þ 6¼ 0
a 2 ð~
Beispiel
Gegeben sind zwei Geraden g 1 und g 2 :
g1
g2
0 1
1
B C
durch P 1 ¼ ð1; 2; 0Þ mit dem Richtungsvektor ~
a1 ¼ @ 1 A
1
0 1
2
B C
durch P 2 ¼ ð3; 0; 2Þ mit dem Richtungsvektor ~
a2 ¼ @ 0 A
1
Wir zeigen zunächst, dass es sich um windschiefe Geraden handelt.
0 1
0 1
0
1
0
1
0 1
1
2
10
1
0
~
a1 ~
a 2 ¼ @ 1 A @ 0 A ¼ @ 2 1 A ¼ @ 1 A 6¼ @ 0 A
1
1
02
2
0
ðII-146Þ
114
II Vektoralgebra
1
½~
a1 ~
r2 ~
r 1Þ ¼ 2
a 2 ð~
ð3 1Þ
1
0
ð0 2Þ
1
1
ð2 0Þ
1
¼ 2
2
1
0
2
1
1
2
¼
¼ 0 þ 2 4 ð0 2 þ 4Þ ¼ 2 2 ¼ 4
Somit gilt:
~
a 2 6¼ ~
0
a1 ~
½~
a1 ~
r2 ~
r 1 Þ 6¼ 0
a 2 ð~
und
Die Geraden g 1 und g 2 sind also nach dem Kriterium (II-146) windschief. Mit
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
j~
a1 ~
a2 j ¼
1 2 þ 1 2 þ ð 2Þ 2 ¼ 6
folgt für ihren Abstand nach Formel (II-145):
d ¼
j ½~
a1 ~
r2 ~
r 1Þ j
j 4j
4
a 2 ð~
¼ pﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 1,63
a2 j
j~
a1 ~
6
6
&
4.1.6 Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden
Berechnung des Schnittpunktes (Bild II-66)
Den Schnittpunkt S zweier Geraden g 1 und g 2 mit den Gleichungen
~
r1 þ l1 ~
r ðl 1 Þ ¼ ~
a1
und
~
r ðl 2 Þ ¼ ~
r2 þ l2 ~
a2
ðl 1 , l 2 2 RÞ
ðII-147Þ
bestimmt man aus der Vektorgleichung
~
r2 þ l2 ~
a1 ¼ ~
a2
r1 þ l1 ~
ðII-148Þ
die man durch Gleichsetzen der Vektoren ~
r ðl 1 Þ und ~
r ðl 2 Þ erhält 8).
Diese Vektorgleichung führt komponentenweise geschrieben zu einem linearen
Gleichungssystem mit drei Gleichungen in den beiden Unbekannten l 1 und l 2 . Die
(eindeutige) Lösung dieses Systems liefert die zum Schnittpunkt S gehörigen Parameterwerte l *1 , l *2 . Den Ortsvektor ~
r S des Schnittpunktes S erhält man dann durch Einsetzen dieser Werte in die Gleichung der Geraden g 1 bzw. g 2 :
~
rS ¼ ~
r 1 þ l*1 ~
a1
8)
bzw:
~
rS ¼ ~
r 2 þ l*2 ~
a2
ðII-149Þ
Die beiden Geraden schneiden sich genau dann in einem Punkt S, wenn die Bedingungen ~
a1 ~
a 2 6¼ ~
0
a 2 ð~
und ½ ~
a1 ~
r2 ~
r 1 Þ ¼ 0 erfüllt sind (siehe hierzu Bild II-66). Die Vektoren ~
a 1, ~
a 2 und ~
r2 ~
r1
müssen also komplanar sein, d. h. in einer gemeinsamen Ebene liegen und die Richtungsvektoren ~
a 1 und
~
a 2 dürfen nicht kollinear sein.
4 Anwendungen in der Geometrie
115
g2
a2
P2
r2
a2
S
P1
f
r1
a1
a1
g1
0
Bild II-66
Zur Berechnung des Schnittpunktes und
Schnittwinkels zweier Geraden
Berechnung des Schnittwinkels (Bild II-66)
Definitionsgemäß verstehen wir unter dem Schnittwinkel j zweier Geraden g 1 und
g 2 den Winkel zwischen den zugehörigen Richtungsvektoren ~
a 1 und ~
a 2 (Bild II-66).
Für den Schnittwinkel erhalten wir nach Gleichung (II-74):
Schnittwinkel zweier Geraden (Bild II-66)
a1
Der Schnittwinkel j zweier Geraden g 1 und g 2 mit den Richtungsvektoren ~
und ~
a 2 lässt sich wie folgt berechnen:
~
a2
a1 ~
j ¼ arccos
ðII-150Þ
j~
a1 j j~
a2 j
&
Beispiel
Gegeben sind die Geraden
g1 :
0 1
0 1
1
2
B C
B C
~
r ðl 1 Þ ¼ ~
r1 þ l1 ~
a1 ¼ @ 1 A þ l1 @ 1 A
0
1
g2 :
0
1
0 1
1
2
B
C
B C
~
r ðl 2 Þ ¼ ~
r2 þ l2 ~
a2 ¼ @ 0 A þ l2 @ 1 A
2
2
und
ðl 1 2 RÞ
ðl 2 2 RÞ
In welchem Punkt S schneiden sich die Geraden, welcher Winkel j wird von ihnen
eingeschlossen?
116
II Vektoralgebra
Lösung: Wir zeigen zunächst, dass die beiden Richtungsvektoren ~
a 1 und ~
a 2 nicht-kollinear sind:
0 1
0
1
0
1
0
1
2
1
2þ1
3
B C
B
C
B
C
B
C
~
a 2 ¼ @ 1 A @ 1 A ¼ @ 1 4 A ¼ @ 3 A 6¼ ~
0
a1 ~
1
2
2 1
3
Sie liegen mit dem Verbindungsvektor ~
r2 ~
r 1 in einer Ebene (komplanare Vektoren),
da das Spatprodukt dieser Vektoren verschwindet:
2
2
1 ð2 1Þ 1
1 r2 ~
r 1 Þ ¼ 1 1 ð0 1Þ ¼ 1 1 1 ¼
a 2 ð~
½~
a1 ~
1
1
2 ð2 0Þ 2
2
¼ 4 1 þ 2 þ 1 þ 4 2 ¼ 0
Die Geraden g 1 und g 2 schneiden sich also in einem Punkt. Wir berechnen jetzt ihren
Schnittpunkt S und ihren Schnittwinkel j.
Berechnung des Schnittpunktes S
r ðl 2 Þ folgt die Vektorgleichung
Aus der Bedingung ~
r ðl 1 Þ ¼ ~
0 1
1
0 1
0
0 1
2
2
1
1
B C
C
B C
B
B C
@ 1 A þ l 1@ 1 A ¼ @ 0 A þ l 2@ 1 A
2
1
2
0
In der Komponentenschreibweise erhalten wir
1 þ 2 l1 ¼ 2 þ
l2
1þ
l1 ¼ 0 l2
0þ
l1 ¼ 2 þ 2 l2
2 l1 oder
l1 þ
l2 ¼
1
l2 ¼ 1
l1 2 l2 ¼
2
Dieses lineare Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung (bitte nachrechnen!):
r S des gesuchten Schnittpunktes S lautet damit:
l 1 ¼ 0, l 2 ¼ 1. Der Ortsvektor ~
0 1
0 1
0 1
1
2
1
B C
B C
B C
~
r ðl 1 ¼ 0Þ ¼ @ 1 A þ 0 @ 1 A ¼ @ 1 A ) S ¼ ð1; 1; 0Þ
rS ¼ ~
0
1
0
Zum gleichen Ergebnis kommt man, wenn man in die Gleichung der Geraden g 2 für
den Parameter l 2 den Wert 1 einsetzt:
0 1
0
1
0
1
0 1
2
1
21
1
B C
B
C
B
C
B C
~
r ðl 2 ¼ 1Þ ¼ @ 0 A 1 @ 1 A ¼ @ 0 þ 1 A ¼ @ 1 A
rS ¼ ~
2
2
22
0
4 Anwendungen in der Geometrie
117
Berechnung des Schnittwinkels j (nach Formel (II-150))
1
0 1 0
1
2
C
B C B
~
a2 ¼ @ 1 A @ 1 A ¼ 2 1 þ 2 ¼ 3
a1 ~
2
1
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
2
2
2
j~
a1 j ¼
2 þ 1 þ 1 ¼ 6,
1 2 þ ð 1Þ 2 þ 2 2 ¼ 6
j~
a2 j ¼
~
a2
3
1
a1 ~
¼ 60
j ¼ arccos
¼ arccos pﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ arccos
2
j~
a1 j j~
a2 j
6 6
&
4.2 Vektorielle Darstellung einer Ebene
4.2.1 Punkt-Richtungs-Form einer Ebene
Eine Ebene E soll durch den Punkt P 1 mit dem Ortsvektor ~
r 1 und parallel zu zwei
nichtkollinearen Vektoren ~
a und b~ (Richtungsvektoren genannt) verlaufen (Bild II-67) 9).
Wie lautet die Gleichung dieser Ebene in vektorieller Form?
