II. Konzepte der Quantenmechanik β α α α

Quantenmechanik I
SS 2004 – Konzepte der Quantenmechanik
12
II. Konzepte der Quantenmechanik
•
Zustand:
* Klasse von nicht unterscheidbaren Objekten
* Verschiedene Zustände durch Zustandsvariable charakterisierbar
* Objekte sind „in einem Zustand“
•
Observable:
* Zustandsvariable (z.B. Masse, Ladung, Ort...)
•
Messung:
* Vorschrift, eine Observable zu bestimmen (z.B. Stern-Gerlach...)
2.1) Zustand, Observable, Messung (Versuch der Mathematisierung):
Wir verwenden hier zunächst die Dirac’sche Bracket-Schreibweise. Dabei wird ein allgemeiner
Zustand a in einem „ket“ bezeichnet: | a⟩ . Weil wir es später verwenden werden führen wir hier auch
schon das „bra“ ein, nämlich: ⟨b | . Für den Stern-Gerlach-Versuch würde somit gelten (wenn wir
mit a den Anfangszustand vor dem Apparat meinen):
a = α S z ;+ + β S z ;−
α 
Dies entspricht einem Vektor   in der Basis
β
 
{S
Z
;+ ; S Z ;− } .
Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, bei einem Anfangszustand a nach dem Stern-GerlachVersuch den Zustand S z ;+ zu erhalten:
P ( S z ;+ ) = α
2
Die Wahrscheinlichkeit, beim Anfangszustand | a⟩ nach dem Stern-Gerlach-Versuch den Zustand
S z ;−⟩ zu erhalten mit:
P ( S z ;− ) = β
2
=1− α
2
Dies entspricht somit einem normierten, komplexen Vektorraum. Weiters ergeben sich für die
Wahrscheinlichkeiten:
P ( S z ;+ → S z ;− ) = 0
P ( S z ;+ → S z ;+ ) = 1
Somit können wir auch so etwas wie eine Orthogonalität (Orthonormalität) zwischen zwei
Zustanden definieren. Dies findet in der normierten Basis statt.
S
z
;+ ⟩ ⊥
S
z
;− ⟩
Auch ein Skalarprodukt kann definiert werden, nämlich hier mit den bereits erwähnten „bras“.
⟨ S z ; i S z ; j ⟩ = δ ij
mit
S z ;+ ⟩ ⊥ S z ;− ⟩
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13
Ist nun (wie in unserem Fall des Stern-Gerlach-Apparats) α = β =
P ( a ⟩ → b⟩ ) = ⟨ b a ⟩
2
z.B.
2
⟨ S z ; + a⟩ = α
1
2
, so ergibt sich:
2
Nehmen wir jetzt als Beispiel unseren Stern-Gerlach-Aufbau mit einem z-Richtung und einem xRichtung Magnetfeld:
S x ;+⟩ ⊥ S x ;−⟩
S x ;+ =
S x ;− =
1
2
1
2
⋅ ( S z ;+ + S z ;−
)
⋅ ( S z ; + − S z ;−
)
S x ;+ S x ;− =
1
2
⋅ ( S z ;+⟩ + S z ;−⟩ ) ⋅
1
2
⋅ ( S z ;+⟩ − S z ;−⟩ ) = 0
Betrachten wir diesen Basiswechsel in der Matrixschreibweise, erkennen wir sofort, dass es sich um
eine unitäre Matrix handelt, die den Basiswechsel im komplexen, 2-dimensionalen Vektorraum
durchführt.
 S x ;+⟩ 
1 1 1   S z ;+⟩ 


 S ;−⟩  = 2 ⋅ 1 − 1 ⋅  S ;−⟩ 

  z 
 x 
mit U ⋅ U T = I
1 1 1  1 1 1   1 0 
 ⋅

 = 

⋅ 
2 1 − 1 2 1 − 1  0 1 
 S z ;+⟩ 
1 1 1   S x ;+⟩ 


 S ;−⟩  = 2 ⋅ 1 − 1 ⋅  S ;−⟩ 

  x 
 z 
mit U ⋅ U T = I
1 1 1  1 1 1   1 0 
 ⋅

 = 

⋅ 
2 1 − 1 2 1 − 1  0 1 
 S y ;+⟩ 

 = 1 ⋅ 1 i  ⋅  S z ;+⟩ 


 S y ;−⟩ 
2 1 − i   S z ;−⟩ 


mit U ⋅ U T = I
1 1 i  1  1 1  1 0 
 ⋅

 = 

⋅ 
2 1 − i  2  − i i   0 1 
Dabei entspricht der Zustand S y ;±⟩ etwa einem links bzw. rechts zirkular polarisiertem Licht.
Wir haben es somit eigentlich mit einem komplexen, 2-dimensionalen Vektorraum zutun, in dem
wir 3 verschiedene Basissysteme x, y, z wählen können. Die Messung ist somit eigentlich die Wahl
der Basis und somit auch die Wahl des passenden Operators. Der Übergang zwischen den
Basissystem geschieht mit unitären Matrizen.
Beispiel:
Sei eine Basis gegeben, die dem Ausgang eines Stern-Gerlach-Experiments in z-Richtung
entspricht. Wir bezeichnen dann die Basiselemente:
1
+
s z = e+ =  
0
0
−
s z = e − =  
1
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14
Die entsprechenden Operatoren in verschiedenen Basissystemen sind dann wie folgt:
h 1 0 

⋅
2  0 − 1
h 0 1

S x = ⋅ 
2  1 0 
Sz =
Sy =
h 0 − i

⋅
2  i 0 
Sei nun ein Anfangszustand a gegeben, dann ergibt die Messung eine Wahrscheinlichkeit:
2
2
P(+ ) = e+ ⋅ a bzw. P(−) = e− ⋅ a .
Wollen wir nun wissen, wie die Basiselemente von Sx aussehen, so müssen wir den x-Operator
diagonalisieren. Dazu lösen wir das Eigenwertproblem und normieren die entsprechenden
Eigenvektoren auf 1:
Eigenwerte :
Eigenvektoren :
− λ
det (S x − λ ⋅ I ) = det 
 1
1  1
⋅  
ν 1+ =
2  1
1 
=0
− λ 
ν 2− =
⇒
λ 1, 2 = ±1
1 1
⋅  
2  − 1
Wie man sofort erkennen kann, haben wir hier nun mathematisch das hergeleitet, was wir zuvor
bereits durch Überlegungen erkannt haben:
+
1
1
⋅ ( S z ;+ + S z ; − )
⋅   =
2 1
2
1  1 
1
=
⋅   =
⋅ ( S z ; + − S z ;−
2  − 1
2
ν1 =
ν2
−
1
)
Die unitäre Matrix, die den Basiswechsel zwischen z-Basis und x-Basis beschreibt ist die unitäre
Matrix U, die in den Spalten die neuen Einheitsvektoren hat:
U=
1 1 1 

