Mathematik für Biophysiker

Fachbereich Mathematik
Dr. J. Türk
Trainingsaufgaben zur Vorlesung
Mathematik für Biophysiker
Hinweis: In der Vorlesung werden noch andere Aufgaben gerechnet.
Aufgabe 1:
Ein Molekül besteht aus drei identischen Atomen mit der Masse m . Die Atome befinden sich in
den
Ecken
eines
gleichseitigen
Dreiecks
der
Seitenlänge
2a .
Bestimmen
Sie
den
Massenschwerpunkt des Moleküls.
Hinweis: Sind r1, r 2 ,..., r n die Ortsvektoren der Punktmassen m 1, m 2,..., mn , dann hat der
n
 mi ri
Massenschwerpunkt den Ortsvektor rs 
i 1
n
.
 mi
i 1
Aufgabe 2:
Gegeben seien die beiden Kräfte
r1  ex  2ey  2ez und r2  3ex  6ey  2ez .
Bestimmen Sie den Winkel zwischen r1 und r2 im Bogenmaß.
Aufgabe 3:
Es sei a  ax  ex  a y  e y  az  ez . Von a sei folgendes bekannt:
a  10 , Richtungswinkel:  1 3  600 ,  2  900 .
Bestimmen Sie die Koordinaten von a und den fehlenden Richtungswinkel.
Aufgabe 4:
An einem um den Ursprung 0  (0, 0, 0) drehbaren Körper greift die Kraft F1 im Punkt
P1  (0, 1, 3  1) an. Die Kraft hat die Norm 2 und bildet mit den drei Koordinatenachsen x, y
   5
und z die Winkel  , ,
3 2 6

.

(a) Bestimmen Sie F1 .
(b) Es sei P2  (1,1,1) . Gibt es eine in P2 angreifende Kraft F2 , die auf ez senkrecht steht, so dass,
das von F1 und F2 erzeugte Gesamtdrehmoment um den Ursprung null ist.
Bestimmen Sie gegebenenfalls F2 .
Aufgabe 5:
(a) Es sei y  f ( x) :[a, b] 
. Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung r (t ) des Graphen von
y  f ( x) .
(b) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung einer Geraden g 
3
.
Aufgabe 6:
1


Es r (t )   t , 2
, t.
t  4t  3 

Bestimmen Sie Dr . Für welche t 
ist r (t ) stetig ? Berechnen Sie lim r (t ) .
t 0
Aufgabe 7:
Bestimmen Sie die erste Ableitung von:
(a)
p ( x)  x3  2 x  1
(b)
r ( x) 
x2
 x2 
.
f ( x)  cos 
 x  1 


(c)
x 1
Aufgabe 8:
Es sei v(t )  at , a  0 , die Geschwindigkeit eines Teilchens in Abhängigkeit von der Zeit t  0 .
Bestimmen Sie a so, dass v(t ) streng monoton wächst.
Aufgabe 9:
Bestimmen Sie mit Hilfe der Umkehrfunktion von g ( y)  ln y :
Berechnen Sie
d
dy