P
mb
P 1P
r (l;m)
b
E
P1
a
la
Bild II-67
Zur Punkt-Richtungs-Form einer Ebene
r1
0
Bezeichnet man den laufenden Punkt der Ebene mit P, so ist der in der Ebene liegende
!
a und m b~:
Vektor P 1 P die vektorielle Summe aus l ~
!
P1 P ¼ l~
a þ m b~
ðII-151Þ
l und m sind dabei zwei voneinander unabhängige reelle Parameter. Der Ortsvektor
von P ist dann als Summenvektor
!
~
r1 þ l~
a þ m b~
ðII-152Þ
r ðPÞ ¼ ~
r1 þ P1 P ¼ ~
darstellbar. Die Lage des laufenden Punktes P auf der Ebene ist somit eindeutig durch
die Parameter l und m festgelegt. Wir bringen dies durch die Schreibweise
~
r ðPÞ ¼ ~
r ðl; mÞ zum Ausdruck.
9)
Wir erinnern: Zwei Vektoren ~
a und b~ sind nichtkollinear, wenn ~
a b 6¼ ~
0 ist.
118
II Vektoralgebra
Die Gleichung der Ebene E lautet damit in der vektoriellen Parameterform wie folgt:
Vektorielle Punkt-Richtungs-Form einer Ebene (Bild II-67)
~
a þ m b~
r ðPÞ ¼ ~
r ðl; mÞ ¼ ~
r1 þ l~
ðII-153Þ
oder (in der Komponentenschreibweise)
0 1
0 1
0 1
0
1
0 1
ax
bx
x1 þ l ax þ m bx
x
x1
B C
B C
B C
B
C
B C
@ y A ¼ @ y1 A þ l @ ay A þ m @ by A ¼ @ y1 þ l ay þ m by A
z1
az
bz
z1 þ l az þ m bz
z
ðII-154Þ
Dabei bedeuten:
x, y, z:
x 1, y 1, z 1 :
a x , a y, a z
b x , b y, b z
Koordinaten des laufenden Punktes P der Ebene
Koordinaten des vorgegebenen Punktes P 1 der Ebene
Skalare Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) der nichtkollinearen Richtungsvektoren ~
a und b~ der Ebene ð~
a b~ 6¼ ~
0Þ
l, m:
Voneinander unabhängige reelle Parameter ðl, m 2 RÞ
Anmerkung
Ein auf der Ebene E senkrecht stehender Vektor ~
n heißt Normalenvektor der Ebene.
Einen solchen Vektor erhält man beispielsweise aus den beiden Richtungsvektoren ~
a
und b~ durch Bildung des Vektorproduktes:
~
n ¼ ~
a b~
&
ðII-155Þ
Beispiel
Die Ebene E verläuft
0 1
2
B C
~
a ¼ @ 5 A und b~ ¼
1
terform wie folgt:
durch den Punkt P 1 ¼ ð3; 5; 1Þ, ihre Richtungsvektoren sind
0 1
5
B C
@ 1 A. Die Gleichung dieser Ebene lautet dann in der Parame3
0 1
0 1
0 1
3
2
5
B C
B C
~
a þ m b~ ¼ @ 5 A þ l @ 5 A þ m @ 1 A ¼
r ðl; mÞ ¼ ~
r1 þ l~
3
1
1
0 1
0
1
0
1 0
1
3
2l
5m
3 þ 2l þ 5m
B C
B
C
B
C B
C
¼ @5A þ @5lA þ @ mA ¼ @5 þ 5l þ mA
1
l
3m
1þ
l þ 3m
ðl, m 2 RÞ
4 Anwendungen in der Geometrie
119
So gehört z. B. zu dem Parameterpaar l ¼
0
3þ2
B
~
r ðQÞ ¼ ~
r ðl ¼ 1; m ¼ 2Þ ¼ B
@5 þ 5
1þ1
1, m ¼ 2 der folgende Punkt Q:
0 1
1
15
1þ52
B C
C
C ¼ B 12 C )
1þ2
@ A
A
8
þ32
Q ¼ ð15; 12; 8Þ
Der Vektor
0 1
0 1
0
1
0
1
2
5
15 1
14
B C
B C
B
C
B
C
~
n ¼~
a b~ ¼ @ 5 A @ 1 A ¼ @ 5 6 A ¼ @ 1 A
1
3
2 25
23
steht dabei senkrecht auf der Ebene E (Normalenvektor).
&
4.2.2 Drei-Punkte-Form einer Ebene
Eine Ebene E soll durch drei (voneinander verschiedene und nicht in einer gemeinsamen Geraden liegende) Punkte P 1 , P 2 und P 3 mit den Ortsvektoren ~
r 1, ~
r 2 und ~
r3
verlaufen (Bild II-68).
P3
r3 –
r1
r3
P
r (l;m)
P1
E
P2
r2 – r1
r1
Bild II-68
Zur Drei-Punkte-Form einer Ebene
r2
0
Die vektorielle Gleichung dieser Ebene erhalten wir durch analoge berlegungen wie im
vorangegangenen Abschnitt 4.2.1. Der Ortsvektor des laufenden Punktes P der Ebene
ist der Summenvektor
!
!
~
r ðPÞ ¼ ~
r1 þ l P1 P2 þ m P1 P3
ðII-156Þ
120
II Vektoralgebra
Ferner ist
!
r2 ~
r1
P1 P2 ¼ ~
und
!
r3 ~
P1 P3 ¼ ~
r1
ðII-157Þ
und somit
~
r2 ~
r 1 Þ þ m ð~
r3 ~
r 1Þ
r ðPÞ ¼ ~
r 1 þ l ð~
ðl, m 2 RÞ
ðII-158Þ
Dies ist die Parameterdarstellung einer Ebene durch drei vorgegebene Punkte P 1 , P 2
und P 3 in vektorieller Form. Für ~
r ðPÞ schreiben wir wieder ~
r ðl; mÞ, um zum Ausdruck zu bringen, dass der laufende Punkt P der Ebene durch die beiden Parameterwerte eindeutig festgelegt ist.
Wir fassen zusammen:
Vektorielle Drei-Punkte-Form einer Ebene (Bild II-68)
!
!
~
r ðPÞ ¼ ~
r ðl; mÞ ¼ ~
r1 þ l P1 P2 þ m P1 P3 ¼
r2 ~
r 1 Þ þ m ð~
r3 ~
r 1Þ
¼~
r 1 þ l ð~
oder (in der Komponentenschreibweise)
0 1
0 1
0
1
0
1
x
x1
x2 x1
x3 x1
B C
B C
B
C
B
C
@ y A ¼ @ y1 A þ l @ y2 y1 A þ m @ y3 y1 A ¼
z
z1
z2 z1
z3 z1
0
1
x 1 þ l ðx 2 x 1 Þ þ m ðx 3 x 1 Þ
B
C
¼ @ y 1 þ l ðy 2 y 1 Þ þ m ðy 3 y 1 Þ A
ðII-159Þ
ðII-160Þ
z 1 þ l ðz 2 z 1 Þ þ m ðz 3 z 1 Þ
Dabei bedeuten:
x, y, z:
Koordinaten des laufenden Punktes P der Ebene
9
x 1, y 1, z 1 >
=
Koordinaten der vorgegebenen Punkte P 1 , P 2 und P 3 der Ebene
x 2, y 2, z 2
>
;
x 3, y 3, z 3
Voneinander unabhängige reelle Parameter ðl, m 2 RÞ
l, m:
Anmerkungen
(1)
Die Punkte P 1 , P 2 , P 3 dürfen nicht in einer gemeinsamen Geraden liegen, d. h. es
muss die folgende Bedingung erfüllt sein:
ð~
r2 ~
r 1 Þ ð~
r3 ~
r 1 Þ 6¼ ~
0
ðII-161Þ
4 Anwendungen in der Geometrie
(2)
121
!
!
r2 ~
r3 ~
Die nichtkollinearen Vektoren P 1 P 2 ¼ ~
r 1 und P 1 P 3 ¼ ~
r 1 können
als Richtungsvektoren der Ebene aufgefasst werden. Der Normalenvektor ~
n der
Ebene ist dann wie folgt als Vektorprodukt darstellbar:
!
!
~
n ¼ P 1 P 2 P 1 P 3 ¼ ð~
r2 ~
r 1 Þ ð~
r3 ~
r 1Þ
&
ðII-162Þ
Beispiel
Gegeben sind drei Punkte P 1 ¼ ð1; 5; 0Þ, P 2 ¼ ð 2; 1; 8Þ und P 3 ¼ ð2; 0; 1Þ.
Wie lautet die Gleichung der Ebene durch diese Punkte?
Lösung: Die Ortsvektoren der drei Punkte lauten:
0 1
0
1
1
2
B C
B
C
~
~
r2 ¼ @ 1 A
und
r1 ¼ @ 5 A ,
0
0 1
2
B C
~
r3 ¼ @ 0 A
1
8
Damit erhalten wir die folgenden Richtungsvektoren:
0
1
0 1
0
1
0
1
2
1
2 1
3
!
B
C
B C
B
C
B
C
P1 P2 ¼ ~
r2 ~
r1 ¼ @ 1 A @ 5 A ¼ @ 1 5 A ¼ @ 6 A
8
0
80
8
0 1
0 1
0
1
0
1
2
1
21
1
!
