Light propagation in helical three

Räumlicher LC-Modulator
und diffraktive Optik
Experimentelle Übungen II
Aufgaben im Institut für Angewandte Physik
Oktober 2015
1 Theoretische Grundlagen1
Licht kann an dynamisch modifizierbaren optischen Elementen, wie beispielsweise den Flüssigkristallzellen eines räumlichen Lichtmodulators, gebeugt werden. Die Beugung ist abhängig
von den Transmissionseigenschaften des Flüssigkristallmaterials, welche wiederum aus den elektrooptischen Eigenschaften hergeleitet werden können. Nach Transmission durch das beugende
Element entstehen durch die Ausbreitung des Lichtes abstandsabhängige, charakteristische
Beugungsmuster.
Auf Beugung beruhende diffraktive optische Elemente (DOEs) haben inzwischen viele Anwendungen gefunden. Räumliche Lichtmodulatoren bieten die Möglichkeit einer dynamischen, d.h.
schaltbaren Realisierung diffraktiver optischer Elemente.
Um die optische Funktion eines Elementes hauptsächlich durch Beugungseffekte zu erzielen,
werden kleine Strukturen in der Größenordnung der Lichtwellenlänge benötigt. Die Herstellung
solch kleiner Strukturen wurde durch die Entwicklung von Mikroelektronik und Nanotechnologien
möglich. Neben der Verfügbarkeit der lithographischen Herstellungsmethoden sind die Fortschritte
bei den Replikationstechnologien zur Massenproduktion der Schlüssel für die weite Verbreitung
diffraktiver Elemente.
Diffraktive optische Elemente können als Linsen, Prismen oder Strahlteiler verwendet werden, aber
auch komplexe Lichtmuster wie z.B. Schriftzüge oder Bilder generieren. Gegenüber refraktiven
Elementen gleicher Funktion (falls solche existieren!) haben sie ein geringeres Gewicht und
weniger Platzbedarf.
Relativ bekannt ist der Einsatz von DOEs im Massenmarkt für Endkundenprodukte als Mustergenerator-Aufsatz auf Laserpointern, die beispielsweise die Generierung von Pfeilen, Kreuzen
oder dergleichen Mustern erlauben. Weniger bekannt ist beispielsweise, dass im Autofokussystem
Figure 1: LC2002-Lichtmodulator
1
Dieser Versuch basiert auf dem OptiXplorer Kid der Firma HOLOEYE Photonics AG. Teile dieser Anleitung
wurden in Text und Abbildung dem entsprechenden Handbuch [1] entnommen.
1
von Digitalkameras DOEs mit einer schwachen und daher augensicheren Infrarot-Laserdiode zum
Einsatz kommen.
In den vorliegenden Versuchsteilen wird zur Realisierung diffraktiv optischer Elemente und
zur Untersuchung dynamischer Beugungsstrukturen ein Flüssigkristall-Mikrodisplay als räumlicher Lichtmodulator verwendet (siehe Abbildung 1), dessen Funktionsweise und physikalische
Eigenschaften ebenfalls im Rahmen dieser Versuche untersucht und verstanden werden sollen.
Flüssigkristall-Mikrodisplays mit Pixelgrößen kleiner 100 µm finden Verwendung in Anzeigen
beispielsweise von Digitaluhren, Digitalthermometern, Taschenrechnern, Dateien- und Videoprojektoren sowie Rückprojektionsfernsehern. Die LCDs (Liquid Crystal Displays) sind kompakt,
robust, preiswert und elektrisch schaltbar bei geringem Energieverbrauch, weswegen sie in vielen
Bereichen anderen Technologien weit überlegen sind.
1.1 Elektrooptische Eigenschaften von Flüssigkristallzellen
Flüssigkristalle sind eine Phase der Materie, deren Ordnung zwischen der einer Flüssigkeit und
der eines Kristalls liegt. Sie haben wie Kristalle eine langreichweitige Ordnung ihrer Orientierung,
was in der Regel eine Anisotropie bestimmter Eigenschaften, zu denen die dielektrischen und
elektrooptischen Eigenschaften zählen, zur Folge hat. Sie weisen aber gleichzeitig ein für
Flüssigkeiten typisches Fließverhalten auf und haben keine stabile Positionierung ihrer einzelnen
Moleküle.
Flüssigkristalle, die in LCDs verwendet werden, lassen sich durch das Anlegen eines elektrischen
Feldes reversibel bezüglich der Orientierung ihrer Moleküle beeinflussen (dielektrische Anisotropie).
Durch die längliche Form dieser Moleküle und ihre insgesamt geordnete Orientierung hat ein
einzelnes LCD-Element doppelbrechende Eigenschaften, weist also unterschiedliche Brechungsindizes für bestimmte Polarisationsrichtungen eines einfallenden Lichtwellenfeldes auf (optische
Figure 2: Veranschaulichung verschiedener flüssigkristalliner Phasen in Bezug auf Orientierung
und Verteilung der elongierten Moleküle [2].
2
Anisotropie). Somit ist es mit einem LCD Element möglich, durch das Anlegen einer definierten
Spannung den Polarisationszustand eines solchen Wellenfeldes gezielt zu verändern.
Es gibt verschiedene Typen von Flüssigkristallen, unter denen die nematischen und die smektischen Flüssigkristalle zu den wichtigsten zählen. Nematische Flüssigkristalle weisen eine
charakteristische lineare Ausrichtung der Moleküle auf, sie haben also eine Ordnung bezüglich der
Orientierung ihrer Molekülachse, aber eine zufällige Verteilung der Molekülzentren. Smektische
Flüssigkristalle formen zusätzlich Schichten, die zueinander verschiedene Orientierungen der
Molekülachse aufweisen, sie besitzen also eine Ordnung bezüglich Orientierung und Translation
(vergleiche Abbildung 2).
In LCDs sind die Flüssigkristalle in einzelnen Zellen mit sorgfältig gewählten geometrischen
Abmaßen angeordnet. Die optischen Eigenschaften jeder einzelnen Zelle können durch das Anlegen
eines externen elektrischen Feldes modifiziert werden. Das elektrische Feld verändert hierbei
reversibel die Orientierung der Moleküle. Durch die langreichweitige Ordnung ihrer Orientierung
kommt es in den Zellen zu einer feldabhängigen Veränderung der Doppelbrechung.
Die einzelnen Flüssigkristallzellen sind durch Zellenwände getrennt, welche neben der tatsächlichen
Abtrennung des LC-Materials noch zur Aufnahme der elektrischen Leitungen dienen, welche eine
individuelle Einstellung der Spannung (d.h. des elektrischen Feldes) an jeder Zelle ermöglichen. Da
die Zellen in Form eines zweidimensionalen Arrays angeordnet sind, stellen die Zellenseparatoren
für transmittierendes Licht ein Kreuzgitter dar, wodurch auch ein entsprechendes Beugungsmuster
hervorgerufen wird.
1.1.1 Twisted nematic Flüssigkristallzelle
Die folgende Darstellung bezieht sich auf LC-Displays mit twisted nematic Flüssigkristallen. In
solchen Zellen haben die Orientierungsschichten (alignment layers) auf der Grund- und Deckfläche
der Zelle verschiedene Ausrichtung, die typischerweise in etwa orthogonal zueinander ist. Durch
Figure 3: Transmission einer polarisierten Lichtwelle durch eine nematische LC-Zelle (ohne
angelegte Spannung) [1].
3
die langreichweitige Ordnung der Moleküle bildet sich eine helixartige Struktur heraus, d.h. der
Winkel der Molekülachse verändert sich entlang des Lichtweges durch die Zelle.
Die Helixstruktur des twisted nematic Flüssigkristalls kann benutzt werden, um die Polarisation
einer einfallenden Lichtwelle zu verändern. Ist die Polarisation an der Eintrittsfläche der LCZelle parallel zu den Molekülen, folgt die Polarisation der sich drehenden Molekülachse (siehe
Abbildung 3). Beim Austritt aus der LC-Zelle ist daher die Polarisationsachse gegenüber der
einfallenden Polarisation um 90◦ gedreht.
Um die Zelle als ein dynamisches optisches Element zu nutzen, wird eine Spannung an die
transparenten Elektroden der Zelle gelegt. Das resultierende elektrische Feld im Material führt zu
einer Änderung der molekularen Orientierung, wie in Abbildung 4 für drei Spannungen VA , VB , VC
dargestellt ist.
