3. Informationsgewinnung 3.3. Nichtklassisches Schließen

3. Informationsgewinnung
3.3. Nichtklassisches Schließen
Vorlesung Intelligente Informationssysteme
Wintersemester 2004/2005
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
Prof. Dr. Bernhard Thalheim
Information Systems Engineering Group
Computer Science Institute
Kiel University, Germany
Vorlesungsprogramm
¨
¥
Aufbereitung zum intelligenten Ausspiel
§
¦
Wiederholung zum monotonen Schließen
IntelligenteIS.10
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
“goodies”, die wir gern erhalten hätten, die aber leider oft unterbleiben in Logikvorlesungen
Nichtklassische Logiken: Mehrwertige Logiken
rigide Wahrheitswerte werden oft nicht in dieser Form benötigt
Nichtklassische Logiken: Dynamische Logiken
Klassische
Mehrwertig
Modal
Dynamisch
Beschreibung der Semantik von Programmen
Nichtklassische Logiken: Modale Logiken
alethische Begründung der Möglichkeit
Nichtklassisches Schließen: Temporale Logiken
Temporal
Nichtmonoton
Beschreibung von Zustandstransformationen
Nichtmonotones Schließen: Präferenzlogiken
Content
Information
Concept
Topic
wohldefinierte Korrektur von Schlüssen
Nichtmonotones Schließen: Konsistenzlogiken
unterschiedliche Konsistenzforderungen zur gleichen Zeit
Grundbestandteile einer Logik
IntelligenteIS.10
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
Klassische
Mehrwertig
Modal
Dynamisch
Temporal
Nichtmonoton
Content
Information
Concept
Topic
• einen syntaktischen Teil:
welche Symbole werden zum Aufbau der Sprache benutzt, welche
Kombinationen dieser Symbole sind in der Sprache der Logik erlaubt?
• einen semantischen Teil:
worüber kann man in der Sprache der Logik reden, welche Strukturen kann man mit ihrer Hilfe untersuchen?
• einen Teil, der den Zusammenhang herstellt zwischen Syntax und
Semantik in Form einer Wahrheitsdefinition:
wann ist eine Formel der Logik in einer Struktur wahr?
• einen pragmatischen Teil:
welche Bedeutung wird den einzelnen Symbolen “kanonisch” unterlegt; welche Einschränkungen gelten a priori; welche Abschlußeigenschaften werden angenommen?
Monotones Schließen - Klassische
Aussagenlogik
IntelligenteIS.10
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
Klassische
Mehrwertig
Modal
Dynamisch
Logik der 2-Wertigkeit von Aussagen
Syntax: Induktiver Formelaufbau aus
Aussagenvariable (atomare Aussagen) AV : p, q, r, . . .
Junktoren (Konnektive):
→ (Implikation), ∨ (Disjunktion), ∧ (Konjunktion), ¬ (Negation),
⊥ bzw. 0 (“Falsum”)
Hilfssymbole: Klammern
diversen Prioritätsregeln und der Assoziativität von ∨, ∧
Temporal
Nichtmonoton
Content
Information
Concept
Topic
Semantik: Wahrheitstafeln z.B.
A→B
B:1
B:0
A:1
1
0
A:0
1
1
Die zwei Komponenten (Wahrheitstafeln, Belegung (assignment):
AV 7→ {0, 1}) bestimmen eine Interpretation I und eine entsprechende Auswertungsfunktion νI
Theoreme der klassischen Aussagenlogik
Induktiver Aufbau erlaubt induktive Beweise
alternativ könnte man auch mit koinduktivem Aufbau vorgehen
IntelligenteIS.10
(dann ist Abschlußbedingung nicht:
Nichtklassische
Minimale Menge der Formeln
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
sondern
B. Thalheim
Maximale Menge von Formeln
“alles ist erlaubt, das nicht explizit verboten ist”)
Klassische
Mehrwertig
Modal
Dynamisch
Temporal
Nichtmonoton
Koinzidenztheeorem Interpretation hängt nur von prop(α) =
{A1 , ...., An } selbst ab
Endlichkeitstheorem: prop(α) = {A1 , ...., An } ⇒ 2n verschiedene
Interpretationen
Inferenztheorem: Σ |= α → β ⇒ Σ ∪ {α} |= β
Content
Deduktionstheorem: Falls Σ ∪ {α} |= β dann Σ |= α → β
Information
Concept
Topic
Implikationslemma: Für jedes Σ: Σ ∪ {α, α → β} |= β
Begleitbeispiel für Aussagenlogik
4 people near the supermarket
crash à inspector
• Manfred: It was Alf
IntelligenteIS.10
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
• Alf : It was Robert
• Fritz : I didn’t it
• Robert : Alf lies
• Witness: Only one of these guys ist not lying.
