Inhaltsverzeichnis I Zahlsysteme 12

Inhaltsverzeichnis
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Einführung/Orientierung (hier nicht enthalten)
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I Zahlsysteme
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Axiomatische Einführung der reellen Zahlen
1.1 Die Körperaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Axiome der Addition . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Axiome der Multiplikation . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Folgerungen aus den Axiomen der Addition . . . .
1.1.5 Folgerungen aus den Axiomen der Multiplikation .
1.1.6 Folgerungen, in denen zusätzlich (D) benutzt wird
1.1.7 Ein ausführliches Beispiel . . . . . . . . . . . . .
1.1.8 Beispiel: Körper mit 2 Elementen . . . . . . . . .
1.2 Die Anordnungsaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Definition (Angeordneter Körper) . . . . . . . . .
1.2.2 Eigenschaften von “ < “ und “ ≤ “ . . . . . . .
1.2.3 Kleine Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 (Fundamental-)Lemma . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Definition (Intervalle) . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Definition (Betrag) . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.8 Satz: (Eigenschaften des Betrags) . . . . . . . . .
1.2.9 Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.10 Definition (Maximum, Minimum) . . . . . . . . .
1.2.11 Definition (obere und untere Schranke) . . . . . .
1.2.12 Definition (Beschränktheit) . . . . . . . . . . . . .
1.3 Vollständigkeitsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Satz (ε–Charakterisierung von sup bzw. inf) . . . .
1.3.2 Satz (Existenzsatz für Quadratwurzeln) . . . . . .
1.3.3 Satz (Existenzsatz für k–te Wurzeln) . . . . . . . .
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Natürliche Zahlen (vollständige Induktion) ganze Zahlen, rationale Zahlen
2.1 Die natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Definition (Zählmenge) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Definition und Satz (natürliche Zahl) . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Satz (Induktionssatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Satz (Beweisprinzip der Vollständigen Induktion) . . . . . . . . .
2.1.5 Satz (Peano-Eigenschaften der natürlichen Zahlen) . . . . . . . .
2.1.6 Eigenschaften von N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Die Archimedische Anordnung von R . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Satz (Archimedische Eigenschaft von R) . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Satz (Eudoxos - Archimedes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Ganze Zahlen und rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Definition (ganze Zahlen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Definition (rationale Zahlen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Übungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Satz (Q liegt dicht in R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.6 Satz (Division mit Rest) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Beispiele zum Beweisprinzip der vollständigen Induktion . . . . . . . . .
2.4.1 Definition (Binomialkoeffizienten) . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Satz (Bernoullische Ungleichung) . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
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Rekursive Definitionen, Summen, Produkte
3.1 Rekursionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Komplexe Zahlen
4.0 Motivation, historische Bemerkungen . . . . . . . . . . .
4.1 Komplexe Zahlen (Konstruktion von C) . . . . . . . . . .
4.1.1 Definition und Satz . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Wichtige Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Elementare Eigenschaften von C . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Definition (konjugiert komplexe Zahl) . . . . . . .
4.2.2 Eigenschaften von − : C → C, z 7→ z . . . . . . .
4.2.3 Ein Beispiel zu §4.2.2(g) . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Definition und Satz (Betrag einer komplexen Zahl)
4.2.5 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.6 Satz (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) . . . . .
4.2.7 Definition (Einheitskreislinie) . . . . . . . . . . .
4.2.8 Definition (Kreisscheibe) . . . . . . . . . . . . . .
4.2.9 Definition (Spiegelung am Einheitskreis) . . . . .
4.2.10 Geometrische Interpretation der Multiplikation . .
4.2.11 Satz (Polarkoordinaten in C = R2 ) . . . . . . . .
4.2.12 Existenzsatz für n-te Wurzeln . . . . . . . . . . .
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Vektorräume mit Skalarprodukt, insbes. die Standardvektorräume Rn und Cn
5.1 Definition und Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Definition (Vektorraum mit Skalarprodukt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Satz (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 Definition (Norm, normierter Raum) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9 Definition (Metrik, metrischer Raum) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11 Definition (Maximumsnorm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12 Definition (Eins-Norm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.13 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Einige nützliche Ungleichungen
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II Folgen und Reihen
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Folgen (Begriff der Konvergenz, erste Beispiele)
7.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Definition (ε -Umgebung) . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Definition (Konvergenz von Folgen) . . . . . . . .
7.5 Hausdorffsche Trennungseigenschaft von R bzw C
7.6 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Sprechweise (fast alle, schließlich alle) . . . . . . .