Zusätzlich zu der bereits im feldfreien Zustand vorhandenen Verdrehung (twist) kommt es zu
einer von der Größe der angelegten Spannung abhängigen Verkippung (tilt) der Moleküle, sobald
ein bestimmter Spannungswert Vthr überschritten wird (VB > Vthr ). Mit steigender Spannung
(VC Vthr ), werden die Moleküle zunehmend parallel zur Feldrichtung orientiert, nur die
Moleküle nahe an den Orientierungsschichten bleiben weitgehend unbeeinflusst.
Figure 4: LC-Zellen mit verschiedenen angelegten Spannungen: VA = 0 mit Molekülen im
Ausgangszustand, VB > Vthr mit in Feldrichtung gekippten Molekülen, VC Vthr mit
parallel ausgerichteten Molekülen im zentralen Bereich der Zelle.
4
Da die Helixstruktur der Moleküle durch das Anlegen der Spannung gestört ist, findet eine
Drehung der Polarisationsrichtung des einfallenden Lichts nicht mehr im gleichen Maße statt, und
bei ausreichend hoher Spannung verlässt das Licht die Zelle mit unveränderter Polarisation.
Durch Kombination der Zelle mit einem hinter der Zelle angebrachten Polarisator (so genannter
Analysator) entsteht ein schaltbarer Amplitudenmodulator für polarisiert einfallendes Licht. Für
unpolarisierte Lichtquellen wird ein zusätzlicher Polarisator vor der LC-Zelle benötigt, um die
gleiche Funktionsweise zu realisieren.
Um die Effekte etwas detaillierter analysieren zu können, ist eine genauere theoretische Betrachtung von Polarisationszuständen nötig.
1.1.2 Polarisation von Lichtwellen
Die Polarisation einer Lichtwelle ist durch die Orientierung des Amplitudenvektors der Feldstärke
gegeben. Unpolarisiertes Licht besteht aus einer Überlagerung von Feldern unterschiedlicher
Polarisation ohne zeitlich stabile Phasenbeziehung zueinander. Vollständig polarisiertes Licht
kann dagegen durch einen einzelnen Richtungsvektor beschrieben werden (lineare Polarisation)
oder durch eine Überlagerung zweier Richtungsvektoren mit fester Phasenbeziehung (elliptische
Polarisation). Unvollständig polarisiertes Licht besteht aus einer Mischung polarisierten und
unpolarisierten Lichtes, der Polarisationsgrad solcher Lichtfelder kann beispielsweise mit Hilfe
der Stokes-Parameter bestimmt werden.
Im Folgenden soll nur vollständig polarisiertes Licht betrachtet werden. Der Polarisationszustand
kann in diesem Fall mit Hilfe von so genannten Jones-Vektoren beschrieben werden. Wir nehmen
ohne Beschränkung der Allgemeinheit eine in z-Richtung propagierende Lichtwelle der Form
E(r) = E0 (r) · ei(kz−ωt) + c.c.
(1)
an, mit E0 = (Ex , Ey , Ez )T und Ei als Komponenten des elektrischen Anteils des Lichtfeldes und
der linearen Dispersionsrelation ω = ck, wobei die Wellenzahl k = 2π/λ durch die Wellenlänge
λ bestimmt ist. Da Ez = 0 beschränken wir uns zur Darstellung der Polarisation auf den
transversalen, zweidimensionalen Raum J der durch die Superposition der orthogonalen, linearen
Polarisationen Ex ex und Ey ey aufgespannt wird. Die Jones-Vektoren werden durch
Ex
Ey
J=
!
(2)
beschrieben, wobei Ex und Ey komplexe Zahlen sind, welche die Amplituden und die relative
Phase der beiden linearen Polarisationsanteile angeben. Für die meisten Betrachtungen ist
5
es sinnvoll, einen normalisierten Vektor J zu verwenden, d.h. |J| = 1, und den Betrag der
tatsächlichen Feldstärke mit Hilfe eines skalaren Vorfaktors zu erfassen.
Eine linear polarisierte Lichtwelle wird von Vektoren der Form
!
J=
cos (α)
sin (α)
(3)
beschrieben, die aussagt, dass die Feldkomponenten in x und y synchron, d.h. ohne Phasenverschiebung, oszillieren. Beliebige Polarisationszustände können demgegenüber eine Phasenverschiebung zwischen den Feldkomponenten aufweisen. Diese Zustände werden als elliptische
Polarisation bezeichnet und durch Vektoren
!
J=
cos (α) exp (iΓ/2)
sin (α) exp (−iΓ/2)
(4)
beschrieben. Die Phasenverschiebung wird hier mit Γ bezeichnet.
Eine derartige Beschreibung von Polarisationszuständen des Feldes kann genutzt werden, um die
Ausbreitung polarisierten Lichtes in anisotropen Medien, wie z.B. doppelbrechenden Kristallen
oder Flüssigkristallen, zu beschreiben.
1.1.3 Lichtausbreitung in anisotropen Medien
In vielen Materialien sind bestimmte Eigenschaften, beispielsweise optische Eigenschaften,
anisotrop. In diesem Fall ist der Brechungsindex (und damit auch die Lichtgeschwindigkeit)
für die meisten Ausbreitungsrichtungen des Lichts polarisationsabhängig. In Kristallen gibt es
jedoch immer so genannte optische Achsen. Für eine Lichtwelle, welche sich entlang einer solchen
optischen Achse ausbreitet, verhält sich das Material, als sei es isotrop.
Für alle Lichtausbreitungsrichtungen, die nicht einer optischen Achse entsprechen, wird das
Material durch zwei verschiedene Brechzahlen n1 und n2 für zwei zueinander orthogonale
Polarisationsrichtungen beschrieben. Diesen Effekt bezeichnet man als Doppelbrechung.
Im Folgenden soll die Betrachtung auf einachsige Kristalle beschränkt werden, die nur eine
einzige optische Achse besitzen. Entlang der optischen Achse breiten sich Lichtwellen unabhängig
von ihrer Polarisation mit der Geschwindigkeit c/no aus, d.h. die Brechzahl no ist für alle
Polarisationsrichtungen gleich. Für alle anderen Ausbreitungsrichtungen ist die Geschwindigkeit
polarisationsabhängig. Man spricht von einer ordentlich polarisierten Welle, wenn die Lichtgeschwindigkeit ebenfalls c/no ist. Die Welle mit der dazu orthogonalen Polarisation wird als
6
Figure 5: Darstellung der Brechungsindizes: ordentlicher no , außerordentlicher ne und resultierender außerordentlicher Brechungsindex neo (θ) für verschiedene Moleküllagen.
außerordentlich polarisiert bezeichnet und adressiert den Brechungsindex ne . Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c/neo dieser Wellen hängt vom Winkel θ der Ausbreitungsrichtung zur optischen
Achse des Kristalls ab:
1
n2eo (θ)
=
cos2 (θ) sin2 (θ)
+
.
n2o
n2e
(5)
Die Wirkung eines doppelbrechenden Materials auf den Polarisationszustand einer Lichtwelle
kann durch die Modifikation des Jones-Vektors der einfallenden Welle in einen neuen Jones-Vektor
ausgedrückt werden. Mathematisch lässt sich diese Umwandlung mithilfe einer Jones-Matrix
ausdrücken.
In seiner einfachsten Form ist der Jones-Formalismus eine systematische Berechnungsmethode
zur Bestimmung der Auswirkungen verschiedener, den Polarisationszustand beeinflussender
Elemente auf eine vollständig polarisierte Lichtwelle. Bei der Verwendung dieses Formalismus
wird der Vektor der einfallenden Lichtwelle nacheinander mit charakteristischen Matrizen, den
Jones-Matrizen – je einer für ein optisches Element – multipliziert. Daraus ergibt sich schließlich
der Vektor der elektrischen Feldstärke der aus dem optischen System austretenden Welle.
Die Jones-Matrix Wd eines doppelbrechenden Materials kann anhand der entstehenden Phasenverzögerung zwischen den Teilwellen mit ordentlicher und außerordentlicher Polarisation hergeleitet
werden. Die beiden Teilwellen breiten sich mit den Geschwindigkeiten c/no und c/ne aus. Nach
einer Ausbreitungsstrecke d erhält man einen neuen Jones-Vektor
J=
0
Eeo
Eo0
!
= Wd
7
Eeo
Eo ,
!
(6)
wobei
exp −i necω d
0
Wd =
!
