Musterlösung¨Ubungen Experimentalphysik 1
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Musterlösung Übungen Experimentalphysik 1 Prof. Joachim Rädler, Dr Bert Nickel, Dr.Frank Jäckel 21.12.2011 1 Übungsblatt 1.1 Aufgabe a) kg - ρW asser = 1 dm 3 - V = 1l - mH2 O ≈ 20 ∗ 10−27 kg - Über Dichte und Volumen auf Masse - Masse zu Massemolekül ergibt die Anzahl - N ≈ 5 ∗ 1025 b) - v = xt - c = 3.0 ∗ 108 m s - x ≈ 5km - t = 20µs c) g - ρM etall ≈ 10 cm 3 - Über Dichte auf Volumen - Über Volumen auf Anzahl (kubische Partikel oder Kugeln wichtig für Abschätzung nur r3 Abhängigkeit) - Oberfläche eines Partikels - A = ρr3m ≈ 100m2 nano 1.2 Aufgabe a) 1 b) -µ= 1 N q PN j=1 1 (N −1) Xj = 7,08 PN ∗ i=1 (Xi − µ)2 = 2,329 -σ= c) - µth = p 7, 00 - σth = E[X 2 ] − E 2 [X] = 2, 42 1.3 Aufgabe a) - t = 12 tvoll - h = 12 gt2 = 30.7cm b) - Energierhaltung - vmax = 2gh = 2, 45 m s 1.4 Aufgabe - SI-Basisgrößen 7 definierte phy. Größen, von denen alle anderen abgeleitet werden können m, s, kg, A, mol, K, cd Abgeleitete Größen (z.B. Newton, Volt, etc.) Messfehler: statistisch, nicht systematisch, unabhängig voneinander, gaußverteilt 2 Übungsblatt 2.1 Aufgabe a) - x ist Richtung des Schusses => nur 2 Dimensionen, xtor geometrisch überlegen - Bewegungsgleichung aufstellen - z(t) z(x) durch Einsetzen der nach t aufgelösten x-Bewegungsgleichung - zwei Wertepaare sind bekannt => 2 Gleichugen mit 2 Unbekannte 2 - Gleichungssytem lösen => α = 16, 22◦ ; v = 95, 01 km h b) x(t) - Werte in die nach t aufgelöste x-Bgl einsetzen - t = v∗cosα 2.2 Aufgabe E1 = E0 − αE0 Potentielle Energie einsetzen und überlegen wie sie für n Sprünge aussieht hn = h0 (1 − α)n in Bgl. einsetzen und nach ∆t ( 21 ∆t beachten für einmal von h → 0) auflösen q n -∆tn = 8h0 (1−α) g - 2.3 Aufgabe a) - ω = αt - ω = vr - t = 24s b) - ω = 2πf - f = 1, 91104 Hz 2.4 Aufgabe - Newton-Axiome : Trägheitsprinzip, Aktionsprinzip, Reaktionsprinzip - konservativ : Arbeit wegunabhängig (z.B. homogene Felder) - nicht-konservativ : Arbeit wegabhängig (z.B. magn Wirbelfelder) 3 Übungsblatt 3.1 Aufgabe b) o - vr ≥ vf lucht - vr = vt ln( m ml ) − g∆t - Raketengrundgleichung nach t auflösen - t = 31, 9s a) t - dm dt = 2, 82 s c) - Weg der Rakete Erdradius - obige Rechnung gilt nur nahe der Erdoberfläche 3 3.2 Aufgabe - aus rein geometrischen Überlegungen anhand der ausgedehnten Kugeln haben wir einen Winkel von 30◦ (gleichseitiges Dreieck) - aus Impulserhaltung vy1 = −vy2 2 (α) 1 - Impulserhaltung und Energieerhaltung, so erhält man v0 = 1−2cos 1+2cos2 (α) u0 = − 5 u0 q - mit v0 erhalten wir v1 = 12 25 3.3 Aufgabe a) - Schwerpunktserhaltung