7.8 Beispiele konvergenter und divergenter Folgen . . .
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Inhaltsverzeichnis
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Rechenregel für konvergente Folgen
8.1 Satz (Monotonie des Grenzwertes) . . .
8.2 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Satz (Sandwich-Lemma) . . . . . . . .
8.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Satz (Permanenzeigenschaften von lim)
8.6 Bemerkungen und Beispiele . . . . . .
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Konvergenzkriterien
9.1 Divergenzkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Definition (Monotonie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Monotonieprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Definition und Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Beispiele und Bemerkungen zum Monotonie- und zum Intervallschachtelungsprinzip
9.6 Satz: Die Eulersche Zahl e ist irrational. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7 Satz (Abschätzung für n!) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.9 Existenz k-ter Wurzeln (k ∈ N, k ≥ 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.10 Kreismessung nach Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.11 Dezimalbruchdarstellung einer reellen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.12 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.13 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.14 Theorem (Bolzano-Weierstraß) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.15 Definition (Cauchy-Folge) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.16 Theorem (Cauchysches Konvergenzprinzip) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.17 Beispiele zum Cauchy-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.18 Zur Bedeutung des Cauchy-Kriteriums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.19 Häufungswerte, lim, lim, uneigentliche Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.19.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.19.2 Satz (Charakterisierung von Häufungswerten) . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.19.3 Satz (Existenz vom lim und lim) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.19.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.19.5 Satz (ε-Charakterisierung von lim und lim) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.19.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.19.7 Sprechweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.19.8 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.19.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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10 Reihen
10.1 Der Begriff der Reihe, erste Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.2 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.4 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.5 Rechenregeln für Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Konvergenzkriterien für Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2 Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen (G.W.Leibniz, 1705)
10.2.3 Beispiele zum Leibniz-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.4 Cauchy’sches Konvergenzkriterium für Reihen . . . . . . . . .
10.2.5 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.7 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.9 Theorem (Majoranten-Kriterium) . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.10 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
Inhaltsverzeichnis
10.2.11 Satz (Quotientenkriterium: d’Alembert, 1768) . . . . . .
10.2.12 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.13 Satz (Wurzelkriterium: Cauchy, 1821) . . . . . . . . . .
10.2.14 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.15 Satz (Abelsche partielle Summation: N.H.Abel, 1826) .
10.2.16 Satz (Abelsches Konvergenzkriterium) . . . . . . . . . .
10.2.17 Satz (Konvergenzkriterium von Dirichlet) . . . . . . . .
10.2.18 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Exkurs: Die g-al Darstellung reeller Zahlen . . . . . . . . . . .
10.3.1 Satz (g-al-Darstellung natürlicher Zahlen) . . . . . . . .
10.3.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.3 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.4 Theorem (g-al-Darstellung) . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.5 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.7 Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Umordnungssätze für Reihen, Reihenprodukte . . . . . . . . . .
10.4.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.3 Satz (Kleiner Umordnungssatz) . . . . . . . . . . . . .
10.4.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.5 Satz (Dirichlet, 1837) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.6 Satz (Riemannscher Umordnungssatz) . . . . . . . . . .
10.4.7 Satz (Produktreihensatz) . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.8 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . .
10.5 Abbildungen, Abzählbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.1 Arbeitsdefinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.2 Einfache Beispiele und Bemerkungen: . . . . . . . . . .
10.5.3 Definition (injektiv, surjektiv, bijektiv) . . . . . . . . . .
10.5.4 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.5 Definition (Umkehrabbildung) . . . . . . . . . . . . . .
10.5.6 Übungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.7 Definition (Gleichmächtigkeit, G.Cantor, 1878) . . . . .
10.5.8 Satz (Eigenschaften von ∼“) . . . . . . . . . . . . . .
”
10.5.9 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.10 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.11 Definition (Abzählbarkeit) . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.12 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.13 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.14 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.15 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.16 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.17 Definition(algebraische Zahl) . . . . . . . . . . . . . .
10.5.18 Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.19 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.20 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.21 Satz (Siegel-Gelfond) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.22 Definition (strikt kleinere Mächtigkeit) . . . . . . . . .
10.5.23 Satz (von Cantor über die Mächtigkeit der Potenzmenge)
10.6 Exkurs: Der große Umordnungssatz (wird später ergänzt) . . . .
III Stetigkeit, Grenzwerte bei Funktionen
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201
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202
203
203
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205
206
5
Inhaltsverzeichnis
11 Der Begriff der Stetigkeit
11.1 Definition (Folgenstetigkeit) . . . . . . . . . .
11.1.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.2 Weitere Beispiele und Bemerkungen . .
