Spektroskopie von Subbandwellenfunktionen in Parabolischen

Spektroskopie von Subbandwellenfunktionen in
Parabolischen Quantentöpfen mit δ-förmiger
Potentialstörung via Transportmessungen im
verkippten Magnetfeld
Semesterarbeit von
Leif Roschier
März 1997
Labor für Festkörperphysik
Prof. Dr. K. Ensslin
ETH Zürich
1
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
3
2 Theorie
2.1 Lösung für H⊥ . . . . . . . . .
2.2 Lösung für Hk . . . . . . . . .
2.3 Störungstheorie . . . . . . . . .
2.4 Shubnikov-de Haas Oszillation
2.5 Differenz der Subbandenergien
2.6 Bestimmung von B⊥ und Bk .
3 Die
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
Messung
Die Hallgeometrie . . . . . . . .
Die Proben . . . . . . . . . . .
Der Messaufbau . . . . . . . . .
Die Messdaten . . . . . . . . .
Die Elektronendichten . . . . .
Die Subbanddichten . . . . . .
Die Beweglichkeit . . . . . . . .
Berücksichtigung der Hysterese
Winkelkorrektur . . . . . . . .
Bestimmung der Minima in ρxx
Die Regression . . . . . . . . .
Das Resultat . . . . . . . . . .
4 Zusammenfassung
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3
4
4
5
6
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8
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9
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
19
21
2
1
Einleitung
1969 wurde vorgeschlagen, eine Halbleiter-Übergitterstruktur zu bauen [1]. Seit
den wurde immer intensiver in diesem Bereich geforscht. Mit den 2-dimensionalen
Halbleiterschichten von GaAs/Alx Ga1−x As ist es heutezutage möglicht, quantenmechanische Eigenschaften zu untersuchen [2] [3]. Das ist möglich dank besser kontrolliertem Wachstum von einzelnen Monolagen verschiedener Halbleiterkristalle geworden.
Mikroelektronsche Strukturen werden kleiner und die Strukturen erreichen
bald die Fermi-Wellenlänge, was quantenmechanische Effekten bedeutet. Die
Physikalische Grundlagenforschung der Halbleitermaterialen und -Eigenschaften
ist für die Mikroelektronik von Morgen wichtig, wo vielleicht auch die Quantenmechanische Eigenschaften benutzt werden können.
Ein δ-förmige Potential gibt uns mit der Störungstheorie eine zusätchliche
Term hΨ(z)|V0 δ(z − z0 )|Ψ(z)i = |Ψ(z0 )|2 V0 in Energie der Potential ohne die
δ-Form, womit man die Wahrscheinlichkeitamplitude |Ψ(z0 )|2 berechnen kann.
Das bedeutet, dass wir Wellenfunktionenförmen zu Messen können.
In diese Arbeit haben wir die Abweichung der Wellenfunktionen in ein parabolische Potential mit ein δ-förmige Spitze untersucht.
2
Theorie
~ [9]
Wir starten mit dem Hamiltonian für ein Elektron im Magnetfeld B
H=
1
~ 2 + V (z),
(~
p + eA)
2m
~ gegeben ist durch B
~ = ∇× A,
~ e ist die Ladung und m die
wo das Vektorfeld A
effektive Masse des Elektrons. V (z) beschreibt ein Potentialtopf in z-Richtung
und p ist der Impulsoperator. Wir wählen das Magnetfeld in z- und y-Richtung.
Unsere Probe liegt in der x − y-Ebene. Wir wählen für unsere Eichung das
~ = (zBy , xBz , 0). Bei neuer Gruppierung der Terme kriegen wir
Vektorfeld A
0
+ H 0,
H = Hk + H⊥ + H⊥
(1)
mit
Hk =
p2x
1
+
(py + exBz )2 ,
2m 2m
(2)
p2z
+ V (z),
2m
(3)
H⊥ =
3
0
H⊥
=
e2 z 2 2
B ,
2m k
(4)
eBz
.
m
(5)
H 0 = px z
0
Wir nehmen an, dass H⊥
und H 0 kleine Störungen sind und behandeln sie
störungstheoretisch. Wir machen den Ansatz, dass die Lösung folgende separierbare Form hat:
Ψinky (x, y, z) = φi (z)Φn (x)eky y
2.1
(6)
Lösung für H⊥
In unsere Fall ist V (z) =
m 2 2
2Ω z .