0
.
exp −i nocω d
(7)
1.1.4 Optische Verzögerungsplatten
Aus einem einachsigen optischen Material mit der optischen Achse senkrecht zur Ausbreitungsrichtung des Lichts und parallelen Endflächen kann man eine optische Komponente herstellen, welche
als Verzögerungsplatte oder Wellenplatte bezeichnet wird.
Die Jones-Matrix Wd einer Verzögerungsplatte kann symmetrisiert werden zu
!
exp (−iΓ/2)
0
Wd = exp(−iφ)
,
0
exp (−iΓ/2)
(8)
wobei die Größe Γ, welche die relative Phasenverzögerung beschreibt, gegeben ist durch
Γ = (ne − no )
2π
d
λ
(9)
und die Größe φ, welche die absolute Phase beschreibt, definiert ist als
φ=
1
2π
(ne + no ) d.
2
λ
(10)
Der Phasenfaktor exp(−iφ) kann in einigen Fällen, zum Beispiel wenn keine Interferenzerscheinungen betrachtet werden, vernachlässigt werden.
Ein λ/2-Plättchen ist ein spezielles Beispiel einer Verzögerungsplatte mit einer Dicke d von
d=
λ
,
2 (ne − no )
(11)
die zu einer relativen Phasenverzögerung zwischen den Polarisationen von Γ = π führt. Die
optischen Wege der beiden Polarisationsrichtungen im Material unterscheiden sich also um eine
8
halbe Wellenlänge. Die Jones-Matrix eines λ/2-Plättchens, deren außerordentliche Achse der
x-Achse des Laborsystems x-y entspricht, ist gegeben durch
!
−i 0
.
0 i
WHWP =
(12)
λ/2-Plättchen drehen die lineare Polarisation einer einfallenden Lichtwelle um den doppelten
Winkel der Polarisationsrichtung zur optischen Achse des Plättchens. Beispielsweise erfährt somit
eine einfallende Lichtwelle mit linearer Polarisation entlang der x-Richtung bei Transmission
durch ein λ/2-Plättchen mit einer Neigung der optischen Achse von θ = 45◦ relativ zum
x − y−Koordinatensystem eine Veränderung des Polarisationszustandes von
J=
Ex
Ey
!
!
=
1
0
(13)
zu
!
0
J = R(θ)WHWP R(−θ)J =
0 −i
−i 0
1
0
!
!
=
0
−i
π
= exp −i
2
!
0
,
1
(14)
wobei R eine Roatationsmatrix darstellt. Das bedeutet, dass die Welle nun in y-Richtung
polarisiert ist (sowie einen Phasenfaktor erhält).
1.1.5 Jones-Matrix-Darstellung einer twisted nematic LC-Zelle
Eine nematische Flüssigkristallzelle mit einer Helixstruktur der Moleküle kann als eine Aneinanderreihung einer großen Anzahl von dünnen Verzögerungsplatten beschrieben werden, welche
die Orientierung der optischen Achse in Abhängigkeit von der Position in Lichtausbreitungsrichtung verändern, so wie sich auch die Richtung der Molekülachse ändert. Die Jones-Matrix der
Flüssigkristallzelle kann durch Multiplikation der einzelnen Jones-Matrizen der angenommenen
Wellenplatten im Koordinatensystem der ersten Wellenplatte berechnet werden.
Falls die Zelle dick genug ist, um die Näherung α β zu rechtfertigen, lässt sich die Jones-Matrix
näherungsweise angeben als
!
WTN-LC
exp(−iβ)
0
≈ R(−α)
,
0
exp(iβ)
9
(15)
wobei R eine Rotationsmatrix darstellt, α den Verdrehungswinkel der Moleküle zwischen Eingangsund Ausgangsfläche der Zelle bezeichnet und die Doppelbrechung β gegeben ist als
β=
Γ
πd
=
(ne − no ) .
2
λ
(16)
Gleichung (15) erlaubt eine einfache physikalische Interpretation ihrer optischen Funktionsweise.
Einfallendes Licht mit linearer Polarisation in x-Richtung oder y-Richtung erfährt eine Rotation
der Polarisationsrichtung um einen Winkel α entsprechend dem Winkel zwischen den Orientierungen der alignment layers der Zelle, wie bereits durch die anschauliche Erklärung in Abbildung 3
suggeriert wurde.
1.1.6 Eigenschaften von TN-LC-Zellen bei angelegter Spannung
Wird eine Spannung an die LC-Zelle angelegt, richten sich die Moleküle parallel zum elektrischen
Feld aus. Da der Winkel zwischen der Lichtausbreitungsrichtung und der Molekülachse (und
damit der optischen Achse des doppelbrechenden Materials) sich dadurch verkleinert, wird die
Doppelbrechung mit zunehmender Spannung immer geringer. Ab einer bestimmten Spannung
liegt die optische Achse des LC-Materials dann parallel zur Lichtausbreitungsrichtung, und die
Polarisation des einfallenden Lichtfeldes bleibt erhalten.
Der Betrieb eines Mikrodisplays als räumlicher Lichtmodulator mit möglichst vielen verschiedenen
Transmissionszuständen erfordert die Verwendung auch der Zwischenzustände, in denen die
LC-Moleküle weder in der Helix-Anordnung noch parallel zum elektrischen Feld vorliegen. Eine
Analyse dieser Zustände ist möglich, überschreitet allerdings den Umfang dieses Versuches.
Die Spannungen an den LC-Molekülen werden bei vielen Lichtmodulatorgeräten (so auch beim
hier verwendeten LC2002) in Form der Grauwerte von übertragenen Bildsignalen gesteuert.
Eine elektronische Schaltung auf einer speziell entwickelten Platine erhält die Bildsignale über
die VGA-Schnittstelle eines PC und erzeugt daraus die benötigten Spannungswerte für die
Flüssigkristallzellen.
1.1.7 Amplituden- und Phasenmodulation durch TN-LC-Zellen
An die TN-LC-Zelle angelegte Spannungswerte bringen die LC-Moleküle dazu, die verschiedenen
diskutierten Anordnungen einzunehmen. Bei Verwendung eines Polarisators (so genannter
Analysator) hinter der Flüssigkristallzelle wird ein linear polarisiert einfallendes Lichtfeld in
unterschiedlichem Maße transmittiert. Dieser Betriebsmodus entspricht der Erzeugung einer
Amplitudenmodulation der transmittierten Welle.
10
Darüber hinaus wird auch die Phase der transmittierten Welle modifiziert, wie mit Hilfe des
Jones Formalismus gezeigt werden kann. Die Phasenänderung ist eine Funktion des spannungsabhängigen Parameters β. Besonders bei Beleuchtung mit einer kohärenten Lichtquelle (z.B. Laser)
können anhand dieser Phasenmodulation verschiedene Beugungsphänomene beobachtet werden.
Für die Durchführung der Experimente ist von Bedeutung, dass die erzielbare Phasenmodulation
von der Richtung der Eingangspolarisation abhängt.
Beim LC2002 treten immer gemischte Amplituden- und Phasenmodulationen auf. Mittels der
Stellung von Polarisator und Analysator können jedoch die verschiedenen Verhältnisse von
Amplituden- und Phasenmodulation realisiert werden. Liegt eine maximale Amplitudenmodulation bei minimaler Phasenmodulation vor, spricht man von einer amplitude-mostly-Konfiguration.
Bei maximaler Phasen- und minimaler Amplitudenmodulation spricht man hingegen von einer
phase-mostly-Konfiguration.
Für die Durchführung derjenigen Experimente, die sich hauptsächlich mit dem Verständnis der
Beugung beschäftigen, ist ein detailliertes Verständnis der Veränderung der Polarisationszustände
nicht erforderlich. Es ist ausreichend, das System aus Polarisator, Mikrodisplay und Analysator
als eine optische Komponente zu betrachten, welche einen Phasenunterschied zwischen den
einzelnen Flüssigkristallzellen erzeugen kann, der proportional zum adressierten Grauwert ist.
Die wesentlichen Schritte beim Übergang von einer einzelnen Flüssigkristallzelle zu einem
Mikrodisplay sind die Anordnung der Zellen zu einem ein- oder zweidimensionalen Array und
weiterhin die Einführung einer Schnittstelle, die eine individuelle Adressierung der Zellen mit
Spannungen erlaubt. Auf diesem Wege wird es möglich, gezielt eine räumliche Verteilung der
Lichtmodulation zu erzeugen, daher rührt der Begriff räumlicher Lichtmodulator (englisch spatial
light modulator, SLM).