11.2 ε − δ−Charakterisierung der Stetigkeit . . . .
11.2.1 Theorem (Äquivalenzsatz für Stetigkeit)
11.2.2 Bemerkungen und Beispiele . . . . . .
11.2.3 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . .
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214
12 Rechenregeln für stetige Funktionen
12.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Folgerung . . . . . . . . . . . .
12.4 Bemerkung . . . . . . . . . . .
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13 Abbildungseigenschaften stetiger Funktionen
13.1 Eine einfache Abbildungseigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Stetige reellwertige Funktionen auf Intervallen: Der Nullstellensatz von Bolzano und
Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.1 Satz (Nullstellensatz von Bolzano, B.Bolzano (1817)) . . . . . . . . . . . . .
13.2.2 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.4 Korollar (Zwischenwertsatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.5 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.6 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.7 Satz (Fixpunktsatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen, der Satz vom Maximum und Minimum . .
13.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.3 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.5 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.6 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.7 Definition (kompakt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.8 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.9 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.10 Lemma (Bolzano-Weierstrass-Charakterisierung von kompakt“) . . . . . . .
”
13.3.11 Fundamentallemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.12 Theorem (K.Weierstraß, 1861) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.13 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.14 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.15 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.16 Eine kleine Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14-16
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der
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230
IV Grundlagen der Integral- und Differentialrechnung
17 Grundlagen der Integralrechnung
17.1 Das Integral für Treppenfunktionen . . . . . . . .
17.1.1 Definition (Treppenfunktion, Zerlegung)
17.1.2 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.3 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.5 Satz und Definition . . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
17.1.6 Geometrische Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.7 Satz (Eigenschaften von T (M ) und I : M → R) . . . . . . . . .
17.1.8 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.10 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2 Das Integral für Regelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.2 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.3 Definition und Satz (Integral einer Regelfunktion) . . . . . . . . .
17.2.4 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.6 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.7 Satz (Eigenschaften des Regelintegrals) . . . . . . . . . . . . . .
17.2.8 Geometrische Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.9 Satz (Stabilitätssatz, Vertauschungssatz) . . . . . . . . . . . . . .
17.2.10 Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.11 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.12 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.13 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.14 Satz (Berechnung von Integralen mit der Riemannschen Summe)
17.2.15 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.16 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.17 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.18 Charakterisierung von Regelfunktionen durch innere Eigenschaft
17.2.19 Bemerkungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.20 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.21 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.22 Satz: Intervalladditivität des Regelintegrals . . . . . . . . . . . .
17.2.23 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.24 Theorem (Mittelwertsatz der Integralrechnung) . . . . . . . . . .
17.2.25 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.26 Lemma ( Verschwindungslemma“) . . . . . . . . . . . . . . . .
”
18 Grundlagen der Differentialrechnung
18.1 Der Begriff der Ableitung, erste Beispiele differenzierbaren Funktionen
18.1.1 Definition: Begriff der Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . .
18.1.2 Geometrische Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.3 Physikalische Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.4 Ableitung komplexwertiger Funktionen . . . . . . . . . . . . .
18.1.5 Erste Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.6 Feststellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.7 Theorem (Äquivalentssatz für Differenzierbarkeit) . . . . . . .
18.1.8 Feststellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.9 Geometrische Interpretation des Differenzials . . . . . . . . . .
18.1.10 Definition (höhere Ableitungen) . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.11 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.12 Abschreckende Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2 Die Technik des Differenzierens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.1 Satz (algebraische Regeln) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.2 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.3 Satz (Kettenregel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.4 Bemerkungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.5 Theorem (Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion) . . . . . . .
18.2.6 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
Inhaltsverzeichnis
19 Lokale Extrema, Mittelwertsätze, Anwendungen
19.1 Lokale Extrema, der MWSD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.1 Definition (lokale und globale Extrema) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.2 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.3 Fermat, ≈ 1638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.4 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.5 Satz (von Rolle, Michael Rolle (1652-1719)) . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.6 Geometrische Veranschaulichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.7 Bemerkungen zu den Voraussetzungen des Satzes von Rolle . . . . . . . .
19.1.8 Theorem (MWSD, Lagrange (1797) (J.L.Lagrange, 1736-1813)) . . . . . .
19.1.9 Geometrische Veranschaulichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.10 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.11 Schrankensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.12 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.13 Satz (Charakterisierung konstanter Funktionen und von Stammfunktionen)
19.1.14 Folgerung (Charakterisierung von exp durch eine Differentialgleichung) . .
19.1.15 Monotoniekriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.16 Bemerkungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.17 Satz (hinreichende Kriterien für lokale Extrema) . . . . . . . . . . . . . .
