V8: Wellen in Plasmen

V8: Wellen in Plasmen
• Plasmaoszillationen
• Langmuirwellen
• Ionenakustische Wellen
• Gruppen- und Phasengeschwindigkeit
• Dispersionsrelation
• Zusammenhang mit der Debye Länge
• elektromagnetische Wellen, Ionosphäre
Physik VI - V8 - Seite 1
Da grosse Temperaturen benötigt werden, um ein Plasma zu erzeugen, bewegen
sich die Plasmateilchen mit grossen Geschwindigkeiten. Durch die dabei enstehenden Ladungstrennungen und Ströme entstehen zeitlich veränderliche elektrische
und magnetische Felder. Elektrische und magnetische Fluktuationen sind typisch
für ein Plasma, auch wenn es in einem stationären Zustand ist. Die thermischen
Fluktuationen sorgen für ein Grundrauschen im Plasma. Andererseits reagiert ein
Plasma aber auch auf äussere Störungen. Diese Störungen können als Überlagerung von linearen Wellen auf das Plasma betrachtet werden. Die Wellen
können sich im Plasma ausbreiten und Energie der Störung übertragen, die Frequenzen dieser Wellen reichen von Milli- bis Megahertz. Nur Wellen, die die
Plasmagleichungen erfüllen, können sich ausbreiten, es existieren also nur diskrete
Plasmamoden.
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Eine elektromagnetische Welle erfährt in einem Plasma eine Änderung der Ausbreitungsrichtung, Amplitude und/oder Geschwindigkeit. Aus den beobachteten
Änderungen können Rückschlüsse auf Plasmaeigenschaften (Dichte, Temperatur,
Driften, . . . ) gezogen werden. Andererseits kann ein Plasma verwendet werden, um eine Änderung (z. B. der Ausbreitungsrichtung) herbeizuführen. Die
Sekundärwelle der schwingenden Elektronen überlagert sich mit der Primärwelle
und führt so zu den Änderungen der Welleneigenschaften. Neben der bereits
eingeführten Plasma- und Gyrofrequenz gibt es einen Zoo an Wellen, die in
Plasmen auftreten können. Man unterscheidet dabei nach Elektrostatischen (keine Magnetfeldoszillation) und Elektromagnetischen Wellen. Die Wellen können
ebenfalls nach den oszillierenden Teilchen (Elektronen, Ionen) klassifiziert werden.
Eine weitere Einteilung erfolgt nach Wellen in unmagnetisierten Plasmen oder
Wellen, die sich parallel, senkrecht, oder unter einem Winkel zum Magnetfeld
ausbreiten.
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http://en.wikipedia.org/wiki/Plasma waves
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Jede Störung kann dabei als Kombination von ebenen Wellen betrachtet werden,
die Störung kann also ihre Fourier Komponenten zerlegt werden kann. Eine ebene
Welle enhält nur eine Fourier Komponente:
~ x, t) = A(
~ ~k, ω) exp(ı~k · ~x − ıωt)
A(~
wobei die Amplitude eine Funktion des Wellenvektors und der Frequenz ist.
~vph = ω~k/k 2
~vgr = ∂ω/∂~k
Die Phasengeschwindigkeit ist immer parallel zum Wellenvektor ~k und gibt
die Richtung der Wellenausbreitung an. Die Gruppengeschwindigkeit gibt die
Geschwindigkeit und Richtung des Energieflusses an.
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Plasmaoszillationen
In einem unmagnetisiertem Plasma mit der gleichen Anzahl von Elektronen
und Ionen können elektromagnetische Wellen propagieren, die jedoch durch die
Anwesenheit von Ladungen modifiziert werden.
Zusätzlich treten Plasmaoszillationen auf, die im Vakuum nicht exisitieren. Auf
kurzen Zeitskalen können die Ionen in einem Plasma als ruhend betrachtet werden.
Elektronen, die, relativ zu den Ionen, um eine kleine Strecke δx ausgelenkt werden,
spüren ein elektrisches Feld δE und damit eine Kraft −eδE, die die Elektronen
in Richtung Ion zurückzieht, um die Quasineutralität zu erhalten.
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Für die Plasmadichte ne kann die zeitabhängige Variation der Dichte ∂n durch die
Kontinuitätsgleichung beschrieben werden als räumliche Ableitung der Elektronen
Geschwindigkeitsverteilung:
∂δn
∂δve,x
= −ne
∂t
∂x
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Die Störung der Geschwindigkeit ergibt sich aus der Impulserhaltung der Elektronen:
e
∂δve,x
= − δE
∂t
m
Das elektrische Feld, welches durch die ausgelenkten Elektronen erzeugt wird,
erfüllt die Poisson Gleichung:
∂δE
e
= − ∂n
∂x
0
Durch Einsetzen erhält man:
∂ 2δn nee2
∂n = 0
+
2
∂t
m e 0
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Diese Gleichung für die Dichtevariation enspricht einem harmonischen Oszillator.