Auf diese Weise kann ein LCD mit den zugehörigen Polarisatoren nicht nur als bildgebendes
Element (wie in Projektionsanwendungen üblich), sondern als schaltbares diffraktives Element
verwendet werden, mit dessen Hilfe optische Elemente wie Fresnelzonenlinsen, Gitter und
diffraktive Strahlteiler dynamisch über eine elektronische Ansteuerung erzeugt werden können.
2 Skalare Theorie der Lichtwellen und Beugung – Fourieroptik
2.1 Ebene Wellen und Interferenz
Die Fähigkeit zur Interferenz ist ein wesentliches Merkmal des Lichtes, das aus seinem Wellencharakter folgt. Darunter werden die Erscheinungen der Verstärkung und Schwächung verstanden,
die bei der Überlagerung von zwei oder mehreren Wellen beobachtet werden. Bei der Interferenz
monochromatischer Lichtwellen gleicher Frequenz ergibt sich die Feldstärke des resultierenden
Feldes an jedem Ort und zu jedem Zeitpunkt durch die vektorielle Addition der Feldstärken der
beteiligten Wellen.
11
Im Folgenden werden wir nur die Interferenz linear polarisierter Wellen mit zueinander parallelen
Amplitudenvektoren betrachten. Bei der mathematischen Beschreibung der Interferenz kann
deshalb anstelle der Summation der komplexen Vektorfeldamplituden die Schreibweise der
komplexen Amplituden verwendet werden.
Anders als bei Schallwellen sind an die Interferenzfähigkeit der Lichtwellen gewisse Bedingungen
geknüpft, die aus dem speziellen Charakter der Prozesse der Lichtentstehung resultieren. Dies
wird unter dem Begriff Kohärenz erläutert.
2.1.1 Interferenz ebener Wellen
Eine einzelne ebene Lichtwelle kann geschrieben werden als
E(r, t) = A0 ei(kr−ωt+δ) .
(17)
Hierbei bezeichnet ω die Lichtfrequenz und k den Wellenvektor des Lichts sowie δ eine Phasenkonstante. Für zwei zu überlagernde Lichtwellen zu einem willkürlich gewählten Zeitpunkt t erhalten
wir die ortsabhängigen Amplituden als
E1 (r) = A1 ei(k1 r+δ1 )
und
E2 (r) = A2 ei(k2 r+δ2 ) .
(18)
Die resultierende komplexe Amplitude bei Überlagerung der beiden Wellen ergibt sich durch
Addition zu
E(r) = E1 (r) + E2 (r) = A1 ei(k1 r+δ1 ) + A2 ei(k2 r+δ2 ) .
(19)
Für die Intensität der Interferenzerscheinung ergibt sich
I(r) ∝ E(r)E ∗ (r) = A21 + A22 + A1 A2 ei(r(k1 −k2 )+(δ1 −δ2 )) + A1 A2 e−i(r(k1 −k2 )+(δ1 −δ2 )) ,
(20)
oder
p
I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos(∆φ).
12
(21)
Für die Phasendifferenz ∆φ der beiden interferierenden Wellen gilt
∆φ = φ1 − φ2 = r(k1 − k2 ) + (δ1 − δ2 ).
(22)
Nehmen wir an, dass die beiden Wellen gleiche Amplituden haben (A1 = A2 = A0 ), so verändert
sich die Intensität der Interferenzerscheinung periodisch zwischen 0 und 4I0 . Strenge Additivität
der Intensitäten gilt nur, wenn der als Interferenzglied bezeichnete Summand
p
2 I1 I2 cos(∆φ)
(23)
identisch verschwindet. In einem solchen Fall liegt keine Interferenz vor. Interferenz heißt
Abweichung von der Additivität der Intensitäten. In allen Punkten des Raumes, für die gilt
∆φ = 2N π
mit
N = 0, 1, 2, ...
(24)
finden wir maximale Intensität der Interferenzerscheinung vor:
p
(25)
Imin = I1 + I2 − 2 I1 I2
p
(26)
∆φ = 2(N + 1)π.
(27)
Imax = I1 + I2 + 2 I1 I2 .
Die Orte minimaler Intensität mit
genügen der Bedingung
Es ist wichtig zu beachten, dass die Intensität im Ganzen weder vermehrt noch vermindert
werden kann. Sie wird beim Zustandekommen von Interferenz lediglich räumlich anders verteilt,
da die Energie insgesamt erhalten bleiben muss.
Die in der Interferenzerscheinung beobachtbaren Hell-Dunkel-Kontraste bezeichnen wir als
Interferenzstreifen. Eine wichtige Größe zur Charakterisierung ihrer Sichtbarkeit ist der Kontrast.
13
Er gibt den auf die Summe aus maximaler und minimaler Intensität normierten Unterschied
zwischen maximaler und minimaler Intensität an:
C=
Imax − Imin
.
Imax + Imin
(28)
Bei der Überlagerung zweier ebener monochromatischer Wellen erhalten wir
√
2 I1 I2
C=
.
I1 + I2
(29)
2.1.2 Kohärenz des Lichtes
Die vorangegangenen Erläuterungen beschreiben das eigentliche Wesen der Interferenz von
Lichtwellen nur sehr grob und gehen von Voraussetzungen (monochromatische Wellen, Punktlichtquellen) aus, die in der Realität nicht erfüllt sind. Wie die Erfahrung zeigt, ist es im
allgemeinen nicht möglich, sichtbare Interferenzerscheinungen bei der Überlagerung von zwei
Wellen zu erhalten, wenn diese von verschiedenen thermischen Lichtquellen bzw. von zwei
verschiedenen Punkten einer ausgedehnten thermischen Lichtquelle emittiert werden.
Der oft als kontinuierlich behandelte Vorgang der Lichtausstrahlung ist eigentlich eine Folge vieler
kurzer Wellenzüge. Im Atom gehen die Elektronen durch Energiezufuhr in angeregte Zustände
über. Die der Ausstrahlungsdauer entsprechende begrenzte Lebensdauer dieser Zustände von
etwa 10−8 s führt zur Emission kurzer Wellenzüge von etwa 3 m Länge. Des Weiteren ist die
Lichtausstrahlung verschiedener Punkte der thermischen Lichtquelle statistisch verteilt, und
die Phasenbeziehungen zwischen je zwei aufeinander folgenden Wellenzügen ein- und derselben
Punktquelle wechselt von Emissionsereignis zu Emissionsereignis in nicht vorhersehbarer Weise.
Bei der vorherigen Diskussion wurde stillschweigend vorausgesetzt, dass die Differenz der
Phasenkonstanten δ1 und δ2 über die Dauer der Beobachtungszeit tb konstant bleibt. Die
von einer ausgedehnten Lichtquelle emittierten Wellen weisen jedoch weder räumlich noch zeitlich
konstante Phasenbeziehungen auf. Als Folge davon überlagern sich während der Beobachtungszeit
nacheinander viele Wellen mit statistisch wechselnden Phasenbeziehungen. Die resultierende
Interferenzerscheinung ist also nicht stationär, sondern ändert in Intervallen von 10−8 s ihr
Aussehen. Es wird die zeitlich gemittelte Intensität
1
hIitb = I1 + I2 + 2 I1 I2
tb
p
Z tb
cos(∆φ)dt
(30)
0
gemessen, wobei angenommen wird, dass die Amplituden der einzelnen Wellen im Verlauf von tb
konstant sind.
14
Sind die Phasenbeziehungen der beteiligten Wellen derart, dass während der Beobachtungszeit
sämtliche Phasendifferenzen zwischen 0 und 2N π gleich häufig vorkommen, so verschwindet der
zeitliche Mittelwert der Größe cos(∆φ), und es wird lediglich die Summe der Einzelintensitäten
I1 und I2 gemessen. Man kann somit nicht mehr von Interferenz sprechen, und die überlagerten
Lichtquellen werden als inkohärent bezeichnet.
Ist die Differenz (δ1 − δ2 ) jedoch konstant über die gesamte Beobachtungszeit, so werden die
beteiligten Wellen als kohärent bezeichnet, um damit auszudrücken, dass zwischen beiden eine
feste Phasenbeziehung besteht. In diesem Fall wird die gemessene Intensität tatsächlich durch
Gleichung (30) beschrieben. Die von realen Lichtquellen emittierte Strahlung ist partiell kohärent,
da strenge Inkohärenz bzw. strenge Kohärenz nur für das Licht unendlich ausgedehnter bzw.
punktförmiger Lichtquellen zutrifft.
