¨Ubungen zur Theoretischen Physik 1 (Mechanik)

Übungen zur Theoretischen Physik 1 (Mechanik)
SS 2008
4. Übungsblatt
(Bertram Klein, Wolfram Weise)
Besprechung ab 12. Mai 2008
Aufgabe 9 (Präsenzübung - Besprechung ab 12. Mai)
Die Lösung des Keplerproblems in ebenen Polarkoordinaten lautet
r(ϕ) =
p
.
1 + ε cos ϕ
Dabei ist r = |~r | der Betrag der Radialkoordinate, ϕ der Polarwinkel,
s
2 E l2
ε= 1+
µk 2
2
die Exzentrizität, p = µl k und µ die reduzierte Masse. Wir betrachten insbesondere das
System Sonne-Erde mit k = G mS mE ,
m3
,
kg sec2
mS ≡ mSonne = 1.99 · 1030 kg ,
mE ≡ mErde = 5.97 · 1024 kg .
G = 6.67 · 10−11
a) Welche Werte kann die Energie E bei vorgegebenem Drehimpuls l annehmen? Welcher
Bahn entspricht der minimale Wert von E?
b) Ausgehend vom dritten Kepler’schen Gesetz berechne man die große Halbachse der
Erdbahn unter Annahme von mS mE .
c) Berechnen Sie die große Halbachse der Ellipse, auf der sich die Sonne um den gemeinsamen Schwerpunkt Sonne-Erde bewegt. Vergleichen Sie mit dem Sonnenradius RS ≈
7 · 105 km.
(Bitte wenden!)
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Aufgabe 10 (Hausübung - 5 Punkte - Abgabe am 14. Mai 10:00)
Es sei ~r(t) die Bahn im Potential U (r) = − αr . Der Lenz’sche Vektor ist definiert als
~
~ = p~ × l − ~r
Λ
µα
r
mit p~ = µ~r˙, ~l = ~r × p~ und µ die reduzierte Masse.
~ ist eine Erhaltungsgröße.
a) (2P) Man zeige: Λ
~ zum Perihel der Bahnkurve zeigt, (Λ
~ · ~r =
b) (3P) Ausgehend von der Tatsache, dass Λ
~ r cos ϕ mit dem Polarwinkel ϕ), leiten Sie die Gleichung für r(ϕ) in Polarkoordi|Λ|
naten ab.
Zeigen Sie daraus: Der Betrag des Lenz’schen Vektors ist gleich der Bahnexzentrizität.
Aufgabe 11 (Hausübung - 6 Punkte - Abgabe am 14. Mai 10:00)
Untersuchen Sie die Stabilität einer Kreisbahn in einem Zentralpotential der Form
U (r) = −
K
n rn
mit n ≥ 1 und K > 0.
a) (1 P) Stellen Sie dazu die Bewegungsgleichungen für einen Massenpunkt m auf und
bestimmen Sie den Radius r0 der Kreisbahn zu gegebenem Drehimpuls `.
b) (3 P) Betrachten Sie eine kleine Störung ε mit r = r0 + ε um diese Kreisbahn. Stellen
Sie die Bewegungsgleichung für ε auf. Welche Bedingung muß erfüllt sein, damit eine
rücktreibende Kraft hin zum Radius r0 auftritt?
Für welche Werte von n ist daher eine stabile Kreisbahn möglich?
Hinweis: Entwickeln Sie die Bewegungsgleichung für die radiale Koordinate r aus a)
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für ε r0 und verwenden Sie (1+x)
n = 1 − nx + . . . für x 1.
c) (2 P) Zeigen Sie, dass im Falle der stabilen Kreisbahn der Massenpunkt nach einer
Störung kleine Schwingungen um die Bahn ausführt und dass die Störung ε(t) exponentiell anwächst, wenn die Stabilitätsbedingung nicht erfüllt ist.
Aufgabe 12 (Hausübung - 4 Punkte - Abgabe am 14. Mai 10:00)
Ein Erdsatellit bewegt sich auf einer Kreisbahn mit der Frequenz (Winkelgeschwindigkeit)
ω = 2πν.
a) (2P) Bestimmen Sie den Radius r der Kreisbahn als Funktion von ω.
b) (2P) Welcher Radius r0 ergibt sich für eine geostationäre Bahn?
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