Übungen Mathematische Grundlagen der Ökonomie

Mathematische Grundlagen der Ökonomie
Aufgaben zur Wiederholung
Diese Aufgaben werden am Mittwoch . und Donnerstag . Februar besprochen.
Zu allen Aufgaben ist der vollständige Lösungsweg aufzuschreiben!
Gerundete Ergebnisse sind nur im jeweils letzten Schritt der Aufgaben zulässig, es sind
mindestens drei Nachkommastellen anzugeben zusätzlich zur exakten Formel.
. () Es sei f (x) = x−1 für x ∈ (0, ∞). Zeige durch vollständige Induktion nach n,
dass für alle n = {1, 2, 3, . . . } die n-te Ableitung gegeben ist durch die Formel
f (n) (x) = (−1)n (n!) x−n−1 .
. (+++=) Berechne den Grenzwert der folgenden Folgen und Reihen,
falls dieser existiert
n3 + n + π
n→∞ πn3 − n2 + 10
!
πn3 − n2 + 10
(b) lim sin
n→∞
n3 + n + π
1 1 3n
(c) lim
+
n→∞ 3
n
n X
(d) lim
(k + 1)−2(k+1) − (k)−2k + 2−2k
(a) lim
n→∞
k=1
. (++=) Berechne falls existent die folgenden Funktionsgrenzwerte
ex + sin(x)
x→∞ 2ex + 1
!
x−1
(b) lim ln
x→1
ln(x)
r
1 cos(x)
(c) lim
−
x→0
x2
x2
(a) lim
. () Lara legte vor drei Jahren  Euro zu einem konstanten Zinssatz an.
Ihre Bank gewährt Zinseszinsen nach den Regeln stetiger Verzinsung. Heute
sind auf ihrem Konto  Euro. Wie hoch ist der effektive Jahreszins? Wie
hoch war der Kontostand vor einem Jahr? Wie hoch wird er in einem Jahr sein?
Wie lange muss Lara warten, bis ihr Kontostand  Euro erreicht hat?
. () Jack möchte ein neues Auto kaufen. Er erhält drei unterschiedliche Angebote: Die erste Möglichkeit ist, jetzt sofort den Kaufpreis von  Euro
aufzubringen. Die zweite Möglichkeit ist, fünf Jahre lang am Ende jeden Jahres
 Euro zu zahlen. Als dritte Möglichkeit steht zur Auswahl, vier Jahre
lang am Ende jeden Monats  Euro zu bezahlen. Jack rechnet bei seinen
Vergleichen mit einem effektiven Jahreszins von % und möchte nun den
Barwert aller drei Möglichkeiten vergleichen.
. (++++=) Es sei f (x) =
x
x2 + 1
; D(f ) = R. Bestimme, falls vorhanden
(a) Nullstellen und Bereiche in denen f (x) > 0 bzw. f (x) < 0;
(b) erste Ableitung, Monotonieverhalten und lokale Extrema;
(c) zweite Ableitung, Krümmungsverhalten und Wendepunkte;
(d) limx→−∞ f (x) und limx→∞ f (x).
(e) Fertige mit diesen Informationen eine Skizze an.
. (+=) Berechne die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung
der folgenden Funktionen
(a) f (x, y) = sin(x2 y)
(b) f (x, y) = ex + x2 y
. (+=) Berechne die partiellen Elastizitäten der folgenden Funktionen.
Welche der Funktionen ist homogen, und wenn ja von welchem Grade?
(a) f (x, y) = sin x2 − 2xy + y 2
√ √ 2
(b) f (x, y) = x + y
. () Ein botanischer Garten möchte als besondere Attraktion ein pyramidenförmiges Gewächshaus errichten. Der Rauminhalt soll  Kubikmeter
betragen. Die Seitenlänge s > 0 und Höhe h > 0 sollen so gewählt werden, dass
die verglasten Seitenflächen
sich
√ möglichst klein sind. Deren Fläche errechnet
1 2
2
2
aus der Formel f (s, h) = 2s h + s /4, der Rauminhalt ist v(s, h) = 3 s h. Finde
mittels des Ansatzes von Lagrange die kritischen Werte für s und h.
. (+++=)
(a) Kann es eine Funktion mit den partiellen Ableitungen
und
∂ ∂
∂y ∂x
∂ ∂
∂x ∂y
f (x) = x2 y
f (x) = y 2 x geben?
(b) Die Funktion f sei auf ganz R zweimal differenzierbar. Ist f 00 (x) < 0 eine
notwendige Bedingung für ein lokales Maximum?
p
(c) Die Funktionen f seien homogen vom Grade r. Ist die durch g(x) = f (x)
definierte Funktion h ebenfalls homogen? Wenn ja, von welchem Grade?
(d) Es sei f (x) = cos(x). Approximiere f nach dem Satz von Taylor an der
Stelle a = 0 mit einer quadratischen Funktion und gebe das Restglied an.
. (+=) Es sei f eine an a ∈ R differenzierbare Funktion mit f (a) , 0. Die
Funktionen g und h seien an der Stelle a nicht differenzierbar.
(a) Kann die durch k(x) = f (x)g(x) definierte Funktion k an der Stelle a
differenzierbar sein?
(b) Kann man schließen, dass die durch l(x) = g(x)h(x) definierte Funktion
nicht differenzierbar an a ist?