die Ableitung von g .
(ln y ) .
Aufgabe 10:
Ein Masseteilchen bewegt sich auf einer Bahn C im
2
mit der Parameterdarstellung
r (t )  cos(t 2 )  ex  sin(t 2 )  e y , t  0 .
(a) Beschreiben Sie C in kartesischen Koordinaten.
(b) Bestimmen Sie den Geschwindigkeitsvektor v (t ) und den Beschleunigungsvektor a (t ) des
Teilchens für einen beliebigen Zeitpunkt t
(c) Zeigen Sie, dass die Geschwindigkeit des Teilchens linear mit der Zeit wächst.
Aufgabe 11:
Ein Teilchen bewege sich auf einer Kurve C 
3
mit der Parameterdarstellung r (t ) , t 
. r (t )
sei differenzierbar mit r (t )  konstant .
Zeigen Sie: r (t ) steht senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor des Teilchens.
Aufgabe 12:
Bestimmen Sie den Definitionsbereich D f von f ( x, y)  ln( y  x) . Skizzieren Sie D f in
2
Aufgabe 13:
Es sei f ( x, y ) 
x2  y 2
2x
, x0 .
Bestimmen Sie die Niveaulinien für die Niveaus c  1 und c  2 .
Aufgabe 14:
Es sei f ( x, y )  e
(5 x 2 y )2
x  y 1
Für welche ( x, y) 
2
.
ist f ( x, y) stetig ? (Begründung!). Berechnen Sie
lim
( x, y )(0,0)
f ( x, y) .
Aufgabe 15:
(a) Es sei f ( x, y)  x4 sin( xy3 ) . Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen 1. Ordnung.
(b) Es sei f ( x, y, z ) 
x2  y 2
f
 f 
. Berechnen Sie f x ,
und   .
y
 z  x y
y2  z2
Aufgabe 16:
Die Funktion z  z ( x, y) sei implizit durch die Gleichung
ln( yz  z3 )  x  0
gegeben. Berechnen Sie
z
x
(0, 0) , falls z (0,0)  1 ist.
.
Aufgabe 17:
Ein thermodynamisches System werde beschrieben durch f  f ( x, y) , f sei total differenzierbar.
Es sei
f (2,5)  7 ,
f x (2,5)  3 und
f y (2,5)  1 . Bestimmen Sie
f (2.2,5.1)
in linearer
Approximation.
Aufgabe 183:
Es sei f ( x, y ) 
x
y
, y  0 . Berechnen Sie df mit Hilfe der Rechenregeln für das totale Differential.
Aufgabe 19:
Eine Oberfläche S 
3
sei implizit durch z  z ( x, y) mit e z  z  xy  0
und z (1,1)  0 gegeben. Bestimmen Sie die Tangentialebene im Punkt P0  (1,1,0) .
Aufgabe 20:
Die Schwingungsdauer T eines Fadenpendels ist
T  T ( , g )  2
Hierbei ist
g
.
die Länge des Pendels und g die Erdbeschleunigung. Die Messfehler von
seien  und g .
Bestimmen Sie den relativen, absoluten Messfehler von T in linearer Näherung.
Aufgabe 21:
Es sei f ( x, y)  f . f heißt homogen vom Grad n  , falls f (tx, ty)  t n f ( x, y)
für t  0 gilt. Zeigen Sie, mit Hilfe der Kettenregel bezüglich t , dass
x
f
x
( x, y )  y 
f
y
( x, y)  n  f ( x, y)
gilt.
Aufgabe 22:
Es sei f  f ( x, y) und
x  x(u, v)  u 2  v 2 , y  y(u, v)  v 2  u 2 .
Zeigen Sie: v fu (u, v)  u fv (u, v)  0 .
und g
Aufgabe 23:
Es sei f ( x, y)  3x2 y die Temperatur im Punkt P  ( x, y) . Bestimmen Sie die Richtungsableitung
im Punkt P0  (1, 2) in Richtung des Vektors w  3ex  4ey . Approximieren Sie, mit Hilfe der
Richtungsableitung, die Temperatur im Punkt P1  (1.06, 2.08) .
Aufgabe 24:
Es sei f ( x, y) : A 
mit
f ( x, y)  e( x
2
 y2 )
und A  {( x, y) 
2
| x 2  y 2  1} .
Bestimmen Sie alle lokalen Extremwerte.
Aufgabe 25:
Gegeben sei die Temperaturverteilung
f ( x, y) : A 
mit f ( x, y)   x2  y 2  6 y  2 und A  {( x, y) 
2
x2  ( y  2)2  4} .
Bestimmen Sie diejenigen Punkte ( x, y)  A , in denen die Temperatur absolut am kleinsten bzw.
am größten ist.
Aufgabe 26:
Bestimmen Sie auf der Kugel
K
mit der Gleichung
x2  y 2  z 2  36
P  ( x, y, z )  K , der vom Punkt P0  (1, 2, 2) minimalen Abstand hat.
Aufgabe 27:
Es sei f ( x)  x ln x :[1, e] 
.
Bestimmen Sie den Flächeninhalt unter den Graphen von f .
Aufgabe 28:
Bei der Drehung einer streng monotonen, stetigen Kurve mit der Gleichung
y  f ( x) , x [a, b]
um die x -Achse, entsteht ein Rotationskörper K . Für das Volumen von K gilt:
b
V ( K )     ( f ( x))2 dx .
a
Berechnen Sie V ( K ) für f ( x)  cos x , x [0,  / 2] .
einen Punkt
Aufgabe 29:
Eine ebene, stetige Kurve mit der Gleichung y  f ( x) , x [a, b] besitzt die Bogenlänge
b
L   1  ( f '( x)2 dx .
a
Bestimmen Sie die Bogenlänge der Kurve
y  f ( x)  x3/ 2 , x [0, 4] .
Aufgabe 30:
Ein Teilchen bewegt sich auf der Kurve C mit der Parameterdarstellung r (t ) in
Geschwindigkeitsvektor r '(t ) gilt:
r '(t ) 
1
1 t
ex  te y  sin(2t )ez .
Bestimmen Sie r (t ) .
Aufgabe 31:
Berechnen Sie:
I 
2
2x  x  1
dx .
2
( x  3)( x  1)
Aufgabe 32:
Berechnen Sie:
ln x 
lim 