⋅ 
2 1 − 1
In Komponenten ausgedrückt sieht dieser Basiswechsel folgendermaßen aus:
ψ i = U ij ⋅ φ j
(φ k ,ψ i ) = (φ k ,Uφi ) = U ki
Für den Basiswechsel zwischen der z-Basis und der x-Basis ergibt sich also mit der zuvor genannten
unitären Matrix U folgender Zusammenhang:
 +  1  −  0   +
1 1 −
1  1 
 , e x =
 
e z =  , e z =   → e x =
2 1
2  − 1 
0
 1  

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15
Betrachten wir nun die Stern-Gerlach-Analyse von zwei gekoppelten z-Apparaten mathematisch.
Es möge der Anfangszustand hineinkommen, dann ergibt sich schließlich:
α 
1
 0
  = α   + β  
β 
 0
1
mit
1 0 

S z = 
 0 − 1
α 
1
0
S z   = α   − β  
β 
0
1
α 
 1  α 
S z   = α   =  
0
0  0 
Wie beobachtet kommt, wenn man nach dem ersten Versuch die negative Komponente wegblendet
auch nach dem zweiten Versuch nur eine positive Komponente heraus.
Betrachten wir nun die Stern-Gerlach-Analyse von drei gekoppelten (zuerst z-, dann x-, dann z-)
Apparaten mathematisch:
α 
1
 0
  = α   + β  
β 
 0
1
mit
1 0 

S z = 
 0 − 1
0 1

S x = 
1 0
α 
 1
0
S z   = α   − β  
β 
 0
1
Wir können nun diesen Vektor, der hier in der z-Basis gegeben ist, auch auf die Einheitsvektoren der
x-Basis aufspannen. Dann erhalten wir dafür:
1
 0
α ⋅   =
α  1 1
1  1 
  +
  
⋅
2  2  1
2  − 1 
 α  α  1  1 1  1  
  −
  
⋅ 
S x   =
0
1
2
2
2
 
 
 − 1 

Wir können nun diesen Vektor, der hier nun in der x-Basis gegeben ist, auch wieder auf die
Einheitsvektoren der z-Basis aufspannen. Dann erhalten wir dafür
α  1
α 1  0
⋅   = ⋅    +   
2  1 2   0   1  
α
Sz 
2

 1   0   α
  +    =
 0   1   2
1 α
⋅   −
0 2
 0 α
⋅   =
1 2
 1
⋅  
 1
Wie bekannt kommen nun wieder sowohl eine
positive Komponente, als auch eine negative
Komponente heraus.
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16
2.2) Kets, Bras, Operatoren:
•
•
Wir befinden uns also in einem Vektorraum (kann endlich sein, aber auch unendlich
dimensional)
Der Zustandsvektor (verschiedene Eigenschaften) α ⟩ ∈ V . Deshalb gelten natürlich auch hier
die Bedingungen für einen Vektorraum (skalarer Körper, Gruppe von Vektoren...). Weiters:
α + β = β +α
Kommutativität Addition
c⋅ α = α ⋅c
Kommutativität skalare Multiplikation
0⋅ α = 0
α +0 = α
Neutrale Elemente
c ⋅ (α + β ) = c ⋅ α + c ⋅ β
(c ⋅ d ) ⋅ α
•
= c ⋅ (d ⋅ α
Distributi vität
)
Distributi vität
Für c ≠ 0 beschreibt c ⋅ α
denselben Zustand wie α
„Strahldarstellung“, jeder Strahl
beschreibt denselben Zustand.
•
Die Observable entspricht praktisch der Wirkung des Operators.
A :V → V
mit
Aα = β
Eigenzustände von A:
Eigenwerte von A:
Aαi =αi αi
{α }
mit
αi ∈C
i
Beispiel:
h
⋅ S z ;+
2
h
S z S z ;− = − ⋅ S z ;−
2
S z S z ;+ =
•
Es gibt eine Basis, d.h. eine Menge linear unabhängiger Vektoren, die den Vektorraum
aufspannen. Die Anzahl der Vektoren gibt die Dimension des Vektorraums an. Damit lässt sich
ein beliebiger Vektor als Linearkombination von Basiselementen schreiben. Es gilt dabei
Bilinearität:
n
α = ∑ ai ⋅ ϕ i
i =1
n
α + β = ∑ (ai + bi ) ⋅ ϕ i
i =1
n
λ ⋅ α = ∑ λ ⋅ ai ⋅ ϕ i
i =1
•
In Vektorschreibweise ergibt sich somit für die Zustände:
 a1 
 
α =  a 2  = (ai )
 ... 
 