B C
B C
B
C
B
C
r3 ~
r1 ¼ @ 0 A @ 5 A ¼ @ 0 5 A ¼ @ 5 A
P1 P3 ¼ ~
1
0
10
1
Sie sind nichtkollinear:
0
3
1
0
1
1
0
6 þ 40
1
0
34
1
B
C
B
C
B
C
B C
ð~
r2 ~
r 1 Þ ð~
r3 ~
r 1 Þ ¼ @ 6 A @ 5 A ¼ @ 8 þ 3 A ¼ @ 11 A 6¼ ~
0
8
1
15 þ 6
21
Die Gleichung der Ebene lautet damit in der vektoriellen Parameterform wie folgt:
~
r2 ~
r 1 Þ þ m ð~
r3 ~
r 1Þ ¼
r ðl; mÞ ¼ ~
r 1 þ l ð~
0 1
0
1
0
1
0
1
1
3
1
1 3l þ m
B C
B
C
B
C
B
C
¼ @ 5 A þ l @ 6 A þ m @ 5 A ¼ @ 5 6 l 5 m A ðl, m 2 RÞ
0
8
1
8l þ m
&
122
II Vektoralgebra
4.2.3 Gleichung einer Ebene senkrecht zu einem Vektor
Eine Ebene E soll den Punkt P 1 mit dem Ortsvektor ~
r 1 enthalten und senkrecht zu
einem Vektor ~
n (Normalenvektor genannt) verlaufen (Bild II-69). Ist ~
r der Ortsvektor
!
r ~
r 1 in der Ebene
des laufenden Punktes P der Ebene, so liegt der Vektor P 1 P ¼ ~
und steht somit senkrecht auf dem Normalenvektor ~
n . Dies aber bedeutet, dass das skalare Produkt der Vektoren ~
n und ~
r ~
r 1 verschwindet (orthogonale Vektoren). Die
Gleichung der Ebene lautet daher:
~
n ð~
r ~
r 1Þ ¼ 0
~
n~
r ¼ ~
n~
r1
oder
ðII-163Þ
n
r – r1
P1
r1
P
E
r
Bild II-69
Ebene senkrecht zu einem Normalenvektor
0
Wir fassen zusammen:
Gleichung einer Ebene senkrecht zu einem Vektor (Bild II-69)
~
n ð~
r ~
r 1Þ ¼ 0
ðII-164Þ
oder (ausgeschrieben)
n x ðx x 1 Þ þ n y ðy y 1 Þ þ n z ðz z 1 Þ ¼ 0
ðII-165Þ
Dabei bedeuten:
x, y, z:
Koordinaten des laufenden Punktes P der Ebene
x 1, y 1, z 1 :
Koordinaten des vorgegebenen Punktes P 1 der Ebene
n x, n y, n z :
Skalare Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) des Normalenvektors
~
n (steht senkrecht auf der Ebene E)
Anmerkung
Gleichung (II-164) bzw. (II-165) wird auch als Koordinatendarstellung der Ebene
bezeichnet. Ihre allgemeine Form lautet:
ax þ by þ cz þ d ¼ 0
ða, b, c, d : Reelle KonstantenÞ
ðII-166Þ
4 Anwendungen in der Geometrie
&
123
Beispiel
Die Gleichung der Ebene E durch den Punkt P 1 ¼ ð2; 5; 3Þ senkrecht zum Vektor
0 1
4
B C
~
n ¼ @ 2 A (Normalenvektor) lautet wie folgt:
5
0 1 0
1
4
x 2
B C B
C
~
n ð~
r ~
r 1 Þ ¼ @ 2 A @ y þ 5 A ¼ 4 ðx 2Þ þ 2 ðy þ 5Þ þ 5 ðz 3Þ ¼ 0
5
z3
4 x 8 þ 2 y þ 10 þ 5 z 15 ¼ 0
)
4 x þ 2 y þ 5 z 13 ¼ 0
&
4.2.4 Abstand eines Punktes von einer Ebene
Gegeben ist eine Ebene E mit der Gleichung ~
n ð~
r ~
r 1 Þ ¼ 0 und ein Punkt Q mit
dem Ortsvektor ~
r Q (Bild II-70). Welchen (senkrechten) Abstand d besitzt dieser Punkt
von der Ebene E?
Q ′′
b
Q
P1 Q
rQ
d
n
E
P1
Q′
r1
Bild II-70
Zur Berechnung des Abstandes eines Punktes
von einer Ebene
0
!
Wir bestimmen zunächst den Vektor P 1 Q. Er ist als Differenzvektor in der Form
!
P1 Q ¼ ~
rQ ~
r1
ðII-167Þ
darstellbar. Seine Projektion in die Richtung des Normalenvektors ~
n ergibt den Vektor
!00
!
0
~
P 1 Q ¼ b, der mit dem Vektor Q Q der Länge d übereinstimmt 10). Somit gilt
!
b~ ¼ Q 0 Q
10)
mit
j b~j ¼ d
Q 0 ist der Fußpunkt des Lotes von Q auf die Ebene E.
ðII-168Þ
124
II Vektoralgebra
!
Andererseits gilt für die Projektion von P 1 Q auf ~
n nach Gleichung (II-86):
!
! !
~
~
r 1Þ
n P1 Q
n ð~
rQ ~
~
~
~
n ¼
n
b ¼
j~
n j2
j~
n j2
Dieser Vektor besitzt den Betrag
~
r 1 Þ j~
n ð~
rQ ~
r 1Þ j
j~
n ð~
rQ ~
r 1Þ j
rQ ~
n ð~
~
~
j~
nj ¼
jbj ¼ n ¼
2
2
j~
nj
j~
nj
j~
nj
ðII-169Þ
ðII-170Þ
Somit ist wegen j b~j ¼ d :
j b~j ¼ d ¼
j~
n ð~
rQ ~
r 1Þ j
j~
nj
ðII-171Þ
der gesuchte Abstand des Punktes Q von der Ebene E.
Wir fassen zusammen:
Abstand eines Punktes von einer Ebene (Bild II-70)
Der Abstand eines Punktes Q mit dem Ortsvektor ~
r Q von einer Ebene E mit
der Gleichung ~
n ð~
r ~
r 1 Þ ¼ 0 beträgt
d ¼
&
j~
n ð~
rQ ~
r 1Þ j
j~
nj
ðII-172Þ
0 1
1
B C
n ¼ @ 3 A.
Eine Ebene E enthält den Punkt P 1 ¼ ð1; 0; 9Þ, ihr Normalenvektor ist ~
5
Wir berechnen den Abstand d des Punktes Q ¼ ð 2; 1; 3Þ von dieser Ebene mit Hilfe der Formel (II-172):
0 1 0
1
0 1 0
1
1
2 1
1
3
B C B
C
B C B
C
~
n ð~
rQ ~
r 1Þ ¼ @ 3 A @ 1 0 A ¼ @ 3 A @ 1 A ¼
5
39
5
6
Beispiel
¼ 3 þ 3 30 ¼ 30
j~
nj ¼
d ¼
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 2 þ 3 2 þ 5 2 ¼ 35
j~
n ð~
rQ ~
r 1Þ j
j 30 j
30
¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 5,07
j~
nj
35
35
&
4 Anwendungen in der Geometrie
125
4.2.5 Abstand einer Geraden von einer Ebene
Eine Gerade g und eine Ebene E können folgende Lagen zueinander haben:
g liegt in der Ebene E
g und E sind zueinander parallel
g und E schneiden sich in genau einem Punkt
Wir setzen in diesem Abschnitt voraus, dass die Gerade g mit der Gleichung
~
a parallel zur Ebene E mit der Gleichung ~
n ð~
r ~
r 0 Þ ¼ 0 verläuft
r ðlÞ ¼ ~
r1 þ l~
(Bild II-71). Dies ist genau dann der Fall, wenn der Richtungsvektor ~
a der Geraden
senkrecht auf dem Normalenvektor ~
n der Ebene steht, d. h. ~
n~
a ¼ 0 ist.
g
a
P1
d
r1
d
n
P0
Parallele
zu g in der
Ebene E
r0
Bild II-71
Zur Berechnung des Abstandes
einer Geraden von einer Ebene
E
0
Dann hat jeder Punkt der Geraden g den gleichen Abstand d von der Ebene E. Wir
wählen auf g den bekannten Punkt P 1 mit dem Ortsvektor ~
r 1. Nach den Ergebnissen
des vorangegangenen Abschnitts gilt dann (Gleichung II-172):
Abstand einer Geraden von einer Ebene (Bild II-71)
Der Abstand einer Geraden g mit der Gleichung ~
r ðlÞ ¼ ~
r1 þ l~
a von einer zu
ihr parallelen Ebene E mit der Gleichung ~
n ð~
r ~
r 0 Þ ¼ 0 beträgt
d ¼
j~
n ð~
r1 ~
r 0Þ j
j~
nj
ðII-173Þ
Anmerkungen
(1)
Gerade und Ebene sind genau dann zueinander parallel, wenn ~
n~
a ¼ 0 ist.
(2)
Ist zusätzlich d ¼ 0, so liegt die Gerade g in der Ebene E.