Dass heisst
H⊥ φi (z) = ²harm,i φi (z)
(7)
wobei φi (z) die Lösung des quantenmechanischen harmonischen Oszillators
ist:
√
z
z
φi (z) = (2i i! πz0 )−1/2 exp(−( )2 )Hn ( )
z0
z0
(8)
Hn ist das Hermitsche Polynom des Grades n und
²harm,i = h̄Ω(i + 1/2),
r
z0 =
2.2
(9)
h̄
Ωm
Lösung für Hk
Wir suchen eine Lösung für die Gleichung
Hk Φn (x)eiky y = ²n Φn (x)e−iky y .
In y-Richtung haben wir eine ebene Welle mit py = h̄ky .
4
(10)
Mit x0 = h̄ky + exBz , p2x = (eBz )2 p2x0 kriegen wir
[
m
1
p2x0
²n
+
x02 ]Φ0n (x0 ) =
Φ0 (x0 ),
2m
2 (meBz )2
(eBz )2 n
| {z }
(11)
ω2
was die Form des harmonischen Oszillators hat und uns die Lösung gibt:
√
py + exBz
1 h̄ky + exBz 2
) )Hn (
)
Φn (x) = (2n n! πx0 )−1/2 exp(− (
2
x0
x0
²n = h̄ωc (n + 1/2)
x20 = eh̄Bz
,
ωc =
(12)
(13)
eBz
m
.
Aus der expliziten Lösung Φn (x) sehen wir, dass
hΦn (x)|px |Φn (x)i = 0
(14)
∂
weil px = −ih̄ ∂x
und Φn (x) entweder gerade oder ungerade ist, haben wir
∂
∂
|geradei
=
konst|ungeradei,
∂x
∂x |ungeradei = konst|geradei und hgerade|ungeradei
0. Zu bemerken ist , dass wir in unserer Lösung die Elektron-Elektron Weckselwirkung nicht berücksichtigt haben, was die Wellenfunktionen ändert. Unser
1
‘Potential’ 2m
(py + exBz )2 ist symmetrisch in x-Richtung, was bedeutet, dass
die Elektronendichte auch symmetrisch sein muss. Dann sind die Wellenfunktionen entweder symmetrisch oder antisymmetrisch und (14) gilt noch.
2.3
Störungstheorie
Wir haben die Lösung für By = 0
(H⊥ + Hk )φi (z)Φn (x)eiky y = ²0 φi (z)Φn (x)eiky y ≡ ²0 |niky i.
(15)
0
Jetzt nehmen wir an, dass Hbot
und H 0 kleine Störungen sind. In erster Ordnung
Störungstheorie kriegen wir
e2 By2
0
hniky |z 2 |niky i
² − ²0 = hniky |Hbot
|niky i + hniky |H 0 |niky i =
2m
|
{z
}
=0 (weil hn|px |ni=0)
5
=
e2 By2
hi|z 2 |ii
2m
⇒ ² − ²0 =
⇒ ²i=1 − ²0,i=1 − ²i=0 + ²0,i=0 =
(16)
e2 By2
(hi = 1|z 2 |i = 1i − hi = 0|z 2 |i = 0i) (17)
2m
Wir definieren α ≡ (hi = 1|z 2 |i = 1i − hi = 0|z 2 |i = 0i)
und erhalten
4(²1 − ²0 ) ≡ ²i=1 − ²0,i=1 − ²i=0 + ²0,i=0 =
2.4
e2 By2
α
2m
(18)
Shubnikov-de Haas Oszillation
Von jetzt an benutzen wir B⊥ ≡ Bz und Bk ≡ By als die senkrechte und
~ Bei senkrechtem Magnetfeld ist unparallele Komponente des Magnetfeldes B.
sere 2-dimensionale Zustandsdichte nicht mehr konstant, sondern besteht aus
δ-förmigen Spitzen mit Abstand h̄ωc . Das gibt uns:
ni = 2νi h̄ωc
m
eB⊥ νi
=
h
πh̄2
⇒ νi =
ni h
eB⊥
(19)
(20)
wobei νi der Füllfaktor eines Subbandes ist. Dieser gibt uns an, wie viele
δ-förmige Landauniveaus im parabolischen Quantentopfsubband i besetzt sind.
