12. ¨Ubungsblatt zur Theoretische Physik II: Quantenmechanik

Technische Universität Berlin
Institut für Theoretische Physik
Prof. Dr. S. Hess
Dipl.-Phys. Jan Schlesner
Dipl.-Phys. Martin Schaarschmidt
Justus Fuesers
20. Januar 2005
wwwitp.physik.tu-berlin.de/lehre/TPII
12. Übungsblatt zur Theoretische Physik II: Quantenmechanik
Abgabe: Mittwoch 2.2.05 bis 14:30 Uhr im Briefkasten (Altbau)
Aufgabe 31(6 Punkte): Spin Addition
Betrachte ein System aus zwei Elektronen. Seien S 1 und S2 die beiden Spinoperatoren und S =
S1 + S2 der Operator des Gesamtspins.
(a) Stelle die vier Eigenzustände des Systems zu den Operatoren S 12 , S22 , S1z und S2z auf.
(b) Berechne den Gesamtspin und die z-Komponente des Gesamtspins dieser Zustände. Tip:
Drücke S und Sz durch die Leiteroperatoren der Einteilchenspinoperatoren aus.
(c) Berechne die beiden noch fehlenden Eigenzustände der Operatoren S 2 und Sz und begründe
die Bezeichnungen Singulettzustand und Triplettzustand.
Aufgabe 32(6 Punkte): Permutationsoperator
(a) Warum sind identische Teilchen (Teilchen mit gleichen inneren Eigenschaften wie Masse,
Ladung, Spin) in der klassischen Mechanik unterscheidbar, jedoch nicht in der Quantenmechanik?
Betrachte zwei (nicht unbedingt identische) Teilchen mit isomorphem Zustandsräumen
H1 und H2
N
die beide von der Basis {|ui i} aufgespannt werden. Im Zustandsraum H = H 1 H2 des Gesamtsystems schreibt man einen Zustand in der Form |1 : u i ; 2 : uj i. Dies bedeutet, dass das Teilchen
1 sich im Zustand {|ui i} und Teilchen 2 im Zustand {|uj i} befindet. Der Permutationsoperator
P12 tausche die beiden Teilchen aus: P12 |1 : ui ; 2 : uj i = |2 : ui ; 1 : uj i.
(b) Zeige, dass der Permutationsoperator zu sich selbst invers ist und berechne seine Eigenwerte.
(c) Zeige, dass die beiden Projektoren S = 21 (1 + P12 ) und A = 12 (1 − P12 ) auf die Unterräume
der Eigenzustände projizieren.
(d) Begründe die Bezeichnung ”Symmetrisierungs”- und ”Antisymmetrisierungsoperator” für A
und B.
Aufgabe 33(8 Punkte): Räumliche Korrelation zweier Teilchen
Betrachte zwei spinbehaftete freie Teilchen gleicher Masse ohne Wechselwirkung.
(a) Berechne den Ortsanteil der Gesamtwellenfunktion in Schwerpunkts- und Relativkoordinaten.
Berechne die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von der Relativkoordinate für:
(b) zwei unterscheidbare Teilchen ohne Spin (bosonisch), d.h. die Gesamtwellenfunktion hat nur
einen Ortsanteil.
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20. Januar 2005
12. Übung TPII WS2004/2005
(c) zwei unterscheidbare Teilchen mit Spin
1
2
(fermionisch).
(d) Zwei ununterscheidbare Teilchen ohne Spin (bosonisch). Beachte, dass die Wellenfunktion
symmetrisch im Sinne von Aufgabe 32 sein muss.
(e) Zwei ununterscheidbare Teilchen mit Spin 12 (fermionisch). Die Gesamtwellenfunktion (OrtsUND Spinanteil) muss antisymmetrisch im Sinne von Aufgabe 32 sein. Benutze die Ergebnisse von aus Aufgabe 31.
(f) Plotte die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für die Fälle bosonisch unterscheidbar, bosonisch
ununterscheidbar, fermionisch unterscheidbar, fermionisch ununterscheidbar singulett, fermionisch ununterscheidbar triplett.
(g) Schließe von den Ergebnissen auf das Pauliprinzip.