Klassische
Mehrwertig
Modal
Dynamisch
Temporal
Nichtmonoton
Content
Information
Concept
Topic
8 variables:
gM , gA , gF , GR (guilty)
tM , tA , tF , tR (truth saying)
(tM → gA ) ∧ (tA → gR ) ∧ (tF → ¬gF ) ∧ (tR → ¬tA )
(tM ∨ tA ∨ tF ∨ tR ) ∧ (¬tM ∨ ¬tA ) ∧ (¬tM ∨ ¬tF ) ∧ (¬tM ∨ ¬tR ) ∧ (¬tA ∨ ¬tF ) ∧
(¬tA ∨ ¬tR ) ∧ (¬tF ∨ ¬tR )
one of them is guilty
(gM ∧ ¬gA ∧ ¬gF ∧ ¬gR ) ∨ (¬gM ∧ gA ∧ ¬gF ∧ ¬gR ) ∨ (¬gM ∧ gA ∧ ¬gF ∧ ¬gR ) ∨
(¬gM ∧ gA ∧ ¬gF ∧ ¬gR )
Beweiserleichterung:
Beweis durch Resolution
z.B.
Σ |= gF
iff
Σ ∧ ¬gF |= 0
Begleitbeispiel für Aussagenlogik
4 people near the supermarket
crash à inspector
• Manfred: It was Alf
IntelligenteIS.10
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
• Alf : It was Robert
• Fritz : I didn’t it
• Robert : Alf lies
• Witness: Only one of these guys ist not lying.
Klassische
Mehrwertig
Modal
Dynamisch
Temporal
Nichtmonoton
Solution on the basis of case-based reasoning:
Option 1: who says the truth
•
•
•
•
M ⇒ ¬A, ¬F, ¬R
A ⇒ ¬M, ¬F, ¬R
F ⇒ ¬M, ¬A, ¬R
R ⇒ ¬A(ok), ¬F, ¬M
R
R
⇒
R(A)
(Alf lies)
(Alf lies)
Fritz was the crasher
Option 2: who is guilty
Content
Information
Concept
Topic
•
•
•
•
M guilty ⇒ R, ¬A, ¬M, F
A guilty ⇒ ¬A, F, M, R
R guilty ⇒ A, ¬M, ¬R, F
F guilty ⇒ ¬F, ¬A, ¬M, R o.k.
(witness)
(witness)
(witness)
Weitere Theoreme der klassischen
Aussagenlogik
Reflexivität: Σ ∪ {α} |= α
IntelligenteIS.10
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
Klassische
Mehrwertig
Modal
Dynamisch
Temporal
Nichtmonoton
Content
Information
Concept
Topic
Monotonie: Σ |= α ⇒ Σ ∪ Σ0 |= α
Abgeschlossenheit: Für Σ+ = {α|Σ |= α} gilt Σ+ = (Σ+ )+
Kompaktheit: Σ |= α ⇒ dann existiert eine endliche Teilmenge
Σ0 ⊆ Σ : Σ0 |= α
Transitivität: Σ |= {α1 , . . . , αn }, {α1 , . . . , αn } |= β ⇒ Σ |= β
Implikationstheorem: {α1 , . . . , αn } |= α
gdw. |= (α1 ∧ ..¬αn ) → α gdw. α1 → (α2 → (α3 → (.... → α)))
Refutationstheorem: {α1 , . . . αn } 2 α
gdw. {α1 . . . , αn ¬α} |= 0
gdw. |= (α1 ∧ .... ∧ αn ∧ ¬α) ↔ 0
gdw. |= (¬α1 ∨ .... ∨¬ αn ∨ α) ↔ 1
forward deduction
backward deduction
Resolutionstheorem: {α ∨ p, β ∨ ¬p} |= α ∨ β
Kalküle der Aussagenlogik
¨
¥
für Sprachen LτAL
§
¦
Hilbert-Typ-Kalkül (eigentlich besser vom Frege-Typ)
Nichtklassische
Γ = (LτAL , Ax, Ru) deduktives System vom Hilbert-Typ
Logiken
Ax ⊆ LτAL
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
Ru = {Ru11 , Ru12 , ...., Ru21 , Ru22 , ...., Rukm , . . .}
α ,...,α
Rukl = { i1 β ik }
Ableitung aus Σ durch Γ = (LτAL , Ax, Ru):
Klassische
Folge β1 , . . . , βl
Mehrwertig
wobei βi erhalten wird
β ,...,β
Modal
durch Anwendung von j1 βi jk ∈ Rukl für i1 , ..ik < i
Dynamisch
oder βi ∈ Σ
IntelligenteIS.10
Temporal
Nichtmonoton
Content
Information
Concept
Topic
α ableitbar aus Σ mit Γ = (LτAL , Ax, Ru):
Es existiert eine Ableitung β1 , . . . , βl , α
Σ `Γ α
Kalküle der Aussagenlogik
¨
¥
für Sprachen LτAL
§
¦
Gentzen-Typ-Kalkül zur Darstellung von Beweissystemen als Implikation von Formelfolgen
Nichtklassische
Logiken
τ
Γ
=
(L
AL , {Γ ⇒ ∆}) deduktives System vom Gentzen-Typ
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
mit Antezedent und Sukzezedent
und Regeln zur Einführung und zur Elimination von Junktoren
P,Q
P
P
∧
−
I
:
,
∨
−
I
:
,
∨
−
I
:
P
∧Q
P
∨Q
Q∨P
Klassische
IntelligenteIS.10
Mehrwertig
Modal
Dynamisch
Temporal
Nichtmonoton
Content
Information
Concept
Topic
P ∧Q
Q
,...,Pn ⇒Q
⇒ −I : PP11∧...∧P
n →Q
↔Q
⇔ −E : PP →Q
¬ − E : ¬P ⇒Q∧¬Q
P
P ↔P
1 − I : true
1−
∧−E :
∧−E :
P ∧Q
P
⇔ −I :
⇔ −E :
E:
true
P ↔P
P →Q,Q→P
P ↔Q
P ↔Q
Q→P
0−I :
P ∨Q,P ⇒R,Q⇒R
R
→ −E : P,PQ→Q
¬ − I : P ⇒Q,¬Q
¬P
∨−E :
true
¬f alse
Cut-Regel
Γ ⇒ (∆, φ), (φ, Π) ⇒ Λ
Γ, Π → ∆, Λ
0−E :
¬f alse
true
Kalküle der Aussagenlogik
korrekter Kalkül: ...