Es gibt freie Elektronenzustände nur bei der δ-Funktionen, was bedeutet, dass
der Widerstand ρxx periodisch mit ganzen Zahlen von νi /2 ist. Der Faktor
2 kommt davon, dass wir die spinentarteten Zustände als zwei verschiedene
Landauniveaus betrachten.
⇒ ρxx ∝ cos(2π
νi
πni h
) = cos(
)
2
eB⊥
(21)
Das bedeutet , dass wir mit nur einem besetzten Subband durch Fouriertransformation F() von ρxx ( B1⊥ ) die Elektronendichte ntot kriegen. Dass heisst
ntot =
2eF(ρxx (1/B⊥ ))max
.
h
6
(22)
Haben wir zwei Subbänder besetzt, kriegen wir zwei Maxima in F(ρxx (1/B⊥ )),
die uns die zwei Subbanddichten angeben. Das bei grösserer Dichte liegende Maximum gibt uns n0 :
n0 =
2.5
2eF(ρxx (1/B⊥ ))max
.
h
(23)
Differenz der Subbandenergien
Wenn die Fermi-energie ²f > ²i=1 , bedeutet das ntot > D(²i=1 − ²i=0 ), wobei
m
ntot die totale Elektronendichte und D die 2-dimensionale Zustandsdichte πh̄
2
ist. Es gilt
²i=1 − ²i=0 =
πh̄2
πh̄2
πh̄2
n0 − ²f −
n1 + ²f =
(n0 − n1 ).
m
m
m
(24)
Sind nur zwei Subbänder besetzt, dann ist ntot = n0 + n1 und ntot =
n0,By =0 + n1,By =0 . Wir haben dann:
4(n0 − n1 ) ≡ n0 − n0,Bk =0 − n1 + n1,Bk =0 = 2(n0 − n0,Bk =0 )
(25)
und wir kriegen
4(²1 − ²0 ) =
e2 By2
πh̄2
2(n0 − n0,Bk =0 ) =
α
m
2m
(26)
Mit den Formeln (19) und (25) haben wir
αBk2 =
2h̄
4πh̄2
2h̄
ν0 B⊥ − 2 n0,Bk =0 =
ν0 B⊥ + konst
e
e
e
(27)
In den Minima von ρxx haben wir ganzzahlige Füllfaktoren, welche wir mit
den Formeln (23) und (20) bestimmen können. Aus B⊥ und Bk der Minima in
ρxx (B) können wir α bestimmen mit Hilfe der Formel (27) :
2
αBk,min
=
2h̄
ν0 B⊥,min + konst.
e
7
(28)
2.6
Bestimmung von B⊥ und Bk
B kennen wir genau, aber B⊥ = B sin(θ) und Bk = B cos(θ) nur ungefähr, weil
der Winkel θ nicht genau bekannt ist. Um θ genauer zu bestimmen, benutzen
wir die Formel (20) und kriegen
ν0 = konst =
hn0
.
min
eB⊥
(29)
Falls wir nur ein Subband besetzt haben, ist n0 konstant und somit auch
min
B⊥
für alle Minima von ρxx . Im Falle mehrerer besetzter Subbänder hängt
B⊥,min von Bk ab.
Folgen wir einem Minimum von ρxx bei einem besetzten Subband über verschiedene Winkel, kriegen wir
min
B min sin(θmessung ) = B⊥
= konst.
(30)
Mit den Messdaten können wir eine Regression mit der Funktion B1 (θ) =
m1 sin(θ + m2 ) machen, wo mi zu bestimmenden Parameter sind. Die genauen
Winkel erhalten wir dann mit
θgenau = arcsin(
1
).