Im Abschnitt 2.1.1 wurde die Interferenz monochromatischer Lichtwellen betrachtet, die von
idealen Punktlichtquellen ausgehen. Diese Annahmen stellen natürlich Idealisierungen dar. Reale
Lichtquellen sind stets leuchtende Flächen endlicher Ausdehnung. Fragt man nach der Lichtquellengröße, bei der der Kontrast der Interferenzstreifen noch ausreichend ist, so ergibt sich die
Kohärenzbedingung, die besagt, dass das Produkt aus Lichtquellenbreite b und Beleuchtungsapertur sin α (2α ist der Öffnungs- bzw. Aperturwinkel) sehr klein gegen die halbe Wellenlänge
der emittierten Strahlung sein muss. Obwohl die einzelnen Punktquellen Wellen mit statistisch
verteilten Phasenbeziehungen aussenden, ist demnach eine bestimmte Ausdehnung der Lichtquelle
für die Erzeugung von Interferenzen zulässig.
Wellenzüge mit festen Phasenbeziehungen können durch Aufspaltung des Lichtes einer Lichtquelle
in zwei oder mehrere Teilwellen erzeugt werden. Die kohärente Teilung kann nach einem der
beiden folgenden Prinzipien geschehen:
1. Teilung der Amplitude
Ein Interferometer, das auf dieser Methode beruht, ist das Michelson-Interferometer.
2. Teilung der Wellenfront
Dieses Prinzip wird z.B. im Young-Interferometer verwendet.
Man erhält so zwei Wellen, bei denen sich die Phase zwar sprunghaft und unregelmäßig, aber in
gleicher Weise ändert. Der Term (δ1 − δ2 ) bleibt also konstant.
Nach dem Durchlaufen verschiedener Wege, wodurch eine Phasendifferenz entsteht, werden die
Teilwellen wieder vereinigt. Mit Hilfe des Fourierschen Integraltheorems lässt sich jedoch zeigen,
dass die Wellenzüge auf Grund ihrer endlichen Länge Lk nur quasimonochromatisch sind. Sie
besitzen eine endliche spektrale Bandbreite.
Bei zunehmender optischer Wegdifferenz nimmt der Kontrast der Interferenz ab, da sich die
phasenmäßig korrelierten Wellen nicht mehr überlagern. Der Gangunterschied, bei dem der
Kontrast auf 1/e abgefallen ist, heißt Kohärenzlänge.
15
Das Michelson-Interferometer ermöglicht eine sehr einfache und schnelle Bestimmung der Kohärenzlänge. Sind die Wege der Teilwellen nahezu abgeglichen, so ist die Sichtbarkeit der
Interferenzstreifen sehr gut. Bei Vergrößerung der optischen Wegdifferenz tritt eine merkliche
Verschlechterung des Kontrastes ein.
2.2 Beugungstheorie
2.2.1 Fraunhofer-Beugung
Es soll der Fall betrachtet werden, dass die Welle bei z = 0 auf ein ebenes Hindernis trifft. Dieses
als dünn angenommene Objekt wird durch die komplexwertige Transmissionsfunktion τ (x, y)
beschrieben. Das transmittierte Feld ist
E t (x, y, z = 0) = τ (x, y)E i (x, y, z = 0).
(31)
Nach dem Huygens’schen Prinzip kann die weitere Ausbreitung durch die Annahme beschrieben
werden, dass von jedem Punkt (x, y bei z = 0) der beugenden Struktur eine Kugelwelle ausgeht.
Um die Feldamplitude an einem Ort (x0 , y 0 , z) hinter dem beugenden Objekt zu erhalten, muss
daher über alle Kugelwellen summiert (integriert) werden.
Der Fall der so genannten Fraunhofer-Näherung ist gegeben, wenn
x2 + y 2
π
λ
z
(32)
für (x, y) und (x0 , y 0 ) erfüllt ist und das Objekt mit einer ebenen Welle beleuchtet wird. Dann
gilt
E(x0 , y 0 , z) = A(x0 , y 0 , z)F [E(x, y, 0)] (νx , νy )
mit
A(x0 , y 0 , z) =
eikz
.
iλz
(33)
Die Größen νx und νy werden, analog zu den Frequenzen der Fouriertransformation (oben
geschrieben als F) zeitlicher Signale, als Raumfrequenzen bezeichnet.
In der Fraunhofer-Beugung ist das Fernfeld damit durch die Fouriertransformierte des Feldes
direkt hinter dem beugenden Objekt gegeben. Die Raumfrequenzen der beugenden Struktur
erzeugen Wellen, die sich unter den Winkeln α und β
16
α ≈ tan α =
x0
= λνx
z
β ≈ tan β =
y0
= λνy
z
(34)
ausbreiten. Das Fernfeld einer räumlichen Verteilung von Amplituden- oder Phasenwerten auf
einem LCD (repräsentiert durch ein adressiertes Grauwertbild) kann daher durch eine Fouriertransformation berechnet werden. Mit Hilfe einer Linse kann das Fernfeld der Lichtausbreitung
bereits in der Brennebene einer Linse erhalten werden.
In der Optik entsteht also eine Fouriertransformation in natürlicher Weise bei der Ausbreitung
des Lichtfeldes auf Grund von Beugung. Die Fouriertransformierte einer zweidimensionalen
Objektverteilung
F (νx , νy ) = F [f (x, y)] (νx , νy ) =
Z ∞ Z ∞
f (x, y)e−2πi(νx x+νy y) dxdy
(35)
−∞ −∞
kann als Funktion der Raumfrequenzen direkt beobachtet werden, welche mit den Beugungsordnungen übereinstimmen. Diese räumlichen Frequenzen können dann z.B. gefiltert und
damit manipuliert werden. Die Fourierfilterung ist eine passive parallele Bildverarbeitung in
Lichtgeschwindigkeit (siehe auch Versuch Optische Fouriertransformation).
2.3 Beugung an räumlich periodischen Objekten
Räumlich periodische Objekte, die in der Optik oft als Gitter bezeichnet werden, weisen ein
diskretisiertes Fernfeldbeugungsmuster auf, im Gegensatz zum räumlich kontinuierlichen Beugungsmuster räumlich aperiodischer Objekte. Dies liegt am Raumfrequenzspektrum periodischer
Objekte, welches aus diskreten Frequenzen besteht.
2.3.1 Beugungsordnungen im Fraunhofer-Beugungsbild
Für ein eindimensionales periodisches Objekt mit räumlicher Periodizität g ist jede diskrete
Raumfrequenz des Beugungsobjektes dabei ein Vielfaches der Grundfrequenz 1/g und erzeugt
bei Beleuchtung mit monochromatischem Licht ein Maximum im Fernfeld, eine so genannte
Beugungsordnung.
Für periodische Beugungsobjekte kann das Fourierintegral der Transmissionsfunktion zu einer
Fourierreihe vereinfacht werden. Die Fourierkoeffizienten Al,m , welche die komplexwertigen
Amplituden der gebeugten Wellen beschreiben, sind für ein zweidimensionales Objekt mit
17
ortsabhängiger komplexwertiger Transmissionsfunktion τ (x, y) und räumlichen Periodizitäten gx
und gy gegeben durch
Al,m
Ain
=
gx gy
Z gx Z gy
0
0
l
m
τ (x, y) exp −2πi
x+ y
gx
gy
!!
dxdy.
(36)
Die komplexwertige Transmissionsfunktion τ (x, y) = ρ(x, y) exp(iφ(x, y)) erfasst dabei die Veränderungen der Welle in Bezug auf Amplitude und Phase bei Transmission durch das Beugungsobjekt. Für ein eindimensionales periodisches Objekt vereinfacht sich die Amplitude zu
Al =
Ain
g
Z g
0
l
τ (x) exp −2πi x dx.
g
(37)
In dieser Formel ist das beugende Objekt durch eine komplexwertige Transmissionsfunktion τ (x)
gegeben, die nur von einer räumlichen Koordinate (in diesem Falle x) abhängt. Solche bezüglich
einer Raumrichtung (in diesem Falle y) konstante Beugungsobjekte bezeichnet man als lineare
Gitter.
Eine solche Transmissionsfunktion τ (x) kann beispielsweise einen sinusoidalen Verlauf haben.