126
&
II Vektoralgebra
Beispiel
Wir berechnen den Abstand d zwischen der Geraden
0
g:
1
1
C
B
Richtungsvektor ~
a ¼ @4A
2
P 1 ¼ ð0; 1; 1Þ,
und der (zu ihr parallelen) Ebene
E:
0 1
2
B C
Normalenvektor ~
n ¼ @1A
3
P 0 ¼ ð1; 5; 2Þ,
Zunächst aber zeigen wir, dass Gerade und Ebene parallel verlaufen und die Abstandsformel (II-173) daher auf dieses Beispiel anwendbar ist:
0 1 0
1
2
1
B C B
C
~
n~
a ¼ @ 1 A @ 4 A ¼ 2 4 þ 6 ¼ 0 ) g jj E
3
2
Ferner ist
1
0 1 0
1
0 1 0
1
2
01
2
C
B C B
C
B C B
~
r 0Þ ¼ @ 1 A @ 1 5 A ¼ @ 1 A @ 4 A ¼
n ð~
r1 ~
3
3
1 2
3
¼ 2 4 9 ¼ 15
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
j~
nj ¼
2 2 þ 1 2 þ 3 2 ¼ 14
Aus Gleichung (II-173) folgt dann
d ¼
j~
n ð~
r1 ~
r 0Þ j
j 15 j
15
¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 4,01
j~
nj
14
14
&
4.2.6 Schnittpunkt und Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene
Wir setzen in diesem Abschnitt voraus, dass sich die Gerade g mit der Gleichung
~
r ðlÞ ¼ ~
r1 þ l~
a und die Ebene E mit der Gleichung ~
n ð~
r ~
r 0 Þ ¼ 0 in einem
Punkt S schneiden (siehe hierzu auch Abschnitt 4.2.5). Dies ist genau dann der Fall,
wenn ~
n~
a 6¼ 0 ist.
4 Anwendungen in der Geometrie
127
g
n
rS
n
r0
P0
f
a
S
E
Bild II-72
Zur Berechnung des Schnittpunktes
und Schnittwinkels einer Geraden
mit einer Ebene
a
r1
P1
0
Berechnung des Schnittpunktes (Bild II-72)
Der Ortsvektor ~
r S des Schnittpunktes S erfüllt dann sowohl die Geradengleichung als
auch die Gleichung der Ebene (Bild II-72):
~
r1 þ lS ~
a
rS ¼ ~
und
~
r 0Þ ¼ 0
n ð~
rS ~
ðII-174Þ
Durch Einsetzen der 1. Gleichung in die 2. Gleichung erhalten wir eine Bestimmungsgleichung für den zum Schnittpunkt S gehörigen Parameter l S :
~
r 0Þ ¼ ~
n ð~
r1 þ lS ~
n ð~
r1 ~
r0 þ lS ~
a~
r 0Þ ¼ ~
aÞ ¼
n ð~
rS ~
¼ ~
n ð~
r1 ~
r 0 Þ þ l S ð~
n~
aÞ ¼ 0
ðII-175Þ
Wir lösen diese Gleichung nach l S auf:
lS ¼ ~
~
r 0Þ
r 1Þ
n ð~
r1 ~
n ð~
r0 ~
¼
~
~
n~
a
n~
a
ðII-176Þ
Diesen Wert setzen wir in die Geradengleichung ein und erhalten den Ortsvektor ~
rS
des Schnittpunktes S:
~
r 1Þ
n ð~
r0 ~
~
~
r1 þ lS ~
a ¼~
r1 þ
rS ¼ ~
a
ðII-177Þ
~
n~
a
Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene (Bild II-72)
a mit der
Der Ortsvektor des Schnittpunktes S der Geraden g: ~
r ðlÞ ¼ ~
r1 þ l~
Ebene E: ~
n ð~
r ~
r 0 Þ ¼ 0 lautet:
~
r 1Þ
n ð~
r0 ~
~
~
r1 þ
rS ¼ ~
a
ð~
n~
a ¼
6 ~
0Þ
ðII-178Þ
~
n~
a
Anmerkung
Gerade und Ebene schneiden sich genau dann in einem Punkt S, wenn die Bedingung
~
n~
a 6¼ ~
0 erfüllt ist.
128
II Vektoralgebra
Berechnung des Schnittwinkels (Bild II-72)
Der gesuchte Schnittwinkel j zwischen Gerade und Ebene ist der Neigungswinkel der
Geraden gegenüber der Ebene (Bild II-72). Für ihn gilt: 0 j 90 . Er hängt mit
dem Winkel a zwischen dem Richtungsvektor ~
a der Geraden und dem Normalenvektor ~
n der Ebene wie folgt zusammen:
a ¼ 90 þ j
oder
a ¼ 90 j
ðII-179Þ
(abhängig von der Orientierung (Richtung) des Normalenvektors ~
n ). Der Winkel a
lässt sich dabei aus dem skalaren Produkt der Vektoren ~
n und ~
a berechnen:
cos a ¼
~
n~
a
j~
n j j~
aj
ðII-180Þ
Wegen a ¼ 90 j gilt nach dem Additionstheorem der Kosinusfunktion
cos a ¼ cos ð90 jÞ ¼ cos 90 cos j sin 90 sin j ¼ sin j
|ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ}
0
1
ðII-181Þ
Somit ist
sin j ¼
~
n~
a
j~
n j j~
aj
oder
sin j ¼ ~
n~
a
j~
n j j~
aj
ðII-182Þ
Beachtet man noch, dass der Schnittwinkel j im Intervall 0 j 90 liegt und
daher sin j 0 ist, so erhält man
sin j ¼
j~
n~
aj
j~
n j j~
aj
ðII-183Þ
und durch Umkehrung schließlich 11Þ :
j ¼ arcsin
j~
n~
aj
j~
n j j~
aj
ðII-184Þ
Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene (Bild II-72)
Der Schnittwinkel j zwischen einer Geraden mit den Richtungsvektor ~
a und
einer Ebene mit dem Normalenvektor ~
n lässt sich wie folgt berechnen:
j~
n~
aj
j ¼ arcsin
ðII-185Þ
j~
n j j~
aj
11Þ
Die Arkussinusfunktion ist die Umkehrfunktion der Sinusfunktion (siehe Kap. III, Abschnitt 10.2).
4 Anwendungen in der Geometrie
&
129
Beispiel
Gerade g und Ebene E sind wie folgt gegeben:
1
3
C
B
Richtungsvektor ~
a ¼ @4A
0
0
g:
P 1 ¼ ð2; 1; 5Þ,
0
E:
2
1
B
C
Normalenvektor ~
n ¼ @1A
1
P 0 ¼ ð3; 4; 1Þ,
Wir berechnen Schnittpunkt S und Schnittwinkel j.
Berechnung des Schnittpunktes S nach Formel (II-178)
1
1 0
0
1
1 0
0
1
2
32
2
C
C B
B
C
C B
B
~
r 1Þ ¼ @ 1 A @ 4 1 A ¼ @ 1 A @ 3 A ¼ 2 3 4 ¼ 5
n ð~
r0 ~
4
1
15
1
1
1 0
0
3
2
C
C B
B
~
n~
a ¼ @ 1 A @ 4 A ¼ 6 þ 4 þ 0 ¼ 10
1
0
Wegen ~
n~
a ¼ 10 6¼ 0 schneiden sich Gerade g
Punkt S. Für den Ortsvektor dieses Schnittpunktes
(II-178):
0 1
2
~
r 1Þ
5
n ð~
r0 ~
B C
~
~
r1 þ
rS ¼ ~
a ¼ @1A þ
~
10
n~
a
5
und Ebene E genau in einem
erhalten wir dann nach Formel
0
3
1
C
B
@4A ¼
0
0 1
0
1
0
1
0
1
2
3
2 1,5
0,5
B C
B
B
B
C
C
C
¼ @ 1 A 0,5 @ 4 A ¼ @ 1 þ 2 A ¼ @ 3 A
5
0
5þ0
5
)
S ¼ ð0,5; 3; 5Þ
Berechnung des Schnittwinkels j nach Formel (II-185)
~
n~
a ¼ 10 (wurde bereits weiter oben berechnet)
j~
nj ¼
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
2 2 þ ð 1Þ 2 þ 1 2 ¼ 6 ,
j~
aj ¼
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
3 2 þ ð 4Þ 2 þ 0 2 ¼ 5
j ¼ arcsin
j~
n~
aj
10
¼ arcsin pﬃﬃﬃﬃﬃ
¼ arcsin 0,8165 ¼ 54,7
j~
n j j~
aj
6 5
&
130
II Vektoralgebra
4.2.7 Abstand zweier paralleler Ebenen
Zwei Ebenen E 1 und E 2 können folgende Lagen zueinander haben:
E 1 und E 2 fallen zusammen
E 1 und E 2 sind zueinander parallel
E 1 und E 2 schneiden sich längs einer Geraden
Wir setzen in diesem Abschnitt voraus, dass die Ebenen E 1 und E 2 mit den Gleichungen ~
n 1 ð~
r ~
r 1 Þ ¼ 0 und ~
n 2 ð~
r ~
r 2 Þ ¼ 0 zueinander parallel sind. Dies ist genau dann der Fall, wenn die zugehörigen Normalenvektoren ~
n 1 und ~
n 2 kollinear sind,
d. h. ~
n1 ~
n2 ¼ ~
0 ist (Bild II-73).