x1  x  1 
(a)
 x2  2x  1 
lim 

2
x 
x 5 
(b)
Aufgabe 33:
Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale, falls sie konvergent sind:

(a)


xe
 x2
4
dx
(b)

2
x2
x3  8
dx .
3
. Für den
Aufgabe 34:
Untersuchen Sie auf Konvergenz:

(a)

1
cos2 x
1 x4

dx
(b)

1
x
1 x4
dx
Aufgabe 35:
Das Geschwindigkeitsfeld einer stationären Strömung S sei durch v (r )  w  r gegeben. Hierbei ist
w ein konstanter Vektor. Zeigen Sie, dass die Strömung quellenfrei ist.
Aufgabe 36:
Gegeben sei das Kraftfeld
F ( x, y, z )  (3x  2 y  az)ex  (bx  3 y  5z)ey  (2 x  cy  z)ez .
Bestimmen Sie a, b, c 
so, dass F wirbelfrei ist.
Aufgabe 37:
Ein Teilchen bewege sich im Kraftfeld
F ( x, y, z )  ( x  y)ex  ( x  z )ey  zez
entlang der Kurve C 
3
mit der Parameterdarstellung
r (t ) :[0,1] 
3
mit r (t )  (t , t 2 , t ) .
Berechnen Sie die Arbeit.
Aufgabe 38:
Ein Teilchen bewegt sich in einem ebenen, kartesischen Koordinatensystem im Kraftfeld
F ( x, y)  xex  a xy e y mit a 
, ( x, y) 
2
von (0,0) geradlinig nach (1,0) und von (1,0) nach (0,0) entlang der Kurve C mit der Gleichung
y ( x)  x  x 2 .
Bestimmen Sie a 
so, dass die Gesamtarbeit Null ist (Rechnung).
Aufgabe 39:
Gegeben sei das Kraftfeld
F ( x, y, z )  (a  sin y, x  cos y  sin z, by  cos z) , ( x, y, z )  3 , a, b 
(a) Für welche Werte von a und b ist F konservativ?
Bestimmen Sie für diese Werte alle Potentiale von f .
.
(b) Für die unter (a) gefundenen Werte berechne man

F  d r , falls C eine beliebige Kurve ist,
C

die den Anfangspunkt A  (0,  ,3 ) mit dem Endpunkt E  (1, ,5 ) verbindet.
2
Aufgabe 40:
Bestimmen Sie alle z  x  iy 
1
mit Im    2 .
z
Auf welcher Kurve liegen alle Punkte ( x, y)  2 ?
Aufgabe 41:
Bestimmen Sie alle z 
mit z  i  1 .
Aufgabe 42:
Bestimmen Sie die Polarform von z  4  2i .
Aufgabe 43:
Es sei
100
 i 
z 