M ∗xboot - ∆x = m−m = −0, 89m m +ms +mb b) - nur Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung betrachten - Impulserhaltung vb = 0, 75 km h 3.4 Aufgabe - Nur radiale Komponente ~ - F~ = −∇φ 4 Übungsblatt 4.1 Aufgabe a) ~ = ~r × p~ -L - p = mv - v = ωr - ω = 2πf 2 - L = 15, 7 kgm s - M = dL dt = 5, 2N m b) - Drehimpulserhaltung - v 0 = 78, 5 m s 4 4.2 Aufgabe a) mM L2 - Eef f = 2mr 2 − G r dEef f - dr = 0 b) - Integration des zweiten keplerschen Gesetzes ~ - dA = 1 |L| dt 2m 3 2 -tumlauf = 2π √RGM c) - Zentripetalkraft = Gravitationskraft q - Bahngeschwindigkeit v = GM R - Ekin = GmM 2R 4.3 Aufgabe a) - Fa = − Gm (R) R2 M R R 02 - M (R) = 4π 0 R ρ(R0 )dR0 1 R2 − 43 ρ0 R] - Fa (R) = πGm[ ρ0R−ρ 0 b) a - Extremum bestimmen dF dR = 0 - R = 0, 79R0 5 4.4 Aufgabe 1) Planetenbahnen sind Elipsen mit der Sonne in einem Brennpunkte 2) Die Radiusvektoren überstreichen in gleicher Zeit gleiche Fläche a3 T2 3) T12 = a31 2 2 - Zusammenhang mit Drehimpuls vgl 2b) - F~ k ~r 5 Übungsblatt 5.1 Aufgabe a) - |F~c | = |2m(~v × ω ~ )| = 2mωv sin φ - h = l(1 − cos βmax ) - h(β) = l(1 − cos β) - vmax und v(β)paus Energieerhaltung - Fc (β) = T4πm 2gl(cos β − cos βmax ) sin φ erde p 2gl(1 − cos βmax ) sin φ = 4, 77 · 10−4 N - Fc (N ulldurchgang) = T4πm erde b) erde - T = ω2πf = Tsin φ ≈ 32, 2h ~ - Fc ⊥ ~v ⊥ ω ~ 5.2 Aufgabe a) - Gravitations- und Fliehkraft müssen sich aufheben, daher muss Bahn um Erdmittelpunkt sein - Nur am Äquator gilt für den Beobachter auf der Erde dass der Satellit geostationär ist b) - Gravitation gleich Fliehkraft - Umlaufzeit ist die der Erde q 3 GMErde Ts2 - rs = ≈ 42.164km 4π 2 c) - v = ωrs ≈ 3, 1 km s d) - aus Virialsatz ⇒ Körper muss kin. Energie verdoppeln - v = 4, 38 km s - ∆v = 1, 28 km s 5.3 Aufgabe a) - Lorentztransformation für Ort und Zeit - dxa = γ(dxb + vba xb ) vba dxb c2 ) b vx +vba - dta = γ(dtb + - dxa dta = vxa = 1+ b va vx b c2 - vya und vza analog b) - Beweis über Widerspruch - Voraussetzungen umschreiben und damit zum Widerspruch führen 5.4 Aufgabe - System in dem sich kräftefreie Körper geradlinig gleichförmig bewegen - Kräfte die eingeführt werden müssen, da sich das Bezugsystem beschleunigt 6 - Messungen von Ort, Zeit und Geschwindigkeit in verschiedenen Bezugssystemen - Relativität (Man kann von einem Experiment in einem Inertialsystm nicht darauf schließen, ob sich das Bezugssystem gleichförmig bewegt oder ruht) - Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen gleich 6 Übungsblatt 6.1 Aufgabe a) d +dperipasis = 3, 735 · 108 m - de−m = apopasis 2 - me de−s = mm dm−s - dm−s = 3, 690 · 108 m - de−s = o, o45 · 