n2
P2
r2
E2
d
n1
P 2′
P1
r1
E1
Bild II-73
Zur Berechnung des Abstandes
zweier paralleler Ebenen
0
Dann hat jeder Punkt der Ebene E 2 von der Ebene E 1 den gleichen (senkrechten)
Abstand d und umgekehrt. Wir wählen auf der Ebene E 2 den bekannten Punkt P 2
mit dem Ortsvektor ~
r 2. Dieser Punkt hat nach der Abstandsformel (II-172) den folgenden Abstand von der Ebene E 1 :
d ¼
j~
n 1 ð~
r2 ~
r 1Þ j
j~
n1 j
ðII-186Þ
Zusammenfassend gilt somit:
Abstand zweier paralleler Ebenen (Bild II-73)
Der Abstand zweier zueinander paralleler Ebenen E 1 : ~
n 1 ð~
r ~
r 1 Þ ¼ 0 und
E2: ~
n 2 ð~
r ~
r 2 Þ ¼ 0 lässt sich wie folgt berechnen:
d ¼
j~
n 1 ð~
r2 ~
r 1Þ j
j~
n1 j
ðII-187Þ
4 Anwendungen in der Geometrie
131
Anmerkungen
(1)
&
Die beiden Ebenen sind genau dann parallel, wenn ~
n1 ~
n2 ¼ ~
0 ist.
(2)
In der Abstandsformel (II-187) darf der Normalenvektor ~
n 1 durch den Normalenvektor ~
n 2 ersetzt werden.
(3)
Ist zusätzlich d ¼ 0, so fallen die beiden Ebenen zusammen.
Beispiel
Gegeben sind die folgenden Ebenen:
0
E1 :
P 1 ¼ ð7; 3; 4Þ,
E2 :
P 2 ¼ ð 1; 0; 8Þ,
1
1
B
C
Normalenvektor ~
n1 ¼ @ 4 A
2
0
1
2
B
C
Normalenvektor ~
n2 ¼ @ 8 A
4
Die Ebenen sind parallel, da ~
n1 ~
n2 ¼ ~
0 ist:
0 1
1
0
1
0
1
0
16 16
2
1
B C
C
B
C
B
C
B
0
~
n2 ¼ @ 4 A @ 8 A ¼ @ 4 þ 4 A ¼ @ 0 A ¼ ~
n1 ~
0
8 þ 8
4
2
0
Wir berechnen nun den Abstand d der Ebenen nach Formel (II-187). Mit
0
B
~
n 1 ð~
r2 ~
r 1Þ ¼ @
1
0
1
0
1 0
1
1 7
1
8
C B
C
B
C B
C
4A @ 0 3A ¼ @ 4A @3A ¼
2
8þ4
2
12
1
¼ 8 12 þ 24 ¼ 20
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð 1Þ 2 þ 4 2 þ 2 2 ¼ 21
j~
n1 j ¼
erhalten wir schließlich:
d ¼
j~
n 1 ð~
r2 ~
r 1Þ j
20
¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 4,36
j~
n1 j
21
&
132
II Vektoralgebra
4.2.8 Schnittgerade und Schnittwinkel zweier Ebenen
Wir setzen in diesem Abschnitt voraus, dass sich die Ebenen E 1 : ~
n 1 ð~
r ~
r 1Þ ¼ 0
und E 2 : ~
n 2 ð~
r ~
r 2 Þ ¼ 0 längs einer Geraden g schneiden (Bild II-74). Dies ist
genau dann der Fall, wenn die zugehörigen Normalenvektoren ~
n 1 und ~
n 2 nichtkollinear sind, d. h. die Bedingung ~
n1 ~
n 2 6¼ ~
0 erfüllen.
E2
Schnittgerade g
n1
f
n2
E1
Bild II-74
Zur Berechnung der Schnittgeraden
und des Schnittwinkels zweier Ebenen
g
Bestimmung der Schnittgeraden (Bild II-74)
Für die Gleichung der Schnittgeraden g wählen wir den Lösungsansatz
~
a
r ðlÞ ¼ ~
r0 þ l~
ðII-188Þ
Zu bestimmen sind der Richtungsvektor ~
a und der Ortsvektor ~
r 0 des auf der Geraden
g gelegenen Punktes P 0 . Da die Normalenvektoren ~
n 1 und ~
n 2 der beiden Ebenen
jeweils senkrecht auf der Schnittgeraden g stehen, lässt sich der Richtungsvektor ~
a
von g als Vektorprodukt dieser beiden Vektoren darstellen:
~
n2
a ¼ ~
n1 ~
ðII-189Þ
Den Ortsvektor ~
r 0 des auf der Schnittgeraden gelegenen (aber noch unbekannten)
Punktes P 0 bestimmen wir wie folgt:
r 0 erfüllt daher die Gleichungen
P 0 liegt in beiden Ebenen, der zugehörige Ortsvektor ~
beider Ebenen:
~
r0 ~
r 1Þ ¼ 0
n 1 ð~
~
r0 ~
r 2Þ ¼ 0
n 2 ð~
ðII-190Þ
oder (in ausgeschriebener Form)
n 1 x ðx 0 x 1 Þ þ n 1 y ðy 0 y 1 Þ þ n 1 z ðz 0 z 1 Þ ¼ 0
n 2 x ðx 0 x 2 Þ þ n 2 y ðy 0 y 2 Þ þ n 2 z ðz 0 z 2 Þ ¼ 0
ðII-191Þ
4 Anwendungen in der Geometrie
133
Dies ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den drei unbekannten
Koordinaten x 0 , y 0 und z 0 des Punktes P 0 . Eine der drei Koordinaten ist daher frei
wählbar. Wir setzen daher zweckmäßigerweise x 0 ¼ 0 und berechnen dann die beiden
übrigen Koordinaten aus dem linearen Gleichungssystem
n 1 x x 1 þ n 1 y ðy 0 y 1 Þ þ n 1 z ðz 0 z 1 Þ ¼ 0
n 2 x x 2 þ n 2 y ðy 0 y 2 Þ þ n 2 z ðz 0 z 2 Þ ¼ 0
ðII-192Þ
(Gleichungssystem (II-191) für x 0 ¼ 0 ). Damit sind die Koordinaten x 0 , y 0 und z 0
und somit auch der Ortsvektor ~
r 0 des auf der Geraden g gelegenen Punktes P 0 eindeutig bestimmt.
Wir fassen die Ergebnisse zusammen:
Schnittgerade zweier Ebenen (Bild II-74)
Die Gleichung der Schnittgeraden g zweier Ebenen E 1 : ~
n 1 ð~
r ~
r 1Þ ¼ 0
und E 2 : ~
n 2 ð~
r ~
r 2 Þ ¼ 0 lautet in der Punkt-Richtungs-Form:
~
a
r ðlÞ ¼ ~
r0 þ l~
ðII-193Þ
Der Richtungsvektor ~
a ist dabei das Vektorprodukt der Normalenvektoren ~
n1
und ~
n 2 der beiden Ebenen:
~
n2
a ¼~
n1 ~
ðII-194Þ
Der Ortsvektor ~
r 0 des (zunächst noch unbekannten) Punktes P 0 der Schnittgeraden lässt sich aus dem linearen Gleichungssystem
~
r0 ~
r 1Þ ¼ 0
n 1 ð~
~
r0 ~
r 2Þ ¼ 0
n 2 ð~
ðII-195Þ
oder (in der ausgeschriebenen Form)
n 1 x ðx 0 x 1 Þ þ n 1 y ðy 0 y 1 Þ þ n 1 z ðz 0 z 1 Þ ¼ 0
n 2 x ðx 0 x 2 Þ þ n 2 y ðy 0 y 2 Þ þ n 2 z ðz 0 z 2 Þ ¼ 0
ðII-196Þ
bestimmen, wobei eine der drei Koordinaten frei wählbar ist (z. B. kann man
x 0 ¼ 0 setzen).
Anmerkung
Die beiden Ebenen schneiden sich genau dann längs einer Geraden, wenn ~
n1 ~
n 2 6¼ ~
0
ist.
Berechnung des Schnittwinkels (Bild II-74)
Der Schnittwinkel j zweier Ebenen E 1 und E 2 ist der Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren ~
n 1 und ~
n 2 . Nach Gleichung (II-74) gilt somit:
134
II Vektoralgebra
Schnittwinkel zweier Ebenen (Bild II-74)
Der Schnittwinkel j zweier Ebenen E 1 und E 2 mit den Normalenvektoren ~
n1
und ~
n 2 lässt sich wie folgt berechnen:
~
n2
n1 ~
j ¼ arccos
ðII-197Þ
j~
n1 j j~
n2 j
&
Beispiel
Wir bestimmen Schnittgerade g und Schnittwinkel j der folgenden Ebenen:
0
1
1
B
C
E 1 : P 1 ¼ ð1; 0; 1Þ,
Normalenvektor ~
n1 ¼ @ 5 A
3
0 1
2
B C
E 2 : P 2 ¼ ð0; 3; 0Þ,
Normalenvektor ~
n2 ¼ @ 1 A
2
Bestimmung der Schnittgeraden g
Ansatz der Schnittgeraden in der Punkt-Richtung-Form:
~
a
r ðlÞ ¼ ~
r0 þ l~
Für den Richtungsvektor ~
a erhalten wir nach Formel (II-194):
0
1
0 1
0
1
0
1
1
2
10 þ 3
13
~
n2 ¼ @ 5 A @ 1 A ¼ @ 6 2 A ¼ @ 8 A
a ¼ ~
n1 ~
3
2
1 10
9
Wegen ~
n1 ~
n 2 6¼ ~
0 ist damit sichergestellt, dass sich die Ebenen auch tatsächlich
schneiden.