vollständiger Kalkül: ...
IntelligenteIS.10
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
Klassische
Mehrwertig
Modal
Dynamisch
Temporal
Nichtmonoton
Content
Information
Concept
Topic
deduktives System gegeben durch
Axiome α → (β → α)
(α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))
((¬β → ¬α) → ((¬β → α) → β))
“method of the bridge”
Regel (modus ponens) α,α→β
β
alternatives deduktives System mit Axiomen
wie z.B. p → (q → p)
α
und Text-Substitution subst(α,x,β)
simultane Ersetzung von x durch β in α
viele Gleichungen:
(p → q) ↔ ¬p ∨ q
(p → q) ↔ (p¬q ↔ p)
(p ∧ q → r) ↔ (p → (g → r))
p ∧ (q → p) ↔ p
(p ∨ (q → p) ↔ (q → p)
p → (q ↔ r) ↔ (p ∧ q ↔ p ∧ r)
(p → q) ↔ (p ∧ q ↔ p)
(p → q) ↔ (¬q ↔ ¬p)
(p ∧ (p → q)) ↔ (p ∧ q)
p ∨ (p → q) ↔ true
((p ∨ q) → (p ∧ q)) ↔ (p ↔ q)
Kalküle der Aussagenlogik
Tableau calculus as refutation on natural deduction
The operation of a car engine is supposed to depend only on its supply of
IntelligenteIS.10
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
electricity and fuel
If the light burns, the battery ist ok.
L→B
If the battery is ok and the tank is filled, the engine starts
The light is burning, but the engine does not start.
B∧T →E
L ∧ ¬E
⇒ empty tank
Klassische
Mehrwertig
Modal
Dynamisch
Temporal
Nichtmonoton
Content
Start with negation of the proposition
T
α : ¬¬A
A
L → B, B ∧ T → E, L ∧ ¬E, L, ¬E
B
¬(B ∧ T ) E
Information
Concept
Topic
¬B ¬T
¬L
¬(A∨B)
A∧B
¬A
A,B
A→B ¬(A∧B)
¬A|B ¬A|¬B
¬(A→B)
¬A,B
β : A∨B
A|B
γ : generalization
δ : Skolemization
if no contradiction
then a counterexample is found
if contradiction
then the formula is valid
Kalküle der Aussagenlogik
Tableau calculus as proof by contradiction and case distinction until
elementary contradictions are found
IntelligenteIS.10
(1)-(4) & not (5)
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
(1)
(2)
d∈Q
(3)
(4)
c∈P
c 6∈ R
c 6∈ P ...
Klassische
Mehrwertig
(5) P ∩ R 6= ∅;
c∈Q
c 6∈ P
c 6∈ R
Modal
Dynamisch
c 6∈ S
⊥
c 6∈ Q
Temporal
Nichtmonoton
Content
c 6∈ Q ∪ R c ∈ S
c 6∈ Q, c 6∈ R ⊥
Information
Concept
Topic
S∩Q=∅ ;
P ⊆Q∪R ;
P = ∅ ⇒ Q 6= ∅ ;
Q∪R⊆S ;
⊥
⊥
⊥
⊥
Assume (1)-(4) but not (5):
(3) c ∈ P or d ∈ Q for some
elements c, d
not (5) c 6∈ P or c 6∈ R
(2) c 6∈ P or c ∈ Q or c ∈ R
(1) c 6∈ S or c 6∈ Q
(4) c 6∈ Q ∪ R or c ∈ S
Kalküle der Aussagenlogik
IntelligenteIS.10
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
Klassische
Mehrwertig
Modal
Dynamisch
Temporal
Nichtmonoton
Content
Information
Concept
Topic
Tableau calculus by top-down analysis of the problem
The problem of finding the right instances:
Instances of the assumptions are used in the proof.
Problem: It is very difficult to “guess” which instances are going to be useful
in the proof.
Solution: Free variable tableaux
Use free variables (dummies, place holders) that are instantiated ‘on demand’.
Top-down: case distinction according to the syntactical form of the assumptions.
In the example we used instances for c.