Dieser Fall tritt z.B. bei der holographischen Aufnahme eines Beugungsgitters mittels einer
Zwei-Wellen-Interferenz auf (siehe Abschnitt 2.1). Die Transmissionsfunktion kann innerhalb
eines vorgegebenen Intervalls jeden Wert annehmen.
2.3.2 Fraunhofer-Beugung an linearen binären Gittern
Die möglichen Werte der Transmissionsfunktion eines adressierten LCDs sind auf 256 verschiedene
Werte beschränkt, da die Ansteuerung über einen der drei 8-bit tiefen Farbkanäle eines VGASignals erfolgt. Das einfachste Beispiel der Diskretisierung der Transmissionsfunktion ist natürlich
ein Signal, das aus nur zwei verschiedenen Werten besteht (binäres optisches Element). Für
lineare Gitter ergibt sich die Möglichkeit, das Gitter mithilfe der sprunghaften Übergänge
zwischen den einzelnen Transmissionswerten τ1 und τ2 , den so genannten Transitionspunkten, zu
beschreiben.
Betrachten wir im Folgenden ein einfaches lineares binäres Gitter mit nur zwei Transitionspunkten (siehe Abbildung 6). Für eine Gitterperiode g gibt es im Grunde nur einen freien
Transitionspunkt der im Folgenden als x1 bezeichnet werden soll. Es ergibt sich die allgemeine
Transmissionsfunktion
(
τ (x) =
τ1
τ2
für
für
18
0 ≤ x ≤ x1
.
x1 ≤ x ≤ g
(38)
Figure 6: Binäres Gitter mit zwei Transitionspunkten.
Mit dieser folgt für die Feldstärken
x1
(τ2 − τ1 )
g
A0 = Ain · τ2 −
(39)
und
l
iAin
(τ2 − τ1 ) 1 − exp −i2π x1
Al =
2πl
g
.
(40)
Energiegrößen wie z.B. Intensität und Lichtleistung sind proportional zum Betragsquadrat
A · A∗ der komplexwertigen Amplitude A. Die Beugungseffizienz η wird als Verhältnis zwischen
Energiegrößen definiert, daher ergibt sich
ηl =
Al · A∗l
.
Ain · A∗in
(41)
Die Beugungseffizienzen in Abhängigkeit von x1 ergeben sich dann zu:
(τ2 − τ1 )
2x1
(τ1 + τ2 ) 2
1−
+
η0 = 2
g
2
(42)
und
x1
|τ2 − τ1 |2
ηl =
· sin2 πl
2
2
π l
g
19
(43)
für l =
6 0. Die Beugungseffizienzen der einzelnen Ordnungen weisen somit eine charakteristische
Hüllkurve der Form sinc2 (πlx1 /g) auf, welche nicht von den einzelnen Transmissionswerten τ1
und τ2 abhängt. Dies bedeutet beispielsweise, dass bei einem Transitionspunkt bei x1 = g/k alle
Beugungsordnungen l = nk verschwinden, nicht allerdings die nullte Ordnung.
Ein Gitter mit einem Verhältnis der Strukturbreiten von 1:1 (also x1 = g/2) weist aus diesem
Grunde nur ungeradzahlige Beugungsordnungen auf. In Abhängigkeit von den Amplituden ρ1 , ρ2
und Phasen φ1 , φ2 der beiden Transmissionswerte τ1 und τ2 kann die Transmissionsfunktion
eines solchen Gitters geschrieben werden als
(
τ (x) =
ρ1 exp(iφ1 ) für
ρ2 exp(iφ2 ) für
0 ≤ x ≤ g2
g
2 ≤x≤g
(44)
und man erhält die Feldstärke in der nullten Beugungsordnung A0 nach Ausführung des Integrals
in Gleichung (37) als
A0 =
Ain
(ρ1 exp(iφ1 ) + ρ2 exp(iφ2 ))
2
(45)
und für m = 2k + 1 die Feldstärke in der l-ten Beugungsordnung Al als
Al =
iAin
(ρ2 exp(iφ2 ) + ρ1 exp(iφ1 )) .
πl
(46)
Mit der Phasendifferenz ∆φ = φ1 −φ2 folgt für die Beugungseffizienz in den Beugungsordnungen
η0 =
ηl =
i
1h 2
ρ1 + ρ22 + 2ρ1 ρ2 cos(∆φ) ,
4
i
1 h 2
2
ρ
+
ρ
−
2ρ
ρ
cos(∆φ)
1
2
1
2
π 2 l2
für
(47)
(l 6= 0).
(48)
Die Beugungseffizienzen in den Beugungsordnungen sind unabhängig von der Gitterkonstante
g. Mittels der Einstellung der Grauwerte des adressierten Binärgitters werden die Amplituden
ρ1 , ρ2 und die relativen Phasen φ1 , φ2 eingestellt.
20
2.3.3 Beugungswinkel der Ordnungen
Wenn die räumliche Periodizität, oft Gitterperiode genannt, mit g bezeichnet wird, lassen sich
die Beugungswinkel αl aus der Gittergleichung
g(sin(θ + αl ) − sin θ) = l · λ
(49)
herleiten, in der θ den Einfallswinkel des Lichts bezeichnet. Für senkrecht einfallendes Licht ist
θ = 0, und die Gleichung vereinfacht sich zu
g sin αl = l · λ.
(50)
Es lässt sich zeigen, dass diese Gleichung völlig äquivalent unter Verwendung der x-Komponenten
des Wellenvektors k der einfallenden und k0 der gebeugten Welle geschrieben werden kann, man
erhält
kx0 = kx + l ·
2π
= kx + l · kg ,
g
(51)
wobei hier kg den Betrag des Wellenvektors des Gitters bezeichnet. Analog kann man die
räumliche Gitterfrequenz νg einführen und erhält für die Raumfrequenzen der gebeugten Wellen
den ganz ähnlichen Zusammenhang
νx0 = νx + l ·
1
= νx + l · νg .
g
(52)
Die Schreibweise in den Gitterfrequenzen oder Wellenvektoren ist vorteilhaft, wenn es darum
geht, die Lichtausbreitungsrichtungen bzw. Beugungswinkel an Gittern mit Periodizitäten in
zwei Raumrichtungen zu berechnen. Für den Wellenvektor der gebeugten Welle beispielsweise
werden in den beiden Raumrichtungen senkrecht zur Lichtausbreitung jeweils die Bedingung(en)
gemäß Gleichung (51) erfüllt, und die fehlende Bedingung ergibt sich dann aus dem ja durch die
Wellenlänge feststehenden Betrag des Wellenvektors.
2.4 Anwendungen der Fourieroptik
Von den zahlreichen denkbaren Anwendungen der Fourieroptik soll hier nur auf das Beispiele der
numerischen Berechnung diffraktiver Elemente eingegangen werden.
21
2.4.1 Berechnung diffraktiver Elemente
Für ein gewünschtes Beugungsbild lässt sich durch die Lösung des inversen Beugungsproblems
eine beugende Struktur berechnen und diese mit geeigneten Mikrostrukturierungsmethoden
herstellen. Das Ergebnis ist ein diffraktives optisches Element (DOE), das bei Beleuchtung mit
einer kohärenten Lichtquelle das gewünschte Bild im Fernfeld rekonstruiert, d.h. durch Beugung
und Interferenz erzeugt. Mit DOEs lassen sich, mit gewissen Einschränkungen, somit klassische
optische Elemente, wie Linsen, Strahlteiler, Prismen und auch strahlformende Elemente nachbilden. Darüber hinaus können auch kompliziertere Elemente wie zum Beispiel Multifokuslinsen
erzeugt werden.
Für viele Anwendungen ist die Unterdrückung der nullten Beugungsordnung sowie ungewünschter höherer Beugungsordnungen eine Herausforderung. DOEs weisen starke chromatische
Aberrationen auf und die Beugungseffizienz ist begrenzt. Dennoch haben DOEs bereits viele
Anwendungen gefunden, besonders wenn Raum- und Platzbedarf eine wesentliche Rolle spielen,
oder die optische Funktion mit anderen Elementen gar nicht realisiert werden kann.
Im Rahmen dieses Versuches werden abschließend exemplarisch beliebige diffraktive Elemente
generiert und qualitativ untersucht. Dies veranschaulicht insbesondere die Vorteile dynamisch
veränderbarer Strukturen.