19.1.18 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.19 Beispiele für Extremwertaufgaben (wird nachgetragen) . . . . . . . . . . .
19.1.20 Konvexe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.21 Definition (konvexe und konkave Funktion) . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.22 Geometrische Interpretation der Konvexität . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.23 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.24 Satz (Youngsche Ungleichung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.25 Beispiel (Wendepunkte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.26 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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20 Zusammenhang zwischen Integral- und Differenzialrechnung: Der Hauptsatz und seine
wendungen
20.1 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.1.1 Theorem (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, 1. Version) . . . . .
20.1.2 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.1.3 Theorem (2.Version des Hauptsatzes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.1.4 Theorem (algebraische Form des Hauptsatzes) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.1.5 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.1.6 Eine kleine Liste von Stammfunktionen (Grundintegralen) . . . . . . . . . . . .
20.1.7 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2 Integrationstechniken, erste Anwendungen des Hauptsatzes . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.1 Satz (Partielle Integration oder Produktintegration) . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.2 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.3 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.4 Bemerkungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.5 Die Wallische Produktformel für π2 (John Wallis, Arithmetica Infiniforum, 1666)
20.2.6 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.7 Satz (Substitutionsregel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.8 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.9 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3 Partialbruchzerlegung und die Integration der rationalen Funktionen . . . . . . . . . . .
20.4 Verträglichkeit der Differentiation mit Grenzprozessen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.1 Satz (Vertauschbarkeit von Differentiation mit Grenzprozessen) . . . . . . . . .
20.4.2 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.3 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.4 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5 Taylor’sche Formel, Taylor-Reihen, Abelscher Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
20.5.1 Satz und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.2 Satz (Taylor’sche Formel mit Integralrestglied) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.3 Satz (Lagrange’sche Form des Restgliedes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.5 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.6 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.7 Satz (hinreichendes Kriterium für lokale Extrema) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.8 Satz (qualitative Form der Taylorschen Formel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.9 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.10 Definition (Taylor-Reihe von f ∈ C ∞ (D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.11 Bemerkungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.12 Eindeutigkeitssatz (Identitätssatz) für Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.13 Satz (Hinreichnende Bedingung für die Darstellbarkeit einer C ∞ -Funktion durch
ihre Taylor-Reihe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.14 Weitere Beispiele für Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.15 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.16 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.17 Satz (Abelscher Grenzwertsatz, N.H.Abel, 1826) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.18 Satz (N.H. Abel, 1826) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.19 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.20 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.21 Beispiele und Bemerkungen zur Binomialreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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V Ausbau der Integral- und Differentialrechnung
ist noch in Bearbeitung und enthält u.a.:
• Uneigentliche Integrale
• Γ−Funktion
• Stirlingsche Formel
• Einführung in die Theorie der Fourier-Reihen
• Eulersche Summenformel und Bernoullische Polynome
• Interpolation und elementare Aspekte der nummerischen Integration
• Einige elementar integrierbare Differentialgleichungen
• Einige geometrische Anwendungen: insb. Kurven und ihre Längen
(wird nachgetragen)
339
VI Metrische Räume und ihre Topologie
21 Der Begriff des metrischen Raums, Beispiele, topologische Grundbegriffe
21.1 Definition (Metrik, metrischer Raum) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.1.1 Bemerkungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2 Definition (offene und abgeschlossene Kugel, r−Umgebung, Sphäre) .
21.2.1 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.3 Definition (Umgebung, offen, abgeschlossen) . . . . . . . . . . . . . .
21.3.1 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.4 Feststellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.5 Theorem (Grundeigenschaften offener Mengen) . . . . . . . . . . . . .
21.5.1 Theorem (Grundeigenschaften abgeschlossener Mengen) . . . .
21.6 De Morganschen Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.7 Feststellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.8 Definition (Topologie, topologischer Raum) . . . . . . . . . . . . . . .
21.9 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.9.1 Anwendungsbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.10Definition (Besondere Punkte in einem metrischen Raum) . . . . . . .
21.11Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
21.11.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
22 Konvergenz und Stetigkeit in metrischen Räumen
22.1 Definition (Folgen-Konvergenz in einem metrischen Raum) . . . . . . . .
22.2 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.2.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.3 Definition (Cauchy-Folge) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.4 Satz (konvergente Folgen sind Cauchy-Folgen) . . . . . . . . . . . . . .