On demand means: by the branch closure rule (“we would have a contradiction
if ...” )
All rules are deterministic (the calculus is not)
The γ-rule ( ∀x(α(x))
α(y) ) has to be applied repeatedly, the others not. It is the
reason why proof construction does not terminate.
The δ-rule ( ∃x(p(x,y))
p(f (y)) ) uses an improved Skolemisation where each δ-formula
is assigned its own unique Skolem symbol, which makes the rule deterministic;
fδ is the symbol assigned to δ.
The closure rule uses only literals. One could close branches with complementary complex formulas as well; but that is usually not useful in AD.
Tableaux construction rules
Initialisation: A linear tree whose m nodes are marked with φ1 , ..., φm is a tableau for Φ
IntelligenteIS.10
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
Klassische
Mehrwertig
Modal
Dynamisch
Closed tableau: A branch is a maximal path in the tableau tree. A tableau is
closed if all its branches are closed, i.e., contain ⊥.
Tableau proof: A closed tableau for Φ is a tableau proof for Φ (for the unsatisfiability of Φ)
Comment: Expansion contains branch closure as a special case
Temporal
Nichtmonoton
Content
Information
Concept
Expansion: T a tableau for Φ; B a branch of T; B contains a premiss for one of
the α-, β-, γ-, δ-rules or the closure rule
Then T’ is a tableau for Φ if obtained by applying the appropriate rule and
expanding B with the formulas in the conclusion.
Topic
Properties of Free Variable Tableaux
Soundness If there is a closed tableau for Φ, then is unsatisfiable.
Proof sketch: All rules preserve satisfiability of tableaux. Thus, if is satisfiable, then
all tableaux for are satisfiable.
IntelligenteIS.10
Closed tableaux are not satisfiable. Therefore, there are no closed tableau for satis-
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
fiable Φ.
Completeness If Φ is unsatisfiable, then there is a closed tableau for Φ.
Proof sketch: Construct a tableau for using fairness. Make sure that all possible rule
applications are used. If that tableau is not closed, it has at least one open (infinite)
branch. The literals on that branch define a model for Φ.
Klassische
Mehrwertig
Modal
Dynamisch
Temporal
Nichtmonoton
Content
Information
Concept
Topic
Comment: It is important that the formulas in Φ are closed. Free variables now
have a special meaning as they are used as place holders for terms.
Remark: A tableau T is satisfiable iff there is an interpretation D, I such that
all ground instances T ∗ of T have a branch B ∗ whose formulae are all true in
D, I.
Proof confluent: If Φ is unsatisfiable, then every tableau for can be extended to
a closed tableau.
Proof sketch: If is unsatisfiable, then there is a closed tableau T for Φ. Construct T
at the end of each open branch of the not yet closed tableau.
Comment: Proof confluent means that there are no dead ends in the proof
search.
Kalküle der Aussagenlogik
Assumption based reasoning [A]
IntelligenteIS.10
A,B
A∧B
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
[A],f alse
¬A
A,¬A
f alse
Klassische
Mehrwertig
Modal
Dynamisch
Temporal
Nichtmonoton
A
A∨B
A∧B
A,B
B
A∨B
f alse
A
Proof: starting with tautology A ⇒ A
termination with ⇒ B
sequent for formula lists: AN T ⇒ CON S
from conjunction of ANT
the disjunction of CONS can be derived
Content
Information
Concept
Topic
[A] [B]
C
A∨B, C ,
C
sequent calculus: AN T ⇒ CON S-lists
B
A→B
A,A→B
B
Kalküle der Aussagenlogik
Proofs based on resolution
IntelligenteIS.10
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
Klassische
Mehrwertig
Modal
Dynamisch
• Preparing for application of resolution
putting logical expressions in conjunctive normal form
V W
i ( j Lij )
Lij either pk or ¬pk
p ∨ (q ∧ ¬(r ∧ (s → t)))
¬s ∨ t
¬(r ∧ ¬s ∨ r ∧ t)
(¬r ∨ ¬s ∧ t
q ∧ (¬r ∨ ¬s ∧ t)
= (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬r ∨ s) ∧ (p ∨ r ∨ t)
Temporal
Nichtmonoton
• Applying the resolution theorem to sets of conjunctions
Content
Information
Concept
Topic
Σ |= α iff Σ, ¬α ` 0
Monotones Schließenτ - Offene
Prädikatenlogik L0
Extending propositional calculus by terms and m-ary predicate variables
IntelligenteIS.10
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
Klassische
Mehrwertig
Modal
Dynamisch
Temporal
Nichtmonoton
Content
Information
Concept
Topic
Term through induction schema
(1) any variable of sort s is a term of sort s
(2) given fis1 ,...,sn ,s , terms ti of sort si
• the expression fis1 ,...,sn ,s (t1 , . . . , tn ) is a term of sort s
