Exkurs: Portfolio Selection Theory

Exkurs:
Portfolio Selection Theory
Literatur:
Reinhard Schmidt und Eva Terberger (1997): Grundzüge der
Investitions- und Finanzierungstheorie, 4. Auflage, Wiesbaden: Gabler
Verlag
BA-Mikroökonomie II
Professor Dr. Manfred Königstein
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Exkurs
Portfolio Selection Theory
Aktien und Aktienrenditen
– Kauf einer Aktie bedeutet Kauf eines Unternehmensanteils
– Besitzer der Aktie ist am Unternehmensrisiko (negativ wie positiv
beteiligt)
– Aktie ist klassische Form einer risikobehafteten Geldanlage (auch Kauf
einer Maschine oder Mietshauses sind risikobehaftete Anlagen)
– Aktienrendite ist eine Zufallsvariable:
~
ra =
~
~
D1a + K1a − K 0a
K 0a
~
ra = Rendite Aktie a in einer Periode (zufallsabhängig)
~
D1a = Dividendenzahlung zum Zeitpunkt 1 (zufallsabhängig)
~
K1a = Kurswert der Aktie zum Zeitpunkt 1 (zufallsabhängig)
K 0a = Kurswert der Aktie zum Zeitpunkt 0 (bekannt)
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Exkurs
Portfolio Selection Theory
Portefeuilles und Portefeuillerenditen
– Maße für Ertrag und Risiko einer Aktie sind Erwartungswert, Varianz
und Standardabweichung der Rendite
E (~
ra ) = ra
σ 2 (~
ra ) = σ a2
σ 2 (~
rA ) = σ a2
– Wenn ein Investor seinen Anlagebetrag auf zwei Aktien a und b
aufteilt, ist er Besitzer einer Aktienmischung („Portefeuille“)
– Je nach Mischungsverhältnis ergeben sich andere Portefeuilles
– Erwartungswert, Varianz (Std.-Abw.) der Portefeuillerendite hängen
von E(.) und Var(.) beider Aktien und den Gewichtungen im
Portefeuille ab
– Für E(.) gilt:
E (~
rp ) = rp = xa ⋅ ra + xb ⋅ rb
xa = Anteil Aktie a, z.B. 1/3
xb = Anteil Aktie b, z.B. 2/3
– Erwartungswert der Portefeuillerendite ist gewichteter Durchschnitt
der Aktienrenditen
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Exkurs
Portfolio Selection Theory
Portefeuilles und Portefeuillerenditen (2)
– Für Var(.) gilt: σ 2 (~
rp ) = σ 2p = xa2σ a2 + xb2σ b2 + 2 xa xb ⋅ σ aσ b ⋅ ρ ab
ρ ab = Korrelationskoeffizient der Aktienrenditen
– Varianz der Portefeuillerendite ist allgemein kein gewichteter
Durchschnitt der Varianzen der Aktienrenditen (nur wenn Korrelation
gleich +1; ist aus Formel nicht direkt erkennbar)
– Als Risikomaß ist Std.-Abw. der Rendite gebräuchlicher, weil in gleicher
Dimension gemessen wie Erwartungswert
σ p = σ 2p
– Erwartungswert und Std.-Abw. der Rendite von Aktien oder
Portefeuilles können in einem zwei-dimensionalen Raum geometrisch
dargestellt werden
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Exkurs
Portfolio Selection Theory
Fall 1: Vollständig Positive Korrelation der Renditen
– Im untenstehenden Diagramm repräsentieren die Punkte A und B die
Kombinationen von Erwartungswert und Std.-Abw., die durch Aktie a
bzw. b erzielt wird
– Wegen ρ ab = 1 folgt, dass die durch Mischung der Aktien a unb b
erzielbaren Erwartungswerte und Std.-Abw. der Portefeuillerenditen
auf einer Geraden zwischen den Punkten A und B liegen
r
B
A
σ
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Exkurs
Portfolio Selection Theory
Fall 2: Vollständig Negative Korrelation der Renditen
– Wegen ρ ab = −1 folgt, dass es ein Mischportefeuille mit Nullrisiko
(sichere Anlage) gibt (Punkt C)
– Alle durch Mischung erzielbaren Komb. von E(.) und Var(.) liegen auf
AC und CB
r
B
C
A
σ
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Exkurs
Portfolio Selection Theory
Fall 3: Unvollständige Korrelation der Renditen
– Wegen − 1 < ρ ab < +1 folgt, dass Mischportefeuilles durch Punkte
auf gekrümmter Linie repräsentiert werden (teilweise Risikoreduktion)
r
B
C
A
σ
– Es existiert ein risiko-minimierendes Portefeuille (Punkt C)
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Exkurs
Portfolio Selection Theory
Efficient Frontier
– Mischportefeuilles unterhalb von Punkt C sind dominiert (Risikoaversion)
– Mischportefeuilles auf Verbindung CB sind effizient („efficient frontier“)
r
B
C
A
σ
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Exkurs
Portfolio Selection Theory
Efficient Frontier bei 3 Aktien
– Mischportefeuilles aus a und d verändern die efficient frontier
– Auch Mischungen aus a, b und d sind möglich
r
B
D
C
A
σ
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Exkurs
Portfolio Selection Theory
Efficient Frontier des Marktes (m Aktien)
r
efficient frontier market
σ