108 m b) - Der Schwerpunkt bewegt sich auf einer Keplerbahn und die Erde dreht sich um ihn - der maximale Abstand von der Keplerbahn beträgt 4, 5 · 106 m - maximaler relativer Abstand (über kleine Halbachse) 3.1 · 10−3 % c) m = 3, 51 · 10−5 sm2 - gm = G dm 2 m e−m - gge = 3, 58 · 10−4 % d) Fliehkraft Gravitation Mond B S M Erde A Resultierend - Gravitation : Kraft auf jeden Punkt der Erde im radialsymm. Kraftfeld des Mondes - Fliehkraft : ohne die Eigendrehung der Erde macht die Erde eine Art ”Schwenk”- Bewegung dh. jeder Punkt der Erde bewegt sich auf einer Kreisbahn, die gleich groß ist wie die Bahn des Mittelpunkts um den Schwerpunkt e) -Erde dreht sich schneller als Mond ⇒ der Gezeitenberg ist der Mondbahn vorraus ⇒ Ekin des Mondes wird erhöht ⇒ er geht in eine höhere Bahn um diese Energiezunahme auszugleichen - Mond wird schneller und entfernt sich von der Erde 7 6.2 Aufgabe a) - Sphäre um Sonne mit Erde-Sonne Abstand - E = mc2 - m = 4, 404 · 109 kg b) - 221 H → 42 He + E - Anzahl der Wasserstoffatome berrechnen ⇒ es gibt halb so viele He-Atome - mHe - aus Massendefekt Energie berechnen 6.3 Aufgabe - Bezugssystem Platte : Längenkontraktion, daher passt der verküzte Stab durch das Loch - Bezugssystem Stab : Loch wird verkürzt, aber der Auftreffpunkt der beiden Enden ist nun zeitlich verschoben d.h. der Stab geht schräg duch das Loch t− v x - t0 = q c2v2 1− c2 - t = 0; x = −L ⇒ t0 6= 0 6.4 Aufgabe - dient zur Veranschaulichung der Lorentztransformationen zw. Bezugssystemen E = mc2P 1 rs = M ~i mi ir Man kann eine Kraft, die auf mehrere Punkte wirkt, durch die Kraft auf den Schwerpunkt ersetzen 7 Übungsblatt 7.1 Aufgabe a) - Erot = 21 Jω 2 - Etrans = 21 mv 2 mit v = ωr - Drehachse des Zylinders durch Schwerpunkt R - J = V ~r2 ρ(~r)dV - Jvoll = 48 mr2 - Jhohl = 58 mr2 rot = 21 - Voll : EEtrans rot - Hohl : EEtrans = 58 b) - Energieerhaltung q - vvoll = 4 5 gh = 2, 26 m s 8 q m - vhohl = 16 21 gh = 2, 17 s c) - Epot = Etrans + Ekin + Epotlooping - Fz = FGrav am Loopingscheitel - h = (R − r)[ 12 (1 + r2Jm ) + 2] - hvoll = 1, 76m - hhohl = 1, 8m 7.2 Aufgabe - 2 Drehimpuls des Rades : L = 3, 77 kgm s Drehimpulserhaltung f1 = 0, 094Hz oder 5,6 Umdrehungen pro Minute nur senkrechter Drehimpuls geht ein L2 = cos 30◦ L1 f2 = 0, 081Hz oder 4,9 Umdrehungen pro Minute 7.3 Aufgabe a) b) - Ja = Jb a - ω̇a + JcJ−J ωc ωb = 0 a Ja −Jc - ω̇b + Ja ωc ωa = 0 - ω̇c = 0 c) - ableiten und einsetzen c - Ω = JaJ−J ω0 a d) - Hauptachsensystem Ja ωa (t) ~ = Jb ωb (t) -L Jc ω0 e) 9 7.4 Aufgabe - - T ranslation Rotation l φ m J v ω ~ p~ L ~ F~ D ~ d~ p ~ ~ F = dt D = ddtL Trägheitsmoment