technische universit ¨at m ¨unchen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
P ROF. D R .D R . J ÜRGEN R ICHTER -G EBERT, VANESSA K RUMMECK , F RANK VALLENTIN
Höhere Mathematik für Informatiker I (WS 2001/02)
— Aufgabenblatt 13 (24.1.2002) —
— Präsenzaufgaben —
Aufgabe 81. Fitness-Check.
Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
Ich habe mich zur Klausur angemeldet.
Ich habe mich beim Studiensekretariat Informatik über die “Freischußregelung” informiert.
Ich habe alle Übungsaufgaben selbst durchgerechnet.
Ich habe Hausaufgaben abgegeben.
Ich habe den Begleittext zur Vorlesung gründlich durchgearbeitet.
Ich habe die Vorlesungsmitschrift gründlich wiederholt.
Ich habe meinen “Spickzettel” vorbereitet.
Alle bisherigen Aussagen sind wahr, und darum habe ich keine große Panik vor der Klausur.
Aufgabe 82. Was heißt hier konvex?
Aus Aufgabe 48 wissen wir, daß die Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten p1 , p2 ∈ R2 die Menge [p1 , p2 ] =
{α1 p1 + α2 p2 | α1 , α2 ≥ 0, α1 + α2 = 1} ist.
Eine Menge C ⊆ R2 heißt konvex, wenn für je zwei Punkte p1 , p2 ∈ C deren Verbindungsstrecke ebenfalls in C liegt:
[p1 , p2 ] ⊆ C.
Es seien p1 , p2 , . . . , pn ∈ R2 Punkte in der Ebene. Ihre konvexe Hülle (Notation: conv(p1 , p2 , . . . , pn )) ist die kleinste konvexe Menge, die die Punkte p1 , . . . , pn enthält, d.h. für jede konvexe Menge C mit p1 , . . . , pn ∈ C gilt
conv(p1 , . . . , pn ) ⊆ C.
1.) Gegeben seien die folgenden 9 Punkte im R2 : p1 = (3, 4) , p2 = (1, 5) , p3 = (5, 3) , p4 = (2, 1) ,
p5 = (1, −2) , p6 = (−1, 3) , p7 = (−4, 2) , p8 = (−1, 1) , p9 = (−2, −1). Zeichnen Sie diese Punkte
und ihre konvexe Hülle in ein Koordinatensystem.
2.) Gegeben seien zwei Punkte p1 , p2 ∈ R2 . Überprüfen Sie: [p1 , p2 ] = conv(p1 , p2 ).
3.) Gegeben seien drei Punkte p1 , p2 , p3 ∈ R2 . Zeigen Sie:
conv(p1 , p2 , p3 ) = {α1 p1 + α2 p2 + α3 p3 | α1 , α2 , α3 ≥ 0, α1 + α2 + α3 = 1}.
4.) Wie kann man die obige Formel verallgemeinern?
5.) Gegeben seien folgende Werte eines Chirotops auf 5 Punkten A , B , C , D , E ∈ R2 :
χ(ABC) = 0
χ(BCD) = −
χ(ABD) = +
χ(BCE) = −
χ(ABE) = +
χ(BDE) = −
χ(ACD) = −
χ(CDE) = +
χ(ACE) = −
χ(ADE) = 0
Bestimmen Sie anhand dieser Werte die Eckpunkte der konvexen Hülle dieser 5 Punkte, und zeichnen Sie eine
mögliche Konfiguration der Punkte A,B,C,D,E.
— Hausaufgaben —
Aufgabe 83. Octopussi.
Wie üblich sind e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) die Einheitsvektoren des R3 .
a) Fertigen Sie eine Skizze der konvexen Hülle K = conv(e1 , −e1 , e2 , −e2 , e3 , −e3 ) an.
b) Wie läßt sich K in Tetraeder zerlegen?
c) Berechnen Sie mit Hilfe der in Teilaufgabe b) gewählten Zerlegung das Volumen von K.
Aufgabe 84. Regression statt Depression.
Gegeben seien im R2 die vier Punkte p1 = (−1, −2), p2 = (0, 0), p3 = (3, 2), p4 = (4, 0) . Bestimmen Sie
mittels Regressionsrechnung ein Polynom 1. Grades (lineare Regression) und ein Polynom 2. Grades (quadratische
Regression), das jeweils die 4 Punkte möglichst gut approximiert.
Zeichnen Sie die 4 Punkte und die beiden berechneten Regressionskurven.
Aufgabe 85. Melancholie anno 1514.
Auf dem Bild sehen Sie den Kupferstich “Melancholie” von Albrecht Dürer aus dem Jahre 1514. Die beiden Engel
müssten gar nicht so melancholisch schauen, denn hinter ihnen befindet sich eine nette mathematische Spielerei, die
wir nur zur besseren Lesbarkeit digital hervorgehoben haben: ein magisches Quadrat!
1.) Was ist das Magische an dem Quadrat?


a11 a12 a13
2.) Eine reelle 3 × 3-Matrix a21 a22 a23  heißt magisches Quadrat, falls alle Zeilensummen, alle Spaltena31 a32 a33
summen und die beiden Diagonalsummen a11 + a22 + a33 und a13 + a22 + a31 miteinander übereinstimmen.
a.) Man zeige, daß die Menge M aller magischen Quadrate ein Untervektorraum von R3×3 ist.
b.) Man zeige, daß die drei Matrizen






1 1 1
1 −1 0
0
1 −1
1 1 1 , −1 0
1  , −1 0
1
1 1 1
0
1 −1
1 −1 0
eine Basis von M bilden.
c.) Besonders magisch: Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Zahlen 1, 2, . . . , 9 in einem magischen Quadrat
anzuordnen?
Abgabe der Hausaufgaben:
bis Mittwoch, 30.1.2002, spätestens 19:30 Uhr, in den Briefkästen bei S0320.