Vorkurs Mathematik für Wirtschaftsingenieure und

Vorkurs Mathematik
für Wirtschaftsingenieure
und Wirtschaftsinformatiker
Übungsblatt 2
Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften
Wintersemester 2017/18
Aufgabe 1 (Komplexe Zahlen)
Seien a = 2 + 7i , b = −3 + i , c = 8i , d = −5 , e = 2 − 9i
a) a + b,
a + d,
b + c,
b) b − a,
a − c,
e−b−c
c) a · b,
d)
a
b,
c · d,
b · e,
komplexe Zahlen. Berechne:
a+d+e
a·c·e
d
e
e) die Beträge von a, b, c
f) a,
c,
a + c,
b · d,
c−b
Aufgabe 2 (Matrixmultiplikation)
a) Berechne:


4
M :=
0
5
−1
2
1 
· 1
3
3
‹

7
0
4
sowie det(M ).
Hinweis: det(aA) = a n det(A) mit A ∈ Rn×n und a ∈ R.
b) Gegeben sei die Matrix A ∈ R3×3 , die wie folgt definiert ist:

2
A := 1
0
2
1
2

3
2
1
Berechne nun A2 und A3 .
c) Berechne das Produkt der beiden komplexen Matrizen sowie die dazugehörigen Determinanten.
C :=

‹ 
1 − 2i
3
1
·
2
3+i
3
|
{z
} |
=:A
‹
4i
5i + 2
{z
}
=:B
1
Aufgabe 3 (Funktionen)
Welche der folgenden Zuordnungen sind Funktionen? Begründe jeweils deine Antwort.
a) f : N \ {0} → N \ {0}: 1 7→ 2, 2 7→ 3, 3 7→ 4, ...
b) f : N \ {0} → N \ {0}: 2 7→ 1, 3 7→ 2, 4 7→ 3, ...
c) X sei die Menge der Aufgaben auf diesem Blatt, Y sei die Menge der Lösungswege dieser Aufgaben, f ordne den
Aufgaben die Lösungswege zu.
p
d) g : R 7→ R : x 7→ x
Aufgabe 4 (Monotonie I)
In welchem Intervall ist die Sinusfunktion monoton steigend? In welchem die Cosinusfunktion?
Aufgabe 5 (Funktionsgraphen)
Skizziere die folgende Funktion:
f : [−π, π] → R : x 7→
3
π 1
sin 2x −
−
2
2
2
Aufgabe 6 (Verknüpfung von Funktionen)
Gegeben seien folgende Polynome:
1. p : R 7→ R : x 7→ x 2 + 2x + 2
2. q : R 7→ R : x 7→ x 2 + 3
Bestimme die Ausdrücke p + q, p − q, p · q,
p
q,
p ◦ q, q ◦ p.
Aufgabe 7 (Nullstellenbestimmung)
Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen f : R 7→ R für
a) f (x) = x 2 + 2x − 3
b) f (x) = 72 x 2 + 7x + 7
c) f (x) = e x
d) f (x) = e x − 42
e) f (x) = 3 sin( 2x )
2
Aufgabe 8 (Einführung in die Ökonometrie∗ ) T R
Die Ökonometrie, ein Teilbereich der Wirtschaftswissenschaften, beschäftigt sich mit wirtschaftstheoretischen Modellen,
welche mit Hilfe von bestimmten Techniken bestimmt, anschließend empirisch überprüft und analysiert werden.
Häufig geht es beispielsweise darum: Es wird ein Zusammenhang zwischen zwei oder mehreren wirtschaftlichen Größen
vermutet. Dieser Zusammenhang kann beispielsweise zwischen der Größe des monatlichen Einkommens eines Individuums, den Jahren der Berufserfahrung und der Anzahl der absolvierten Semester an einer Hochschule gegeben sein. Nun
interessiert man sich, wie dieser Zusammenhang mathematisch sichtbar gemacht werden kann und ob dieser überhaupt
besteht. Um dies zu überprüfen, benötigt man zunächst Informationen aus der Bevölkerung. Da die Informationsbeschaffung aus der gesamten Bevölkerung mit erheblichem Aufwand verbunden ist, wird deswegen nur eine Stichprobe
genommen. Mit bestimmten „Werkzeugen“ der Ökonometrie wird die Stichprobe nun in einem mathematischen Modell
analysiert, um den vermuteten Zusammenhang zu überprüfen.
In dieser Aufgabe werden wir uns nun mit einem linearen Regressionsmodell beschäftigen, mit welchem wir einerseits
den zuvor angesprochenen Zusammenhang vermuten, welches andererseits aber auch bei vielen anderen wirtschaflichen
Zusammenhängen oder Versuchsauswertungen in den Naturwissenschaften benötigt wird. Aus der Oberstufenlehre dürfte der Begriff „Ausgleichsgerade“ noch einigen bekannt sein. Gesucht ist in dieser Aufgabe nun die „beste“ Gerade, mit
welcher die quadrierten Abstände zwischen unseren Beobachtungen und der Geraden in Summe minimal ist.
Der Zusammenhang zwischen Einkommen, Berufserfahrung und der benötigten Studiensemester sei mit folgendem
linearen Regressionsmodell gegeben: y = β0 + β1 x + β2 z
y=
ˆ Höhe des monatlichen Einkommens in Tausend Euro (brutto)
x=
ˆ Jahre an Berufserfahrung
z=
ˆ Anzahl an Semestern
β0 ist der 1. Schätzparameter. In diesem Zusammenhang ist er die Konstante für das Grundeinkommen, welches ohne Berufserfahrung und ohne Studium ausgezahlt wird.
β1 ist der 2. Schätzparameter. y steigt/fällt in diesem Modell um eine Einheit β1 wenn sich x um eine Einheit erhöht/vermindert.
β2 ist der 3. Schätzparameter. y steigt/fällt in diesem Modell um eine Einheit β2 wenn sich z um eine Einheit erhöht/vermindert.
Es wurden 4 Personen nach ihrem Einkommen, ihrer Berufserfahrung und ihrer Anzahl an absolvierten Semestern
 