22.5 Definition (vollständiger metrische Raum, Banach-Raum, Hilbert-Raum)
22.6 Bemerkungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.6.1 Theorem (allg. Banachscher Fixpunktsatz) . . . . . . . . . . . .
22.6.2 Übungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.6.3 Bemerkungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.7 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.7.1 Satz (Äquivalenzsatz für Stetigkeit) . . . . . . . . . . . . . . . .
22.7.2 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.7.3 Theorem (Charakterisierung der globalen Stetigkeit) . . . . . . .
22.7.4 Beispiele zur Lipschitz-Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.8 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.8.1 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.10Stetigkeit linearer Abbildungen, die Operatornorm . . . . . . . . . . . .
22.10.1 Äquivalenzsatz für Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.10.2 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.10.3 Definition (Abbildungsnorm oder Operatornorm) . . . . . . . . .
22.10.4 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.10.5 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.11Exkurs: Die Matrix-Exponential-Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . .
22.11.1 Theorem (Definition zu exp(A) für A ∈ Kn×n ) . . . . . . . . . .
22.11.2 Bemerkungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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23 Kompaktheit
23.1 Definition (Überdeckung) . . . . . . . . . . . . . . .
23.2 Definition ((Überdeckungs-) Kompakt) . . . . . . . .
23.3 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . .
23.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.5 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.6 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.7 Satz (von Bolzano-Weierstraß) . . . . . . . . . . . .
23.8 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.10Theorem (allgemeines Intervallschachtelungsprinzip)
23.11Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.12Satz (Spezialfall des Satzes von Heine-Borel) . . . .
23.13Theorem (Heine-Borel für Kn ) . . . . . . . . . . . .
23.14Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.15Theorem (K.Weierstraß, 1861) . . . . . . . . . . . .
23.16Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.17Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.18Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.19Satz (Äquivalenzsatz für Normen) . . . . . . . . . .
23.19.1 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.19.2 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.20Definition (gleichmäßige Stetigkeit) . . . . . . . . .
23.21Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.21.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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10
Inhaltsverzeichnis
VII Differentialrechnung in mehreren Variablen
417
24 Differenzierbarkeitsbegriffe
24.1 Definition ((totale) Differenzierbarkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.1.1 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.1.2 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.2 Differenzierbarkeit und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.3 Partielle Ableitungen und Jacobi-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.3.1 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.3.2 Definition (partielle Differenzierbarkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.3.3 Bemerkungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.3.4 Satz (Zusammenhang zwischen totaler und partieller Differenzierbarkeit) . . . . . .
24.3.5 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.3.6 Bemerkungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.4 Das Hauptkriterium für Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.4.1 Theorem (Hauptkriterium für Differenzierbarkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.4.2 Bemerkungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.5 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.6 Definition (Stetige Differenzierbarkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.6.1 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.6.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.7 Exkurs: Zusammenhang zwischen (total) reeller Differenzierbarkeit in R2 und komplexer
Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.7.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.7.2 Satz (Zusammenhang zwischen reeller und komplexer Differenzierbarkeit) . . . . .
24.7.3 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.7.4 Einfache Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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25 Differentiationsregeln
25.1 Satz (algebraische Regeln) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25.2 Theorem (Kettenregel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25.3 Definition (Richtungsableitung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25.3.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25.3.2 Anwendung: Orthogonalität von Gradient und Niveaumenge
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26 Mittelwertsätze, Schrankensätze
26.1 Satz (MWS für reellwertige Funktionen) . . . . . . . . . .
26.2 Folgerung (Charakterisierung konstanter Funktionen) . . .
26.2.1 Eine kleine Anwendung . . . . . . . . . . . . . .
26.3 Satz (über die Integraldarstellung des Funktionszuwachses)
26.4 Folgerung (Schrankensatz) . . . . . . . . . . . . . . . . .
26.5 Satz (MWS für vektorwertige Funktionen) . . . . . . . . .
26.6 Satz (Schrankensatz für Vektorwertige Funktionen) . . . .
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27 Höhere partielle Ableitungen, der Vertauschungssatz von H.A.Schwarz
27.1 Definition (r-mal partiell differenzierbar) . . . . . . . . . . . . . . .
27.2 Satz (Vertauschungssatz von H.A.Schwarz) . . . . . . . . . . . . . .
27.3 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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28 Taylor-Formel, lokale Extrema
28.1 Satz (Taylor-Entwicklung zweiter Ordnung)
28.2 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . .
28.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28.3.1 Bemerkung . . . . . . . . . . . . .
28.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
11
28.5 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
28.6 Sylvesterscher Trägheitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
28.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
Arbeitsmaterialien zur Vorlesung Analysis 3
467