Grundlagen der theoretischen Informatik

Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans
Universität Koblenz-Landau
Fachbereich 4: Informatik
Dennis Peuter
20. April 2017
Übung zur Vorlesung
Grundlagen der theoretischen Informatik
Aufgabenblatt 1
Aufgabe 1.1
Bestimmen Sie jeweils, ob folgende Aussagen wahr sind, und begründen Sie Ihre Antwort:
a) (∀n ∈ N : n ist eine gerade Zahl) =⇒ (∀n ∈ N : n ist durch 3 teilbar).
b) ∀n ∈ N : (∃m ∈ N+ : 4m = n ⇐⇒ n ≥ 4).
c) ∃n ∈ N : (die Quersumme von n ist durch 10 teilbar ⇐⇒ n ist Vielfaches von 25).
Aufgabe 1.2
Spezizieren Sie die folgenden Teilmengen der natürlichen Zahlen formal.
Beispiel:
K , die Menge aller Kubikzahlen:
K = {n ∈ N | ∃k ∈ N : (n = k · k · k)}.
a) M2 , die Menge aller Zahlen, die beim Teilen durch 5 den Rest 2 ergeben.
b) P , die Menge aller Primzahlen.
Benutzen Sie in Ihrer Spezikation
ausschlieÿlich
die Symbole
∃ ∀ N Z : ∈ , · + = 6= ∧ ∨ ¬ ≤ < ≥ > { } | ( ) → ↔
bzw. Variablen oder natürliche Zahlen.
Hinweis:
: ist ein Doppelpunkt und kein Divisionszeichen.
Aufgabe 1.3
Beweisen Sie mit Hilfe von Standardinduktion, dass n5 − n für alle n ∈ N durch 5 teilbar ist.
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Blatt 1
Aufgabe 1.4
Gegeben seien die folgenden Sprachen:
L1 = ∅
L2 = {ε, a}
L3 = {b, c, ca}
Bestimmen Sie die folgenden Sprachen:
a) L4 = L3 ◦ L1
b) L5 = L3 ◦ L2
c) L6 = L2 ◦ LR
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d) L7 = L32
e) L8 = L∗1
Aufgabe 1.5
Spezizieren Sie die im folgenden natürlichsprachlich angegebenen Sprachen über dem Alphabet
Σ = {a, b, c} formal.
Beispiel:
L1 enthält genau die Wörter, die genau 2 a's enthalten:
L1 = {w ∈ Σ∗ | #a (w) = 2}.
a) L2 enthält genau die Wörter, die mit einem a beginnen.
b) L3 enthält genau die Wörter, die mit einem c enden.
c) L5 enthält genau die Wörter, die mehr a's als b's enthalten und deren Länge gerade ist.
Hinweis:
#a (w) ist die Anzahl der Vorkommen des Buchstabens a im Wort w.
Aufgabe 1.6
Geben Sie jeweils einen regulären Ausdruck über Σ = {a, b, c} an, der der natürlichsprachlichen
Umschreibung entspricht:
a) L1 enthält genau die Wörter, die mit a beginnen und mit c enden.
b) L2 enthält genau die Wörter, die mindestens ein b enthalten.
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Blatt 1
Aufgabe 1.7
Konstruieren Sie jeweils I(ri ) für die folgenden Ausdrücke mithilfe der Denition der Semantik
der regulären Ausdrücke. Vereinfachen Sie die resultierende Menge und bestimmen Sie jeweils
die Mächtigkeit der Sprache.
a) r1 = abc
b) r2 = abc + c(ba)∗
Aufgabe 1.8
Gegeben sei die Grammatik G = (V, T, R, S) durch V = {S, A, B, C, D, E}, T = {a, b, c} und
R = {S → abA|aDaE,
A → cCaB|EbA,
B → bbB|ba,
C → c|ε,
D → bCC|EbA,
E → b|BcA|bE|EbA}.
Leiten Sie das Wort abcabbaccaba in G ab.
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