Wirtschaftsstatistik I [E1]
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040571-1 WMS: Wirtschaftsstatistik 1 :: WiSe07/08 Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ Wirtschaftsstatistik I [E1] Schwab, Harald 1 [email protected] http://homepage.univie.ac.at/harald.schwab October 7, 2007 1 Sprechstunde: MO 17-18h [3/236] Schwab, Harald [email protected] Wirtschaftsstatistik I [E1] Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ Zufallsexperiment: Die Wahrscheinlichkeitstheorie dient dazu Vorgänge zu beschreiben, bei denen der Zufall eine Rolle spielt. Kann das Ergebnis eines solchen zufälligen Vorgangs mathematisch beschrieben werden, dann spricht man von einem Zufallsexperioment. Schwab, Harald [Einheit 1] Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ Die Menge aller denkbaren Ausgänge eines Zufallsexperiments nennt man den Stichproben- oder Ereignisraum. Ω Schwab, Harald [Einheit 1] Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ Seine Elemente x - die möglichen Ausgänge - werden Elementarereignisse genannt. x ∈ Ω Schwab, Harald [Einheit 1] Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ Die Menge jener Elementarereignisse, die eine eine bestimmte Eigenschaft erfüllt wird als Ereignis (= A) bezeichnet A ⊆ Ω. Schwab, Harald [Einheit 1] Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Menge jener Elementarereignisse, die eine eine bestimmte Eigenschaft erfüllt wird als Ereignis (= A) bezeichnet A ⊆ Ω. Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ zum Beispiel Eigenschaft ”gerade Augenzahl” A = {2, 4, 6} eines Würfels Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Schwab, Harald [Einheit 1] Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ Ein Würfel wird zweimal geworfen: Schwab, Harald [Einheit 1] Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ Ein Würfel wird zweimal geworfen: Ω = {(1, 1), (1, 2), . . . , (6, 5), (6, 6)} Schwab, Harald [Einheit 1] Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ Ein Würfel wird zweimal geworfen: Ω = {(1, 1), (1, 2), . . . , (6, 5), (6, 6)} Ω = {(i, j) : i, j ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}} Schwab, Harald [Einheit 1] Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ Ein Würfel wird zweimal geworfen: Ω = {(1, 1), (1, 2), . . . , (6, 5), (6, 6)} Ω = {(i, j) : i, j ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}} Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} × {1, 2, 3, 4, 5, 6} Produkt von Mengen Schwab, Harald [Einheit 1] Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ Mengenbegriffe: A ⊆ Ω, B ⊆ Ω Schwab, Harald [Einheit 1] Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ Mengenbegriffe: Vereinigung: A ∪ B = {x ∈ Ω : x ∈ A ∨ x ∈ B} Schwab, Harald [Einheit 1] Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ Mengenbegriffe: Durchschnitt: A ∩ B = {x ∈ Ω : x ∈ A ∧ x ∈ B} Schwab, Harald [Einheit 1] Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ Mengenbegriffe: Kompliment: A = Ω \ A = {x ∈ Ω : x ∈ / A} Schwab, Harald [Einheit 1] Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ Mengenbegriffe: Ausschliessende Ereignisse: A ∩ B = {} Schwab, Harald [Einheit 1] Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ de Morgan’ sche Regel A∪B =A∩B Schwab, Harald [Einheit 1] Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ de Morgan’ sche Regel A∩B =A∪B Schwab, Harald [Einheit 1] Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ P(E ) ist die Wahrscheinlichkeit (Probability) des Ereignisses E ⊆ Ω. P(E ) entspricht der relativen Häufgkeit des Eintretens von Ereignis E , wenn das Experiment unendlich oft durchgeführt wird. Schwab, Harald [Einheit 1] Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ P(E ) ist die Wahrscheinlichkeit (Probability) des Ereignisses E ⊆ Ω. P(E ) entspricht der relativen Häufgkeit des Eintretens von Ereignis E , wenn das Experiment unendlich oft durchgeführt wird. Es gilt: B ⊆ A ⇒ P(B) ≤ P(A) Schwab, Harald [Einheit 1] Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ P(E ) ist die Wahrscheinlichkeit (Probability) des Ereignisses E ⊆ Ω. P(E ) entspricht der relativen Häufgkeit des Eintretens von Ereignis E , wenn das Experiment unendlich oft durchgeführt wird. Es gilt: B ⊆ A ⇒ P(B) ≤ P(A) 0 = P({}) ≤ P(E ) ≤ P(Ω) = 1 Schwab, Harald [Einheit 1] Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ P(E ) ist die Wahrscheinlichkeit (Probability) des Ereignisses E ⊆ Ω. P(E ) entspricht der relativen Häufgkeit des Eintretens von Ereignis E , wenn das Experiment unendlich oft durchgeführt wird. Es gilt: B ⊆ A ⇒ P(B) ≤ P(A) 0 = P({}) ≤ P(E ) ≤ P(Ω) = 1 P(E ) = 1 − P(E ) Schwab, Harald [Einheit 1] Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ P(E ) ist die Wahrscheinlichkeit (Probability) des Ereignisses E ⊆ Ω. P(E ) entspricht der relativen Häufgkeit des Eintretens von Ereignis E , wenn das Experiment unendlich oft durchgeführt wird. Es gilt: B ⊆ A ⇒ P(B) ≤ P(A) 0 = P({}) ≤ P(E ) ≤ P(Ω) = 1 P(E ) = 1 − P(E ) P(A \ B) = P(A) − P(A ∩ B) Schwab, Harald [Einheit 1] Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ P(E ) ist die Wahrscheinlichkeit (Probability) des Ereignisses E ⊆ Ω. P(E ) entspricht der relativen Häufgkeit des Eintretens von Ereignis E , wenn das Experiment unendlich oft durchgeführt wird. Es gilt: B ⊆ A ⇒ P(B) ≤ P(A) 0 = P({}) ≤ P(E ) ≤ P(Ω) = 1 P(E ) = 1 − P(E ) P(A \ B) = P(A) − P(A ∩ B) A ∩ B = {} ⇒ P(A ∩ B) = 0 Schwab, Harald [Einheit 1] Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) Schwab, Harald [Einheit 1] Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ausschliessende Ereignisse: Ai ∩ Aj = {} für i 6= j ⇒ P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ) = P(A1 ) + P(A2 ) + · · · + P(An ) Schwab, Harald [Einheit 1] Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ Laplace’ sche Wahrscheinlichkeit: Sind alle Elemente von Ω gleich wahrscheinlich, dann gilt fuer ein Ereignis A |A| P(A) = . |Ω| |X | . . . Anzahl der Elemente von Menge X . Schwab, Harald [Einheit 1] Kombinatorik: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ Problem: Bestimmung von |A| bzw. |Ω|. Schwab, Harald [Einheit 1] Kombinatorik: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ Problem: Bestimmung von |A| bzw. |Ω|. Lösung: Kombinatorik = Lehre des Abzählens Schwab, Harald [Einheit 1] Kombinatorik: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ Problem: Bestimmung von |A| bzw. |Ω|. Lösung: Kombinatorik = Lehre des Abzählens Permutationen Die Anzahl der Anordnungen von N verschiedenen Objekten ist N! = 1 · 2 · · · · · (N − 1) · N Schwab, Harald [Einheit 1] Kombinatorik: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ Aufgabe: Wir wählen n Objekte aus einer N-elementrigen Menge. ?Wieviele unterschiedliche Möglichkeiten dafür gibt es? Schwab, Harald [Einheit 1] Kombinatorik: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ Aufgabe: Wir wählen n Objekte aus einer N-elementrigen Menge. ?Wieviele unterschiedliche Möglichkeiten dafür gibt es? z.B ”6 aus 45” ⇔ Joker Zwei Fragen müssen dafür beantwortet werden: Schwab, Harald [Einheit 1] Kombinatorik: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ Aufgabe: Wir wählen n Objekte aus einer N-elementrigen Menge. ?Wieviele unterschiedliche Möglichkeiten dafür gibt es? z.B ”6 aus 45” ⇔ Joker Zwei Fragen müssen dafür beantwortet werden: [1] Wird das gewählte Objekt wieder ”zurückgelegt”? mZ ... MIT Zurücklegen (das Objekt kann mehrfach vorkommen) oZ ... OHNE Zurücklegen (jedes Objekt kann nur einmal vorkommen) Schwab, Harald [Einheit 1] Kombinatorik: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ Aufgabe: Wir wählen n Objekte aus einer N-elementrigen Menge. ?Wieviele unterschiedliche Möglichkeiten dafür gibt es? z.B ”6 aus 45” ⇔ Joker Zwei Fragen müssen dafür beantwortet werden: [2] Ist die Reihenfolge relevant? mBdR ... MIT Berücksichtigung der Reihenfolge oBdR ... OHNE Berücksichtigung der Reihenfolge Schwab, Harald [Einheit 1] Kombinatorik: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ Aufgabe: Wir wählen n Objekte aus einer