 1 i 
.
Berechnen Sie Re z und Im z .
Aufgabe 44:
Bestimmen Sie alle Nullstellen in Polarform von
p( z )  z 3  i  1 , z 
Aufgabe 45:
Bestimmen Sie alle 2  2 -Matrizen
a b
X 
 , a, b, c, d 
c d 
so, dass
X  A  A X
gilt, wobei
1 0 
A

i 1
ist.
.
Aufgabe 46:
 1 i
1
1
Es sei A  
 . Bestimmen Sie A , falls A existiert.
 1 0 
Aufgabe 47:
A  2 werde begrenzt durch y  2 , y  x und y  x , wobei x  1 ist. Auf A sei eine Substanz
S dünn verteilt. Die Konzentration von S sei durch
f : A   mit f ( x, y)  x  y 2
gegeben. Bestimmen Sie die Gesamtmenge M ( A) .
Aufgabe 48:
Gegeben sei ein Normalbereich A  2 . Die Massendichte von A sei konstant 1 (homogene
Fläche), dann hat der Schwerpunkt S die Koordinaten ( xS , yS ) mit
xS 
1
 x dA
I ( A)
, yS 
A
1
I ( A)
 y dA .
A
A werde begrenzt durch
y1( x)  x , y2 ( x)   x und x  1 .
Berechnen Sie den Schwerpunkt von A .
Aufgabe 49:
Berechnen Sie
I
x 2  y 1

y2

 dx .
e
dy
 

x 0  y  x / 2

Aufgabe 50:
Im 1. Oktanten ist ein Volumen V 
3
begrenzt durch die Ebene E : x  y  z  1 und die
Koordinatenebenen. In V ist eine Substanz S gelöst. Die Konzentration im Punkt P  ( x, y, z ) V
sei f ( x, y, z )  x . Bestimmen Sie die Gesamtmenge von S in V .
Aufgabe 51:
Die Koordinatenebene, die Ebene E : x  y  1  0 und die Oberfläche z  z ( x, y)  1  x2  y 2
begrenzen einen im 1. Oktanten gelegenen Körper K . Bestimmen Sie das Volumen V ( K ) des
Körpers.
Aufgabe 52:
Ein Volumen V im 1. Oktanten eines kartesischen Koordinatensystems werde begrenzt durch die
Fläche
F1  {( x, y, z ) y  6 , x, y beliebig} , kurz y  6
F 2  {( x, y, z ) z  x 2 , x, y beliebig} , kurz z  x 2
F3 : z  4 .
Berechnen Sie
I   F dxdydz ,
V
falls F ( x, y, z )  2 x  zex  xey  y 2ez .
Aufgabe 53:
Es sei g ( x)  g mit den einfachen Nullstellen c1, c2 ,..., cn , g '(ck )  0 . Zeigen Sie:
n
1

  ( g ( x))dx  k 1 g '(ck )

a
0

b
,
a  ck  b
.
sonst
Aufgabe 54:

Berechnen Sie: I 

f (t )  (t 2  a 2 )dt .

Aufgabe 55:
Berechnen Sie:
E (r )   ke
V
 ( r ')( r  r ')
r r '
3
dV , r ' V
für einen Punkt r in der x  z -Ebene, bei der Ladungsverteilung qk  (1)k q , k  0,1, 2 .
Die Ladungen befinden sich in den Punkten Pk  (0,0, k a) , a  0 , k  0,1, 2 .
Aufgabe 56:
Auf
A
 x, y  
2
| x  0 , y   x , x2  y 2  a2
sei die Massendichte f ( x, y) : A   mit f ( x, y)  y gegeben.
Bestimmen Sie die Gesamtmasse M .
,
a0
Aufgabe 57:
Durch die Rotation von z  f ( x)  x3/ 2 , x [0,1] um die z -Achse entsteht eine Rotationsfläche,
die mit der Ebene z  1 ein Volumen V 
3
begrenzt. Die Dichte von V sei konstant 1.
Berechnen Sie die dritte Koordinate zS des Schwerpunktes S .
Hinweis: Durch die Rotation einer streng monotonen Funktion z  f ( x) , x [a, b] um die
z -Achse entsteht eine Rotationsfläche mit der Gleichung
z f


x 2  y 2  f (r )
mit r [a, b] .
Aufgabe 58:
Gegeben sei eine Kugelschale D um den Nullpunkt mit äußerem Radius R 2 und innerem Radius
R 1 ( R1 R 2) . Die Dichte in D sei
f ( x, y, z ) : D 
,

f ( x, y, z )  x 2  y 2  z 2 .
Berechnen Sie die Gesamtmasse in D .
Aufgabe 59:
Beschreiben Sie die Mantelfläche S eines geraden Kreiszylinders mit R  1 und Höhe H  5
durch eine Parameterdarstellung. Skizzieren Sie die u - bzw. v -Linien.
Berechnen Sie die Tangentenvektoren an den Parameterlinien.
Aufgabe 60:
(a) Es sei
z  f ( x, y) : D 
2