Bm1
(31)
Eine andere Möglichkeit, den Winkel zu besitmmen, ist die Formel für den
Hall-Widerstand zu benutzen:
ρxy (θ) =
B⊥
sin(θ)B
=
.
ne
ne
(32)
Mit den Messdaten machen wir eine Regression mit der Funktion ρxy =
m1 sin(θ + m2 ) und erhalten die korrigierte Winkel mit der Formel:
θgenau = arcsin(
ρxy
).
m1
(33)
Mit der ersten Methode rechnet man den genauen Winkel mit vielen verschiedene Füllfaktoren bei einem besetzten Subband. In der anderen Methode
rechnet man den Winkeln bei verschiedene Elektronendichten.
8
3
Die Messung
3.1
Die Hallgeometrie
In unserer Messung benutzen wir eine sogenannte Hallgeometrie mit einem Magnetfeld senkrecht zur Probe. Der Strom fliesst durch die Probe und wir messen
die Spannung zwischen zwei Punkten parallel und senkrecht zum Strom, wie in
34
35 A
der Abbildung (1) gezeichnet. Damit berechnen wir ρxy = UI12
und ρxx = UI12
L
wo L der Abstand zwischen den Kontakten 3 und 5 und A die Breite des Hallbars
ist.
3
5
1
Bs
2
4
6
Abb. 1 Die Hallgeometrie. Der Strom I fliesst vom Kontakt 1 zu 2. Wir messen
die Spannung U34 zwischen den Punkten 3 und 4, was uns ρxy gibt, und die Spannung
U35 zwischen den Punkten 3 und 5, was uns ρxx gibt.
Im klassische Halleffekt haben wir
ρxy =
B⊥
.
ntot e
(34)
Der Wert von ρxx hängt vom Probenmaterial ab. Im Quanten-Hall-Effekt
(QHE) haben wir tiefe Temperaturen und grosse (≥ 1T) Magnetfelder, wo man
die Shubnikov-de Haas Oszillationen in ρxx (siehe Sektion 2.4) und Hall-Plateaus
in ρxy erhält [7].
Hall-Plateaus sind konstante Stufen in ρxy (B⊥ ). Die Werte von ρxy können
mit der Formel
ρxy =
h
B
(20)
P⊥
= P
e i ni
e i νi
(35)
beschrieben werden, wenn wir denken, dass νi (B) konstant bleibt wenn die
∂nausgedehnt.
tot
Ladungsträger der ausgedehnten Zustandsdichte Dausged. =
Null
∂E
ist, was gescheht, wenn die Fermienergie nicht in der Mitte der Spitze in der
Zustandsdichte liegt, sondern im Spitzenrand, wo die Elektronen lokalisiert sind
und deshalb nicht zum Transport beitragen können.
In unserer Messung haben wir zusätzlich auch eine zur Probe parallele Komponente des Magnetfeldes, was wir durch Kippen der Probe erreichen.
9
3.2
Die Proben
Unsere Probe ist eine GaAs/Al0.3 Ga0.7 As Schichtstruktur, wo der parabolische
Potentialtopf realisiert wird mit diskreten Al0.3 Ga0.7 As-Schichten wie im oberen
Teil der Abbildung (2) illustriert.
Abb. 2 Zwei verschiedene Methoden, einen parabolischen Potentialtopf zu realisieren. Oben ein mit diskretisierter Legierung gebauter Potentialtopf. Unten ist der
Potentialtopf gemacht durch analoge Variation des Al Gehaltes [4],[5].
In Abbildung (3) ist unsere Probengeometrie gezeichnet. Mit zwei verschiedene Spannungen, Frontgate und Backgate, können wir die Elektronendichte in
unserer Probe varieren.
x
ND+
ND+
0.3
e-
e-
760 Å
79 meV
n+-doped
layer
0
TiAu-Gate
Vbg
Vfg
Abb. 3 Messgeometrie [6]. Zwischen zwei dotierten Schichten haben wir den
760Åbreiten Potentialtopf. In der Mitte sehen wir eine drei Monolagen dicke δ-förmige
Spitze im Potential.
