6. Aufgabe aus ¨Ubungen zur Theoretischen Mechanik für LAK

6. Aufgabe aus
Übungen zur Theoretischen Mechanik für LAK
19. November 2013
Aufgabe 6.1
Betrachten Sie das Zweikörperproblem (Massen m1 und m2 ) mit Zentralpotential
V (|~r1 − ~r2 |). Für eine Kreisbewegung mit Radius R gilt
dVeff /dr R = 0.
Für welchen Wert des Drehimlulses L ist die Relativbewegung eine Kreisbewegung mit Radius R? Wie groß ist die Energie bei dieser Kreisbewegung? Wie groß ist die Umlaufdauer bei dieser Kreisbewegung?
Aufgabe 6.2
Ein Teilchen mit der Masse m bewegt sich in 3 Dimensionen unter Einfluss
einer Zentralkraft
k
V (r) = r2 .
2
Wie sieht das effektive Potential Veff (r) aus (Skizze)? Wie groß muss der
Drehimpuls des Teilchens sein, damit es sich auf einer Kreisbahn mit dem
Radius R bewegt? Wie groß ist die zugehörige Energie?
Aufgabe 6.3
Wie lautet das effektive Potential für die Bahn eines Erdsatelliten. Gehen
Sie bei der Lösung der folgenden Aufgabe von diesem effektiven Potential
aus.
Der Satellit bewege sich mit der Frequenz ω auf einer Kreisbahn. Bestimmen Sie den Radius ρ0 der Kreisbahn als Funktion ω. Welcher Radius
ergibt sich für eine geostationäre Bahn?
Aufgabe 6.4
Benutzen Sie die Gleichung
Z
φ(r) =
L dr
q
r2 2[E + αr −
L2
]/µ
2µr2
aus der Vorlesung, um mit Hilfe von
Z
dx
1
bx + 2c
√
= √ arcsin √
2
−c
x ax + bx + c
x b2 − 4ac
die Bahnkurve der Erde zu bestimmen.
Weitere Übungsaufgaben
Aufgabe 6.5
Bestimmen Sie die Kräfte für folgende Potentiale:
V (x) =
k 2 g 4
x + x ,
2
4
V (r) = −
α
,
r
V (r) = V0 cos r .
Aufgabe 6.6
Berechnen Sie aus E = Veff (r) die Umkehrpunkte rmin und rmax für folgende Potentiale:
V (r) = −
α
,
r
V (r) = −
g
,
r2
V (r) = λr .
Aufgabe 6.7
Ein Teilchen mit konstanter Masse wird durch eine Wiserstandskraft gebremst, deren Betrag durch die Funktion f (v) gegeben ist. Lösen Sie die
Bewegungsgleichung (Tipp: Separieren Sie die Gleichung m dv
dt − f (v) nach
v und t). Nach welcher Zeit T ist die Geschwindigkeit auf die Hälfte des
Anfansgwertes gesunken?
Wie sehen die Ergebnisse für f = λv und f = λv 2n+1 aus?
Aufgabe 6.8
Ein Raumschiff bewegt sich mit der Geschwindigkeit v(t) geradlinig durch
den (gravitationsfreien) Raum. Es sammelt dabei interstellaren Staub ein,
so dass seine Masse m mit der Rate dm
dt = cv zunimmt. Am Anfang sei
die Masse m0 und die Geschwindigkeit v0 .
Wie hängt die Geschwindigkeit von der Zeit ab? Wie ändert sich die Masse
im Lauf der Zeit?