β = (b1* b2* ...) = (bi* )
Quantenmechanik I
•
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Der „bra-Raum“ ist der Dualraum zum „ket-Raum“, d.h.:
α ∈V
α ∈V *
→
{ϕ }
{ϕ }
c⋅ α
c ⋅ α
i
•
17
i
*
V × V * → C mit
Inneres Produkt:
β α ∈ C ! Diese Rechenoperation erfüllt die
Forderungen eines Skalarprodukts!
Hat man einen Vektorraum mit einem Skalarprodukt, spricht man von Prähilbertraum.
Ist dieser Prähilbertraum auch noch vollständig, so hat man einen Hilbertraum.
Das Skalarprodukt induziert eine Norm: α
(
≡
Die Norm induziert ihrerseits eine Metrik: d α , β
αα
)=
Ein normierter Zustandsvektor ergibt sich damit zu:
•
α − β
αn =
1
α
⋅α
Ein Operator bildet ein Objekt aus dem Vektorraum in den Vektorraum ab. Er ist für den diskreten
Fall durch eine Matrix darstellbar. Es gilt dabei:
β X α = β Xα = X t β α
Dies sieht man schnell, wenn man das Problem in Komponentenschreibweise ansieht:
X α = X kjα j
β X = β k* ⋅ X kj = (X *jk ⋅ β k ) = X † ⋅ β
*
( )
Es gilt also: X †
ij
*
= X † ⋅β
= X *ji
Der Operator X wirkt im „ket-Raum“, während der Operator X† im „bra-Raum“ wirkt!
Von einem selbstadjungierten Operator („hermitischen Operator“) spricht man, wenn gilt, dass
X = X†. Für hermitische Matrizen ist dies sicher erfüllt. Bei unendlichdimensionalen
Operatoren muss man jedoch aufpassen, da auch Definitionsbereiche übereinstimmen müssen.
Es ist auch eine Multiplikation (Hintereinanderausführung) von Operatoren definiert, nämlich
gilt:
XY ≠ YX
X (Y α ) = ( XY ) α = XY α
X (YZ ) = ( XY )Z
( XY )† = Y † X †
Quantenmechanik I
•
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Äußeres Produkt:
β α
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Das Äußere Produkt zwischen zwei Zuständen ist selbst ein
Operator, was man recht schnell sehen kann. Man betrachte:
Operator
β α γ = β ⋅c = c⋅ β
c∈C
Wie man recht leicht sehen kann gilt für einen selbstadjungierten Operator:
X
=
β α
X†
=
α β
ε Xδ = εβ αδ
X = β α
ε X δ = ε β α δ = δ α β ε = δ Xt ε
X† = α β
2.3) Operatoren, Eigensysteme
•
Adjungierter Operator:
ψ Aφ = A†ψ φ
•
Selbstadjungierter Operator:
A = A†
∀ ψ ∈V * , φ ∈V
Ein Selbstadjungierter Operator hat die schöne Eigenschaft, dass die Eigenwerte reell sind und die
Eigenvektoren orthogonal zueinander sind. Somit bilden die Eigenvektoren eine vollständige
Basis.
A a (i ) = a (i ) a (i )
mit
a (i ) ∈ R
a ( i ) a ( j ) = δ ij
Da die Vektoren eine vollständige Basis aufspannen, kann man jeden allgemeinen Zustand auf diese
Eigenvektoren aufspannen:
α = ∑ ci ⋅ a (i )
i
Man kann jetzt die einzelnen Komponenten herausprojizieren und erhält schließlich die
Komponentendarstellung des Zustandes:
a ( j ) α = ∑ c i ⋅ a ( j ) a ( i ) = ∑ ci ⋅ δ ij = c j
i
i
α = ∑ ci ⋅ a ( i ) = ∑ a ( i ) α a ( i )
i
i
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19
Man kann somit dann auch die Zerlegung der Einheit und die Spektralzerlegung eines Operators
A herleiten. Der Einheitsoperator wird auch als Projektor bezeichnet:


α = ∑ a (i ) α a (i ) = ∑ a (i ) a (i ) α =  ∑ a ( i ) a ( i )  α
i

i

i
i
A = A ⋅ I = ∑ A ⋅ a ( i ) a ( i ) = ∑ a ( i ) ⋅ a (i ) a (i ) = ∑ a (i ) ⋅ Pa( i )
i
i
I = ∑ a (i ) a (i )
⇒
A = ∑ a (i ) ⋅ a ( i ) a ( i )
⇒
i
i
Norm(quadrat)
α α = α I α = ∑ α a (i ) a (i ) α = ∑ a (i ) α a (i ) α = ∑ a (i ) α
i
i
2
= ∑ ci
i
2
i
Diese Parseval’sche Identität sagt aus, dass ein allgemeiner Zustand auch über die Koeffizienten in
einer bestimmten Basis ausgedrückt werden kann.
Matrixdarstellung eines Operators
X = IXI = ∑ a (i ) a (i ) X a ( j ) a ( j ) = ∑ a (i ) X ij a ( j ) =∑ X ij ⋅ a (i ) a ( j )
i, j
i, j
 a (1) X a (1)

