Grundkonzepte der Optik, SS 2014 Übungsserie 11

Institut Für Angewandte Physik
Friedrich-Schiller Universität Jena
Grundkonzepte der Optik, SS 2014
Übungsserie 11
1. Transmissionsfunktion einer dünnen Linse
6P
Linsen und andere optische Elemente werden häufig als dünn angenommen. Dies bedeutet, dass ihre Ausdehnung entlang der optischen Achse vernachlässigt und die gesamte optische Wirkung der Linse nur innerhalb
einer (x,y)-Ebene beschrieben wird. Diese Vereinfachung ist gültig im Fall der paraxialen Näherung.
Betrachten Sie eine dünne Linse mit der Transmissionsfunktion
k
tL = exp −i (x2 + y 2 ) ,
2f
welche durch eine normal einfallende ebene Welle beleuchtet wird.
a) Berechnen Sie die Feldverteilung im Fokus der Linse, wenn ein Objekt, repräsentiert durch seine Transmissionsfunktion tO (x, y), in einem Abstand d zwischen Linse und Fokus positioniert wird. Vernachlässigen Sie hierbei die begrenzende Apertur der Linse. Diskutieren Sie die entstehende Feldverteilung
in Abhängigkeit des Abstandsparameters d.
b) Als Objekt wird nun ein optisches Gitter mit der Transmissionsfunktion
tO (x, y) =
1
[1 + cos(Kx)]
2
mit K = 2π/P und Periode P = 10 mm verwendet. In welchem Abstand ∆x von der optischen Achse
(x = 0) ist die ±1. Beugungsordnung zu beobachten wenn sich das Objekt 1m hinter der Linse befindet?
Die Brennweite der Linse sei hierbei f = 2 m und die Wellenlänge λ = 633 nm. Vernachlässigen Sie die
begrenzende Apertur des Objektes.
2. Transmissionsfunktion eines optischen Systems
6P
Mit Hilfe der Transmissionsfunktion können auch optische Systeme berechnet werden, die aus mehreren
Komponenten bestehen. Zur Vereinfachung werden hierbei die optischen Komponenten wieder als dünn
angenommen.
1
a) Durch die direkte Anordnung (Elemente in Kontakt) einer sphärischen Linse, einer Zylinderlinse und
eines Prismas soll ein optisches System mit der Transmissionsfunktion
tO (x, y) = exp −iπ(a2 x2 + (by + c)2 )
realisiert werden. Die Parameter a, b, c sind hierbei reelle, positive Konstanten. Berechnen Sie die
Brennweite der Linsen, sowie den Ablenkwinkel θ des Prismas in Abhängigkeit der Parameter a, b, c.
In welcher Reihenfolge müssen die Komponenten angeordnet werden?
b) Betrachten Sie die Transmissionsfunktion
tO (x, y) = exp [−iπdxy] ,
welche durch die direkte Anordnung (Elemente in Kontakt) zweier Zylinderlinsen mit f1 = −f2 realisiert werden kann. Wie kann solch ein System aufgebaut werden? Bestimmen Sie die Brennweite in
Abhängigkeit des Parameters d.
Hinweise:
a) Transmissionsfunktion eines Prismas:
2π
sin θx ,
tP (x, y) = exp −i
λ
Das normal einfallende Licht wird hierbei um den Winkel θ bezüglich der optischen Achse in Richtung
x ablenkt
b) Transmissionsfunktion einer Zylinderlinse:
k
tZL (x, y) = exp −i x2
2f
3. Phasenkontrast-Mikroskopie
3P
In der Biologie müssen häufig Zellen mit hoch transparenten Strukturen durch Abbildungen sichtbar gemacht
werden. Diese Strukturen verursachen nur eine Phasenmodulation der einfallenden Feldverteilung u0 (x, y) =
eiϕ(x,y) . Diese Phaseninformation würde verloren gehen, wenn ausschließlich die Intensität |u(x, y)|2 mit
einem abbildenden System detektiert wird. Wird stattdessen ein 4f -Aufbau verwendet, bei dem ein Teil der
Feldverteilung in der Fourierebene um π/2 verzögert wird, lässt sich diese Information erhalten.
Zeigen Sie, dass mit einer Pupillenfunktion
(
1
, x ≈ 0 und y ≈ 0
p(x, y) =
iπ
e 2 = i , sonst
die Phaseninformation in eine Intensitätsmodulation transformiert werden kann. Gehen Sie von kleinen
Phasenmodulation |ϕ(x, y)| 1 der abzubildenden Feldverteilung aus.
Abgabetermin: Donnerstag, 19. 06. 2014, vor der Vorlesung. Bitte mit Hinweis auf die Übungsgruppe.
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