N-elementrigen Menge. ?Wieviele unterschiedliche Möglichkeiten dafür gibt es? 4 Fälle: 1. oZmBdR 2. oZoBdR 3. mZmBdR 4. mZoBdR Schwab, Harald [Einheit 1] Kombinatorik: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ [1] oZmBdR Beispiel: Medaillenvergabe bei einem Wettkampf. Schwab, Harald [Einheit 1] Kombinatorik: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ [1] oZmBdR: N · (N − 1) · · · · · (N − n + 1) = Schwab, Harald [Einheit 1] N! (N − n)! Kombinatorik: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ [1] oZmBdR: N · (N − 1) · · · · · (N − n + 1) = [2] oZoBdR Beispiel: 6 aus 45 Schwab, Harald [Einheit 1] N! (N − n)! Kombinatorik: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ [1] oZmBdR: N · (N − 1) · · · · · (N − n + 1) = N! (N − n)! ohne Berücksichtigung der Reihenfolge: (3, 6, 25, 32, 37, 43) ∼ = = (25, 3, 43, 6, 32, 37) ∼ (37, 43, 6, 25, 3, 32) ∼ = ... = (25, 32, 3, 37, 6, 43) ∼ 6! = n! Möglichkeiten der Anordnung Schwab, Harald [Einheit 1] Kombinatorik: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ [1] oZmBdR: N · (N − 1) · · · · · (N − n + 1) = N! (N − n)! [2] oZoBdR: 1 N! · = n! (N − n)! Schwab, Harald [Einheit 1] N n Kombinatorik: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ 45 44 43 42 41 40 = 45 1 2 3 4 5 6 . . . ”45 über 6” 6 n n = k n−k Schwab, Harald [Einheit 1] Kombinatorik: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ 45 44 43 42 41 40 = 45 1 2 3 4 5 6 . . . ”45 über 6” 6 n n = k n−k [3] mZmBdR Beispiel: Bankomatcode Schwab, Harald [Einheit 1] Kombinatorik: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ 45 44 43 42 41 40 = 45 1 2 3 4 5 6 . . . ”45 über 6” 6 n n = k n−k [3] mZmBdR: Nn = N | · N{z· · · N} n mal Schwab, Harald [Einheit 1] Kombinatorik: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ [4] mZoBdR Beispiel (Buch Seite 65): Bei einer Hochzeit kommen 50 Gäste. Drei Menüs (A,B,C) stehen diesen zur Verfügung. Schwab, Harald [Einheit 1] Kombinatorik: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ [4] mZoBdR Beispiel (Buch Seite 65): Bei einer Hochzeit kommen 50 Gäste. Drei Menüs (A,B,C) stehen diesen zur Verfügung. Der Kellner notiert die Bestellung 12x Menü A, 26x Menü B und 12x Menü C so: |||||||||||| 0 |||||||||||||||||||||||||| 0 |||||||||||| | {z } | {z } | {z } 12xA 26xB 12xC jede mögliche Bestellung kann so eindeutig notiert werden. Schwab, Harald [Einheit 1] Kombinatorik: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ [4] mZoBdR Beispiel (Buch Seite 65): Bei einer Hochzeit kommen 50 Gäste. Drei Menüs (A,B,C) stehen diesen zur Verfügung. Der Kellner notiert die Bestellung 12x Menü A, 26x Menü B und 12x Menü C so: |||||||||||| 0 |||||||||||||||||||||||||| 0 |||||||||||| | {z } | {z } | {z } 12xA 26xB 12xC jede mögliche Bestellung kann so eindeutig notiert werden. #13 #40 z}|{ z}|{ |||||||||||| 0 |||||||||||||||||||||||||| 0 |||||||||||| | {z } | {z } | {z } 26xB 12xC | 12xA {z } 52 Plätze Schwab, Harald [Einheit 1] Kombinatorik: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ 50 ”|” und 2 ”0” ⇒ 52 Plätze wo ”|” oder ”0” stehen kann Das notieren der Bestellungen entsteht so, indem der Kellner ZWEI Plätze (jene der ”0” - in unserem Fall 13 und 40) aus den 52 Plätzen auswählt (oZoBdR) Schwab, Harald [Einheit 1] Kombinatorik: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ 50 ”|” und 2 ”0” ⇒ 52 Plätze wo ”|” oder ”0” stehen kann Das notieren der Bestellungen entsteht so, indem der Kellner ZWEI Plätze (jene der ”0” - in unserem Fall 13 und 40) aus den 52 Plätzen auswählt (oZoBdR) 52 52 50 + 3 − 1 ⇒ = = 50 50 2 Schwab, Harald [Einheit 1] Kombinatorik: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Mengenlehre Wahrscheinlichk. Additionssatz Laplace Kombinatorik oZ mZ 50 ”|” und 2 ”0” ⇒ 52 Plätze wo ”|” oder ”0” stehen kann Das notieren der Bestellungen entsteht so, indem der Kellner ZWEI Plätze (jene der ”0” - in unserem Fall 13 und 40) aus den 52 Plätzen auswählt (oZoBdR) 52 52 50 + 3 − 1 ⇒ = = 50 50 2 [4] mZoBdR: Schwab, Harald n+N −1 n [Einheit 1]