(3) closure condition
example: -(+(2,3),3), -(+(x, y), z)
Occurrence Occur(t) set of all variables in t inductively defined
Meaning for a given structure Aτ over Lτ0 = (T ermτ , F ormτ )
S
an interpretation I : X → s∈S Ds of variables of X
with I(x) ∈ Ds for x of sort s
extending I to terms
I(fis1 ,...,sn ,s (t1 , . . . , tn )) = Fis1 ,...,sn ,s (I(t1 ), . . . , I(tn ))
Monotones Schließenτ - Offene
Prädikatenlogik L0
Formula through induction schema
IntelligenteIS.10
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
Klassische
Mehrwertig
Modal
Dynamisch
• for terms t, t’ of sort s
t = t0 is an atomic formula
• for a predicate symbol Pjs1 ,...,sm and terms t1 , . . . , tm of sort
s1 , . . . , sm the sequence Pjs1 ,...,sm (t1 , . . . , tm ) is an atomic formula
(2) for formulas α, α1 , α2
• ¬α, α1 → α2 , α1 ∧ α2 , α1 ∨ α2 are formulas
(3) closure condition
Temporal
Nichtmonoton
Content
Information
Concept
(1) atomar formulas
Topic
Occurrence Occur(α) set of all variables in α inductively defined
Meaning for a given structure Aτ over Lτ0 = (T ermτ , F ormτ ) inductively defined, e.g.,
I(α ∧ β) = min(I(α), I(β)), I(α ∨ β) = max(I(α), I(β))
I(α → β) = max(1 − I(α), I(β))
Monotones Schließenτ - Offene
Prädikatenlogik L0
Transformation theorem: Given α0 , α1 , . . . , αn with occur(αi ) =
IntelligenteIS.10
∅(0 ≤ i ≤ n). There is a transformation TOP L,P rop :
Nichtklassische
Lτ0 → LτAL of formulas such that {α1 , . . . , αn } |= α iff
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
TOP L,P rop ({α1 , . . . , αn }) |= TOP L,P rop (α)
B. Thalheim
Klassische
Mehrwertig
Modal
Dynamisch
Temporal
Nichtmonoton
Content
Information
Concept
Topic
Different notion: Σ k² α if for all A for all I on A if I(Σ) = 1
then I(α) = 1
+(x, y) = z k² −(z, x) = y but +(x, y) = z 6|= −(z, x) = y
Substitution property: α |= α[x := t] for x, t of same sort
notice α k² α[x := t] e.g. < (x, y)
Compactness theorem for Lτ0 : Σ set of formulas which is closed
according substitution (for all x, t, for α ∈ Σ : α[x : 0t] ∈ Σ):
If any finite subset of Σ has a model then Σ has a model.
Reduction property: τ without function & predicate symbols of
higher arity than 0 : LτAL = Lτ0
Monotones Schließen - Prädikatenlogik
(erster Stufe)
ausführlich in anderen Vorlesungen behandelt
IntelligenteIS.10
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
• Quantoren ∀, ∃
• Interpretation der Quantoren durch Spezialisierung der Interpretation
• Logische Folgerung
Klassische
Mehrwertig
Eigenschaften der Pradikatenlogik der ersten Stufe
Modal
Dynamisch
Temporal
Nichtmonoton
Content
Information
Concept
Topic
Koinzidenztheorem
Endlichkeitstheorem
Inferenztheorem
Deduktionstheorem
Implikationslemma
Reflexivität
Monotonie
Abgeschlossenheit
Kompaktheit
Transitivität
Implikationstheorem
Refutationstheorem
Resolutionstheorem
Mehrwertige und partielle Logik
IntelligenteIS.10
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
Klassische
Mehrwertig
Modal
Dynamisch
Temporal
Nichtmonoton
Content
Information
Concept
Topic
Da die Earl Camden erst in einigen Tagen auslief, saß John Franklin im Hafen
von Whampoa neben dem Maler William Westall untätig auf einer Mauer und
beobachtete, was verladen wurde. Schiffe von über acht Fuß Tiefgang durften
nicht flußaufwärts bis nach Kanton. . . .
Sten Nadolny: Die Entdeckung der Langsamkeit.
Vergangenheit ???
Partielle Logik
Partielle Wahrheitsfunktion v : B → {0, 1}
A
v(A)
A
v(A)
sitzt(JF )
1
sitzt(WW )
1
beobachtet(JF )
1
beobachtet(WW )
auf (JF , M1 )
1
auf (WW , M1 )
1
in(JF , H)
1
in(WW , H)
1
in(JF , Kanton)
0
in(WW , Kanton)
0
Partielle Logik
Ordnung der Bewertungsfunktionenen v1 v v
Am Beispiel der Konjunktion:
v(A ∧ B) = 0 gdw für alle v1 mit v1 v v gilt v1 (A ∧ B) = 0
IntelligenteIS.10
und entsprechend für den zweiten Wahrheitswert: v(A ∧ B) = 1 gdw
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005 für alle v1 mit v1 v v gilt v1 (A ∧ B) = 1
B. Thalheim
Wahrheitstafeln für partielle Logik
Klassische
Mehrwertig
Modal
∧
1
undef
0
1
1
undef
0
undef
undef
undef
0
0
0
0
0
Dynamisch
Temporal
∨
1
undef
0
Nichtmonoton
1
1
1
1
undef
1
undef
undef
0
1
undef
0
Content
Information
Concept
Topic
Mehrwertige Aussagenlogik
Die Bestimmungsstücke der Syntax
IntelligenteIS.10
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
Klassische
Mehrwertig
• Menge F der Basisoperatoren der Logik
• Menge P von aussagenlogischen Variablen
• Menge aller Terme, die mit den Operatoren in F und den Variablen aus P aufgebaut werden können.
