Prof. Dr. Holger Dette ¨Ubungen zur Vorlesung Statistik I

Prof. Dr. Holger Dette
Dr. Melanie Birke
Übungen zur Vorlesung Statistik I
Sommersemester 2009
Blatt 5
Abgabe: Bis Freitag, den 22.05.2009 um 12.15 Uhr.
Aufgabe 1:
(4 Punkte)
Sei X eine Poisson(λ)–verteilte Zufallsvariable mit λ > 0, und die Verlustfunktion L sei definiert durch
2
L(λ̃, λ) = (λ̃−λ)
1+λ2 .
(a) Man betrachte den linearen Schätzer λ̂(x) = a + bx für a, b ≥ 0 und bestimmen dessen Risiko
Ra,b (λ) zur Verlustfunktion L.
(b) Man zeige folgende Äquivalenz:
lim Ra,b (λ) = 0 ⇔ b = 1.
λ→∞
(c) Man zeichne die Risikofunktion zu folgenden Schätzern:
√
x + 0.5
√ ; λ̂3 (x) = 2x; λ̂4 (x) = 0; λ̂5 (x) = 1.
λ̂1 (x) = x; λ̂2 (x) =
1 + 0.5
Aufgabe 2:
(4 Punkte)
2
Seien X1 , . . . , Xn , Y1 , . . . , Ym unabhängige Zufallsvariablen mit Xi ∼ N (µ1 , σ ) (1 ≤ i ≤ n) und Yi ∼
N (µ2 , σ 2 ) (1 ≤ i ≤ m) für unbekannte Parameter µ1 , µ2 , σ 2 .
(a) Man bestimme den Maximum Likelihood Schätzer für θ = (µ1 , µ2 , σ 2 ).
(b) Man zeige, dass für jedes α ∈ [0, 1]
2
Sα2 := αSX
+ (1 − α)SY2 ,
Pn
1
2
2
2
:= n−1
und X̄ durch SX
wobei SX
i=1 (Xi − X̄) und X̄ =
m) definiert sind, ein erwartungstreuer Schätzer für σ 2 ist.
1
n
Pn
i=1
Xi (SY2 , Ȳ entsprechend für
(c) Man berechne das Riskio von Sα2 für α ∈ [0, 1].
(d) Man zeige, dass der Schätzer S 2 := Sα2 0 mit α0 :=
in {Sα2 : α ∈ [0, 1]} hat.
n−1
m+n−2
das kleinste Riskio von allen Schätzern
Aufgabe 3:
(4 Punkte)
Seien X1 , . . . , Xn unabhängig, identisch verteilt mit Xi ∼ P oisson(λ) (1 ≤ i ≤ n) mit unbekanntem
Parameter λ > 0.
(a) Zeigen Sie, dass X1 · X2 ein erwartungstreuer Schätzer für λ2 ist.
(b) Verbessern Sie den obigen Schätzer durch Anwendung der Rao–Blackwell Prozedur mit der Statistik
Pn
S = i=1 Xi . (Zur Kontrolle: Man erhält den Schätzer S(S−1)
.)
n2
Hinweis: Bestimmen Sie die bedingte Verteilung von (X1 , . . . , Xn ) bzgl. S.
Aufgabe 4:
(4 Punkte)
Seien X1 , . . . , Xn unabhängig, identisch verteilt mit Xi ∼ U (0, θ) (1 ≤ i ≤ n) und unbekanntem Parameter θ > 0.
1. Man betrachte den Maximum Likelihoodschätzer
M (X1 . . . , Xn ) = max Xi
1≤i≤n
und zeige, dass
T ∗ (X1 , . . . , Xn ) =
n+1
max Xi
n 1≤i≤n
ein UMVU-Schätzer für θ ist.
2. Man finde einen Schätzer T mit
R(θ, T ) < min{R(θ, M ), R(θ, T ∗ )}
und kommentiere kurz, welche weiteren Eigenschaften T besitzt und weshalb sein kleineres Risiko
nicht im Widerspruch zu der UMVU-Eigenschaft von T ∗ steht. (Hinweis: Man verwende den Ansatz
T = αM , und wähle α geschickt).