.
Bestimmen Sie eine durch f ( x, y) gegebene Parameterdarstellung der Fläche.
(b) Bestimmen Sie die Flächennormale.
(c) Bestimmen Sie die Tangentialebene in einem Punkt P  ( x0 , y0 , z0 )  S .
(d) Berechnen Sie das Oberflächenelement.
Aufgabe 61:
Gegeben sei
S  {( x, y, z ) 
3
( x, y)  D, z  f ( x, y)  4  x 2 }
D  {( x, y) 
2
0  x  1, 0  y  4}
Bestimmen Sie den Inhalt von S .
Aufgabe 62:
y  f ( x)  x rotiere um die x -Achse, x [0, 2] um den Winkel 2 . Hierdurch entsteht eine
Oberfläche S 
3
. Die Massendichte  ( x, y, z) in einem Punkt P  ( x, y, z) sei proportional zum
Abstand zur x -Achse. Bestimmen Sie die Gesamtmasse M ( S ) auf S .
Aufgabe 63:
Es sei F ( x, y, z )  (2 z, x  y,0) das Geschwindigkeitsfeld einer Strömung. Bestimmen Sie den Fluß
durch das Flächenstück S , das im 1. Oktanten durch die Ebene E mit der Gleichung
x  2 y  3z  4 bestimmt ist. Der Normalenvektor zeige zu der Seite, die den Nullpunkt nicht
enthält.
Aufgabe 64:
Gegeben sei das Geschwindigkeitsfeld F ( x, y, z )  (4 y, 4 x,3) einer Strömung. S sei die Kreisscheibe mit R  1 und M  (0,0,1) in der Höhe z  1 . Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von
Stokes die Zirkulation Z 
 F  d r , falls S
gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird.
S
Aufgabe 65:
Bestimmen Sie den Fluß einer Strömung mit dem Geschwindigkeitsfeld F ( x, y, z )  (2 z, x  y,0)
durch die Oberfläche der Kugel K mit x2  y 2  z 2  r 2 von innen nach außen, mit Hilfe des
Satzes von Gauß.
Aufgabe 66:
(a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von
y '( x) 
2 xy ( x)
( y ( x)) 2  4
in impliziter Form.
(b) Lösen Sie das AWP y '( x) 
2 xy ( x)
x2  1
, y(0)  1 .
Aufgabe 67:
Aus den Stoffen A und B entstehe der Stoff C
A B C .
Die Anfangskonzentrationen von A und B seien a und b . Es sei c  c(t ) die Konzentration von
C zum Zeitpunkt t  0 . Liegt eine Reaktion 2. Ordnung vor, so gilt für die Änderungsrate von c(t )
dc
dt
(t )  k (a  c(t ))(b  c(t ))
(*)
mit a  b , k  0 .
(a) Interpretieren Sie (*).
(b) Bestimmen Sie c(t ) , falls c(0)  0 ist.
Aufgabe 68:
Gegeben sei das Anfangswertproblem
y '( x) 
(*)
(a) Setzen Sie w( x) 
y ( x)
x
y ( x)
x
x

2
( y ( x))
, y(1)  1 , x  1 .
2
und zeigen Sie, dass für w( x) das AWP
w'  
1
xw
2
, w( x)  1
gilt.
(b) Bestimmen Sie die Lösung von (*).
Aufgabe 69:
Wir betrachten eine Diffusion (siehe Vorlesung) mit
k (t ) 
1
t
und K (t )  tet , t  0 .
Bestimmen Sie S  S (t ) , falls S (t0 )  S0 gilt.
Aufgabe 70:
Es sei
dy
dx
(a) Für welche a 
( x) 
e y ( x )
axe y ( x)  2 y ( x)
.
ist die Differentialgleichung (Dgl) exakt ?
(b) Bestimmen Sie für diese a ’s die Lösung in impliziter Form.
Aufgabe 71:
Gegeben sei die Differentialgleichung
x 2  y ( x) 

y '( x)  
x
(a) Zeigen Sie, dass die Differentialgleichung nicht exakt ist.
, x0
(*)
(b) Bestimmen Sie einen so genannten integrierenden Faktor    ( x) , so dass
 ( x2  y) dx   x dy  0
exakt ist.
(c) Bestimmen Sie die Lösung von (*).
Aufgabe 72:
Bestimmen Sie die Eigenwerte und die Eigenvektoren einer Spiegelung an der x -Achse.
Aufgabe 73:
1 0
0