Als Modell für die Elektronendichte benutzen wir die Formel eines Plattenkondensators
10
ntot = n0 + ²²0 (
Vbg
Uf g
+
)
df g
dbg
(36)
mit df g,bg als Abstand des Gates zum Elektronengas und mit Uf g,bg der
Spannung zwischen Elektronengas und Gates. Wir benutzen eine konstante
Backgate-Spannung von 1000mV und varieren die Frontgate-Spannung. Damit
erhalten wir sowohl Messdaten mit einem besetzten Subband als auch verschiedene Elektronendichten mit zwei besetzten Subbänder.
In Abbildung (4) ist ein Fotografie unserer Probe gezeigt. Man sieht die
Hallgeometrie.
I
10 µm
Uxy
Uxx
40 µm
Abb. 4 Eine Fotografie der Probe [8].
3.3
Der Messaufbau
Für die Messung haben wir einen Kryostat von der Firma Oxford benutzt, zwei
Verstärker der Firma EG & G, und einen Power Macintosh mit dem Messungprogramm LabView 4.0 . Unsere Probe wurde mit flüssigen He und erniedrigtem
Dampfdruck bis 1.7 T abgekühlt. Durch die Probe floss ein 11 Hz Wechselstrom.
Die Spannung wurde mit einem Bandpassfilter gefiltert und die Phase der gemessenen Spannung mit der Phase des Stroms synchronisiert. Abbildung (5) zeigt
eine Fotografie der Messgeräte und in Abbildung (6) ist der Messaufbau skizziert. Die Messung wurde gemacht mit fertigen LabView Programmen, welche
automatisch das Magnetfeld, Kippungswinkel, Frontgate- und Backgatespannungen kontrollieren und gleichzeitig die Messdaten im Computer speichern.
Die Messung dauerte ungefähr zwei Tage.
11
Abb. 5 Links: Ein Foto von Dewar und Messungs Elektronik. Rechts: Verkippbare Probennehalter.
Bs
Vin
Bp
Ω
10 MΩ
Backgate
Frontgate
11,5Hz
Computer mit Labview
11,5Hz
Abb. 6 Messgeometrie.
Wir massen mit Frontgatespannungen von -310mV bis -30mV in Schritten
von 40 mV, bei Magnetfelden von 0 bis 2.0T, und bei Winkeln von -3◦ bis 93◦
in Schritten von 3◦ . Der Winkel ist definiert zwischen Magnetfeld-Richtung und
der Probenebenen.
Der Verkippwinkel wurde mechanisch kontrolliert durch einen Schrittmotor.
Die Winkel waren nicht genügend genau kontrollierbar, sodass wir sie später
genauer bestimmen mussten.
3.4
Die Messdaten
Im Abbildung (7) sieht man eine Messung mit Winkel 84◦ und -150 mV Frontgatespannung. Die Shubnikov-de Haas Oszillationen sind klar sichtbar. Aus dem
12
Shubnikov-de Haas Minima berechnen wir α.
2500
Winkel 84 Grad
Frontgate -150mV
rhoxx/rhoxy
2000
1500
rhoxy
1000
500
rhoxx
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
B (T)
Abb. 7 Typischen Messung, ρxx und ρxy als Funktion von B. Mit den oberen
Pfeilen sind Hall-Plateaus und mit den unteren Pfeilen Shubnikov-de Haas Minima
markiert.
3.5
Die Elektronendichten
Die gesamte Elektronendichten bestimmen wir mit Formel (34) wie z.B.in Abbildung (8) gezeichnet. Wir haben eine lineare Regression von ρxy (B) gemacht
und so für jede Frontgatespannung ntot berechnet, wie im Abbildung (9) gezeigt
ist.
Winkel 90 Grad
Frontgate -150mV
1200
1000
rhoxy
800
600
400
200
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
B (T)
Abb. 8 ρxy als Funktion von B, wovon wir ntot bestimmen.
13
4.5
Elektronendichte x 10^15 [1/m^3]
4
3.5
3
2.5
2
1.5
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
Frontgatespannung [mV]
Abb. 9 Gemessene Elektronendichten bei verschiedenen Frontgatespannungen.
3.6
Die Subbanddichten
Die Subbanddichten berechnen wir mit Formel (23). In Abbildung (10) haben
wir Shubnikov-de Haas Oszillationen und deren Fouriertransformation gezeichnet. Die so erhaltenen Subbanddichten n0 ist in Abbildung (11) gezeigt.