3 Sicherheitshinweise
Der in dem Versuch verwendete Laser hat die Laserklasse 3B, daher sind spezielle Laserschutzmaßnahmen notwendig. Die Strahlung des Lasers ist für das menschliche Auge bei direktem und auch
bei indirektem Strahlungseinfall gefährlich. Niemals direkt in den Laserstrahl blicken. Reflektierende Objekte wie z.B. Uhren und Ringe sind abzulegen. Während der Versuchsdurchführung
müssen die Laserschutzbrillen getragen werden.
4 Versuchsdurchführung
Materialien:
• LC-Display
– Aktive Fläche: 26, 6 mm × 20, 0 mm,
Bildpunktzahl: 832 px × 624 px,
Pixelabstand: 32 µm
• Laserdiode:
22
– Wellenlänge: 650 nm,
Leistung: 8 mW,
Laserklasse: 3B
• Polarisator & Analysator
• diverse Linsen
• Kamera
• Schirm
• Leistungsmessgerät
Figure 7: Mögliche Anordnung der optischen Komponenten, wie sie typischerweise während der
Versuchsdurchführung auftritt. Ähnliche Aufbauten werden je nach Versuchsabschnitt
realisiert, indem Komponenten entfernt, hinzugefügt oder umgestellt werden.
4.1 Amplitudenmodulation und Projektion
Um einheitlich die notwendigen Einstellungen im Setup zu treffen, legen wir folgende (willkürliche,
aber typische) Konvention für das Koordinatensystem fest: Die Ausbreitungsrichtung des Lichtfeldes erfolgt entlang der positiven z-Achse. Im Linkssystem zeigt die x-Achse parallel zur langen
Seite des Modulators und die y-Achse steht senkrecht dazu. Angaben von Winkeln erfolgen
mit Blick entlang der positiven z-Achse, ausgehend von der x-Achse ϑ = 0◦ im mathematisch
positiven Drehsinn (gegen den Uhrzeigersinn).
4.1.1 Winkelverteilung von linear polarisiertem Licht
1. Bauen Sie den Laser so ein, dass seine Strahlachse entlang der Schiene zeigt. Viele Laser
sind so gebaut, dass sie linear polarisiertes Licht emittieren.
23
2. Der Strahl passiert zunächst einen Analysator mit Winkel ϑ zur x-Achse.
3. Eine geeignete Linse fokussiert den Strahl auf das Intensitätsmessgerät.
4. Variieren Sie ϑ in 10◦ Schritten und nehmen Sie die transmittierte Intensität I auf.
5. Stellen Sie den Verlauf der Intensität I in Abhängigkeit des Drehwinkels ϑ graphisch dar.
6. Passen Sie eine geeignete Funktion an die Messwerte an und diskutieren Ihre Ergebnisse
im Kontext des Gesetzes von Malus.
7. Geben Sie ausserdem den erreichten Kontrast an.
4.1.2 Vorbereitungen zur optimierten Funktion des LC-Modulators
1. Alle optischen Elemente außer dem Laser werden entfernt. Kollimieren2 Sie den Laserstrahl
indem der Abstand der vor dem Laser geschraubten Linse entsprechend justiert wird.
2. Der LC-Modulator weißt den höchsten Kontrast bei einer Eingangspolarisation/AnalysatorStellung von −45◦ / − 135◦ auf. Da durch den vorherigen Versuchsabschnitt 4.1.1 der
Winkel des linear polarisierten Laserstrahls bekannt ist, wird der Laser in seiner Halterung
so rotiert, dass er anschließend auf −45◦ steht. Dazu kann temporär ein Polarisator in den
Strahlengang eingebaut werden und die transmittierte Intensität beobachtet werden.
3. Anschließend wird der LC-Modulator eingebaut, gefolgt vom Analysator ϑ = −135◦ und
der Kamera.
4. Mit Hilfe der OptiXplorer Software wird die eine Hälfte des Displays schwarz (0), die andere
Hälfte weiß (255) angesteuert (Horizontally Divided Screen). Mit einer Kamera kann das
auf dem LC-Modulator gezeigte Bild beobachtet werden.
5. Anschließend vergewissern Sie sich (ohne Linse, Intensitätsmessgerät, aber mit Horizontally
Divided Screen) durch qualitative Analyse der Kameraaufnahmen, dass der Kontrast variiert
wird, wenn der Analysator um weitere 45◦ /90◦ /135◦ gedreht wird und bei einem Winkel
von 90◦ ein invertiertes Bild gezeigt wird. Nehmen Sie Bilder in allen vier Winkelstellungen
des Analysators auf.
6. Zur Bestimmung des Kontrastes wird die Intensität gemessen. Für diesen Punkt bauen Sie
eine Linse in den Strahlengang ein und verwenden anstelle der Kamera das Intensitätsmessgerät in der Fokusebene. Wählen Sie den Blank Screen jeweils mit den Grauwerten 0 und
255 anstelle des Horizontally Divided Screen und führen Sie zwei Intensitätsmessungen
durch.
7. Beschreiben und erklären Sie die Optimierung des Kontrastes bei der Verwendung des
LC-Modulators als Amplitudenmodulator und nutzen Sie in den folgenden Versuchsteilen
die optimale Konfiguration.
2
Ein kollimierter Laserstrahl zeichnet sich dadurch aus, dass er während seiner Propagation weder divergiert
noch fokussiert. Diese ebene Welle weist also für alle Distanzen die gleiche transversale Ausdehnung auf und
besitzt eine ebene Phasenfront.
24
4.1.3 Pixelgröße des LC-Displays
Die Pixelgröße des LC-Displays lässt sich aus dem geometrischen Abbildungsmaßstab und
einem Bild eines rechteckigen Objekts, welches mit einer bekannten Pixelzahl auf dem Bildschirm/Display vorgegeben wird, bestimmen (geometrische Optik). Die Brennweite der verwendeten Linsen muss bekannt sein.
1. Ein weißes Bild mit einem 200 × 200 Pixel großem schwarzem Quadrat in der Mitte wird
auf dem LC-Display adressiert. Die Größe G des schwarzen Quadrats auf dem LC-Display
ergibt sich dann direkt aus der Bildgröße B, der Bildweite b und der Brennweite f der
hinteren Linse, die so eingebaut wird, dass der LC-Modulator in ihrer Brennebene steht:
G=
B
b/f − 1
(53)
2. Verwenden Sie eine geeignete Linse und bestimmen in ausreichendem Abstand zum Brennpunkt die Bildgröße B auf einem Schirm mit einem Lineal.
3. Schätzen Sie die Messungenauigkeit ∆G und den daraus resultierenden Wert der Pixelgröße
sinnvoll ab.
4.1.4 Zusammenhang zwischen Grauwert und Polarisationszustand
1. Stellen sie 6 verschiedene Grauwerte [250, 200, 150, 100, 50, 0] auf dem Display dar, und
suchen sie mit Analysator und Intensitätsmessgerät in der Fokusebene einer geeigneten
Linse die Winkel ϑi der maximalen Intensität. Notieren Sie sich für jeden Grauwert ebenfalls
die maximale und minimale Intensität.
2. Erklären sie den Zusammenhang zwischen Grauwert und Drehwinkel. Wie ist die Ausrichtung der Flüssigkristalle im LC-Modulator ohne angelegte Spannung?
3. Stellen Sie für mindestens 3 der Grauwerte (z.B. [250, 150, 0]) in Polarkoordinaten die
Exzentrizität des Lichts dar: Die graphische Darstellung erfolgt in parametrischer Form als
Ellipse. Die maximale gemessene Intensität entspricht der großen Halbachse a der Ellipse,
die minimale entspricht der kleinen Halbachse b. Der Winkel der Analysatorstellung für
das Maximum ist der Winkel ϑi , um den die Hauptachse zur x-Achse verdreht ist.
4.2 LC-Modulator als DOE
Wird der Lichtmodulator mit einer kohärenten Lichtquelle beleuchtet, so erkennt man hinter
dem Display Beugungserscheinungen, ähnlich denen, die hinter einem konventionellen optischen
Gitter auftreten. Man kann bereits das unadressierte Display als optisches Gitter betrachten.
Diese Beugungserscheinungen erzeugen bei einer kollimierten Lichtquelle ein Beugungsbild
25
im Unendlichen. Eine Fourierlinse bildet das Beugungsbild in ihre hintere Brennebene ab.
Das Beugungsbild lässt Rückschlüsse auf die Eigenschaften des Gitters zu. Es kann z.B. der
Pixelabstand des Displays bestimmt werden.