Der Ortsvektor ~
r 0 des (noch unbekannten) Punktes P 0 der Schnittgeraden wird aus
dem folgenden linearen Gleichungssystem berechnet:
1
1 0
0
x0 1
1
C
C B
B
~
r0 ~
r 1 Þ ¼ @ 5 A @ y 0 0 A ¼ x 0 1 þ 5 y 0 3 ðz 0 1Þ ¼ 0
n 1 ð~
3
z0 1
1
0 1 0
x0 0
2
C
B C B
~
n 2 ð~
r0 ~
r 2Þ ¼ @ 1 A @ y 0 3 A ¼ 2 x 0 þ y 0 3 þ 2 z 0 ¼ 0
2
z0 0
bungsaufgaben
135
Wir setzen x 0 ¼ 0 und ordnen beide Gleichungen:
5 y0 3 z0 ¼ 2
y0 þ 2 z0 ¼
3
Diese Gleichungen werden durch y 0 ¼ 5=13 und z 0 ¼ 17=13 gelöst (die untere
Gleichung zunächst mit 5 multiplizieren und dann von der oberen Gleichung subtrahieren). Der Punkt P 0 besitzt demnach die folgenden Koordinaten: x 0 ¼ 0, y 0 ¼ 5=13,
z 0 ¼ 17=13. Somit ist
0
1
0
1 0
1
0
13
13 l
B
C
B
C B
C
~
a ¼ @ 5=13 A þ l @ 8 A ¼ @ 5=13 8 l A
ðl 2 RÞ
r ðlÞ ¼ ~
r0 þ l~
9
17=13
17=13 9 l
die Gleichung der gesuchten Schnittgeraden g.
Berechnung des Schnittwinkels j
0
1 0 1
1
2
B
C B C
~
n2 ¼ @ 5 A @ 1 A ¼ 2 þ 5 6 ¼ 1
n1 ~
3
2
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
j~
n1 j ¼
1 2 þ 5 2 þ ð 3Þ 2 ¼ 35 ,
22 þ 12 þ 22 ¼ 3
j~
n2 j ¼
Für den Schnittwinkel j erhalten wir damit nach Gleichung (II-197):
~
n2
1
n1 ~
j ¼ arccos
¼ arccos pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
¼ arccos 0,0563 ¼ 86,8
j~
n1 j j~
n2 j
35 3
&
bungsaufgaben
Zu Abschnitt 2 und 3
1)
0
1
3
Gegeben sind die Vektoren ~
a ¼ @ 2 A,
4
0
1
0
1
2
5
b~ ¼ @ 0 A und ~
c ¼ @ 1 A.
4
4
Berechnen Sie die skalaren Komponenten und die Beträge der aus ihnen gebildeten
folgenden Vektoren:
a 5 b~ þ 3~
c
aÞ ~
s1 ¼ 3~
bÞ ~
s 2 ¼ 2 ðb~ þ 5~
c Þ þ 5 ð~
a 3 b~Þ
a 2 b~Þ þ 10~
c
cÞ ~
s 3 ¼ 4 ð~
dÞ ~
s 4 ¼ 3 ð~
a b~Þ ~
c 5 ðb~ ~
cÞ~
a
136
II Vektoralgebra
~ hebt die vier Einzelkräfte
2) Welche Gegenkraft F
0
1
0
1
200
10
~2 ¼ @ 30 A N ,
~1 ¼ @ 110 A N ,
F
F
50
40
0
1
0 1
40
30
@
A
@
~
~
F3 ¼
85 N ,
F 4 ¼ 50 A N
120
40
in ihrer physikalischen Wirkung auf?
3) Berechnen Sie die Resultierende der in Bild II-75 skizzierten (ebenen) Kräfte nach
Betrag und Richtung (Richtungswinkel a mit der x-Achse).
y
z
P5
F 2 = 100 N
P8
F 3 = 80 N
F 1 = 120 N
18°
P6
40°
P7
a
P1
30°
50°
F 4 = 40 N
a
x
x
Bild II-75
a
P2
P4
y
P3
Bild II-76
4) Bestimmen Sie die Ortsvektoren der acht Ecken eines Würfels mit der Kantenlänge a gemäß Bild II-76.
5) Normieren Sie die folgenden Vektoren:
0 1
2
B C
~
b~ ¼ 3~
e x 4~
a ¼ @ 1 A,
e y þ 8~
e z,
4
0
B
~
c ¼ @
1
1
C
1A
1
0
1
1
B
C
6) Wie lautet der Einheitsvektor ~
e, der die zum Vektor ~
a ¼ @ 4 A entgegengesetzte Richtung hat?
3
7) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes Q, der vom Punkte P ¼ ð3; 1; 5Þ
0
1
3
B
C
in Richtung des Vektors ~
a ¼ @ 5 A um 20 Längeneinheiten entfernt liegt.
4
bungsaufgaben
137
8)
Wie lautet die Gleichung der durch die Punkte P 1 ¼ ð10; 5; 1Þ und
P 2 ¼ ð1; 2; 5Þ verlaufenden Geraden? Bestimmen Sie die Koordinaten der Mitte
!
Q von P 1 P 2 .
9)
Liegen die drei Punkte P 1 ¼ ð3; 0; 4Þ, P 2 ¼ ð1; 1; 1Þ und P 3 ¼ ð 1; 2; 2Þ
in einer Geraden? Wie lautet gegebenenfalls die Gleichung dieser Geraden?
10)
1
1
0
0
0 1
4
3
1
C
C
B
B
B C
c ¼ @ 10 A die
Bilden Sie mit den Vektoren ~
a ¼ @ 1 A, b~ ¼ @ 0 A und ~
folgenden Skalarprodukte:
2
4
1
aÞ ~
a b~
11)
bÞ
ð~
a 3 b~Þ ð4~
cÞ
13)
ð~
a þ b~Þ ð~
a~
cÞ
Welchen Winkel schließen die Vektoren ~
a und b~ miteinander ein?
0
1
0 1
0
1
0
1
3
1
10
3
B
C
B C
B
C
B
C
aÞ ~
a ¼ @ 1 A , b~ ¼ @ 4 A
bÞ ~
a ¼ @ 5 A , b~ ¼ @ 1 A
2
2
10
0,5
b~ ¼ ~
e x 10~
ez
cÞ ~
a ¼~
e x 2~
e y þ 5~
ez ,
12)
cÞ
Zeigen Sie: Die Vektoren ~
a und b~ sind zueinander orthogonal:
0
1
0
1
0
1
0
1
1
4
3
4
B
C
B
C
B
C
B
C
aÞ ~
a ¼ @ 2 A , b~ ¼ @ 8 A
bÞ ~
a ¼ @ 2 A , b~ ¼ @ 1 A
5
4
10
1
Beweisen Sie den Kosinussatz c 2 ¼ a 2 þ b 2 2 a b cos g (Bild II-77).
C
g
a
b
a
b
A
14)
c
Zeigen Sie: Die Vektoren
0 pﬃﬃﬃﬃﬃ 1
1= 2
C
B
~
e1 ¼ @ 0 A ,
pﬃﬃﬃﬃﬃ
1= 2
c
Bild II-77
Zur Herleitung des Kosinussatzes
B
pﬃﬃﬃﬃﬃ 1
1= 2
C
B
~
e2 ¼ @
A
0
pﬃﬃﬃﬃﬃ
1= 2
0
0
und
0
1
C
B
~
e3 ¼ @ 1 A
0
bilden ein orthonormiertes System, d. h. die Vektoren stehen paarweise senkrecht
aufeinander und besitzen jeweils die Länge 1.
138
15)
II Vektoralgebra
Zeigen Sie: Die drei Vektoren
1
0
1
0
2
1
C
B
C
B
~
b~ ¼ @ 2 A
a ¼ @ 4 A,
3
2
0
und
B
~
c ¼ @
1
1
C
6A
1
bilden ein rechtwinkliges Dreieck.
16)
Bestimmen Sie Betrag und Richtung (Richtungswinkel) des Vektors ~
a:
0 1
1
0 1
0
1
1
4
B C
C
B C
B
cÞ ~
a ¼ @4A
bÞ ~
a ¼ @1A
aÞ ~
a ¼ @ 3A
0
1
2
17)
Durch die drei Punkte A ¼ ð1; 4; 2Þ, B ¼ ð3; 1; 0Þ und C ¼ ð 1; 1; 2Þ
werden die Ecken eines Dreiecks festgelegt. Berechnen Sie die Länge der drei Seiten, die Innenwinkel sowie den Flächeninhalt des Dreiecks.
