Anschauliches Beispiel für die Drehungsfreiheit beim

(Hoffentlich) Anschauliches Beispiel für die
Drehungsfreiheit beim Potentialwirbel
Thomas Albrecht
18. November 2007
Ausgangssituation: ein kleines Volumenelement (VE), welches sich durch
einen Potentialwirbel auf einer Kreisbahn bewegt, siehe Teil a) der folgenden
Abbildung.
Die inneren Eckpunkte des VE folgen der durchgezogenen grauen Linie mit dem
Radius r1 , die äußeren folgen der gepunkteten grauen Linie mit dem Radius r2 .
Für eine Bewegung nach Teil b) würde das VE während der Translation
entlang der grauen Linie noch eine Rotation erfahren. Dazu müsste die Tangentialgeschwindigkeit Uθ,2 auf dem äußeren Kreis offensichtlich größer sein, als
Uθ,1 auf dem inneren Kreis. In Bild b) ist die Winkelgeschwindigkeit ω auf beiden Radien konstant (angenommen), damit wäre die Tangentialgeschwindigkeit
Uθ = ω ∗ r, also Uθ ∝ r.
Bei einem Potientialwirbel gilt aber gerade
Uθ ∝ r−1
bzw.
Uθ = kr−1
k = const.
(1)
d. h., auf der äußeren Kreisbahn ist die Geschwindigkeit kleiner. Jetzt das anschauliche Beispiel: Verfolgt werden der Einfacheit halber nur zwei Eckpunkte
des kleinen VE während ihrer Bewegung auf Kreisbahnen mit r1 bzw. r2 =
r1 + ∆r innerhalb eines Potientialwirbels. Aus Gl. 1 folgt für die Position eines
Eckpunktes in Polarkoordinaten
θ = 2π
t
t
k
t
= 2π
= 2π
= 2 t,
T
L/Uθ
2πr/(kr−1 )
r
1
(2)
1.2
1.2
1
1
1
0.8
0.8
0.8
0.6
y
1.2
y
y
wenn er zur Zeit t = 0 bei θ = 0 startet (T ist die Umlaufzeit, L der Umfang
des Kreises). Zur besseren Ablesbarkeit wurden die Punkte in der folgenden
Abbildung mit einer roten Linie verbunden.
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0
0.2 0.4 0.6 0.8
x
1
1.2
0
0
0.2 0.4 0.6 0.8
x
1
1.2
0
0.2 0.4 0.6 0.8
x
1
1.2
Im linken Teil ist r1 = 1 und ∆r = 0.2, in der Mitte bzw. rechts sinkt ∆r auf 0.05
bzw. 0.02. Man erkennt, dass bei kleineren Abständen ∆r die Linie während der
Tanslation immer horizontaler bleibt, der Rotationsanteil also abnimmt. Für ein
infinitesimal kleines ∆r = dr wird die Linie nicht mehr rotieren. Das entspricht
dann der in Teil c) skizzierten Bewegung.
2