Mathematische Methoden 2 –¨Ubungsblatt 10

Institut für Theoretische Physik
Universität Leipzig
Dr. A. Kreisel
C. Drukier, N. John
Mathematische Methoden 2 – Übungsblatt 10
Sommersemester 2017
Abgabe:
Die Aufgaben sollen bis spätestens Freitag, den 16.06., um 17:00 Uhr in den
mit Übungen Mathematische Methoden“ beschrifteten Briefkasten im Gebäude
”
der Theoretischen Physik in der Brüderstr. 16 schriftlich eingeworfen werden.
Internet: Die Übungsblätter sind online verfügbar unter
http://www.physik.uni-leipzig.de/~kreisel/teach.php
28. Legendre Polynome und Kugelflächenfunktionen 2+1+2 Punkte
1. Berechnen Sie explizit die ersten 2 Legendre Polynome l = 0, 1 aus der erzeugenden Funktion. Bestimmen Sie daraus die zugeordneten Legendre Polynome l = 0, 1, −l ≤ m ≤ l
und anschließend die Kugelflächen Funktionen Ylm (ϑ, ϕ).
2. Drücken Sie den Winkelanteil des Ortsvektors ~r = r~er explizit durch die Kugelflächenfunktionen
aus, wobei ~er der Einheitsvektor in gewöhnlichen Kugelkoordinaten ist.
3. Benutzen Sie das Additionstheorem für Kugelflächenfunktionen um das Skalarprodukt
zweier Vektoren ~r · ~r0 als Summe von Produkten von Kugelflächenfunktionen darzustellen.
29. Drehimpuls-Operator I
4 Punkte
Teilchen, die weder miteinander noch mit einem äußeren Potential wechselwirken, werden in der
Quantenmechanik durch die Schrödingergleichung
(1)
~ 2 ψ(~r) = Eψ(~r)
−∇
beschrieben, wobei ~r den Ortsvektor im R3 bezeichnet. Die Energie E des Teilchens ist positiv.
Zeigen Sie, dass der Operator der kinetischen Energie in Kugelkoordinaten die folgende Gestalt
hat
~ 2 = − 1 ∂ r2 ∂ + 1 L
~ˆ 2 .
−∇
r2 ∂r ∂r r2
~ˆ = −i~~r × ∇
~ der Drehimpulsoperator, und
Hierbei ist L
∂2
~ˆ 2 = − 1 ∂ sin ϑ ∂ − 1
L
sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ sin2 ϑ ∂ϕ2
der Operator für das Quadrat des Drehimpulses mit der Konvention ~ = 1.
Hinweis: Gehen Sie von der Gleichung
~ 2 = (~r × ∇)
~ 2=
−L
X
i


!
X
X

ijk xj ∂k 
ilm xl ∂m
jk
1
lm
P
aus und nutzen Sie die Identität i ijk ilm = δjl δkm − δjm δkl . Nach Umschreiben der resultie~2
renden Terme in Kugelkoordinaten kann man eine Relation zwischen dem Laplace Operator ∇
und dem Drehimpulsoperator herleiten.
30. Randwertproblem
2+2 Punkte
(a) Zeigen Sie, dass das Randwertproblem
u00 (x) +
1
u(x) + λu(x) = 0,
4x2
x ∈ [0, 1]
mit den Dirichlet-Randbedingungen u(0) = u(1) = 0 für λ = 0 genau eine nicht-triviale
Lösung besitzt.
Hinweis: Setzen Sie λ = 0 ein und fassen Sie die Differentialgleichung als Sturm LiouvilleProblem mit nicht-verschwindendem Eigenwert auf. Benutzen
Sie anschließend die TransR x qw
formation, wie in Aufgabe 15 ausgearbeitet (y(x) = x0 dt p , siehe auch Aufgabe 19 für
das Ergebnis der Transformation), die zu der Differentialgleichung d2 v/d2 y = 0 führt.
(b) Lösen Sie das Randwertproblem
(1 − x2 )u00 (x) − xu0 (x) + λu(x) = 0,
x ∈ [−1, 1]
mit den Dirichlet-Randbedingungen u(−1) = u(1) = 0.
Hinweis: Bringen Sie zunächst die Gleichung auf die Sturm-Liouville Form mit den Funktionen p, q, w und wenden Sie dann die Transformation wie in Aufgabe 15 an, um eine
Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten für v(y) zu erhalten.
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