Die Bestimmungsstücke der Semantik
Modal
Dynamisch
Temporal
Nichtmonoton
Content
Information
Concept
• Anzahl m der Wahrheitswerte und deren Bezeichnung. Fürs erste
benutzen wir M = {0, ..., m − 1}.
Topic
• Bedeutung der Operatoren aus F (z. B. durch die Angabe von
Wahrheitstabellen)
• jedem f aus F wird eine Funktion f M auf der Menge M zugeordnet.
• F-Algebra oder die Matrix der Logik M = (M, {f M |f ∈ F })
Mehrwertige Aussagenlogik
Wahrheitswerte
IntelligenteIS.10
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
Klassische
Mehrwertig
• v sei eine Abbildung, die jeder aussagenlogischen Variable einen
Wahrheitswert in M zuordnet.
• Fortsetzung von v ordnet jeder aussagenlogische Formel t einen
Wahrheitswert v M (t) zu.
• Menge der designierten Wahrheitswerte ist eine nichtleere Teilmenge D ⊆ M
Dynamisch
• Eine Formel t heißt wahr in der Matrix M unter der Belegung
v, falls vM (t) ∈ D gilt.
Temporal
• t heißt eine M Tautologie, falls für alle v gilt vM (t) ∈ D.
Modal
Nichtmonoton
Content
Information
Concept
Topic
Beispiel L3
Wahrheitswerte
{1, u, 0}
Operatoren
∧, ∨, ¬, ∼
andernfalls ist das Junktorensystem
unvollständig
IntelligenteIS.10
erhält sonst u
D
{1}
Nichtklassische
Logiken
Wahrheitswerte für Konjunktion (min) und
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
Disjunktion (max) wie oben mit undef
B. Thalheim
Wahrheitstafeln für Negationen
Klassische
A ¬A ∼ A ∼ ¬A ∼∼ A
¬¬A ¬ ∼ A
Mehrwertig
1
0
0
1
1
1
1
Modal
u
u
1
1
0
u
0
Dynamisch
Temporal
Nichtmonoton
Content
Information
Concept
Topic
0
1
1
0
0
0
Natürlichsprachliche Umschreibung:
v(A) = 1
gdw.
A ist
v(¬A) = 1
gdw.
A ist
v(∼ A) = 1
gdw.
A ist
v(∼ ¬A) = 1
gdw.
A ist
0
wahr
falsch
nicht wahr
nicht falsch.
L3-Strukturen (Prädikatenlogik)
Eine L3 -Struktur im Vokabular V , bezeichnet mit M =< M0 , vM >,
besteht aus einer Prästruktur M0 für V , d.h. aus einer Menge zusammen mit der üblichen Interpretation für Konstanten und FunktionssymIntelligenteIS.10
bole, und einer Funktion vM , die jedem Relationszeichen P und jedem
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005 nTupel m1 , ..., mn von Elementen aus M0 (n = Stellenzahl von P )
B. Thalheim
einen der Wahrheitswerte 1, u oder 0 zuordnet.
vM (P (m1 , ..., mn )) = 1 (wahr)
vM (P (m1 , ..., mn )) = u (unbestimmt)
Klassische
vM (P (m1 , ..., mn )) = 0 (falsch)
Mehrwertig
Interpretation der Quantoren mit min-max-Ausprägung
Modal
Dynamisch
Logische Folgerung für vM (α) = 1
Temporal
analog Tautologie
Nichtmonoton
Beobachtungen
Jede L3 -Tautologie ist auch eine zweiwertige Tautologie
Content
Nicht jede zweiwertige Tautologie ist auch eine L3 -Tautologie.