Abb. 10 Shubnikov-de Haas Oszillationen und Fourier-transformation von ρxx (1/B⊥ ).
14
Subbandelektronendichte x 10^15
2.5
2.4
2.3
2.2
2.1
2
1.9
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
Frontgatespannung
Abb. 11 Gerechnete erste Subbandsdichten n0 bei verschiedenen Frontgatespannungen.
3.7
Die Beweglichkeit
Die Beweglichkeit µ ist definiert durch
~
~v = µE,
(37)
~ und der Geschwindigkeit der Elektronen ~v .
mit dem elektrischen Feld E
Bei kleinen Magnetfeld gibt Drude-Modell uns das
ρxx =
1
ntot eµ
.
(38)
Mit den Formeln (34) und (38) erhalten wir dann
µ=
ρxy
.
ρxx B⊥
(39)
Wir haben ρxx und ρxy gemessen bei einem Magnetfeld von 0.2T und 1000mV
Backgatespannung. Darum haben wir mit (39) µ gerechnet, was in Abbildung
(12) dargestellt ist.
15
Abb. 12 Mit der Messung der Beweglichkeit bestimmen wir, bei welchen Frontgatespannungen ein, zwei, oder mehrere Subbänder besetzt sind.
Aus der Beweglichkeit kann man sehen, wie viele Subbänder besetzt sind.
Das erste Maximum ist dort, wo wir das zweite Subband zu füllen anfangen. Die
Beweglichkeit nimmt ab wegen die Intersubbandstreuung. Mit grösserer Frontgatespannung gibt es wegen mehr Elektronen und wieder höhere Beweglichkeit,
bis dritte Subband besetzt wird und die Intersubbandstreuung wieder zu- und
die Beweglichkeit abnimmt.
3.8
Berücksichtigung der Hysterese
In unserer Messung haben wir eine Hysterese, weil ρxy (B) nicht instant an der
Änderung des Magnetfeldes folgen kann. Eine Korrektur gibt uns ein besseres
ρxy,Korr. (B(t)) = ρxy,M ess. (B(t − τ )). Das bedeutet, dass wenn das Magnetfeld zunimmt, der gleiche Effekt bei einem kleineren konstanten Magnetfeld ist.
In Abbildung (13) sieht man die Differenz in ρxy zwischen einer Messung bei
zunehmendem und abnehmendem Magnetfeld. In unserer Messung haben wir
die Hysterese-Korrektur zu 0.0048T bestimmt, was die halbe Differenz der zwei
Kurven ist.
16
350
300
250
rhoxy
Abnehmend Magnetfeld
200
150
100
Zunehmend Magnetfeld
50
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
B (T)
Abb. 13 Um die Hysterese zu bestimmen, messen wir ρxy zwei Mal bei zu- und
abnehmendem Magnetfeld.
3.9
Winkelkorrektur
In unserer Messung kennen wir die Winkel nur ungefähr. Wir haben eine Korrektur mit den zwei in Kapitel 2.6 beschriebenen Methoden gemacht. Das Resultat
ist in Abbildung (14) gezeichnet.
17
Abb. 14 Genaue Winkel der nominellen Werte. (links): Daten mit Triangeln
haben wir mit dem Hall-Effekt berechnet. Daten mit Kreisen sind mit Hilfe der
Shubnikov-de Haas Minima gerechnet bei einem besetzten Subband. (rechts): Vergrösserung des linken Bildes.
3.10
Bestimmung der Minima in ρxx
Um versichiedene Shubnikov-de Haas Minima zu finden machen wir zuerst eine
Darstellung von ρxx (B⊥ ) mit ein bestimmte Frontgatespannung und mit verschiedene Kippungswinkeln wie im Abbildung (15) dargestellt. Danach benutzen wir die Routine mfparabola[ ] in Mathematica die Minima für verschiedene
Kippungswinkeln mit der gleichen Füllfaktor zu finden. Die Routine nimmt von
Daten ein klein Umgebung in der Nähe von der Minima und approximiert es
mit ein quadratsche Polynomial. Dann wird Minima der Parabola gesucht und
neue Punkte werden von dem Umgebung neue Minima genommen. Das ist repetiert drei Mal für jede Verkippungswinkel und wir kriegen Daten wo ist für
ein bestimmte Frontgatespannung und Füllfaktor punkten (B⊥ , Bk ) für jede
Verkippungwinkel.