X =
...
 ( n )
(1)
 a X a
...
...
a (1) X a ( n )
...
(n)
a X a (n)
i, j





Man sieht in dieser Darstellung auch schnell wieder die Darstellung eines hermitischen Operators:
a ( i ) X a ( j ) = a ( j ) X † a (i )
⇒
(X )
†
ji
= X ij
Inneres Produkt:
β α = ∑ β a (i ) a ( i ) α = ∑ a (i ) β a (i ) α = ∑ d i* ⋅ ci
i
i
i
Dabei wurde wieder nur die Komponentendarstellung eines Zustandes in einer Basis verwendet:
α = ∑ a ( i ) α ⋅ a ( i ) = ∑ ci ⋅ a ( i )
i
β =∑ a
i
i
(i )
β ⋅a
(i )
= ∑ d i ⋅ a (i )
i
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20
Beispiel:
In einem 2-Zustand-System gebe es 2 Eigenzustände S z ;+ = + und S z ;− = − .
Es sei dann die Wirkung des Sz – Operator (Stern-Gerlach-Versuch mit Magnetfeld in z-Richtung)
gegeben durch:
h
⋅+
2
h
Sz − = − ⋅ −
2
Sz + =
Wollen wir die Komponenten dieses Sz – Operators in der z-Basis berechnen, so projizieren wir die
Komponenten heraus und bilden damit die Matrix:
+ S z + = + (h 2 ) + = h 2
− S z + = − (h 2 ) + = 0
+ S z − = + (− h 2 ) − = 0
− S z − = − (− h 2 ) − = − h 2
Sz =
h 1 0  h
 = ⋅σ 3
⋅
2  0 − 1 2
Man kann diesen Operator in dieser Basis also (indem man die Spektraldarstellung des Operators
durchführt) auch folgendermaßen ausdrücken:
Sz =
h
⋅( + + − − −
2
)
Wollen wir nun beispielsweise den Sx – Operator in der z-Basis ausdrücken, so besteht dieser aus
folgender Darstellung (bereits vorher hergeleitet):
Sx =
h 0 1 h
 = ⋅σ 1
⋅
2  1 0  2
Sx =
⇒
h
⋅( − + + + − )
2
Äußeres Produkt:
β α = ∑ a (i ) a (i ) β α a ( j ) a ( j ) = ∑ a ( i ) ⋅ d i ⋅ c *j ⋅ a ( j ) = ∑ d i ⋅ c *j ⋅ a ( i ) a ( j )
i, j
i, j
i, j
Beispiel:
Dieser Operator wirke auf den dritten Eigenzustand des Systems. Es ergibt sich somit in
Komponentendarstellung:
β α a ( 3) = ∑ d i ⋅ c *j ⋅ a (i ) a ( j ) a (3) =∑ d i ⋅ c *j ⋅ a ( i ) ⋅ δ j 3 = ∑ d i ⋅ c3* ⋅ a ( i ) = c3* ⋅ β
i, j
i, j
i
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21
2.4) Messprozess:
α
A
a (i )
Zustand
Messung
Eigenzustand
Dirac: „Messprozesse selektieren einen bestimmten Eigenzustand mit einer Wahrscheinlichkeit
P i = α Pai α = α a ( i ) a ( i ) α = ci* ⋅ ci = ci
2
Oder anders ausgedrückt: Die Wahrscheinlichkeit, dass α mit dem Operator A mit dem Eigenzustand
a(i) gemessen wird ist:
2
P i = a (i ) α
= ci
2
Beispiel:
Sei ein allgemeiner Zustand α gleich dem Eigenzustand 1. Dann ergibt sich für die
Wahrscheinlichkeit, diesen Zustand α als Eigenzustand 1 zu messen mit:
α = a (1)
(
P a (1)
)=
a (1) α
2
2
= a (1) a (1)
=1
Sei nun ein allgemeiner Zustand α eine Überlagerung von zwei Eigenzuständen 1 und 2. Dann
ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, diesen Zustand α als Eigenzustand zu messen mit:
α =
(
P a
(
P a
(1)
( 2)
(
1
⋅ a (1) − a ( 2)
2
)=
a
)=
(1)
a
( 2)
α
α
2
2
)
= a
1
(1)
2
= a
(
⋅ a
1
( 2)
2
(1)
(
⋅ a
(1)
− a
( 2)
− a
( 2)
)
2
= a
)
(1)
1
2
2
= a
( 2)
−
2
a
=
(1)
1
2
2
1
2
a
=
( 2)
1
2
Sei nun ein allgemeiner Zustand α eine Überlagerung von zwei Eigenzuständen, wobei einer
auch noch eine komplexe Phase besitzt. Dann ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, diesen Zustand α
als Eigenzustand zu messen mit:
α =
(
(1)
(
( 2)
P a
P a
(
1
⋅ a (1) − e iδ ⋅ a ( 2)
2
)=
)=
a
(1)
a
( 2)
α
α
2
2
= a
(1)
= a
)
1
2
( 2)
(
⋅ a
1
2
(
(1)
⋅ a
(1)
iδ
−e ⋅ a
iδ
( 2)
−e ⋅ a
( 2)
)
2
= a
)
(1)
1
2
2
= a
( 2)
−
2
a
=
(1)
1
2
1
2
2
iδ
e ⋅ a
(2)
=
1
2
Quantenmechanik I
SS 2004 – Konzepte der Quantenmechanik
22
Erwartungswert von A in Bezug auf α :
α Aα = A
α
In Komponentenschreibweise ergibt sich hier wiederum:
∑α
a (i ) a (i ) A a ( j ) a ( j ) α = ∑ α a (i ) a (i ) a ( j ) a ( j )
i, j
∑a
a ( j ) α = ∑ α a ( i ) ⋅ a ( j ) ⋅ δ ij a ( j ) α =
i, j
(i )
i, j
α a (i ) a (i ) α = ∑ a (i ) a (i ) α
i
i
2
= A
α
Da dieser Operator A ein selbstadjungierter (hermitischer) Operator sein soll, ist dieses Ergebnis
natürlich reell, da die Eigenwerte reell sind. Es zeigt sich, dass der Erwartungswert eines Operators in
seinem Eigenzustand genau sein Eigenwert ist:
Beispiel:
Sei wieder ein allgemeiner Zustand α gegeben. Der Erwartungswert des S z – Operators bzw. des Sx –
Operators ergibt sich dann als:
α = S z ;+ = +
Sz
α
= + Sz + = +
h
h
⋅( + + − − − ) + =
2
2
Sx
α
= + Sx + = +
h
⋅(− + + + − ) + = 0
2
Kompatible Operatoren:
Die Operatoren A,B seien selbstadjungiert. Dann spricht man davon, dass A und B kompatibel sind,
falls [A,B] = 0, d.h. der Kommutator verschwindet. Wenn dies der Fall ist, besitzen beide Operatoren
dasselbe Eigensystem.
Seien nun A,B selbstadjungiert und A habe keine entarteten Eigenwerte. Dann ist B diagonal im
Eigensystem von A und somit ist eine simultane Messung möglich:
a ( i ) AB − BA a ( j ) = 0
a ( i ) AB − BA a ( j ) = a ( i ) AB a ( j ) − a ( i ) BA a ( j ) = a ( j ) B † A † a ( i ) − a ( i ) BA a ( j ) =
a ( j ) BA a ( i ) − a ( i ) BA a ( j ) = a ( j ) Ba ( i ) a ( i ) − a ( i ) Ba ( j ) a ( j ) =
a ( i )* ⋅ a ( i ) B † a ( j ) − a ( j ) ⋅ a ( i ) B a ( j ) = a ( i ) ⋅ a ( i ) B a ( j ) − a ( j ) ⋅ a ( i ) B a ( j ) =
(
)
a (i) B a ( j ) ⋅ a (i) − a ( j ) = 0
Das heißt aber, wenn i ≠ j, dass
B a ( j ) ⊥ a (i )
⇒
B a ( j ) || a ( j )
Quantenmechanik I
SS 2004 – Konzepte der Quantenmechanik
23
Es tritt dann der Fall auf, dass:
a (i ) ist ein Eigenket von A mit dem Eigenwert a (i )
a (i ) ist ein Eigenket von B mit dem Eigenwert b (i )
Man schreibt dann, um darauf hinzuweisen, dass die Eigenkets zu A und B passen:
A a (i ) , b ( i ) = a ( i ) a ( i ) , b (i )
B a (i ) , b ( i ) = b (i ) a (i ) , b ( i )
Sind die Eigenwerte entartet, funktioniert der Beweis dafür zwar nicht so leicht, ist jedoch trotzdem
auch führbar.
α
→
A →
a (i ) , b (i )
→
B →
→
a ( i ) , b (i )
A →
a (i ) , b (i )
Somit ist eine simultane Messung von a (i ) und b (i ) möglich, da sie dasselbe Eigensystem besitzen.
Die beiden Operatoren sind somit kompatibel.
So ist beispielsweise der Spin in z-Richtung mit dem Spin in x-Richtung nicht kompatibel, jedoch
ist das Gesamtspin-Quadrat mit dem Spin in z-Richtung sehr wohl kompatibel. Befinden wir uns
beispielsweise im Eigensystem von Sz, dann ergibt sich:
1 0
 ,  
0 1
h h
+ ,−
2 2
3h 2 3h 2
,+
+
4
4
Eigensystem S z :
Eigenwerte S z :
2
Eigenwerte S :
Dies ergibt sich daraus, dass sich für den Gesamtspin-Quadrat-Operator folgendes ergibt:
(σ )
2
= σ + σ + σ = 3σ 0
2
1
2
2
2
3
→
2
3h 2
h
S = 3 ⋅   ⋅σ 0 =
4
 2
2
1 0