Information
Beispiel: A ∨ ¬A
Concept
Topic
Implikationen in L3
Die aussagenlogischen Verknüpfungen ⊃ und ≡ werden als definierte
Zeichen eingeführt:
IntelligenteIS.10
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
Schwache Implikation A ⊃ B :=∼ A ∨ B
Schwache Äquivalenz A ≡ B := (A ⊃ B) ∧ (B ⊃ A)
A⊃B
1 u
0
A≡B
1
u
0
1
1 u
0
1
1
u
0
Mehrwertig
u
1
1
1
u
u
1
1
Modal
0
1
1
1
0
0
1
1
A→B
1 u
0
A↔B
1
u
0
1
1 u
0
1
1
u
0
u
1 u
u
u
u u
u
0
1
1
0
0
1
Klassische
Dynamisch
Temporal
Nichtmonoton
Content
Information
Concept
Topic
1
u
L3-Tautologien und -Äquivalenzen
IntelligenteIS.10
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
Klassische
Mehrwertig
Modal
Dynamisch
Temporal
Nichtmonoton
Content
Information
Concept
Topic
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
¬¬A = A
∼∼ A ≡ A
(A ∧ B) ∨ C = (A ∨ C) ∧ (B ∨ C)
(A ∨ B) ∧ C = (A ∧ C) ∨ (B ∧ C)
¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B
¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B
∼ (A ∨ B) = (∼ A) ∧ (∼ B)
∼ (A ∧ B) = (∼ A) ∨ (∼ B)
∼ (∀xA) = ∃x ∼ A
¬(∀xA) = ∃x¬A
∼ (∃xA) = ∀x ∼ A
¬(∃xA) = ∀x¬A
A ⊃ B :=∼ A ∨ B
A → B := ¬A ∨ B
A ≡ B := (A ⊃ B) ∧ (B ⊃ A)
A ↔ B := (A ← B) ∧ (B ← A)
A ≈ B := (A ≡ B) ∧ (¬A ≡ ¬B)
A ⇔ B := (A ↔ B) ∧ (¬A ↔ ¬B)
• A = B :=∼∼ (A ≈ B)
¬∼A≡A
L3-Eigenschaften
IntelligenteIS.10
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
• Sei A eine L3 -Formel, die die starke Negation ¬ nicht enthält. Dann
gilt: A ist eine L3 -Tautologie genau dann, wenn A eine zweiwertige
Tautologie ist.
Wir nehmen dabei an, daß das im zweiwertigen Fall einzige vorhandene Negationszeichen mit dem schwachen Negationszeichen
∼ identifiziert wird.
Jede L3 -Tautologie auch eine zweiwertige Tautologie, denn die Einschränkung der
Klassische
dreiwertigen Operatoren auf zwei Wahrheitswerte stimmt mit den zweiwertigen Ope-
Mehrwertig
ratoren überein.
Modal
Dynamisch
Temporal
Nichtmonoton
Content
Information
Concept
Topic
• Ist A eine L3 -Formel, in der ∼ nicht vorkommt, dann ist A keine
Tautologie.
• Ist A eine L3 -Formel, in der ∼ nicht vorkommt, dann ist A keine
Tautologie.
• ∀xq(x) ⊃ q(t/x) ist für jeden Term t eine L3 -Tautologie.
• Dagegen ist ∀xq(x) → q(t/x) keine L3 -Tautologie.
p → p.
Standardfortsetzungen nach L3
Standardfortsetzung von f : {0, 1}n → {0, 1}
durch f ∗ : {0, u, 1}n → {0, u, 1}
IntelligenteIS.10
mit U (w1 , ..., wn ) ⊆ {0, 1}n
Nichtklassische
n
f
ür
Argumenttupel
w
,
...,
w
aus
{0,
u,
1}
:
1
n
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
wi mit wi = u werden auf alle möglichen Arten
B. Thalheim
durch 0 und 1 ersetzt
Beispiel: U (u, 1, u) = {(0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}



 0, für alle v ∈ U (w) gilt f (v) = 0
Klassische
Mehrwertig
f ∗ (w)
Modal
=
Dynamisch
Temporal
Nichtmonoton
1, für alle v ∈ U (w) gilt f (v) = 1


 u, sonst
⊃ und ≡ sind keine Standardfortsetzungen, wohl aber ∧, ∨, →, ↔, ¬.
Die Standardfortsetzung ist nicht immer mit der Hintereinanderausführung von Funk-
Content
Information
Concept
Topic
tionen vertauschbar.
Monotone Funktionen in L3
IntelligenteIS.10
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
Klassische
Mehrwertig
Modal
Dynamisch
Temporal
Nichtmonoton
Content
Information
Concept
Topic
Monotone Funktion g : {0, u, 1}n → {0, u, 1} nach dem Informationsgehalt u ≤i 0, u ≤i 1:
gilt u ≤i w (d.h. ∀j(1 ≤ j ≤ n) : uj ≤i wj ), dann gilt
g(u) ≤i g(w)
Die Standardfortsetzung f ∗ ist monoton.
Maximale Monotonie einer Funktion g : {0, u, 1}n → {0, u, 1}
bzgl ≤
• sie monoton bzgl. ≤ ist,
• keine Funktion g1 mit f < f1 , f 6= f1 monoton bzgl. ≤ ist.
f1
0
u
1
0
0
u
1
u
u
u
1
1
1
u
1
f1 und f2 sind monoton
f 1 ≤ i f2
f2 maximal monoton
f2
0
u
1
0
0
u
1
u
u
u
1
1
1
1
1
Für eine Funktion g : {0, u, 1}n → {0, u, 1} gibt es genau dann eine
Funktion f : {0, 1}n → {0, 1}, so daß g die Standardfortsetzung von
f ist, wenn: für alle w ∈ {0, 1}n gilt g(w) ∈ {0, 1} und g ist maximal
monoton bezüglich der Ordnung ≤i .
Funktionale Vollständigkeit
IntelligenteIS.10
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
Klassische
Mehrwertig
Modal
Dynamisch
Temporal
Nichtmonoton
Content
Information
Concept
Topic
L mit M als Menge der Wahrheitswerte funktional vollständig:
zu jeder Funktion g : M n → M existiert eine aussagenlogische Formel
A in L mit g = f (A).
f (A): f (A)(w1 , ..., wn ) - Wahrheitswert der Formel A, wobei
aussagenlogischen Variablen mit Wahrheitswerten w1 , ..., wn belegt
• L3 ist nicht funktional vollständig.
