Phys. L. Weithofer Theoretische Mechanik SoSe 2012 12. Übungsblatt
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INSTITUT FÜR MATHEMATISCHE PHYSIK Prof. Dr. P. Recher Dipl.-Phys. L. Weithofer Theoretische Mechanik 12. Übungsblatt SoSe 2012 Abgabe: Dienstag, 10.07.2012, vor der Vorlesung 1. Definitionen (2 Punkte) Definieren Sie folgende Begriffe: Hamilton-Jacobi-Gleichung, Prinzipalfunktion, charakteristische Funktion, Verteilungsfunktion. 2. physikalische Bedeutung? (5 Punkte) Diskutieren Sie (mit Begründung in Form einer kurzen Rechnung!) die physikalische Bedeutung der kanonischen Transformationen, die durch die folgenden erzeugenden Funktionen generiert werden: (a) F2 (r , P ) = r · P + δa · P (b) F2 (r , P ) = r · P + δϕ · (r × P ) (c) F2 (q, P ) = αqP 3. Satz von Liouville (5 Punkte) Wir betrachten die eindimensionale Bewegung eines Teilchens. Der Ort x und der Impuls p des Teilchens entspricht einem Punkt im Phasenraum. Wir betrachten nun dieses Teilchen wiederholt unter leicht veränderten Anfangsbedingungen. Diese seien gleichmäßig verteilt im Bereich 0 ≤ x ≤ xmax und 0 ≤ p ≤ pmax . Berechnen und Skizzieren Sie, wie sich die Grenzen des besetzten Phasenraumbereichs im Laufe der Zeit verschieben. Zeigen Sie, dass das Volumen dieses Phasenraumbereichs und die Dichte der Punkte konstant ist. Betrachten Sie hierzu (a) kräftefreie Teilchen (b) Teilchen im Schwerefeld g = ge x . Bitte wenden! 4. Hamilton-Jacobi-Gleichung (7 Punkte) Die Hamiltonsche Funktion des eindimensionalen harmonischen Oszillators lautet H(q, p) = 1 p2 + m2 ω 2 q 2 2m . (a) Finden Sie die kanonische Transformation S(q, P, t) = F2 (q, P, t), aus der sich H̃(Q, P, t) = 0 ergibt. Gehen Sie dabei wie folgt vor: • Stellen Sie die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung auf. Zeigen Sie, dass der Separationsansatz S(q, P, t) = W (q, P ) + V (t, P ) auf die beiden gewöhnlichen Differentialgleichungen 1 dW 2 m 2 2 + ω q =α 2m dq 2 dV = −α dt führt. Dabei ist α eine Konstante, die mit dem neuen Impuls identifiziert werden kann, d.h. α = P . • Zeigen Sie, dass die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung (bis auf eine hier unwichtige Integrationskonstante) durch s " r !# 2 1 2P mω P S(q, P, t) = F2 (q, P, t) = mω q − q2 + arcsin q − Pt 2 mω 2 mω 2 2|P | gelöst wird. R√ a2 − x 2 dx = Hinweis: Sie können das Standardintegral verwenden. 1 2 √ x a2 − x 2 + a2 arcsin xa (b) Lösen Sie das Problem des harmonischen Oszillators für die Anfangsbedingungen p(t = 0) = 0, q(t = 0) = A Gehen Sie dabei wie folgt vor: • Zeigen Sie Q= ∂S 1 = ∂P ω Z dq 2P − q2 mω 2 −1/2 −t und lösen Sie nach q = q(Q, P ) auf. R 1 Hinweis: Sie können das Standardintegral (a2 − x 2 )− 2 dx = arcsin xa verwenden. • Berechnen Sie p = ∂S ∂q als Funktion p(Q, P ). • Berechnen Sie Q und P aus den Anfangsbedingungen. Welchen Erhaltungsgrößen entsprechen sie?