⋅ 
0 1
Somit haben der Gesamtspin und die Spinkomponente in z-Richtung ein simultanes Eigensystem mit
den Eigenzuständen:
h 3h 2
h 3h 2
,
,− ,
2 4
2 4
Spineinstellung: ±s
Gesamtspin: s·(s+1)
Quantenmechanik I
SS 2004 – Konzepte der Quantenmechanik
24
Analog dazu wird es sich mit dem Bahndrehimpuls verhalten. Dieser besitzt Spinkomponenten Lx, Ly,
Lz und L². Auch hier ist das Drehimpulsquadrat mit einer Komponente verträglich, zwei
verschiedene Komponenten hingegen nicht.
Beispiel:
Wir betrachten einerseits eine Messung A B C und andererseits eine Messung A C. Wie sich
herausstellen wird, ist es ein Unterschied, ob B gemessen wird (auch wenn man das Ergebnis nicht
kennt) oder nicht gemessen wird.
ad1)
P(c1 ) = ∑ b a
2
⋅ cb
2
=∑ c b b a a b b c
b
ad 2)
b
P(c 2 ) = c a
2
=
2
∑
cb ba
= ∑ c b b a a b' b' c
b
b ,b '
Man kann zeigen, dass P(c1) ≠ P(c2). Das Ergebnis ändert sich durch die Kenntnis bei der Messung
von B. Nur wenn [A,B] bzw. [B,C] = 0 ist das Ergebnis trotzdem gleich. Das heißt jedoch wieder, dass
diese Messungen kompatibel sind.
Inkompatible Observablen, [A,B] ≠ 0
Hieraus wird sich schließlich die Unschärferelation ergeben. Zunächst brauchen wir jedoch noch
einige Erkenntnisse aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung:
Erwartungswert eines Operators:
α Aα = A
Bereich A und Erwartungswert:
∆A = A − A
Quadratischer Erwartungswert:
∆A
Varianz ergibt sich mit:
(∆A)2
2
= A
α
∆A = A − A = 0
und
= (A − A
)
2
= A2 − 2 A ⋅ A + A
2
2
= A2 − A
Beispiel:
(
Wir betrachten den reinen Zustand α = S z , + mit dem Operator S z = h 2 ⋅ + + − − −
(
)
dann diesen reinen Zustand α = S z , + mit dem Operator S x = h 2 ⋅ + − + − + :
2
Varianz:
(∆S z )
Varianz:
(∆S x )
2
= S
2
z
− Sz
2
= S
2
x
− Sx
2
2
2
2
h h
=   −  = 0
 2  2
h
h
=  −0 = 
2
 2
2
was zu erwarten war!
) und
Quantenmechanik I
SS 2004 – Konzepte der Quantenmechanik
25
Allgemein ergibt sich für die Observablen A,B (d.h. es gibt auch selbstadjungierte Operatoren
A,B) die sog. Unbestimmtheitsrelation (Unschärferelation):
(∆A)2
⋅ (∆B )
2
≥
1
⋅ [ A, B ]
4
2
Für die Herleitung dieses Ergebnisses benötigen wir 3 Grundvoraussetzungen, die wir kurz
besprechen möchten:
1)
ab
Schwarz’sche Ungleichung:
2
≤ aa bb
Diese leitet man am besten her, indem man von einem allgemeinen Zustand ausgeht:
a +λ⋅ b
2
= ( a + λ* ⋅ b ) ⋅ ( a + λ ⋅ b ) ≥ 0
und schließlich wählt: λ = −
aa ⋅ bb − ab
2
b a
. Dann ergibt sich durch ausmultiplizieren:
bb
≥0
2)
Für hermitische Operatoren gilt: A = A† . Diese haben rein reelle Eigenwerte
3)
Für antihermitische Operatoren gilt: C = -C† .Diese haaben rein imaginäre Eigenwerte
Mit diesen Grundlagen können wir nun die Unschärferelation herleiten, nämlich folgend:
α = ∆A o
β = ∆A o
Mit der Schwarz’schen Ungleichung ergibt sich:
(∆A)2
⋅ (∆B )
2
≥ ∆A ⋅ ∆B
2
Da ∆A, ∆B hermitische Operatoren sind, lässt sich das Produkt der Operatoren schreiben als:
∆A ⋅ ∆B =
1
1
⋅ [∆A, ∆B] + ⋅ {∆A, ∆B}
2
2
Dabei ist der Kommutator antihermitisch (rein imaginäre Eigenwerte) und der Antikommutator
hermitisch (rein reelle Eigenwerte). Somit ergibt sich:
∆A ⋅ ∆B =
1
1
1
1
⋅ [∆A, ∆B] + ⋅ {∆A, ∆B} = ⋅ [A, B] + ⋅ {∆A, ∆B}
2
2
2
2
∆A ⋅ ∆B =
1
⋅
4
( [A, B]
2
+
{∆A, ∆B}
2
) ≥ 14 ⋅ [A, B]
2
⇒ (∆A) ⋅ (∆B )
2
2
≥
1
⋅ [A, B]
4
2
Quantenmechanik I
SS 2004 – Konzepte der Quantenmechanik
26
Beispiel:
Betrachten wir eine Messung eines reinen S z , + Zustandes bezüglich der x-Richtung und der yRichtung. Dabei ergibt sich:
∆S x = S x − S x = S x − 0 = S x
∆S y = S y − S y = S y − 0 = S y
(∆S x ) (∆S y )
2
2
2
= S
2
x
S
2
y
[
2
1
h h
=   ⋅  ≥ ⋅ Sx ,S y
4
 2 2
]
2
1
= ⋅ ih ⋅ S z
4
2
h2  h 
=
⋅ 
4 2
2
In diesem Fall erhalten wir tatsächlich bereits die geringst mögliche Ungenauigkeit bei der Messung.
2.5) Basissysteme, Ort, Impuls
Sei ein Operator A mit einer Basis a (i )
und ein Operator B mit einer Basis b (i )
gegeben.
Ein Basiswechsel zwischen diesen
Transformation vollzogen, dafür gilt:
beiden
einer
Basissystemen
wird
mittels
unitären
U = ∑ b (i ) a ( i )
i
U a ( k ) = ∑ b (i ) a (i ) a ( k ) = ∑ b (i ) ⋅ δ ik = b ( k )
i
i
Da der Operator unitär ist, gilt: U†=U
-1
und somit UU† = I. Dabei kann man die Matrixelemente
(i )
(k )
.
von U berechnen mit U ≅ U ik = a b
Beispiel:
Seien zwei Basissysteme A und B gegeben, dann ergibt sich für die reell unitäre (orthogonale)
Basistransformation:
A:
B:
U=
1 0
 ,  
0 1
1 1 1  − 1
⋅  ,
⋅  
2 1 2  1 
1  a1 ⋅ b1
⋅ 
2  a 2 ⋅ b1
a1 ⋅ b2 
1 1 − 1
 =

