1 Was ist Mechanik - Flo

Physik
28. Juni 2009
1 Was ist Mechanik
1.1 Kinematik
1.1.1 Eindimensionale Kinematik
s(t + ∆t − s(t))
∆s
=
t + ∆t − t
∆t
∆s
ds
=
= ṡ
Momentangeschwindigkeit: v(t) = lim
∆t→ 0 ∆t
dt
Mittlere Geschwindigkeit: vm (t) =
v(t + ∆t − v(t))
∆v
=
t + ∆t − t
∆t
∆v
dv
Momentanbeschleunigung: a(t) = lim
=
= v̇ = s̈
∆t→ 0 ∆t
dt
Mittlere Beschleunigung: am (t) =
(1)
(2)
(3)
(4)
Vorgehen: Integration von a(t)
v(t) = k1 +
Z
s(t) = k2 +
Z
a(t)dt = v0 +
Z
v(t)dt = s0 +
Z
a(t)dt
(5)
v(t)dt
(6)
Spezialfälle
• gleichmäßige Geschwindigkeit mit a = 0
Z
v(t) = v0 +
s(t) = s0 +
a(t)dt = v0 = const.
Z
v0 dt = s0 + v0 · t
(7)
(8)
• gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit a = a0 = const.
v(t) = v0
s(t) = s0
Z
v(t)dt = s0 +
Z
Z
a0 dt = v0 + a0 · t
(9)
1
(v0 + a0 · t)dt = s0 + v0 · t + a0 t2
2
(10)
1.1.2 Dreidimensionale Kinematik




ẋ(t)
x(t)




~r(t) =  y(t)  ⇒ ~v (t) = ~r˙ (t) =  ẏ(t) 
z(t)
ż(t)

(11)

ẍ(t)


˙
¨
~a(t) = ~v (t) = ~r(t) =  ÿ(t) 
z̈(t)
(12)
1
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Anwendung: Schiefer Wurf
Startbedingungen in Vektorschreibweise:
v0 · cosβ
v0 · sinβ
v~0 =
!
; ~a(t) =
0
−g
!
(13)
Geschwindigkeits- und Ortsvektoren
~v (t) =
v0 · cosβ
v0 · sinβ − 21 gt
!
v0 · t · cosβ
v0 · t · sinβ − 12 gt2
; ~r(t) =
!
(14)
x
→
v0 · cosβ
1
g
y(x) = v0 · t · sinβ − gt2 = tanβ · x −
· x2
2
2
2v0 · cos2 β
x = v0 · t · cosβ → t =
v0 2 · sinβ · cosβ
g
(15)
ys =
v0 2 · sin2 β
2g
(16)
tE =
2v0 · sinβ
g
(17)
xs =
aber: da, tE = 2 · ts → und 2 · xs →
Welcher Winkel ergibt die optimale Flughöhe?
→ cosβ =
r
1
= β = 45◦
2
Anwendung Kreisbewegung
2π
· t mit r = |~r(t)| und ωt
T
→ β(t) = ω · t =
Geschwindigkeits- und Ortsvektoren
~r(t) =
x
y
!
~v (t) = ṙ(t) =
~a(t) = v̇(t) =
|~r(t)| =
q
r · cosβ
r · sinβ
=
!
=
−r · ω · sinωt
r · ω · cosωt
!
−r · ω 2 · cosωt
−r · ω 2 · sinωt
!
x2 + y 2 =
p
r · cosωt
r · sinωt
!
(18)
= −ω · ~r(t)
= −ω 2 · ~r(t)
r2 · cos2 ωt + r2 · sin2 ωt = r
entsprechend: |~v (t)| = ωr und |~a(t)| = ω 2 r
2
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1.2 Dynamik
1.2.1 Die Newtonschen Axiome
1. Axiom: Jeder Körper behält seine Geschwindigkeit (Betrag als auch Richtung) bei,
wenn keine äußeren Kräfte auf ihn einwirken.
2. Axiom: Die zeitliche Änderung des Impulses p~ = m · ~v ist gleich der resultierenden
Kraft auf den Körper.
3. Axiom: (actio=reactio) Wirkt ein Körper 1 auf Körper 2 mit der Kraft F12 ,so wirkt
Körper 2 auch auf Körper 1 mit der Kraft F21 = −F12 (gleicher Betrag, entgegengesezte Richtung).
