Blatt 3
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Theoretische Physik IV - Statistische Mechanik Übungen (Woche 45) WS 2009/2010 Blatt 3 Aufgabe 1/3; Votieraufgabe 3 Punkte In der Vorlesung wurde das thermische Gleichgewicht behandelt. Im Folgenden untersuchen wir das mechanische, das adiabatische und das chemische Gleichgewicht. a) Mechanisches Gleichgewicht: Das abgebildete isolierte System besitzt eine bewegliche, wärmeleitende und materieundurchlässige Wand. Das Volumen und die innere Energie des Gesamtsystems bleiben erhalten. Benutzen Sie die Postulate I, II und III aus der Vorlesung. Gehen Sie wie beim thermischen Gleichgewicht vor. Ihre Rechnungen führen zu zwei Größen, die im Gleichgewicht auf beiden Seiten denselben Wert besitzen. Welche Größen sind dies? b) Adiabatisches Gleichgewicht: Im obigen System wird mechanische Arbeit benötigt, um die Wand zu bewegen. Wie verändert sich die innere Energie der beiden Teilsysteme, wenn ein solcher Prozess − (i) adiabatisch abläuft (dQ = 0)? Die gesamte innere Energie und das Gesamtvolumen bleiben nach Teilaufgabe a) erhalten. Was ergibt sich hieraus für den Druck in den beiden Teilsystemen? Untersuchen Sie dS: Was können Sie über die Temperaturen T (i) aussagen, wenn die beiden Differenziale dU (i) durch dV (i) ausgedrückt werden? Interpretieren Sie das Ergebnis. c) Chemisches Gleichgewicht: Die Wand sei nun fest, erlaube aber den Austausch von Wärme und von Teilchen des Typs 1. Bei konstanter innerer Energie und Teilchenzahl ergeben sich aus dem vollständigen Differenzial dS wiederum zwei Größen, die im Gleichgewicht in beiden Teilsystemen denselben Wert annehmen. Benennen Sie diese. Es sei T (1) = T (2) =: T (1) (2) und µ1 > µ1 . Welche Ungleichung ergibt sich unter Berücksichtigung des Postulats II für ∆N1 ? In welche Richtung bewegen sich die Teilchen? Anmerkung: Die in der Vorlesung definierten konjugierten Variablen treten hier als verallgemeinerte Kräfte oder Potenziale auf. Die Temperatur T ist das verallgemeinerte Potenzial für den Wärmefluss, der Druck P das Potenzial für die Volumenänderung und das chemische Potenzial das Potenzial für den Materiefluss. Als thermodynamische Potenziale beschreiben T , P und µ die Energieänderung pro Entropie-, Volumen- bzw. Materie-Einheit (Mol). Aufgabe 2/3; Votieraufgabe 2 Punkte a) Die folgenden Gleichungen sind für ein Mol eines idealen Gases gültig: 3 P v = RT, u = RT 2 Zeigen Sie, dass für adiabatische Prozesse P v γ = konst. (1) (2) gilt und bestimmen Sie γ. b) Zeichnen Sie Isothermen, Isochoren, Isobaren und Adiabaten in ein P -v-Diagramm. c) Wiederholen Sie b) für ein P -ρ-Diagramm. Aufgabe 3/3; Hausaufgabe 2 Punkte Die Berechnung von ln N! wird für große Werte von N häufig mit Hilfe von Näherungsformeln durchgeführt. a) Zeigen Sie, dass in erster Näherung ln N! ≈ N · lnN − N (3) gilt. b) Zeigen Sie, wie man die Näherung (3) durch die genauere Stirling’sche Formel“ ” 1 ln N! ≈ N · lnN + ln(2πN) − N 2 ersetzen kann. R∞ Hinweis: Gehen Sie von der Integraldarstellung von n! aus (n! = 0 xn e−x dx). Entwickeln Sie den natürlichen Logarithmus des Integranden in eine Potenzreihe um dessen Maximum. Verwenden Sie die drei wichtigsten Glieder der Reihe und werten Sie damit das oben angegebene Integral aus. c) Diskutieren Sie die Genauigkeit der beiden Formeln.
