Universität Bonn, Institut für Informatik I Probeklausur Algorithmische

Universität Bonn, Institut für Informatik I
Probeklausur Algorithmische Geometrie WS 07/08
Bearbeitungszeit: 90 Minuten
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Bonn, 21.1.2008,
..................................... (Unterschrift)
Es können 64 Punkte erreicht werden.
Nachstehende Tabelle bitte NICHT ausfüllen!
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Summe Notenwert/Note
Aufgabe 1 [8 Punkte]
a) Für welche Graphen wurde in der Vorlesung die Eulersche Formel bewiesen und wie
lautet sie?
b) Was ist eine Davenport-Schinzel-Sequenz der Ordnung s über einem Alphabet Σ?
c) Wie ist die Momentenkurve im Rd definiert?
d) Welche Dreiecke einer Triangulation eines einfachen Polygons werden als Ohren bezeichnet?
Antwort:
Aufgabe 2 [8 Punkte]
Beweisen oder widerlegen Sie: Zu je zwei disjunkten, konvexen Mengen in der Ebene kann
stets eine Gerade gefunden werden, die die beiden Mengen trennt und mindestens eine von
ihnen nicht schneidet.
Antwort:
Aufgabe 3 [8 Punkte]
Sei S eine Menge von n Liniensegmenten in der Ebene. Beweisen oder widerlegen Sie: die
konvexe Hülle von S stimmt mit der konvexen Hülle der 2n Endpunkte von S überein.
Antwort:
Aufgabe 4 [8 Punkte]
In der Vorlesung wurde ein randomisiert inkrementelles Verfahren zur Berechnung der konvexen Hülle der Punktmenge S = {p1 , . . . , pn } in der Ebene vorgestellt.
a) Skizzieren Sie grob die Vorgehensweise, um einen weiteren Punkt pi in die konvexe Hülle
ch(p1 , . . . , pi−1 ) einzufügen. Wie ergibt sich dabei die konvexe Hülle ch(p1 , . . . , pi ) aus
der konvexen Hülle ch(p1 , . . . , pi−1 )?
b) Was für eine Hilfsstruktur wird verwendet?
c) Was wird in diesem Zusammenhang als ein Konfliktpaar bezeichnet?
d) Begründen Sie, dass bei zufälliger Einfügereihenfolge der Punkte die erwartete Zahl
von Konfliktpaaren in O(n log n) liegt, wenn jede der n! möglichen Einfügereihenfolgen
mit derselben Wahrscheinlichkeit gewählt wird.
Antwort:
Aufgabe 5 [8 Punkte]
In der Vorlesung wurde ein Verfahren beschrieben, mit dem sich die untere Kontur von n
verschiedenen x-monotonen Wegen über einem gemeinsamen Intervall, von denen sich je zwei
in höchstens s Punkten schneiden, bestimmen lässt.
a) Skizzieren Sie grob die Vorgehensweise von diesem Verfahren.
b) Welche Laufzeit ergibt sich? (ohne Begründung)
c) Gegeben seien n Parabeln in der Ebene, deren Mittelachsen senkrecht sind und die
sich nach oben öffnen. Wieviele Parabelstücke kann ein sich bei y = −∞ befindlicher
Beobachter höchstens sehen? Begründen Sie Ihr Ergebnis!
Antwort:
Aufgabe 6 [8 Punkte]
a) Zeichnen Sie einen zweidimensionalen Bereichsbaum für die Punktmenge
{p, q, r, s, t, u, v, w} mit p = (2, 1), q = (2, 3), r = (2, 7), s = (4, 3), t = (4, 5), u = (6, 1),
v = (6, 5) und w = (6, 7).
b) Markieren Sie welche Kanten bei der Bereichsanfrage nach [1, 5] × [0, 6] beschritten
werden und in welchen Knoten der besuchten Teilbäume jeweils der Abstieg endet,
welche Knoten also selbst besucht werden, von denen aber keine Kinder besucht werden.
c) Was für eine Laufzeit benötigt man im allgemeinen, um einen k-dimensionalen Bereichsbaum zur Speicherung von n Punkten aufzubauen? Welcher Speicherplatz ist
nötig? Was für eine Laufzeit hat eine orthognale Bereichsanfrage in diesem Baum, die a
Punkte als Ergebnis hat? Beantworten Sie alle drei Fragen mit Hilfe der O-Notation.
Antwort:
Aufgabe 7 [16 Punkte]
Für jede richtige Antwort gibt es einen Pluspunkt, für jede falsche einen Minuspunkt. Wird weder
wahr noch falsch angekreuzt, gibt es 0 Punkte. Bei allen Aussagen und Strukturen, wo Abstände
zwischen Punkten in der Ebene auftreten, sind euklidische Abstände gemeint.
wahr falsch
Eine Teilmenge des R2 ist offen genau dann, wenn ihr Komplement abgeschlossen ist.
Der Durchschnitt zweier konvexer Polygone mit Gesamtkantenzahl n kann in
Zeit O(n log n) berechnet werden.
Seien P und Q zwei einfache Polygone mit P ⊂ Q. Dann gilt ker(Q) ⊂ ker(P ).
Der Elementtest auf einer aus m Zusammenhangskomponenten bestehenden Menge
benötigt im worst-case im linearen Modell mindestens die Zeit Ω(log m).
Das Problem, in einer Folge von n Zahlen die maximale Teilsumme konsekutiver
Zahlen zu bestimmen, besitzt die Zeitkomplexität Ω(n log(n)).
Man kann in Zeit O(n) herausfinden, ob von n Liniensgementen in der Ebene
mindestens zwei einen echten Schnitt haben.
Die konvexe Hülle von n bereits nach y-Koordinaten sortierten Punkten lässt sich
in Zeit O(n) bestimmen.
Es gibt ein einfaches Polygon mit 17 Ecken, welches optimal mit genau
6 stationären Wächtern bewacht werden kann.
Es gibt eine Konstante C > 0, so dass für jedes n ∈ IIN jedes einfache Polygon
mit n Ecken mindestens Cn3 Sichtbarkeitsregionen hat.
In jedem einfachen Polygon gibt es eine Diagonale.
Liegen fünf Punkte im Einheitsquadrat, so haben mindestens zwei dieser
Punkte Abstand < 32 .
Es gibt einen Graphen, der kreuzungsfrei auf die Kugeloberfläche, nicht aber in die
Ebene gezeichnet werden kann.
Das Wort ALGORITHMUS ist eine Davenport-Schinzel-Sequenz der Ordnung 2008.
Für festes s gilt λs (n) ∈ O(n2 ).
Es gibt eine Hyperebene im Rd , welche die Momentenkurve in
d + 2 Punkten schneidet.
Aus jedem Labyrinth, das nur aus einem einfachen Polygon als Hindernis besteht,
kann man immer entkommen (d.h. den Rand der konvexen Hülle erreichen),
indem man so an der Wand entlang läuft, dass die linke Hand an der Wand bleibt.