Mit dem Ansatz δn ∝ exp(−ıωt) erhält man die Kreisfrequenz ω = ωpe:
s
ωpe =
ne e 2
m e 0
Die Elektronen oszillieren mit der Elektronenplasmafrequenz um die Position der
Ionen.
Für die Ionen gilt analog die Ionenplasmafrequenz:
s
ωpi =
ni Z 2 e 2
m i 0
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Langmuirwellen
Elektronen in einem Plasma befinden sich nicht in Ruhe sondern haben verschiedene Geschwindigkeiten, also reagieren sie unterschiedlich auf Versuche sie aus ihrer
momentanen Lage auszulenken. Um diesen Effekt zu berücksichtigen, muss die
adiabatische Variation des thermischen Druckes, δpe = γekbTeδne, in der Elektronen Impulserhaltung berücksichtigt werden. Bei konstanter Elektronentemperatur
ergibt sich die Bewegungsgleichung:
∂δve,x
e
γekbTe ∂δn
= − δE −
∂t
me
mene ∂x
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Nach Eliminierung von δE und δve,x erhält man als bessere Näherung für die
Dichtevariation:
∂ 2δn γekbTe ∂ 2δn
2
−
+
ω
pe δn = 0
2
2
∂t
me ∂x
Es ergibt sich die Dispersionrelation für Langmuir Wellen:
2
2
ωl2 = ωpe
+ k 2γevthe
1/2
wobei die thermische Geschwindigkeit der Elektronen als vthe = (kbTe/me)
definiert ist. Für kleine Temperaturen und Wellenzahlen geht die Dispersionsrelation gegen die Plasmaoszillationen. Für endliche Temperaturen oder k 6= 0
breiten sich die Oszillationen im Plasma aus und wandeln sich in elektrostatische Wellen: Oszillationen des elektrischen Feldes, die im Plasma propagieren.
Langmuiroszillationen sind Langmuirwellen mit sehr grosser Wellenlänge.
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Ionenakustische Wellen
Bei kleinen Frequenzen spielt auch die Bewegung der Ionen eine Rolle, zusätzlich
zur Bewegungsgleichung der Elektronen muss auch die Bewegungsgleichung der
Ionen betrachtet werden. In einer ersten Näherung kann q
die Elektronenträgheit
2 2
iZ e
vernachlässigt werden, da die Ionenplasmafrequenz ωpi = nm
i ε0
p
für Protonen bei Quasineutralität um einen Faktor me/mi = 43 kleiner als
ωpe ist. Bei diesen kleinen Frequenzen reagieren Elektronen ohne Trägheit auf
Änderungen im elektrischen Feld.
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Damit reduziert sich die Elektronendynamik auf das Gleichgewicht zwischen
Elektronendruck und Elektrischer Kraft (∂no/∂x = 0):
∂ ln ne
eδE = −γeknTe
∂x
mit ne = n0 + δne. Mit dem elektrischen Potential δE = −∂δφ/∂x wird diese
Gleichung zu einer Boltzmanngleichung für die Elektronendichte:
eδφ
ne = n0 exp
γekbTe
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Die linearisierte Version dieser Gleichung:
eδφ
δne
=
n0
γekB Te
beschreibt die Antwort der Elektronen auf niedrig frequente Potential Oszillationen. Zusammen mit den linearisierten Gleichungen für Ionen:
∂δni
∂t
∂δvi,x
∂t
∂
= −ni
δvi,x
=
e
δE
mi
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Der Ionendruck wird vernachlässigt, da die Ionentemperatur viel kleiner als die
Elektronentemperatur ist. Mit Ladungsneutralität δne = δni = δn erhält man:
∂ 2δn γekbTe ∂ 2δn
−
=0
2
2
∂t
mi ∂x
äquivalent zu den Langmuirwellen für Elektronen. Für ebene Wellen ergibt sich
die Lösung:
γekbTe 2
2
k
ωia =
mi
Diese Ionenakustischen Wellen haben dieselben Eigenschaften wie Schallwellen
in Gasen. Beide Wellen haben eine lineare Dispersion ω ∝ k und sind reine
Dichtefluktuationen. Die Phasengeschwindigkeit ω/k ist die Ionen-akustische
Geschwindigkeit
1/2
γekbTe
cia =
mi
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Wegen der linearen Dispersionrelation ist die Gruppengeschwindigkeit gleich der
Phasengeschwindigkeit. Bei Berücksichtigung des Ionendrucks muss der Term
γeTe durch die Summe von Elektronen und Ionenbeitrag γeTe + γiTi ersetzt
werden. Damit wird für grosse Ionentemperaturen die Ionenschallgeschwindigkeit
gleich der Ionen-thermischen Geschwindigkeit und der Beitrag der Elektronen zu
den Schallwellen kann vernachlässigt werden. Für grosse Frequenzen in der Nähe
von ωpi gilt auch die Quasineutralität nicht mehr. Also muss δne = δni mit der
Poisson Gleichung
2
∂ δφ en0 δne δni
=
−
2
∂x
0
n0
n0
ersetzt werden, wobei Quasineutralität für den ungestörten Zustand angenommen
wird: ne = ni = n0. Die genauere Dispersionsrelation lautet:
2
ωia
k 2c2ia
=
2
1 + k 2c2ia/ωpi
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ω ist nur für grosse Wellenlängen oder kleine k linear in k. Für Wellenlängen in
der Nähe der Debye Länge ist die Welle keine akustische mehr, die Frequenz wird
konstant und nähert sich der Ionenplasmafrequenz an.