⋅ 
a 2 ⋅ b2 
2 1 1 
Quantenmechanik I
SS 2004 – Konzepte der Quantenmechanik
27
Unterschiede zwischen endlich-dimensionalem und unendlich-dimensionalem Vektorraum:
Endlich dimensionaler VR
Spektrum
Eigenwertgleichung
Diskret
Aa
=a ⋅ a
(i )
(i )
kontinuierlich
z.B.: X x = x ⋅ x
(i )
x x ' = δ ( x − x ')
a ( i ) a ( j ) = δ ij
Orthonormalität
I = ∑ a (i ) a ( i )
Vollständigkeitsrelation
I = ∫ x x dx
i
α = ∑ a (i ) α a (i )
Allgemeiner Zustand
α = ∫ x α x dx
i
β α = ∑ β a ( i ) a (i ) α =
Skalarprodukt
i
∑d
*
i
Unendlich dimensionaler VR
β α = ∫ β x x α dx =
∫g
⋅ ci
*
⋅ f ⋅ dx
i
α α = ∑ α a (i ) a (i ) α =
Normquadrat
i
∑
a
(i )
α
∫
2
i
a (k ) A a (i) = a (i) ⋅ a (k ) a (i) =
Operatoren
α α = ∫ α x x α dx =
xα
2
dx
x X x' = x ⋅ δ ( x − x ')
a (i ) ⋅ δ ik
Ortsoperator X:
Die Eigenwertgleichung für den Ortsoperator lautet erwartungsgemäß: X x = x ⋅ x
Ein allgemeiner Zustand lautet dementsprechend:
α = ∫ dx' x ' α x'
R
Da diese allgemeinen Zustände normiert sein sollen, ergibt sich für das Normquadrat folgende
Beziehung:
α α = ∫ dx'∫ dx' ' x' ' x ' x ' α α x ' ' = ∫ dx '⋅δ x ' x '' x ' α α x' ' = ∫ dx ' ⋅ x ' α
R
R
R
2
= α α =1
R
Eine Messung des Ortsoperators ergibt also:
Pα ( x ∈ [x'− dx' 2 , x ' + dx' 2]) =
x '+ dx ' 2
∫
dx' x ' α
2
x '− dx ' 2
Pα ( x ∈ R ) = ∫ dx' x' α
2
=1
R
Im allgemeinen Fall x ∈ R 3 folgt für einen allgemeinen Zustand: α =
∫d
R
3
x' x' α x' .
3
Dabei ist zu beachten, dass x ' = x' , y ' , z ' ist. Weiters gilt, dass dies ein simultaner Eigenzustand
zu den Operatoren X, Y, Z ist, oder anders: [X,Y] = 0, [X,Z] = 0, [Y,Z] = 0.
Quantenmechanik I
SS 2004 – Konzepte der Quantenmechanik
28
Wellenfunktionen im Ortsraum:
Die Wellenfunktion wird als neue Schreibweise eingeführt. Man schreibt daher dann:
ψ α (x ) = x α
Pα ( x ∈ R ) = ∫ dx ' x' α
→
2
= ψ α (x ) = 1
2
R
Für die Wahrscheinlichkeit, einen Zustand
in einem Zustand
zu finden, ergibt sich:
P( α → β ) = β α = ∫ dx β x x α = ∫ dx⋅ψ β ( x) ⋅ψ α ( x )
R
R
Für die Verknüpfung mit anderen Basissystemen ergibt sich, wenn man von der Eigenwertgleichung
A a (i ) = a (i ) a (i ) :
ψ α ( x ) = x α = ∑ x a ( i ) a ( i ) α = ∑ u i ( x ) ⋅ c i =∑ c i ⋅ u i ( x )
i
i
i
Dabei bezeichnet u i ( x) die Wellenfunktion des Eigenzustandes a (i ) .
Beispiel:
Sei ein Operator gegeben: A = X². Dann folgt daher:
x' X
2
x ' ' = x ' 2 ⋅δ ( x ' − x ' ' ) . Es gilt
daher:
β X 2 α = ∫ ∫ dx'dx' ' β x ' x' X 2 x ' ' x' ' α = ∫ dx' dx ' ' β x ' ⋅ x ' 2 ⋅δ ( x '− x' ') ⋅ x ' ' α =
∫ dx'
β x' x' 2 x' ' α = ∫ dx' ⋅ x' 2 ⋅ψ β ( x ) ⋅ψ α ( x )
Für den Erwartungswert von A = X² ergibt sich somit: X 2
Allgemein gilt also:
α
= α X 2 α = ∫ dx '⋅ x' 2 ⋅ ψ α ( x )
2
β f ( X ) α = ∫ dx'⋅ψ β ( x ') ⋅ f ( x' ) ⋅ψ α ( x ')
R
Translationsoperator T(dx):
Um später auf den Impulsoperator zu kommen, betrachten wir den Translationsoperator:
x
→
T (dx ) x = x + dx
α
→
T (dx) α = ∫ dx'⋅T (dx ) x' x' α = ∫ dx '⋅ x '+ dx x' α = ∫ dx' '⋅ x ' ' x' '− dx α =
R
∫ dx'⋅ x' ψ α (x'−dx )
R
R
R
Quantenmechanik I
SS 2004 – Konzepte der Quantenmechanik
29
•
Der Operator T(dx) ist unitär, d.h.: α α = α T (dx ) t ⋅ T (dx ) α = 1
•
Es gilt:
T (dx + dx' ) = T (dx) ⋅ T (dx ' )
T (− dx) = T (dx ) −1
•
Weiters gibt es auch eine Verallgemeinerung auf den R³, nämlich T ( d x)
•
Da T ein unitärer Operator ist, lässt sich T als Exponentialfunktion eines hermitischen
Operators P schreiben:
( )
i

 i
T = exp − P ⋅ dx  = 1 − P ⋅ dx + O dx
h

 h
2
Diese Exponentialfunktion erfüllt alle geforderten Eigenschaften, und da der Exponent
dimensionslos sein muss, so ergibt sich für die Dimension von P:
[P ] = [h] = J ⋅ s = kg 2⋅ m ⋅ s = kg ⋅ m = [m ⋅ v]
[dx] m
s
s ⋅m
Operator P hat Dimension eines Impulses.
Eigenschaften des Impulsoperators P:
†
•
Der Operator P ist hermitisch, d.h. P = P
•
Aus der Erkenntnis, dass der Ortsoperator und der Translationsoperator nicht kompatibel
sind:
XT (dx ) x' = X x'+ dx ' = ( x '+ dx' ) x'+ dx '
T (dx) X x' = T (dx ) ⋅ x' x ' = x' x + dx '
[X , T (dx' )] = dx'
ergibt sich, dass der Impulsoperator mit dem Ortsoperator in derselben Richtung nicht
kompatibel sind:
i
i