 
 
10
10
6
8
5
4
befragt. Die Daten der jeweiligen Personen sind zeilenweise in folgenden Vektoren erfasst: y=  x=  z= 
5
6
5
3
8
20
Somit kann beispielsweise der ersten befragten Person ein Einkommen von 6000 Euro (brutto) bei 10 Jahren Berufserfahrung und 10 absolvierten Semestern zugeordnet werden. Nun wollen wir aber das Einkommen einer 5. Person
prognostizieren.

  
3, 87
β0
^
a) Der Kleinst-Quadrate-Schätzers des obigen Modells sei gegeben durch: β OLS = β1  =  0, 44. Wie viel Einβ2
−0, 22
kommen müsste eine Person mit 7 Jahren Berufserfahrung und 14 absolvierten Semestern bekommen?
b) Gegeben sei das neue Modell, welches nur den Zusammenhang mit der Berufserfahrung beinhaltet: y = β0 + β1 x.
Berechne die Schätzparameter β0 und β1 für das neue lineare Regressionsmodell in Vektorenschreibweise, wobei y
und x aus der vorherigen Aufgabe zu entnehmen sind. Benutze hierfür die Formel des Kleinst-Quadrate-Schätzers:
^
β OLS = (XT X)−1 XT y
1
1
Die Datenmatrix ist in diesem Modell mit X=
1
1
Konstante β0 .


x1
x2
definiert. Die Spalte mit den Einsen entsteht durch die
x3
x4
^
Hinweis: Der Vektor β OLS beinhaltet die Schätzparameter in geordneter Reihenfolge.
c) Schätze anschließend mit dem Modell aus b) das Einkommen von Personen mit 1, 3, 5 und 7 Jahren Berufserfahrung.
3