18
700
rhoxx [Ohm]
600
500
400
300
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
Bsenkrecht [T]
Abb. 15 Mit der Routine ShiftPlot[ ] in Mathematica kann man ρxx verschiedener
Winkel übereinander darstellen und damit z.B. einen Anfangspunkt für die Suche
der Minima kriegen. Hier ist ρxx (B⊥ ) bei einer Frontgatespannung von -310mV und
verschiedenen Verkippungswinkeln dargestellt.
3.11
Die Regression
Mit den Daten (B⊥ , Bk ) machen wir eine Regression mit der Formel (28), woraus
wir α kriegen . Die Regression ist mit der Routine quadrfit[ ] in Mathematica
gemacht.
3.12
Das Resultat
Das Resultat und das Ziel diese Arbeit, ist α zu Messen was uns die Grösse
(hz02 i − hz0 i2 ) − (hz12 i − hz1 i2 ). Wir darstellen die α mit β gibt. Wir definieren
β mit
4(²1 − ²0 ) ≡ βBk2
(40)
oder
β=
e2
α.
2m
(41)
Im Abbildung (16) sind die berechnete β und in Abbildung (17) der Mittelwerte und der Standardabweichungen dargestellt.
19
2.5
Beta [meV/T^2]
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
Frontgatespannung [mV]
Abb. 16 Unser Resultat für β. Kreise sind mit der Winkelkorrektur beim Folgen eines Füllfaktors bestimmt. Triangeln stellen die Punkten dar, die mit Winkel
bestimmt sind, die mit dem Hall-Widerstand bestimmt wurden.
2
Beta [meV/T^2]
1.5
1
0.5
0
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
Frontgatespannung [mV]
Abb. 17 Die Mittelwert und die Standard Abweichung der der Abbildung (16).
20
4
Zusammenfassung
Wir haben α mit Transportmessungen im verkippten Magnetfeld bestimmt. Es
stimmt aber nicht mit dem Simulationen in [8] überein. Die Fehler ist wahrscheinlich, dass im verkippten Magnetfeld die 2-dimensional Zustandsdichte
nicht wie angenommen konstant ist, sondern von Bk abhängt.
Ich habe diese arbeit an der ETH Zürich als Erasmus-student gemacht. Diese
3 1/2 Wochen Praktikum war sicher der interessanteste Teil vom Studium hier
in Zürich. Ich bin Dr. K. Ensslin sehr dankbar für die möglichkeit, in seine Labor
arbeiten zu dürfen, Gian Salis für seine beratung und Korrekturen in meinem
Bericht allen mitarbeitern im Labor für die gute Gesellschaft.
Literatur
[1] L. Esaki, R. Tsu, IBM Res. Note RC-2418 (1969)
[2] J. Marzin, J. Gerard, Experimental Probing of Quantum-Well Eigenstates,
Phys. Rev. Lett. 62 2172 (1989)
[3] R. Jurk, K. Ensslin, Intersubband Scattering as a Tool to Study the Symmetry Properties of a Parabolic Quantum Well, Superlatt. and Microstruct.
15 325 (1994)
[4] A.C. Gossard, M.Sundaram, P. F. Hopkins, Semiconductors and Semimetals 40 Kap. 2, Academic Press (1994)
[5] M. Sundaram, A. C. Gossard, J. H. English, R. M. Westervelt, Superlatt.
and Microstruct. 4 683 (1988)
[6] G. Salis, Poster at the 2nd Hasliberg Workshop on Nanoscience, Switzerland (1996)
[7] K. von Klitzing, G. Dorda, M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45 494 (1980)
[8] B. Ruhstaller, Diplomarbeit, ETH Zürich (1997)
[9] K. Ensslin, Dissertation, Max Planck Institut für Festkörperphysik, Stuttgart (1989)
21