1.2.2 Die Masse
1. Die Trägheit der Masse: F~ = m · ~a
2. Die Schwere der Masse: F12 = γG ·
m1 ·m2
mit
r2
Gravitationskonstante γG = 6, 673 ·
m3
kgs2
1.2.3 Die Kraft
Aus dem 2.Axiom folgt: F~ = m · ~a + v ·
dm
dt
mit [1N = 1kg · 1 sm2 ] Beispiele für Kräfte:
1. Gewichtskraft: F~G = m · ~g
2. Zentripetalkraft: F~Zp = m · aZp = −m · ω 2 · ~r
Zusammenhänge dazu:
β=
b
r
und β̇ =
ḃ
r
und β̇ = ω und ḃ = VBahn → ω =
VBahn
r
2
Daraus folgt: F~Zp = − mv
~
r
~a =
m2 − m1
· ~g
m1 + m2
(19)
1.2.4 Der Impuls
p~ = m · ~v
(20)
1.2.5 Arbeit, Energie und Leistung
Arbeit: W = F~ ∆~s = |F~ | · |∆~s| · cos(F~ , ∆s)
(21)
Über das Skalarprodukt F~ · ∆~s wird nur die Kraftkomponente längs des Weges berücksichtigt. Für differentielle Wegstücke dW = F~ · ds.
W =
ZS2
dW =
S1
ZS2
F~ d~s
(22)
S1
3
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Leistung
• Die Momentanleistung: P =
• mittlere Leistung: P =
dW
dt
mit der Einheit [P ] =
Nm
s
=
J
s
= W.
∆W
∆t
Energie
Die Einheit der Energie ist J (Joule).W = Enacher − Evorher
• Kinetische Energie: Die Energie, die nach der Verrichtung von Beschleunigungsarbeit
1
im Körper steckt . Ekin = mv 2
2
• Potentielle Energien: Energien, die vom Ort des Körpers und der „geschickten„ Lage
des Nullniveaus abhängt.
ELage = m · g · h mit h, Strecke über gewähltem Nullniveau
EElastisch = 21 c · s2
1.2.6 Stoßprozesse
Zentraler, gerader elastischer Stoß
EES:
1
1
1
1
m1 v12 + m2 v22 = m1 v102 + m2 v202
2
2
2
2
IES:
m1 v1 + m2 v2 = m1 v10 + m2 v20 →
v1 − v2 =
v20
−
v10
=
−(v10
−
(24)
v20 )
v10 = v20 + v2 − v1 und v20 = v10 + v1 − v2
Einsetzen in IES:
v20 =
(23)
(25)
2m1 v1 + v2 (m2 − m1 )
(m1 + m2 )
Sonderfall 1: gleich große Massen:
2m · v1
= v1
2m
2m · v2
v10 =
= v2
2m
Sonderfall 2: Reflexion an fester Wand, dh.: m2 >> m1 und v2 = 0
v20 =
(26)
2m1 · v1
=0
m2
−m2 · v1
v10 =
= −v1
m2
v20 =
4
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Zentraler, gerader inelastischer Stoß mit mechanischem Energieverlust
m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2 )v 0 → v 0 =
m1 v1 + m2 v2
m1 + m2
(27)
mit mechanischen Verlusten, EES mit Ergänzung
1
1
1
m1 v12 + m2 v22 = (m1 + m2 )v 02 + ∆W
2
2
2
(28)
1.3 Der starre Körper
1.3.1 Drehmoment
~ = ~r × F~
Vektoriell gilt: M
M = rsenk · F = r · sin α · F
1.3.2 Rollbewegung des starren Körpers
W =
Z
Z
F ds =
F r⊥ dϕ =
Z
(29)
M · dϕ
d2 ϕ
dω
= 2
dt
d t
M = J · α mit α =
Jedes Massenelement dm hat die dE mit dE = 21 dmv 2 .