 X ,1 − h Px dx' = − h [ X , Px dx'] = dx '
⇒
[X , Px ] = i ⋅ h
Es ergeben sich nun hieraus die kanonischen Kommutatorrelationen (CCR), nämlich:
[X , P ] = i ⋅ h ⋅ δ
[X , X ] = 0
[P , P ] = 0
i
j
i
i
j
j
ij
In verschiedenen Richtungen kompatibel, in gleichen Richtungen nicht
Unterschiedliche Richtungen bei Ortsmessung sind kompatibel
Unterschiedliche Richtungen bei Impulsmessung sind kompatibel
Für die Unschärferelation zwischen Ort und Impuls ergibt sich somit:
(∆X )2 (∆P )2
≥ 1 4 ⋅ [X , P] = h 2 4
2
Quantenmechanik I
SS 2004 – Konzepte der Quantenmechanik
30
Wirkung des Impulsoperators im Ortsraum:
∂

2
T (dx' ) α = ∫ dx' T (dx' ) x ' x ' α = ∫ dx ' x' ψ α ( x'− dx') = ∫ dx ' x' ψ α ( x') − ψ α ( x ')dx'+O(dx') 
∂x '


R
R
R
i
i


2
2
T (dx' ) α = 1 − Px dx '+O (dx ')  α = ∫ dx ' x ' x' 1 − Px dx'+O(dx')  α

 h

 h
R
Somit ergibt sich durch Vergleich der beiden Ausdrücke:
x Px α = −ih ⋅
∂
xα
∂x
Für folgende Ausdrücke ergeben sich somit folgende Ergebnisse:
∂
δ ( x − x ')
∂x
∂ 

β Px α = ∫ dx '⋅ψ β ( x') ⋅  − ih ψ α ( x' )
∂x' 

∂n
n
x Pxn α = (− ih ) ⋅ n x α
∂x
n
n ∂
n
β Px α = ∫ dx'⋅ψ β ( x') ⋅ (− ih )
ψ α ( x' )
∂x ' n
x Px x' = −ih
Wellenfunktionen im Impulsraum
Analog zur Wirkung des Ortsoperators im Ortsraum ergibt sich für die Wirkung des
Impulsoperators im Impulsraum:
P p = p⋅ p
Für einen allgemeinen Zustand, den man im Impulsraum aufspannt, ergibt sich analog dazu, wobei
man schließlich wieder die Wellenfunktion im Impulsraum einführt:
α = ∫ dp ' p ' p ' α = ∫ dp ' ⋅ Φ α ⋅ p
R
Φα
2
R
= ∫ dp' ⋅ p' α
2
=1
R
Es wird jetzt interessant werden, wie der Basiswechsel zwischen Ortsraum und Impulsraum
aussieht. Dazu betrachten wir zunächst noch einmal kurz eine allgemeine unitäre Transformation U:
U a (k ) = b (k )
⇒
U ik = a (i ) U b ( k ) = a (i ) b ( k )
Quantenmechanik I
SS 2004 – Konzepte der Quantenmechanik
31
Wie sieht jetzt der Basiswechsel von Orts- und Impulsraum aus. Dazu schreiben wir allgemein
U x = p und benötigen analog wie oben den Ausdruck für x p :
x P p = p⋅ x p
x P p = − ih
∂
x p
∂x
Wir vergleichen nun den Ausdruck für die Wirkung des Impulsoperators im Impulsraum und die
Wirkung des Impulsoperators im Ortsraum und erhalten eine lineare Differentialgleichung erster
Ordnung, die wir lösen können:
− ih
∂
x p = p⋅ x p
∂x

i
x p = N ⋅ exp ⋅ xp 

h
⇒
Dies ist der Ausdruck für eine ebene Welle. Man sieht darin noch den Normierungsfaktor N, den wir
später bestimmen werden und eine weitere interessante Beobachtung:
Ortswellenfunktion eines Zustandes p :
Impulswellenfunktoin eines Zustandes x :

i
x p = N ⋅ exp ⋅ xp 

h

 i
p x = N ⋅ exp − ⋅ px 

 h
Zur Bestimmung des Normierungsfaktors N berechnen wir folgendes:

i

i
x x ' = ∫ dp x p p x ' = ∫ dp ⋅ N 2 ⋅ exp ⋅ ( xp − px') = N 2 ⋅ ∫ dp ⋅ exp ⋅ p( x − x') =

h

h
R
R
R
2πh ⋅ N 2 ⋅ δ ( x − x') = δ (x − x ')
N=
1
2πh
x p =
Somit ergibt sich:

i
⋅ exp ⋅ xp 
2πh

h
1
Wie man nun sehen kann, hängt der Basiswechsel zwischen Orts- und Impulsraum über die
Fourier-Transformation zusammen:
p = ∫ dx x x p = ∫ dx
R
R

i
⋅ exp ⋅ xp  p =
2πh

h
1

i
⋅ ∫ dx ⋅ exp ⋅ xp  p
2πh R

h
1
Allgemein ergibt sich schließlich:
ψ α ( x ) = x α = ∫ dp x p p α = ∫ dp x p ⋅ Φ α ( p ) =
R
R
Φ α ( p ) = p α = ∫ dx p x x α = ∫ dx p x ⋅ψ α ( x ) =
R
R
1
i

