Ubungen zur Vorlesung Einführung in die diskrete

12.11.2012
U. Schwerdtfeger
Übungen zur Vorlesung
Einführung in die diskrete Mathematik
Blatt 6
Aufgabe 1:
Eine rechteckige Fahne ist in n waagerechte Streifen unterteilt. Wieviele Schwarz-WeißMuster gibt es mit genau k schwarzen Streifen, wenn die Fahne um 180◦ gedreht werden
kann?
Aufgabe 2:
In einer Firma erhält jeder Mitarbeiter zur Identifizierung eine quadratische 3 × 3
Lochkarte mit kreisrunden Löchern, deren Vorder- und Rückseite nicht unterscheidbar
sind.
Abbildung 1: Lochkarten mit einer und mit zwei Lochgrößen.
Wieviele Mitarbeiter können höchstens eingestellt werden, wenn
a) eine Lochgröße gestanzt werden kann,(3 Punkte)
b) zwei verschiedene Lochgrößen gestanzt werden können? (1 Punkt)
Aufgabe 3:
Zeigen Sie mit Hilfe des Zyklenindikators der symmetrischen Gruppe Sn die Identität
n
X
sn,k xk = xn ,
k=0
wobei sn,k die Stirling Zahlen erster Art bezeichnen. Sie sollen dazu nicht den Zyklenindikator explizit ausrechnen! (4 Punkte)
Aufgabe 4:
Bestimmen Sie die Symmetriegruppe des Tetraeders. Zeigen Sie ohne Ausrechnen: Färbt
man Ecken bzw. Seiten mit r Farben, erhält man stets dieselbe Anzahl von Mustern.
(4 Punkte)
Aufgabe 5:
Wir schauen uns nochmal die Gitterwege aus Aufgabe 2 vom zweiten Blatt an. Diesmal
sei N = M, d.h. die Wege führen von der linken unteren Ecke zur rechten oberen Ecke
des N × N -Quadrats. Wir wollen zwei Gitterwege als äquivalent betrachten, wenn
wir sie durch eine Drehung oder Spiegelung miteinander zur Deckung bringen können.
Wieviele wesentlich verschiedene Pfade gibt es dann? (4 Punkte)
Abbildung 2: Äquivalente Gitterwege
Abgabetermin: 19.11.2012 in der Vorlesung
Tipps zu ausgewählten Aufgaben
Allgemein kann man sagen, dass in diesem Kapitel der Vorlesung das Lemma von
Burnside-Frobenius und der Satz von Polya die zentralen Resultate sind, also nochmal
gut angucken!
Aufgabe 3:
Nummerieren Sie die Teilquadrate mit 1, . . . , 9 durch und schauen Sie, wie die Drehungen und Spiegelungen des Quadrates die Nummern permutieren.
Aufgabe 4:
Hier soll der Satz von Polya benutzt werden. Beachten Sie, dass die Zahl der Muster im
Fall G = Sn schon bekannt ist. Denken Sie weiter an die kombinatorische Bedeutung
der sn,k (= Anzahl von...). Und nochmal: Sie sollen nicht den Zyklenindikator der
Sn explizit ausrechnen (statt |Sn | sollten Sie allerdings schon n! schreiben), sondern
überlegen, wie das Polynom aus der Aufgabenstellung damit zusammenhängt.
Aufgabe 5:
Als erstes überlegen Sie sich, welche Spiegelungen und Drehungen in Frage kommen.
Beachten Sie dabei, dass wir nur Pfade “von links unten nach rechts oben” betrachten
wollen, also z.B. eine Drehung um 90◦ aus der betrachteten Menge herausführt. In der
Lösung von Aufgabe 2 vom zweiten Blatt wurden diese Pfade als Folgen (w1 , . . . , w2N ),
wi ∈ {h, r} (hoch, rechts) interpretiert. Welche Wirkung haben die zulässigen Symmetrieoperationen auf diese Folgen?