4.2.1 Berechnung der Pixelgröße
1. Die beugenden Eigenschaften des LC-Displays beruhen auf dem gepixelten Aufbau. Man
kann es als Gitter betrachten, wobei die Pixelgröße der Gitterkonstanten g entspricht. Will
man also die Größe eines einzelnen Pixels ermitteln, so muss nur die Gitterkonstante g
ermittelt werden. Es gilt:
g · sin(α) = m · λ
mit m ∈ Z.
(54)
2. Aufbau: kollimierter Laser, unadressierter LC-Modulator und Analysator in optimaler
Konfiguration, Linse (Brennweite f ), Schirm.
3. Bilden Sie den in der negativen Fokusebene stehenden LC-Modulator auf den in der
positiven Fokusbene befindlichen Schirm ab und bestimmen Sie den Abstand d zweier
gleicher höherer Ordnungen zueinander sowie daraus die Gitterkonstante g. Der Winkel α
ist gegeben durch tan(d/2f ) ≈ d/(2f ). Vergleichen Sie die hier bestimmte Pixelgröße mit
Ihrem Ergebnis von Abschnitt 4.1.3 und den Angaben in der Materialbeschreibung.
4.2.2 Intensitätsverteilung in den Beugungsordnungen des unadressierten Displays
Es soll die Intensität in den einzelnen Beugungsordnungen in horizontaler und in vertikaler
Richtung bestimmt werden. Aus den Ergebnissen soll auf den Füllfaktor der LCD-Zellen
geschlossen werden. Die beobachteten horizontalen Beugungsordnungen haben ihre Ursache in
periodischen Strukturierungen der Pixel in vertikaler Richtung. Entsprechend entstehen die
vertikalen Beugungsordnungen durch periodische Strukturen in horizontaler Richtung.
1. Um den Aufbau möglichst einfach zu halten, wird die Aufweitungsoptik des Lasermoduls
zum fokussieren genutzt. Befindet sich der Lichtmodulator direkt vor dem Lasermodul,
so können in etwa 70 − 90 cm Abstand die Ordnungen, räumlich ausreichend voneinander
getrennt, beobachtet werden. Messen Sie mit dem Intensitätsmessgerät in der Fokusebene
jeweils die 11 Intensitätswerte der Ordnungen 0 − 10 sowohl in horizontaler, als auch in
vertikaler Richtung und stellen diese graphisch dar.
2. Warum gibt es eine Untermodulation in den dargestellten Messwerten? Ein einzelnes
Pixel des Displays besteht aus einem transparenten Teil und der lichtundurchlässigen
Steuerelektronik. Bestimmen Sie den duty cycle, also das Verhältnis zwischen transparentem
26
und lichtundurchlässigem Teil, anhand der Intensitätsmodulation. Schätzen Sie grob den
Füllfaktor3 für den Transparenten Teil einer Displayzelle ab.
4.2.3 Aufnahme von verschiedenen Beugungsbildern mittels der Kamera
1. Aufbau: kollimierter Laser, LC-Modulator und Analysator in optimaler Konfiguration,
Linse, Kamera in der Fokusebene.
2. Nehmen sie einige Beugungsbilder verschiedener DOEs auf: Einzelspalt, Doppelspalt,
Gitter, davon mindestens ein DOE doppelt aufnehmen, mit verschiedenen Strukturgrößen.
3. Was ist zu beobachten? Was ändert sich für verschiedene Strukturgrößen und wieso?
4. Für ein Gitter Ihrer Wahl: Messen Sie die Intensität des 0. und 1. Beugungsmaximums bei
verschiedenen Grauwerten und bestimmen Sie den Beugungswirkungsgrad. Dazu wird die
Linse temporär aus dem Setup entfernt, der Strahl mit Linse am Laser auf einen Punkt
in etwa (1 ± 0, 5) m Enfernung fokussiert und die Intensitäten der Beugungsordnungen
gemessen. Stellen Sie dafür ein Gitter mit möglichst kleiner Periodizität im Realraum
her, damit die Trennung der Beugungsordnungen im Fourierraum möglichst groß ist. Eine
mögliche Definition des Beugungswirkungsgrads ist η = I1.max /I0.max .
5. Warum kann ein LC-Modulator Beugungsbilder erzeugen?
4.3 Computergenerierte Hologramme (CGHs)
Mit Hilfe der OptiXplorer Software können computergenerierte Hologramme erstellt werden. An
ihnen sollen die Vorteile dynamisch veränderbarer Strukturen gezeigt werden. Die Hologramme
sollen mit Linsenfunktion der Software verändert werden. Es sollen die optischen Parameter
dieser diffraktiven Elemente bestimmt werden.
4.3.1 Brennweite der diffraktiven Linse
1. Aufbau: kollimierter Laser, LC-Modulator, Analysator, Linse, Kamera.
2. Mit Hilfe der Software wird ein DOE erzeugt. Im einfachsten Fall kann das ein homogenes
Grauwertbild, also ein Blank Screen sein. Über die Funktionsleiste am rechten Rand wird
eine Linsenphasenfunktion hinzuaddiert (Fresnel-Zonenplatte). Es wird der Fokus gesucht
und die Brennweite bestimmt.
3. Machen Sie sich durch die Wahl von 4 verschiedenen Linsenphasen [100, 75, 50, 25] damit
vertraut, wie computergenerierte Hologramme z.B. als Linsen verschiedener Brennweiten
agieren können. Wählen Sie die erste Position des neuen künstlichen Fokus die exisiert,
3
Der Füllfaktor ist das Verhältnis aus der transparenten Fläche eines Pixels zur gesamten Fläche des Pixels.
Das Pixel ist quadratisch, mit Seitenlänge g, die jedoch zur Auswertung nicht benötigt wird.
27
wenn man sich von der typischen Fokusposition bei einem Blank Screen ohne Linsenphasenfunktion weg bewegt. Beachten Sie, dass in der entsprechenden Fokusebene viele
Foki aufgrund der Pixelierung des SLMs auftauchen. Dokumentieren Sie in einer kurzen
Tabelle die Linsenphase und die Brennweite und beschreiben Sie lediglich die auftretende
Proportionalität.
4.3.2 Berechnung beliebiger diffraktiver optischer Elemente als CGH
1. Mit Hilfe der OptiXplorer Software lassen sich aus beliebigen Bildern diffraktive optische
Elemente erzeugen. Es kommt hierbei ein Iterativer Fourier-Transformations-Algorithmus
(IFTA) zum Einsatz.
2. Erzeugen Sie mit der Software OptiXplorer mind. ein eigenes Hologramm und dokumentieren Sie dieses. Wählen Sie dazu Ihr Bild mit einem Klick auf ’Open Image File’ aus.
Der Ordner ’Sample DOEs’ beinhaltet Beispielbilder. Natürlich können Sie auch zügig
ein eigenes Bild entwerfen (z.B. mit Photoshop). Nach Wahl des Bildes in der richtigen
Auflösung können Sie durch einen Klick auf ’Generate CGH’ den Algorithmus mit den
vorgegebenen Standardparametern ausführen.
3. Hinweise: Das Programm nimmt nur Bitmap-Bilder mit 200 × 200 Pixel an. Die darzustellenden Bilder sollten weiß auf schwarzem Grund sein, da sich dann die Hologramme am
besten erkennen lassen. Die Darstellungsqualität der Hologramme ist nicht besonders gut,
daher beschränken Sie sich auf Buchstaben oder einfache Grafiken mit gutem Kontrast.
4.3.3 Darstellung zweier DOEs auf einem Bildschirm
1. Als Abschluss ein kurzer Versuch mit qualitativer Beschreibung. Es werden zwei verschiedene DOEs nebeneinander jeweils auf einer Hälfte des Displays dargestellt. Am
einfachsten ist dies durch zwei Vollbilddarstellungen von DOEs zu erreichen, deren Fenster
in der Breite halbiert werden.
2. Beschreiben und dokumentieren Sie qualitativ, was Sie als Beugungsbild erhalten. Diskutieren Sie die physikalisch zugrundeliegenden Effekte.
3. Wie unterschiede sich z.B. das Beugungsbild eines statisch auf einer dünne Glasplatte
aufgeprägten Hologramms, wenn diese in zwei Hälften zerbricht und nur noch eine Hälfte
ausgelesen wird von dem Beugungsbild des vollständigen Hologramms?
References
[1] HOLOEYE Photonics AG. OptiXplorer. Holoeye.com/optics-education-kit/. 2007.
[2] www.merck-performance materials.de/. Stand 12. Oktober 2015.
28