1
E=
2
Z
0M (v(r))2 dm
(30)
Die Geschwindigkeit eines Massenelementes ist:
V =ω·r →
rot
Ekin
1
1
(ωr)2 dm = ω 2 r2 dm
2
2
Z
1 2
jω mit J = r2 dm
2
Z
Z
=
rot
Ekin
=
(31)
Alternative Herleitung:
W =
Z
Z
J
M dϕ =
Z
J · αdϕ = J
dϕ
dω = J
dt
Z
1
ωdω = Jω 2
2
Z
dω
dϕ =
dt
(32)
Allgemein gilt:
J=
J=
Z
X
∆mi · ri2
r2 dm = R2
Z
5
dm = R2 · m
(33)
(34)
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Bei einem Vollzylinder:
J=
Z
r2 dm → dm = ρ · dV
= ρ · l · 2πrdr
1
= ρ · π · R2 R2 =
2
(35)
1
m · R2
2
Bei Achsen durch den Schwerpunkt gilt:
J=
X
∆mi · ri bzw. J =
Ekin =
=
=
Z
r2 dm
1 2 1
v + Js · ω 2 mit vs = ωr
2 s 2
1
1
mω 2 r2 + Js ω 2
2
2
1 2
ω
(mr2 + Js )
|
{z
}
2
(36)
(37)
Jp =m·r2 +Js Steiner Satz
1.3.3 Der Drehimpuls
2
L = r⊥ · p = r⊥ · m · v = r⊥ · m · r⊥ · ω = r⊥
·m·ω =J ·ω
(38)
1.3.4 Analogien Translation/Rotation
translatorisch: Ohne außere Kraft → Impulserhaltung: für die Kraft gilt: F~ = m · ~a
~ = J ·α
rotatorisch: Ohne äußeres Moment → Drehimpulserhaltung, für das Moment gilt: M
~
1.3.5 Allgemeine Bewegung des freien starren Körpers
Unter verschiedenen Randbedingungen lassen sich für die Bewegung des starren Körpers die
3 mechanischen Erhaltungssätze nutzen:
1. Energieerhaltungssatz: In einem mechanischen Geamtsystem ist die Energie erhalten,
wenn es abgeschlossen ist.
Vorsicht: Gilt nicht wenn Teile der Energie in Wärme umgewandelt werden, oder bei
Kopplung mit „Außenwelt“ über Reibung
2. Impulserhaltung: Wirkt keine äußere Kraft, so bleibt die Summe der Einzelimpulse
erhalten
3. Drehimpulserhaltung: Wirkt auf ein Gesamtsystem kein äußeres Moment, so bleibt
die Summe der Einzeldrehimpulse erhalten
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2 Schwingungen
2.1 Was sind Schwingungen?
Der erste Spezialfall wäre eine harmonische Schwingung:
y(t) = cos(ωt + ϕ0 )
(39)
y(t) = sin(ωt + ϕ0 )
2.2 Freie harmonische Schwingung
Lösung der DGL sind:
y(t) = ŷ · cos(ω0 · t + ϕ0 )
(40)
ẏ(t) = −ŷ · ω0 · sin(ω0 · t + ϕ0 )
ÿ(t) = −ŷ · ω02 · cos(ω0 · t + ϕ0 )
Als e-Funktion ausgedrückt:
y(t) = ŷ · ejω0 ·t
(41)
jω0 ·t
ẏ = j ŷ · ω0 e
ÿ = −ŷ · ω02 · ejω0 ·t
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Einsetzten in die DGL liefert:
c
· cos(ω0 · t + ϕ0 ) = 0
m
c
2
= 0
−ŷ · cos(ω0 · t + ϕ0 ) · ω0 −
m
c
⇒ ω02 =
m
− ŷ · ω02 · cos(ω0 · t + ϕ0 ) + ŷ ·
(42)
Interpretation:
ymax = ŷ
(43)
vmax = ŷ · ω0
amax = ŷ · ω02
2.2.1 Mathematisches Pendel
m · l · β̈ = −m · g · sin β
(44)
Für kleine Auslenkungen gilt: β = sin(β)
DGL:
β̈ +
g
·β = 0
l
β(t) = β̂ · cos(ω0 · t + ϕ0 )
r
g
ω0 =
l
(45)
2.2.2 Allgemeine Lösung für harmonische Schwingungen
Lösung: Variable= Variablemax · cos(ω0 · t + ϕ0 )
2.2.3 Beispiel: Elektromagnetische Schwingung
q̂
· cos(ω0 · t + ϕ0 )
C
UL (t) = −L · q · ω 2 · cos(ω0 · t + ϕ0 )
→ UC (t) =
(46)
2.2.4 Energiebetrachtung bei der ungedämpften Schwingung
y(t) = ŷ · cos(ω0 · t + ϕ0 )
(47)
ẏ(t) = −ω0 ŷ · sin(ω0 · t + ϕ0 )
Extremwerte:
Potentielle Energie: Epot = 12 cy 2 (t) = Epotmax = 12 cŷ 2
8
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Kinetischen Energie: Ekin = 12 mẏ 2 (t) = Ekinmax = 21 m(ω0 ŷ)2
Zu beliebigen Zeiten:
1
1
E = Epot + Ekin = cŷ 2 + m(ω0 ŷ)2
2
2
1 ∗ 2
1
1
=
c ŷ · cos(ω0 · t + ϕ0 ) + m(ω0 ŷ)2 m(ω0 ŷ)2 · sin(ω0 · t + ϕ0 )
2
2
2
i
1 2 h 2
1
2
=
cŷ · cos (ω0 · t + ϕ0 ) + sin (ω0 · t + ϕ0 ) = cŷ 2
2
2
|
{z
}
(48)
1
2.3 Freie gedämpfte Schwinung
Reibungskraft : FR = −b · v = −b · ẏ
Mathematische Beschreibung:
Fr
Fa
Fc
z }| { z}|{
= −b · ẏ · c · y
z}|{
mÿ
mÿ + bẏ + cy = 0
c
b
· ẏ +
·y = 0
ÿ +
m
m
(49)
Ansatz zur Lösung der DGL:
y(t) = k1 · ek2 ·t
ẏ(t) = k1 · k2 · ek2 ·t
ẏ(t) = k1 · k22 · ek2 ·t
(50)
k1 und k2 sind komplexe Zahlen.
