1. ¨Ubungsblatt
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U NIVERSIT ÄT KONSTANZ
L EHRSTUHL F ÜR P RAKTISCHE I NFORMATIK
Prof. Dr. D. Wagner / T. Willhalm
Algorithmen und Datenstrukturen
WS 01
1. Übungsblatt
Abgabe: 26. Oktober 2001, 12 Uhr in den Fächern vor dem Sekretariat E212
Die Ausarbeitung der theoretischen Aufgaben muss in Einzelarbeit geschehen.
Aufgabe 1 (4 Punkte)
√
(a) Geben Sie für die Funktionen log n, n, n, n log n, n2 , n3 und 2n in einer Tabelle die Funktionswerte für n gleich 2, 4, 8, 16, 64, 128, 512, 1024 an. (Diese Aufgabe soll einen Eindruck über das
Wachstumsverhalten einiger Funktionen, die im Zusammenhang mit Laufzeitfunktionen häufig vorkommen, geben.)
(b) Zeigen oder widerlegen Sie:
• 7n + 12 log n ∈ O(n2 )
• n log n ∈ Ω(n2 )
• n log n ∈ O(n2 )
• n3 ∈ O(n2 )
Aufgabe 2 (4 Punkte)
P ROBLEM PRAEFIX-M INIMUM
Eingabe: Eine angeordnete Folge von n Zahlen a1 , . . . , an .
Ausgabe: Alle Präfix-Minima bk := min{ai |1 ≤ i ≤ k}, für 1 ≤ k ≤ n.
Geben Sie ein Verfahren zur Lösung von PRAEFIX-Minimum an, das eine Laufzeit von O(n) hat. Begründen Sie die Laufzeitaussage.
Geben Sie eine untere Schranke für die zur Lösung von PRAEFIX-Minimum benötigten MinimumBerechungen an. Begründen Sie Ihre Aussage.
Aufgabe 3 (4 Punkte)
P ROBLEM PAAR-S UMMEN
Eingabe: Eine Folge von n verschiedenen Zahlen a1 , . . . , an .
Ausgabe: Alle paarweisen Summen ai + aj , für 1 ≤ i < j ≤ n,
d.h. für alle Paare von Zahlen aus der Eingabe die Summe der beiden Zahlen.
Geben Sie eine untere Schranke für die zur Lösung von PAAR-Summe benötigten Additionen an. Begründen Sie Ihre Aussage.
Geben Sie ein laufzeitoptimales Verfahren zur Lösung von PAAR-Summe an. D.h. die Laufzeit Ihres Verfahren soll asymptotisch gleich der von Ihnen genannten unteren Schranke sein. Begründen Sie die Laufzeitaussage.
Aufgabe 4 (4 Punkte)
(a) P ROBLEM PRAEFIX-M ITTEL
Eingabe: Eine angeordnete Folge von n Zahlen a1 , . . . , an .
Pk
Ausgabe: Alle Präfix-Mittel bk := i=1 aki , für 1 ≤ k ≤ n.
Geben Sie ein Verfahren zur Lösung von PRAEFIX-Mittelwerte an, das eine möglichst gute Laufzeit
hat.
(b) Geben Sie eine untere Schranke (in asymptotischer Notation) für die Berechnung des Produktes
zweier n × n-Matrizen an. Begründen Sie Ihre Aussage.