durch Schwerpunkt, Abstand der parallelen Achse (vgl. Aufgabe 1) symm. Kreisel : mind. 2 Hauptträgheitsmomente gleich (Kreisel,Würfel,...) asymm. Kreisel : keine gleichen Hauptträgheitsmomente (Quader mit unterschiedlichen Kanten, H2 O-Molekül) 8 Übungsblatt 8.1 Aufgabe - Präzessionsfrequenz: ωp = MωJgr - Trägheitsmoment des Kreisels: J = - ωp ≈ 1, 04Hz 3 2 10 M R 8.2 Aufgabe a) 2 - F = Fg − Ff = m( GM r 2 − ω r) F -σ= A - dm = A · dr · ρ - Vom Erdradius bis zum Abstand r aufintegrieren 1 2 2 - σ = ρ(φ(R) − φ(r)) mit φ = GM r + 2ω r b) - geostationäre Bahn : ω 2 = GM Rs3 - r = Rs einsetzten - σz (Rs ) = 48, 58GP a 10 c) - σstahl = 383, 78GP a - σcnt = 87, 44GP a d) - am oberen Ende sollte es eine größere Querschnittsfläche haben ⇒ höhere Zugfestigkeit - am Boden sollte die Querschnittsfläche klein sein damit dort nur eine geringere Masse zur Zugkraft beiträgt 8.3 Aufgabe - RR Flächenträgheitsmoment: Jf = dydzz 2 z = 0 ist die neutrale Faser - für T-Träger Schwerpunkt u. Steiner’schen Satz verwenden für Ellipse Ellipsengleichung verwenden 1 3 d b Jq = 12 37 3 JT = 192 d b 1 3 Je = 4π d b4 L3 F ⇒ z/thicksimJF−1 Durchbiegung: z(L) = − 3EJ f - zquader ztraeger ztraeger zellipse zquader zellipse J = Jtraeger = quader = 0, 413 = 0, 955 37 16 8.4 Aufgabe - Nutation : Kräftefreier Kreisel, Figurenachse rotiert um Drehimpulsachse, falls nicht parallel - Präzession : Äußeres Drehmoment, Figurenachse rotiert um Achse, die senkrecht zur Ebene des Drehimpulses und Drehmoments ist - Verformung : Biegen, ziehen/stauchen, verdrehen, scheren - elastisch (Körper geht in die ursprüngliche Form zurück), plastisch (Körper behält Form) 9 Übungsblatt 9.1 Aufgabe a) - - sin φ ~rs = d − cos φ 0 0 F~g = −mg 0 Drehmoment über Kraft u. Winkelbeschleunigung aufstellen und gleichsetzen Kleinwinkelnäherung φ̈ + mgd J φ=0 q J 2 ω = mgd J ⇒ T = 2π mgd 1 - Trägheitsmoment Latte: J = 12 m(a2 + b2 ) - Nach d auflösen ⇒ d1/2 = 0, 497 ± 0, 237 - Nagel muss bei 1,01m oder bei 1,48m angebracht werden b) - im Schwerpunkt aufhängen ⇒ mathematisches Pendel 9.2 Aufgabe a) - Ekin = 12 mḣ2 - Kraft F = 2 mgh aufintegrieren zu Ep ot l 2 - Epot = mg h l b) 11 - dE dt = 0 Energieerhaltung daraus Bewegungsgleichungen: ḧ + 2 gl h = 0 Ansatz p h = h0 sin(ωt) ω = 2 gl darau T l = π2g2 9.3 Aufgabe a) - sinusförmiges Potential: V (x) = A sin(x) - Taylorentwicklung um Tal ( 32 π) 3 - F (x) = − dV dx = −A(x − 2 π) b) - vgl mit Hooke’schem Gesetz liefert k = A 9.4 Aufgabe - komplexe Schwingungsamplitude ist Phase der Schwingung - Anwendungen: Uhr, Lautsprecher, Mikrofon, ... - Erhaltungsgröße: Gesamtenergie 12