0
1
10
C
~¼ B
Ein Massenpunkt wird durch die Kraft F
@ 4 A N geradlinig von
18)
2
P 1 ¼ ð1 m; 20 m; 3 mÞ nach P 2 ¼ ð4 m; 2 m; 1 mÞ verschoben. Welche Arbeit leistet diese Kraft? Welchen Winkel bildet sie mit dem Verschiebungsvektor ~
s?
19)
Eine Kraft vom Betrage F ¼ 85 N verschiebt einen Massenpunkt geradlinig um
die Strecke s ¼ 32 m und verrichtet dabei die Arbeit W ¼ 1360 Nm. Unter welchem Winkel j greift die Kraft an?
20)
Berechnen Sie die Komponente
mit den Komponenten a x ¼ 2,
0 1
5
B C
aÞ b~ ¼ @ 1 A
bÞ b~ ¼
3
b a des Vektors b~ in Richtung des Vektors ~
a
a y ¼ 2 und a z ¼ 1.
0
1
0
1
2
10
B
C
B
C
cÞ b~ ¼ @ 4 A
@ 5A
0
2
21)
Ein Vektor ~
a ist durch Betrag und Richtungswinkel wie folgt festgelegt: j ~
a j ¼ 10,
a ¼ 30 , b ¼ 60 , 90 g 180 . Wie lauten die Vektorkoordinaten von ~
a?
22)
Bestimmen Sie die Richtungswinkel a, b und g der folgenden Vektoren:
1
1
0
0
0 1
11
3
5
C
C
B
B
B C
cÞ ~
a ¼ @2A
bÞ ~
a ¼ @ 5A
aÞ ~
a ¼ @1A
10
8
4
bungsaufgaben
139
0
23)
0 1
0
B
C ~ B
C
B C
Gegeben sind die Vektoren ~
a ¼ @ 4 A, b ¼ @ 1 A und ~
c ¼ @ 2 A.
6
2
3
1
1
0
2
1
Berechnen Sie mit ihnen die folgenden Vektorprodukte:
24)
25)
aÞ ~
a b~
bÞ
ð~
a b~Þ ð3~
cÞ
cÞ ð ~
a þ 2~
c Þ ð b~Þ
dÞ
ð2 ~
a Þ ð b~ þ 5~
cÞ
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des von den Vektoren ~
a und b~ aufgespannten
Parallelogramms:
0
1
0
1
0 1
0
1
3
1
3
4
B
B
B C
C
C
B
C
b~ ¼ @ 1 A
bÞ ~
a ¼ @4A,
b~ ¼ @ 1 A
aÞ ~
a ¼ @ 10 A ,
3
0
12
5
An einem Hebel greifen die in Bild II-78 skizzierten senkrechten Kräfte an. Wie
~ sein, die im Abstand von 20 cm vom Hebelpunkt angroß muss eine 3. Kraft F
greift, damit Gleichgewicht besteht?
Anleitung: Die Summe aller Drehmomente muss verschwinden.
100 cm
50 cm
20 cm
F 1 = 400 N
F=?
F 2 = 600 N
Bild II-78 Zweiseitiger Hebel im Gleichgewicht
26)
Wie muss der Parameter l
0 1
1
B C
~
a ¼ @lA,
b~ ¼
4
komplanar sind?
gewählt werden, damit die
0
1
2
B
C
und
~
c ¼
@ 4A
11
drei Vektoren
0
1
3
B
C
@ 5A
1
140
27)
II Vektoralgebra
Zeigen Sie: Die Vektoren ~
a, b~ und ~
c liegen jeweils in einer gemeinsamen
Ebene.
0
1
0
1
0
1
3
2
1
B
C
B
C
B
C
~
aÞ ~
a ¼ @ 4A,
b~ ¼ @ 3 A,
c ¼ @ 3A
0
5
0 1
1
B C
bÞ ~
a ¼ @1A,
1
25
0
0 1
1
B C
~
b ¼ @0A,
2
1
1
C
4A
B
~
c ¼ @
2
28) Bestimmen Sie das Volumen des von den Vektoren
0
1
0 1
0
1
1
3
1
B
C
B C
B
C
~
a ¼ @ 1A,
b~ ¼ @ 4 A
und
~
c ¼ @ 2A
1
7
8
gebildeten Spats.
29)
Zeigen Sie: ð~
a b~Þ ~
c ¼ ð~
a~
c Þ b~ ðb~ ~
cÞ~
a
Anleitung: Komponentenweise Ausrechnung auf beiden Seiten.
30)
Zeigen Sie die lineare Unabhängigkeit der folgenden Vektoren:
0 1
0 1
3
1
B C
B C
~
aÞ ~
a ¼ @0A,
b ¼ @5A
1
0
1
1
1
B
C
bÞ ~
a ¼ @6A,
4
0
1
1
B
C
b~ ¼ @ 2 A ,
2
0 1
1
B C
~
c ¼ @2A
3
31) Zeigen Sie: Die Vektoren sind jeweils linear abhängig.
1
0
1
0
6
2
C
B
C
B
b~ ¼ @ 3 A
aÞ ~
a ¼ @1A,
9
3
0 1
1
B C
bÞ ~
a ¼ @2A,
5
0
1
1
B
C
b~ ¼ @ 2 A ,
3
0
5
1
B C
~
c ¼ @ 10 A
1
bungsaufgaben
32)
141
Gegeben sind die Vektoren
0 1
1
0
5
1
B C
C
B
~
~
b ¼ @ 1 A,
a ¼ @ 1 A,
2
2
0 1
1
B C
~
c ¼ @2A
3
0
und
13
1
B C
d~ ¼ @ 5 A
2
Zeigen Sie:
a) Die Vektoren ~
a, b~ und ~
c sind linear unabhängig,
b) die Vektoren ~
a, b~ und d~ dagegen linear abhängig.
Zu Abschnitt 4
1)
Wie lautet die Vektorgleichung der Geraden g durch den Punkt P 1 parallel zum
Vektor ~
a ? Welche Punkte der Geraden gehören zu den Parameterwerten l ¼ 1,
l ¼ 2 und l ¼ 5?
0
1
0 1
1
5
B
C
B C
~
~
aÞ P 1 ¼ ð4; 0; 3Þ ,
a ¼ @ 1A
bÞ P 1 ¼ ð3; 2; 1Þ ,
a ¼ @2A
1
2)
3
Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g durch die Punkte P 1 und P 2 .
Welche Punkte ergeben sich für die Parameterwerte l ¼ 2, l ¼ 3 und
l ¼ 5?
aÞ
P 1 ¼ ð1; 3; 2Þ ,
P 2 ¼ ð6; 5; 8Þ
bÞ
P 1 ¼ ð 2; 3; 1Þ ,
P 2 ¼ ð1; 0; 5Þ
3)
Wie lautet die Gleichung der durch die Punkte P 1 ¼ ð10; 5; 1Þ und
P 2 ¼ ð1; 2; 5Þ verlaufenden Geraden? Bestimmen Sie die Koordinaten der Mitte
!
Q des Verbindungsvektors P 1 P 2 .
4)
Liegen die drei Punkte P 1 ¼ ð3; 0; 4Þ, P 2 ¼ ð1; 1; 1Þ und P 3 ¼ ð 7; 5; 11Þ
in einer Geraden? Wie lautet gegebenenfalls die Gleichung dieser Geraden?
5)
Von einer Geraden g ist der Punkt P 1 ¼ ð4; 2; 3Þ und der Richtungsvektor
0 1
2
B C
~
a ¼ @ 1 A bekannt. Berechnen Sie den Abstand des Punktes Q ¼ ð4; 1; 1Þ von
3
dieser Geraden.
6)
P 1 ¼ ð1; 4; 3Þ ist ein Punkt der Geraden g 1 , P 2 ¼ ð5; 3; 0Þ ein solcher der
Geraden g 2 . Beide Geraden verlaufen parallel zum Vektor ~
a mit den Vektorkoordinaten a x ¼ 3, a y ¼ 1 und a z ¼ 2. Welchen Abstand besitzen diese
Geraden voneinander?
142
II Vektoralgebra
7) Von einer Geraden g ist der Punkt P 1 ¼ ð1; 2; 8Þ und der Richtungsvektor
~
a mit den folgenden Eigenschaften bekannt: j ~
a j ¼ 1, b ¼ 60 , g ¼ 45 , a mit
cos a > 0 (a, b und g sind die Richtungswinkel). Bestimmen Sie die Gleichung
der Geraden. In welchen Punkten schneidet die Gerade die drei Koordinatenebenen?
8) Eine Gerade g verläuft durch den Punkt P 1 ¼ ð5; 3; 1Þ parallel zu einem Vektor ~
a mit den drei Richtungswinkeln a ¼ 30 , b ¼ 90 , g mit cos g < 0.
Wie lautet die Gleichung dieser Geraden?