Dispersion von Langmuir- und Ionen-akustischen
Wellen (Baumjohann, 1996). Zwischen den beiden Plasmafrequenzen kann sich keine elektrostatische Welle in einem unmagnetisierten Plasma
ausbreiten.
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Zusammenhang mit der Debye Länge
Die Debyelänge taucht bei der Dispersionsrelation für Ionenakustische Wellen
wieder auf, was vermuten lässt, dass sie von der Ladungstrennung durch die
Temperatur bei kleinen Wellenlängen verursacht wird. In einem quasineutralen
Plasma erzeugt ein ruhendes Ion ein elektrisches Feld, das Elektronen anzieht,
um die Landung des Ions auszugleichen. Durch die hohe Mobilität der Elektronen
werden sie in Richtung Ion beschleunigt, so dass im Mittel sich in der Nähe
des Ions mehr Elektronen aufhalten, als weit entfernt. Die Ladungsneutralität ist
hier verletzt, also entsteht ein elektrisches Potential φ(r), welches die Poisson
Gleichung erfüllt:
e
2
∇ φ = − (ni − ne)
0
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Die Ionendichte entspricht der quasineutralen Plasmadichte, aber die Elektronendichte ist durch das Ion gestört. Für ein Gleichgewicht zwischen thermischer
Bewegung und elektrischem Feld sind die Elektronen Maxwell verteilt, und ihre
Dichte gehorcht der Boltzmann Verteilung:
ne(r) = n0 exp
eφ(r)
kbTe
Für kleine Potentiale |eφ| << kbTe kann der Ausdruck Taylor entwickelt und in
die Poisson Gleichung eingesetzt werden:
2
e
n0 φ
2
∇ φ=
0kB Te
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Das Problem ist radialsymmetrisch um die Position des Ions und das Potential
divergiert mit 1/r für r → 0. Die Dimension der linken Seite der Gleichung
entspricht dem elektrostatischen Potential geteilt durch eine Länge zum Quadrat.
Ein Vergleich ergibt für diese Länge die Debye Länge:
λD =
0kbTe
n0 e 2
1/2
Die Debye Länge ist also die typische Abschirmdistanz für das elektrostatische Feld
eines Ions in einem quasineutralem Plasma mit Elektronen bei der Temperatur Te.
Jedes Ion ist mit einer Wolke zusätzlicher Elektronen umgeben, die das Feld des
Ions abschirmen. Eine Kugel mit dem Radius λD ist die Debye Kugel, die Anzahl
der Teilchen in dieser Kugel ist die Debye Zahl und entspricht in etwa dem Plasma
Parameter. Innerhalb der Debye Kugel ist das Potential nicht abgeschirmt, also
die Quasineutralität verletzt.