0 1 .
Es sei A   0
 4 17 8 


(a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte.
(b) Bestimmen Sie zum größten Eigenwert alle Eigenvektoren.
Aufgabe 74:
Gegeben sei
1 0 0


y '(t )   0 1 0   y (t ) .
0 0 1


Bestimmen Sie die allgemeine Lösung.
Aufgabe 75:
Die Bewegung eines Teilchens wird durch
y(t )  y1(t )  ex  y2 (t )  e y , t  0
beschrieben. Für den Geschwindigkeitsvektor gelte:
 1 12 
y '(t )  
  y (t ) .
 3 1
Auf welchen Bahnen kann sich das Teilchen bewegen ?
Aufgabe 76:
Ein Teilchen bewegt sich auf einer Kurve C mit der Parameterdarstellung y (t ) . Für den
Geschwindigkeitsvektor y '(t ) gelte:
1 0 0 


y '(t )   0 1 1  y (t ) .
0 1 1 


Bestimmen Sie die allgemeine Lösung.
Aufgabe 77:
Gegeben sei ein Gas, das der van der Waals Gleichung
a 

 p  2   (V  b)  RT

V 
genügt. V  0 , V  b . Zeigen sie, dass für
p
b
V
1 gilt:
RT 
b
a 
1  
.
V  V RTV 
Interpretieren Sie diese Approximation .
Aufgabe 78:
Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen. Für welche x 
konvergieren
die Potenzreihen ?
(a) 1 
x
5 2

x2

x3
25  3 125  4


(b)

k !( x  2)k .
k 0
Aufgabe 79:
(a) Bestimmen Sie für x  1/ 3 die Potenzreihendarstellung von
f ( x)  ln(1  3x)
mit Entwicklungspunkt x0  0 .
(b) Zeigen Sie:
Arc tan x 


k 0
(1)k
2k  1
 x 2k 1 für x  1 .
5
(c) Bestimmen Sie die Näherungslösung x0  0 von Arc tan x  x
6
Aufgabe 80:
Es sei x2 y ''( x)  2 x y '( x)  2 y( x)  2 x3 , x  0 . Bestimmen Sie eine Lösung.
Aufgabe 81:
Bestimmen Sie mit Hilfe eines Potenzreihenansatzes Lösungen der Legendre-Differentialgleichung.
Warum existiert eine Lösung in der Form eines Potenzreihenansatzes ?
Aufgabe 82:
Es sei
0 , 1  x  0
.
f ( x)  
0  x 1
1 ,
(a) Für welche x [1,1] ist f ( x) in eine Fourierreihe darstellbar ?
(b) Bestimmen Sie die zu f ( x) gehörige Fourierreihe.
Welche Approximation ergibt sich ?
(c) Bestimmen Sie den Wert der Fourierreihe für x  0 und x  1 .
Aufgabe 83:
Es sei
f ( x)  2 x für x [0,  ] .
Bestimmen Sie die Fourierreihe von f ( x) bei gerader Ergänzung.
Aufgabe 84:
Bestimmen Sie partikuläre Lösungen von
ux ( x, y)  u y ( x, y)  u( x, y)  0
mit
u ( x, 0)  e2 x .
Aufgabe 85:
Lösen Sie die Wärmeleitungsgleichung
ut ( x, t )  c 2uxx ( x, t ) ,
mit den Randbedingungen u(0, t )  u( , t )  0 und der Anfangsbedingung u( x,0)  u0 , u0  0 .
Aufgabe 86:
Lösen Sie die stationäre Wärmeleitungsgleichung in Polarkoordinaten für einen Halbkreis mit dem
Radius a und dem Mittelpunkt (0, 0) , falls gilt: u(Halbkreis)  u0 und u( x,0)  0 für a  x  a .