Ansatz in DGL:
k1 · ek2 ·t · k22 +
b
c
· k2 +
m
m
=0
(51)
Lösung der Klammer mit der Mitnernachtsformel (MNF):
k2.1/2
b
=−
±
2m
Man definiert die abklingkoeffizient δ =
b
2m
s
b2
c
−
2
4m
m
außerdem ω02 =
⇒ k2.1/2 = −δ ±
q
c
m
δ 2 − ω02
(52)
Die Diskriminate führt zu physikalischen und mathematischen Fallunterscheidungen.
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q
Fall 1: δ < ω0 ⇒ k2.1/2 = −δ ± j · ω02 − δ 2
Lösungsfunktion ergibt sich als Linearkombination der beiden Lösungen mit k2.1 und k2.2 ,
dabei genügt für diese Spezielle Lösung ein reelles k1 :
= k1 · e−ωt · 2 · cos
q
ω02 − δ 2 · t
⇒ ŷ = ŷ0 · e−δt · cos(ωD · t)
mit ŷ0 = 2k1 und ωD =
q
(53)
ω02 − δ 2
Lösungsfunktion: y(t) = ŷ0 ·e−δt ·cos(ωD ·t+ϕ0 ). Funktion der einhüllenden Kurve: y = ŷ·e−δt
Dämpfungsgrade: D = ωδ0
1
Die Güte : Q = 2D
Fall 2: δ > ω0 (große Dämpfung)
also gilt:
b2
4m2
>
c
qm
⇒ k2.1/2 = −δ δ 2 − ω02
allgemeine Lösung:
√2 2
√2 2
y(t) = y1 · e(−δ+ δ −ω0 ) + y2 · e(−δ− δ −ω0 )
Physikalische Bedeutung: Kriechfall: Keine Schwingung, sondern exponentielles abklingen.
Fall 3: δ = ω0 also gilt das
b2
4m2
=
c
m,
bzw die Diskriminate ist 0.
⇒ k2.1/2 = −δ =
b
2m
(54)
Eine zweite linear unabhängige Lösung erhält man durch Variation der Konstanten:
y = y2 · t · e−δt .
Die allgemeine Lösung für Fall 3:
⇒ y(t) = (y1 + y2 · t) · e−δt
(55)
2.4 Die erzwungene Schwingung
ÿ +
b
c
F̂E
· ẏ +
·y =
· cos(ωE · t)
m
m
m
(56)
y(t) = ŷ · cos(ωE · t + γ)
ŷ =
1
F̂E
·q
m
2 )2 + (2Dω · ω )2
(ω02 − ωE
0
E
ŷ =
F̂E
1
·p
2
c
(1 − η )2 + (2Dη)2
10
(57)
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Es gilt:
tan γ = 2D
ω0 · ωE
2Dη
2 = (1 − η 2 )
ω02 − ωE
(58)
γ=Pahasenwinkel zwischen Schwinung und Erregung
Fall 1: ωE << ω0 bzw. η << 1
F̂E
F̂E
1
F̂E 1
·p
≈
·√ =
2
2
2
c
c
c
(1 − η ) + (2Dη)
1
2Dη
⇒γ=0
(1 − η 2 )
ŷ =
tan γ =
(59)
Fall 2: ωE >> ω0 bzw. η >> 1
ŷ =
tan γ =
F̂E
1
·p
⇒0
c
(1 − η 2 )2 + (2Dη)2
2D
2Dη
≈
⇒γ=π
2
1−η
−η
(60)
Fall 3: ωE = ω0 bzw. η = 1
ŷ =
tan γ =
F̂E
F̂E 1
1
F̂E
=
·p
·
=
·Q
2
2
2
c
c
2D
c
(1 − η ) + (2Dη)
2Dη
π
⇒∞⇒
2
1−η
2
(61)
Frage: Wo befindet sich die echte Resonanzstelle?