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Wenn man auch die Abschirmung der Elektronen durch die Ionen berücksichtigt
(meistens ein kleiner Effekt), erhält man die effektive Debye Länge
−2
−2
λ−2
=
λ
+
λ
D
Di
D,eff
mit
λDi =
0kbTi
n0 e 2
1/2
In einem isothermen Plasma mit ähnlichen Elektronen und Ionentemperaturen
tragen beide Deybe Längen gleich zur effektiven Deybe Länge bei. Die Deybe
Länge kann als das Verhältnis von thermischer Geschwindigkeit der Elektronen
zur Elektronenplasmafrequenz geschrieben werden λD = vthe/ωpe. Damit wird
die Dispersionsrelation der Langmuir Wellen:
2
ωl2 = ωpe
(1 + γek 2λ2D )
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elektromagnetische Wellen (ordinary-waves)
Sich bewegende Ladungen führen zu oszillierenden Strömen im Plasma, welche
Quellen für elektromagnetischen Wellen sind. In einem magnetisierten Plasma
kann eine vielzahl solcher Moden propagieren. Die einfachste e-m Welle tritt in
unmagnetisierten Plasmen auf: die Vakuum e-m Welle. Eine e-m Welle mit der
Frequenz ω versetzt die Elektronen im Plasma in Bewegung und erzeugt damit
einen Elektronenstrom
δ~jem = ßen0δ~ve
Nur die Störung der Elektronengeschwindigkeit trägt zum Strom bei, da das
Plasma ursprünglich in Ruhe war.
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Diese Störung kann aus der Bewegungsgleichung der Elektronen berechnet werden,
die sich im e-m Feld δE der ebenen Welle bewegen:
ie ~
δ~ve = −
δE
ωme
Durch Einsetzen in die Gleichung für den Strom, findet man, dass der indu~ proportional zum elektrischen Feld der Welle ist
zierte Strom δ~jrmem = σemE
(Ohm’sches Gesetz). Die Proportionalitätkonstante ist die Leitfähigkeit
σem
2
i0ωpe
=
ω
Sie hängt von der Frequenz der Welle und der Elektronen Plasmafrequenz ab und
ist imaginär. Sie verschwindet für sehr grosse Frequenzen und wenn kein Plasma
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vorhanden ist. In beiden Fällen wird die e-m Welle eine gewöhnliche Vakuum
Welle. Die Dispersionsrelation der Vakuum Welle ist
k 2c2
N = 2
ω
2
N ist dabei der Brechungsindex und im Vakuum gilt N 2 = 1. In einem unmagnetisierten Plasma kann man ihn durch die Dielektrizitätsfunktion (ω, ~k) ersetzen
und erhält die Dispersionsrelation der e-m Welle
k 2c2
= (ω, ~k)
2
ω
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Es gibt einen Zusammenhang zwischen (ω, ~k) und der Leitfähigkeit σ(ω, ~k)
(nächste Vorlesung). In diesem Fall gilt:
2
ωpe
iσem(ω)
(ω) = 1 +
=1− 2
0 ω
ω
Damit wird die Dispersionsrelation der Vakuum e-m Welle
2
2
ωom
= ωpe
+ c2k 2
Diese Welle wird ordentliche Welle (ordinary mode) genannt, da sie, ohne Plasma,
dieselbe Dispersionsrelation hat wie die Vakuum Welle. Dre wesentliche Unterschied zur Vakuum Welle ist, dass es für Frequenzen unterhalb der Plasmafrequenz
keine reelle Lösung gibt und die Welle hört auf zu existieren (cut-off). Beim cut-off
wird die Wellenzahl Null und die Welle wird reflektiert (Brechungsindex = 0).
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Ionosphäre
Radiowellen (Langwellen) unterhalb der Plasmafrequenz können nicht durch die
Ionosphäre dringen, sie werden zwischen Ionosphäre und Erdboden reflektiert
und können sich so (besonders Nachts: Reflektion in grosser Höhe) über grosse
Distanzen ausbreiten. Andererseits können niederfrequente Wellen aus der Aurora
nicht bis zum Erdboden gelangen.
Der verschwindende Brechungsindex wird zB für die Untersuchung der Ionosphäre
mit Hilfe von Ionosonden angewendet. Durch Variation der Sendefrequenz kann,
mit Hilfe der Laufzeit der Impulse, ein Dichteprofil der Unterseite der Ionosphäre
gemessen werden (virtuelle Höhe). Sender auf Satelliten messen das Dichteprofil
der Oberseite (top-side sounder).
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Frequenzen oberhalb der Plasmafrequenz erfahren lediglich eine Verlangsamung
der Ausbreitungsgeschwindigkeit und eine Phasenverschiebung. Durch Verwendung von zwei oder mehr Frequenzen kann damit das Integral der Elektronendichte (TEC: total electron content) bestimmt werden (GPS Satellit bis zum
Erdboden). Auf Raketen eingesetzt (Faraday rotation) kann damit entlang der
Flugbahn das Dichteprofil rekonstruiert werden. Satelliten, die zB den Mars umkreisen, messen so aus dem Orbit das Ionosphärenprofil des Mars (limb sounder:
Phasenverschiebung des Signals zwischen Erde und Satellit).
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