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Exkurs
Portfolio Selection Theory
Portfolio Selection ohne risikolose Anlagemöglichkeit
– Risikopräferenzen determinieren optimale Mischung des Portefeuilles
(siehe Indifferenzkurven des Investors)
r
Ui
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Optimaler Mix des Investors i
σ
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Exkurs
Portfolio Selection Theory
Portfolio Selection mit risikoloser Anlagemöglichkeit
– Sofern eine risikolose Anlagemöglichkeit existiert, kann ein optimales
Portefeuille T unabhängig von den Risikopräferenzen des Investors
ermittelt werden („Separationstheorem von James Tobin“)
U2
r
U1
T
99
F
σ
– Alle Investoren mischen zwischen F und T, aber mit unterschiedlichen
Gewichtungen (F = risikofreie Anlage, T = effizientes „Tobin“Marktportfolio)
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Exkurs
Portfolio Selection Theory
Portfolio Selection mit risikoloser Anlagemöglichkeit (2)
U2
Kapitalmarktline
r
U1
T
99
F
σ
– Die Gerade durch F und T wird durch die folgende Gleichung
beschrieben: rp = r f + α p ⋅ (rT − r f )
– Sie wird gemäß William Sharpe als „Kapitalmarktlinie“ (capital market
line) bezeichnet
– Risikomaß des Portefeuilles ist der in Aktien investierte Anteil α p
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Exkurs
Portfolio Selection Theory
Portfolio Selection mit risikoloser Anlagemöglichkeit (3)
U2
Kapitalmarktline
r
U1
T
99
F
σ
– Investor 1 hält ca. 50% seines Vermögens in Aktien und 50% in
risikoloser Anlage
– Investor 2 nimmt Schulden zum risikolosen Zinsatz auf und investiert
mehr als 100% seines Vermögens in Aktien
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Exkurs
Portfolio Selection Theory
Portfolio Selection mit risikoloser Anlagemöglichkeit (4)
– Separationstheorem: Die Bestimmung des effizienten Portefeuilles
riskanter Anlagen und die Bestimmung des Anteils des individuellen
Vermögens, welcher in riskante Anlagen investiert wird, sind
unabhängige, separat zu treffende Entscheidungen
– Die Gewichtung der Aktien im Tobin-Martkportefeuille entspricht dem
Verhältnis der Marktwerte der Unternehmen
– Die Kapitalmarktlinie beschreibt die vom Kapitalmarkt ermöglichten
effizienten Kombinationen von Erwartungsrendite und Risiko
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Exkurs
Portfolio Selection Theory
CAPM: Capital Asset Pricing Model
– Unter idealisierten Bedingungen (Rationale Entscheider, Vollkommene
Märkte, etc.) ergibt sich ein Gleichgewicht des Kapitalmarktes, bei
welchem sich die erwartete Rendite (und folglich der Preis) der
individuellen Aktie i wie folgt ergibt:
ri = r f + β i ⋅ (rM − r f )
ri = erwartete Rendite Aktie i
r f = Rendite der risikolosen Anlage
rM = erwartete Rendite des Marktes
(Marktportefeuille)
β i = linearer Gewichtungsfaktor
mit
cov(~ri , ~
rM )
βi =
var(~
rM )
BA-Mikroökonomie II
• Die erwartete Rendite der Aktie i
ergibt sich als linearer Risikoaufschlag auf die Rendite der
risikolosen Anlage
• Der lineare Gewichtungsfaktor
berücksichtigt die Kovarianz
(Korrelation) des individuellen
Risikos der Aktie i mit dem Marktrisiko
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Exkurs
Portfolio Selection Theory
CAPM: Capital Asset Pricing Model (2)
– Der Beta-Koeffizient der Aktie i kann als linearer Regressionskoeffizient
geschätzt werden und spielt in der Praxis eine wichtige Rolle
– Hierbei werden als empirische Daten die jährlichen Aktienrenditen
verwendet
– Die Gleichung ri = r f + β i ⋅ (rM − r f ) wird gemäß William Sharpe als
„Wertpapiermarktlinie“ (security market line) bezeichnet
– Sie gilt für individuelle Aktien und Portefeuilles und ihr Risikomaß basiert
auf der Kovarianz der Aktie/des Portefeuilles mit dem Marktportefeuille
– Das Marktportefeuille kann als Tobin-Marktportefeuille bzw. als optimal
diversifiziertes Portefeuille aufgefasst werden (d.h. keine weitere
Risikoreduktion durch Diversifikation möglich)
– In der Praxis kann das Marktportefeuilles als ein großes Portefeuille aus
einer Vielzahl von Aktien oder als Portefeuille der wichtigsten Aktien
ermittelt werden
– Wenn Beta-Koeffizienten ermittelt wurden und als (relativ) konstant
unterstellt werden, kann dies zur Optimierung individueller
Anlageentscheidungen genutzt werden
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