• L+
3 aus L3 durch Hinzunahme der Konstanten u
Die Logik L+
3 ist funktional vollständig.
• Kriterium von SÃlupecki
Sei k > 2 und H eine Menge von Funktionen auf der
Menge {0, 1...k − 1} in sich selbst,
die alle einstelligen Funktionen umfaßt.
H ist funktional vollständig genau dann, wenn es eine
Funktion f ∈ H gibt, so daß
1. f hängt nicht nur von einer Argumentstelle ab und
2. f ist surjektiv.
Vollständige Funktionenmengen
Post’sche Logiken Pm mit ∧ und s(a) = a − 1(mod m) und
D = {m − 1}
IntelligenteIS.10
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
Klassische
Mehrwertig
Modal
Dynamisch
Temporal
Nichtmonoton
Content
Information
Concept
Topic
damit auch x − k(mod m), max(x, y), m − 1, x + k(mod m) ableitbar
(
Jk (x) =
m − 1, falls x = k
0,
sonst
Eine m-wertige Logik, in der die Funktionen min(x, y), max(x, y),
Jk (x) für 0 ≤ k < m und alle konstanten Funktionen
ckn (x1 , ..., xn ) = k für n ≥ 1 und jeden Wahrheitswert k, 0 ≤ k <
m definierbar sind, ist funktional vollständig.
Sheffer’s stroke ↓ : w(x, y) = (max(x, y) − 1)(mod m)
w(x, x) = x − 1 = s(x)
sm−1 (w(x, y)) = s(...s(w(x, y))...) = max(x, y) − m
max(x, y)(mod m)
=
Prävollständige Funktionenmengen
IntelligenteIS.10
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
Prävollständigkeit von Funktionenmengen:
Die Hinzunahme einer nicht durch Superposition ableitbaren Funktion ergibt eine vollständige Funktionenmenge.
Habgeschlossene Teilmengen N ⊆ M : für Menge H von Funktionen auf M =
{0, ..., m − 1}
für jede Funktion h in H und jedes Tupel n von Elementen aus N liegt auch h(n) in
N
Klassische
Für eine beliebige Teilmenge X ⊆ M ist der HAbschluß von X die kleinste
Mehrwertig
Habgeschlossene Menge, die X enthält.
Modal
Gegeben sei eine Menge H von Funktionen auf M = {0, ..., m − 1}, die max, min
Dynamisch
Temporal
Nichtmonoton
Content
Information
Concept
Topic
und alle Jk , 0 ≤ k < m enthält. Eine nstellige Funktion g ist Hdefinierbar gdw. für
jedes nTupel (a1 , ..., an ) ∈ M n liegt g(a1 , ..., an ) im HAbschluß von {a1 , ..., an }.
Prävollständige Funktionenmengen in L2 : lineare Funktionen,
0-erhaltende Funktionen, 1-erhaltende Funktionen, monotone
Funktionen, selbstduale Funktionen (f = f ∗ )
Axiomatisierungsresultat von Wajsberg für
L3
à ukas sei die Aussagenlogik mit den Junktoren ¬ (starke Negation)
L3L
und ⇒ (ÃLukasiewicz Implikation).
IntelligenteIS.10
Nichtklassische
Mit der ModusponensRegel bilden folgenden Axiome eine vollständige
Logiken
L
à ukas :
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005 und korrekte Axiomatisierung für L3
B. Thalheim
1. (A ⇒ (B ⇒ A))
2. (A ⇒ B) ⇒ ((B ⇒ C) ⇒ (A ⇒ C))
3. (¬A ⇒ ¬B) ⇒ (B ⇒ A)
Klassische
4. ((A ⇒ ¬A) ⇒ A) ⇒ A
Mehrwertig
Modal
Dynamisch
Temporal
Nichtmonoton
Content
Information
Concept
Topic
A⇒B
1 u
0
A⊃B
1 u
0
A→B
1 u
0
1
1 u
0
1
1 u
0
1
1 u
0
u
1
1
u
u
1
1
1
u
1 u
u
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
Anwendungsgebiete der mehrwertigen
Logik
Anwendungsgebiete
IntelligenteIS.10
Nichtklassische
Logiken
14. 1. + 21. 1. + 4. 2. 2005
B. Thalheim
Klassische
• Unabhängigkeitbeweise,
• Modellierung undefinierter Funktions und Prädikatswerte in der
Spezifikation und Verifikation von Programmen,
• Semantik natürlicher Sprache, z.B. zur Modellierung von Präsuppositionen,
Mehrwertig
Modal
Dynamisch
Temporal
Nichtmonoton
Content
Information
Concept
Topic
• in der Theorie der logischen Programmierung zur deklarativen Beschreibung der operationalen Semantik der Negation,
• Modellierung elektronischer Schaltkreise,
• zur Modellierung von Vagheit und Unbestimmtheit, z.B. in der
Theorie der Intervallarithmetik.