2
ωE
= ω02 (1 − 2D2 ) ⇒ ωE = ω0 ·
p
1 − 2D2 =
q
ω02 − 2δ 2
(62)
Bei D = 0 gilt ω0 = ωq
E
Einsetzten von ωE = ω02 − 2δ 2 in ŷ ergibt:
ŷ =
F̂E
·Q
c
(63)
3 Wellen
3.1 Harmonische Wellen
ω
· x + ϕ0
c
y(t, x) = ŷ · cos (ωt − k · x + ϕ0 )
y(t, x) = ŷ · cos ωt −
11
(64)
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y(t, xM ) = ŷ · cos (ωt + ϕM )
2
Vergleich mit der Wellengeleichung liefert: c2 = ωk2 ⇒ c =
Für eine Transversalwelle auf einer gespannten Seite:
s
c=
(65)
ω
k
F
A·ρ
(66)
Für eine Longitudinalwelle in dünnen Stäben:
s
c=
E
mit E=Elastizitätzmodul des Stabes
ρ
(67)
Elektromagnetische Welle in Materie:
c= √
1
< cLicht,vakuum
0 r · µ0 µr
(68)
3.2 Energietransport und Intensität einer Welle
Damit erhält man für die Energiedichte einer mechanischen Welle:
w=
dE
=
dV
1
2
· ω 2 · ŷ 2 · ρ · dV
1
= ω 2 ŷ 2 · ρ
dV
2
(69)
Entsprechend ergibt sich für elektromagnetische Wellen:
w = 0 · r · E 2 = µ0 · µr · H 2
(70)
Intensität oder Energiestromdichte
Für mechanische Wellen gilt also:
1
S = w · c = ω 2 · ŷ 2 · ρ · c
2
(71)
Für elektromagentische Wellen:
S = w · c = c · 0 · r · E 2 = c · µ0 · µr · H 2
(72)
3.3 Dopplereffekt
fB =
c+vB
c
· fQ = fQ · 1 +
vB v
2. Bewegte Quelle (Beobachter ruht)
λB = λ − va · T
λ · fQ
f
c
fB =
=
=
λB
λ − va · T
1 − vca
fa
fB =
1 − vca
12
(73)
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fa
z
}|
vB
fB = fQ · 1 +
c
|
{z
{
·
}
1
v
1 − cQ
= fQ ·
c+vB
c
c−vQ
c
= fa ·
c + vB
c − vQ
(74)
| {z }
bewegterBeobachter bewegteQuelle
Es gilt:
fA nnaeherung
fEntf ernung
v =
r
fAnnaeherung
fEntf ernung
−1
r
fAnnaeherung
fEntf ernung
+1
(75)
·c
Öffnungswinkel des Machschen Kegels ?
sin α =
c
vQ
(76)
3.4 Interferenzen
3.4.1 Überlagerung von Wellen: gleicher Richtung
Sonderfall: Gleiche Freuqenz:
1.Welle: y1 = ŷ · cos (ωt − kx) ;2.Welle: y2 = ŷ · cos (ωt − kx + ϕ0 )
ϕ
= 2ŷ · cos
2
⇒ yRes
ϕ
· cos ωt − kx +
2
∆
ϕ
ϕ
=
⇒
·λ
λ
2π
2π
(77)
(78)
3.4.2 Überlagerung von Wellen: entgegen gesetzte Richtung
Sonderfall: Beide Wellen haben die gleiche Frequenz:
1.Welle mit der Form: y1 = ŷ · cos (ωt − kx) ;2.Welle mit der Form: y1 = ŷ · cos (ωt + kx)
yRes (x, t) = y1 + y2 = ŷ · (cos (ωt − kx) + cos (ωt + kx + ϕ))
ϕ
ϕ
yRes (x, t) = 2 · ŷ cos ωt +
· cos kx +
2
2
(79)
Stehende Wellen
q
F
c auf einer Saite: c = A·ρ
Grundfrequenz: f0 = 2lc
Oberschwingungen: f = f · (n + 1) mit n = 1, 2, 3...
13
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