⋅ ∫ dp ⋅ Φ α ( p ) ⋅ exp ⋅ xp 
2πh R
h


 i
⋅ ∫ dx ⋅ψ α ( x ) ⋅ exp − ⋅ xp 
2πh R

 h
1
Quantenmechanik I
SS 2004 – Konzepte der Quantenmechanik
32
Beispiel:
Wir betrachten die Gauß’sche Wellenfunktion. Dieses hat im Ortsraum die allgemeine Form:

x2 


x α = ψ α (x ) =
⋅ exp i ⋅ k ⋅ x −
2 
2
4
σ
2
π ⋅σ


1
Diese Wellenfunktion ist auf 1 normiert, der erste Faktor bezeichnet eine ebene Welle zur
Wellenzahl k, der zweite Faktor ist die charakteristische Gaußkurve. Dabei bezeichnet 2 in etwa
die Halbwertsbreite der Gaußkurve.
Mit α =
1
ergibt sich schließlich für die diversen Erwartungswerte und die Unschärferelation:
σ2
∞

x2
=
⋅ ∫ dx ⋅ exp − ikx −
2σ 2
π ⋅ σ 2 −∞

1
X
α
X2
α


x2
 ⋅ x ⋅ exp ikx −
2σ 2


∞
 x2

1
 =
⋅ ∫ dx ⋅ x ⋅ exp 2
π ⋅ σ 2 −∞
σ

∞
∞


 x2 
1
x2  2
x2 
2



 2 
exp
exp
x
ikx
dx
x
⋅ ∫ dx ⋅ exp − ikx −
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
⋅
2 
2 
∫

2
σ
σ
2
2
π ⋅ σ 2 −∞
π
σ
⋅




σ 
−∞
σ2
1
1
∂  π 
−1
4
π
σ
=
⋅ (− 1) ⋅
⋅
−
⋅
=
=
⋅
2
∂α  α 
π ⋅σ 2
π ⋅σ 2 2 ⋅ π ⋅σ 2
1
=
(
P
P
α
α

 = 0

)
∞


∂ 
x2  
x2 


=
⋅ ∫ dx ⋅ exp − ikx −
⋅
−
i
ikx
exp
⋅
−
h



∂x 
2σ 2  
2σ 2 
π ⋅ σ 2 −∞


∞
 x2 
x 
− ih
− ih

⋅ (ik ) ⋅ π ⋅ σ 2 = hk
⋅ ∫ dx ⋅  ik − 2  ⋅ exp 2  =
=
2
2
σ 
π ⋅ σ −∞ 
π ⋅σ
σ 
=
1
=
1
π ⋅σ
∞
2
− h2
=
π ⋅σ 2
− h2
=
π ⋅σ 2

x2
⋅ ∫ dx ⋅ exp − ikx −
2σ 2

−∞
  2 ∂2 

x2
 ⋅  − h


ikx
⋅
−
exp

∂x 2 
2σ 2
 

∞
 1
2ikx x 2
⋅ ∫ dx ⋅  − 2 − k 2 − 2 + 4
σ
σ
 σ
−∞
 x2

 ⋅ exp 2
σ

∞
 1
 x2
x2 
2


⋅ ∫ dx ⋅  − 2 − k + 4  ⋅ exp 2
σ 
 σ
σ
−∞
 −1 ∂
⋅ 4 ⋅
π ⋅ σ 2  σ  ∂α
− h2

 =


 =


− h2  1

 =
⋅ − 2 − k 2  ⋅ π ⋅σ 2 +
2

π ⋅σ  σ

 π 
h2 h2 σ 2
h2
2 2
 = h2k 2 + 2 − 4 ⋅

k
=
+
h
 α
2
2σ 2
σ
σ


Für die Unschärferelation ergibt sich für das Gauß’sche Wellenpaket die minimale Unschärfe. Denn
man sieht:
(X −
X
)
2
⋅ (P − P
)
2
= (∆X ) ⋅ (∆P )
2
2
(
= X2 − X
2
)⋅ ( P
2
− P
2
) = h4
2
Quantenmechanik I
SS 2004 – Konzepte der Quantenmechanik
33
Andererseits ist es natürlich auch möglich, die Gauß’sche Wellenfunktion des Ortsraumes in den
Impulsraum zu transformieren, nämlich mithilfe der Fouriertransformation.
Mit α =
2σ
2

p
+ k  ergibt sich schließlich für die Fouriertransformierte:

h
und β = i
∞

x2 

i
⋅
∫ dx ⋅ exp h px  exp ikx − 2σ 2  =
2πh −∞
π ⋅σ 2
1
4
1
1
β2  π
 ⋅
=
⋅ exp
3
2
2
α
4
4π ⋅ σ ⋅ h
 α

2
  p 2 2 pk

2 σ

 ⋅ 2πσ 2 =


⋅ exp  − 2 −
− k ⋅

3
2
2
h
4π ⋅ σ ⋅ h
 2 
 h
1
1
4
4
∞
 p
x2 

∫ dx ⋅ exp  h + k ix − 2σ 2  =
4π 3 ⋅ σ 2 ⋅ h 2 −∞
1
4
σ
4
 σ2

⋅ exp − 2 ⋅ ( p + kh )
π ⋅h2
 2h

Somit gilt zusammenfassend:
σ

 σ2
p α = Φ α (x ) =
⋅ exp − 2 ⋅ ( p + kh )
4
π ⋅ h2

 2h
So wie man im Ortsraum mit der Breite der Ortswellenfunktion identifizieren konnte, so kann
man nun im Impulsraum / mit der Breite der Impulswellenfunktion identifizieren. Für den Fall,
dass gegen Unendlich geht, heißt das:
Ortsraum:
ebene Welle
Impulsraum: -Funktion
Unter Umständen kann es mit dieser Quantentheorie zur Verletzung der Speziellen
Relativitätstheorie kommen. Dies ist der Fall, da die Quantenmechanik eine klassische Theorie ist,
die der Relativitätstheorie widerspricht. Deshalb war es nötig, eine relativistische Quantentheorie
aufzustellen (Dirac).
Der dreidimensionalen Raum verhält sich prinzipiell analog zum eindimensionalem Raum, nur
muss man dann die Richtungen mit Vektoren vertauschen und bei der Fouriertransformation kommt
ein weiterer Normierungsfaktor pro Raumrichtung hinzu:
Eindimensionaler Raum
Eigenwertgleichung
X x = x⋅ x
Dreidimensionaler Raum
X x = x⋅ x
(
Orthonormalität
x x ' = δ ( x − x')
x x ' = δ 3 x − x'
Allgemeiner Zustand
α β = ∫ dxψ β ( x ) ⋅ψ α ( x )
α β = ∫ d 3 xψ β
R
Wirkung Impulsoperator
Fouriertransformation
α
R3
∂ 

ψ α
∂x 

R
1
i 
⋅ exp xp 
2πh
h 
α P β = ∫ dxψ β ⋅  − ih
x p =
)
(x)⋅ψ (x)
α P β = ∫ d 3 xψ β ⋅ (− ih∇ )ψ α
R3
x p =
1
(2πh )
3

i
⋅ exp x p 
h 