9) Welche Lage besitzen die folgenden Geradenpaare g 1 , g 2 zueinander? Bestimmen
Sie gegebenenfalls Abstand, Schnittpunkt und Schnittwinkel.
aÞ
bÞ
g 1 durch die Punkte P 1 ¼ ð3; 4; 6Þ
und P 2 ¼ ð 1; 2; 4Þ
g 2 durch die Punkte P 3 ¼ ð3; 7; 2Þ
und P 4 ¼ ð5; 15; 6Þ
g1 :
g2 :
cÞ
g1
g2
10)
0
1
0 1
2
5
B
C
B C
~
r ðl 1 Þ ¼ ~
r1 þ l1 ~
a1 ¼ @ 1 A þ l1 @ 1 A
3
0
0 1
0
1
1
6
B C
B
C
~
r ðl 2 Þ ¼ ~
r2 þ l2 ~
a2 ¼ @ 1 A þ l2 @ 3 A
5
9
ðl 2 2 RÞ
0 1
2
B C
durch den Punkt P 1 ¼ ð1; 2; 0Þ mit dem Richtungsvektor ~
a1 ¼ @ 0 A
5
1
0
1
C
B
durch den Punkt P 2 ¼ ð6; 0; 13Þ mit dem Richtungsvektor ~
a2 ¼ @ 2 A
3
Zeigen Sie, dass die Geraden g 1 und g 2 mit den folgenden Vektorgleichungen
windschief sind und berechnen Sie ihren Abstand:
1
0
0 1
1
1
C
B
B C
ðl 1 2 RÞ
g1 : ~
r ðl 1 Þ ¼ ~
r1 þ l1 ~
a 1 ¼ @ 2 A þ l 1@ 1 A
3
g2 :
11)
ðl 1 2 RÞ
1
0 1
0 1
0
3
B C
B C
~
r ðl 2 Þ ¼ ~
r2 þ l2 ~
a 2 ¼ @ 3 A þ l 2@ 2 A
1
3
ðl 2 2 RÞ
Die in der x, y-Ebene verlaufende Gerade g 1 schneidet die beiden Koordinatenachsen jeweils bei 3. Welchen Abstand besitzt diese Gerade von der z-Achse?
bungsaufgaben
12)
13)
143
Zeigen Sie, dass sich die Geraden g 1 und g 2 in genau einem Punkt schneiden
und bestimmen Sie Schnittpunkt und Schnittwinkel:
g 1 durch die Punkte P 1 ¼ ð4; 2; 8Þ
und
P 2 ¼ ð3; 6; 11Þ
g 2 durch die Punkte P 3 ¼ ð5; 8; 21Þ
und P 4 ¼ ð7; 10; 31Þ
Wie lautet die Vektorgleichung der Ebene E, die den Punkt P 1 enthält und parallel
zu den Vektoren ~
a und b~ verläuft? Bestimmen Sie ferner einen Normalenvektor ~
n
der Ebene. Welche Punkte der Ebene gehören zu den Parameterwertepaaren
l ¼ 1, m ¼ 3 und l ¼ 2, m ¼ 1?
0 1
0 1
2
1
B C
B C
~
~
b ¼ @1A
aÞ P 1 ¼ ð3; 5; 1Þ ,
a ¼ @1A,
3
1
0
bÞ
P 1 ¼ ð6; 0; 3Þ ,
B
~
a ¼ @
2
0
1
C
8A,
B
b~ ¼ @
3
14)
2
1
C
3A
3
Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene E durch die drei Punkte P 1 , P 2 und
P 3 . Welche Punkte dieser Ebene erhält man für die Parameterwertepaare
l ¼ 3, m ¼ 2 und l ¼ 2, m ¼ 1?
aÞ
P 1 ¼ ð3; 1; 0Þ ,
P 2 ¼ ð 4; 1; 1Þ ,
P 3 ¼ ð5; 9; 3Þ
bÞ
P 1 ¼ ð5; 1; 2Þ ,
P 2 ¼ ð 2; 1; 3Þ ,
P 3 ¼ ð0; 5; 10Þ
15)
Liegen die vier Punkte P 1 ¼ ð1; 1; 1Þ, P 2 ¼ ð3; 2; 0Þ, P 3 ¼ ð4; 1; 5Þ und
P 4 ¼ ð12; 4; 12Þ in einer Ebene?
16)
Wie lautet die Gleichung einer Ebene E, die auf den drei Koordinatenachsen jeweils die gleiche Strecke a abschneidet und ferner den Punkt Q ¼ ð3; 4; 7Þ
enthält?
Hinweis: Stellen Sie zunächst die Gleichung der Ebene durch die drei Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen in Abhängigkeit von der Strecke a auf.
0 1
4
17) Eine Ebene E verläuft senkrecht zum Vektor ~
n ¼ @ 3 A und enthält den
1
Punkt A ¼ ð5; 8; 10Þ. Bestimmen Sie die Gleichung dieser Ebene. Berechnen
Sie ferner die fehlende Koordinate des auf der Ebene gelegenen Punktes
B ¼ ð2; y ¼ ?; 1Þ.
18)
Ein Normalenvektor ~
n einer Ebene E besitzt die drei Richtungswinkel
a ¼ 60 , b ¼ 120 und g mit cos g < 0. Wie lautet die Gleichung dieser
Ebene, wenn diese noch den Punkt P 1 ¼ ð3; 5; 2Þ enthält?
144
II Vektoralgebra
19)
Welche Lage haben Gerade g und Ebene E zueinander? Bestimmen Sie gegebenenfalls Abstand, Schnittpunkt und Schnittwinkel.
0 1
3
B C
aÞ g durch den Punkt P 1 ¼ ð5; 1; 2Þ mit dem Richtungsvektor ~
a ¼ @1A
2
0
B
E durch den Punkt P 0 ¼ ð2; 1; 8Þ mit dem Normalenvektor ~
n ¼ @
bÞ
g:
0 1
0 1
5
2
B C
B C
~
r ðlÞ ¼ ~
r1 þ l~
a ¼ @3A þ l@5A
6
1
0
E:
cÞ
3
1
0
x 1
1
1
C
3A
1
ðl 2 RÞ
1
B
C B
C
~
n ð~
r ~
r 0Þ ¼ @ 1 A @ y 1 A ¼ 0
1
z1
g durch die Punkte P 1 ¼ ð2; 0; 3Þ
und
P 2 ¼ ð5; 6; 18Þ
E durch die Punkte P 3 ¼ ð1; 2; 2Þ, P 4 ¼ ð0; 1; 1Þ
und
P 5 ¼ ð 1; 0; 1Þ
20)
Eine Gerade g durch die Punkte A ¼ ð1; 1; 1Þ und B ¼ ð5; 4; 3Þ verläuft
senkrecht zu einer Ebene E. Wie lautet die Gleichung der Ebene, wenn diese den
Punkt P 1 ¼ ð2; 1; 5Þ enthält?
21)
Eine Ebene E 1 geht durch den Punkt P 1 ¼ ð1; 2; 3Þ, ihr Normalenvektor ist
0 1
2
~
n ¼ @ 1 A. Bestimmen Sie den noch unbekannten Parameter a so, dass der Aba
stand des Punktes Q ¼ ð0; 2; 5Þ von dieser Ebene d ¼ 2 beträgt. Wie lautet die
Gleichung der Parallelebene E 2 durch den Punkt A ¼ ð5; 1; 2Þ?
22)
Eine Ebene E enthält den Punkt P 0 ¼ ð2; 1; 8Þ und verläuft senkrecht zum
0
1
2
Vektor ~
n ¼ @ 6 A. Zeigen Sie, dass die Gerade g mit der Vektorgleichung
1
1
0
0 1
4
5
C
B
B C
~
ðl 2 RÞ
a ¼ @3A þ l@ 1A
r ðlÞ ¼ ~
r1 þ l~
1
2
zu dieser Ebene parallel ist. Wie groß ist der Abstand zwischen Gerade und Ebene?
bungsaufgaben
23)
145
Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E:
1
0
0 1
1
3
C
B
B C
g: ~
r ðlÞ ¼ ~
r1 þ l~
a ¼ @2A þ l@ 2A
3
0
E:
ðl 2 RÞ
~
n ð~
r ~
r 0 Þ ¼ 2 ðx 1Þ þ 1 ðy 2Þ þ 1 ðz þ 3Þ ¼ 0
Zeigen Sie, dass Gerade und Ebene sich schneiden und berechnen Sie den Schnittpunkt sowie den Schnittwinkel.
24)
Zeigen Sie die Parallelität der beiden Ebenen E 1 und E 2 und berechnen Sie
ihren Abstand:
0
1
1
B
C
n1 ¼ @ 3 A
E 1 durch den Punkt P 1 ¼ ð3; 5; 6Þ mit dem Normalenvektor ~
2
0
E2
25)
1
3
B
C
durch den Punkt P 2 ¼ ð1; 5; 2Þ mit dem Normalenvektor ~
n2 ¼ @ 9 A
6
Bestimmen Sie die Schnittgerade und den Schnittwinkel der beiden Ebenen:
0 1 0
1
3
x 2
B C B
C
E1 : ~
n 1 ð~
r ~
r 1Þ ¼ @ 1 A @ y 5 A ¼ 0
2
z6
1
0 1 0
x 1
2
C
B C B
E2 : ~
n 2 ð~
r ~
r 2Þ ¼ @ 0 A @ y 5 A ¼ 0
3
z1
http://www.springer.com/978-3-658-05619-3

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