Algebra II

Algebra II
Prof. Dr. M. Rost
Übungen — Blatt 4 (SS 2016)1
Abgabetermin: Freitag, 13. Mai
http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/a2
Erinnerungen an die Vorlesung:
Im Folgenden werden manchmal einige Definitionen und Bemerkungen aus der
Vorlesung zusammengefaßt. Man kann die meisten Dinge auch in Büchern oder
auf den auf der Homepage angegebenen Links nachlesen.
Anmerkungen und Hinweise sind ausdrücklich erwünscht (per Email oder in der
Vorlesung).
Funktorialität
Siehe Vorlesung.
Für einen R-Modul M haben wir die Tensoralgebra, die symmetrische und die
äußere Algebra von M betrachtet:
T (M) =
∞
M
M ⊗k
S(M) =
k=0
∞
M
SkM
Λ(M) =
∞
M
Λk M
k=0
k=0
Diese Konstruktionen für Moduln erweitern sich auf R-Modulhomomorphismen
auf naheliegende Weise:
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Fassung vom 8. Mai
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Definition 1. Für einen R-Modulhomomorphismus
f
M−
→N
seien
T (f ) : T (M) → T (N)
S(f ) : S(M) → S(N)
Λ(f ) : Λ(M) → Λ(N)
die R-Algebrenhomomorphismen, die auf dem jeweiligen ersten Summanden
M ⊗1 = S 1 M = Λ1 M = M
durch f gegeben sind.
Diese R-Algebrenhomomorphismen erhält man aus der entsprechenden universellen Eigenschaft. Sie erhalten die Graduierung der Algebren und im Grad k sind
sie gegeben durch die R-Modulhomomorphismen
f ⊗k : M ⊗k → N ⊗k
S k (f ) : S k (M) → S k (N)
Λk (f ) : Λk (M) → Λk (N)
mit
f ⊗k (x1 ⊗ · · · ⊗ xk ) = f (x1 ) ⊗ · · · ⊗ f (xk )
S k (f )(x1 · · · xk ) = f (x1 ) · · · f (xk )
Λk (f )(x1 ∧ · · · ∧ xk ) = f (x1 ) ∧ · · · ∧ f (xk )
Es gilt
Lemma 2. Für die Identität
idM : M → M
idM (x) = x
erhält man jeweils die identische Abbildung auf der entsprechenden Algebra:
T (idM ) = idT (M ) ,
S(idM ) = idS(M ) ,
Für R-Modulhomomorphismen
f
g
M−
→N −
→P
gilt
T (g ◦ f ) = T (g) ◦ T (f )
S(g ◦ f ) = S(g) ◦ S(f )
Λ(g ◦ f ) = Λ(g) ◦ Λ(f )
Λ(idM ) = idΛ(M )
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Beweis. Dies ist offensichtlich erkennbar aus den oben angegeben Formeln. Wer
will, mag Lemma 2 auch mit Hilfe der Eindeutigkeit in den universellen Eigenschaften begründen.
Die Aussage von Lemma 2 wird auch als die “Funktorialität” der “Funktoren”
T , S, Λ verstanden.
Die Konstruktionen von T (M), T (f ), etc. sind Beispiele von Funktoren, und
zwar hier von Funktoren von der Kategorie der R-Moduln in die Kategorie der RAlgebren. Wie in der Vorlesung besprochen, wollen wir auf die Begriffe “Funktor”
und “Kategorie” nicht weiter eingehen. Wer will, kann dies woanders nachlesen.
Die Funktoren T , S, Λ sind als erste Beispiele hervorragend geeignet.
Vorbemerkung zu freien Moduln vom Rang 1
Wie aus der LA bekannt, wird jeder Endomorphismus f eines n-dimensionalen
Vektorraumes V über einem Körper K nach Wahl einer Basis B durch eine Matrix
Af = MBB (f ) ∈ Mn (K)
dargestellt. Wählt man eine andere Basis, so erhält man eine ähnliche Matrix:
SAf S −1
wobei S ∈ GLn (K) den Basiswechsel beschreibt.
Im 1-dimensionalen Fall (n = 1) erhält man hier eine 1×1-Matrix, also ein Skalar
Af ∈ K. Dieses ist eindeutig bestimmt, denn weil M1 (K) = K kommutativ ist,
sind ähnliche Matrizen identisch.
Dieser (langweilige) Spezialfall begegnet uns nun aber auch im n-dimensionalen
Fall, nämlich in Gestalt des 1-dimensionalen Vektorraumes
Λn V
Weil die Sache so fundamental ist, soll sie hier nochmals ausgeführt werden,
natürlich nicht nur für Vektorräume über Körpern, sondern für R-Moduln:
Lemma 3. Es sei P ein freier R-Modul vom Rang 1. Dann ist jeder Endomorphismus von P (als R-Modul) gegeben durch Multiplikation mit einem eindeutig
bestimmten Element aus R. Anders gesagt: Die Abbildung
µ : R → EndR (P )
µ(a)(x) = ax
ist ein Isomorphismus.
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Beweis. Es sei f : P → P ein Endomorphismus.
Man wähle eine Basis e ∈ P , d.h. die Abbildung
R→P
b 7→ be
ist bijektiv.
Dann gilt
f (e) = ae
für ein (eindeutig bestimmtes) a ∈ R. Es ist klar, daß f durch die Multiplikation
mit a gegeben ist:
f (p) = f (be) = bf (e) = b(ae) = abe = ap
Wir bezeichnen mit
τ : EndR (P ) → R
die Inverse von µ. Damit hat man
f (x) = τ (f )x
Manchmal ist es bequem, die Inverse in der Form
f (e)
τ (f ) =
e
zu schreiben, wobei e ein beliebiges Basis-Element ist.
Λn und die Determinante
Siehe Vorlesung.
Hier ist die wahrhaft beste Definition der Determinante eines Endomorphismus:
Definition 4. Es sei M ein freier R-Modul vom Rang n. Das Element
det(f ) := τ (Λn f ) ∈ R
heißt die Determinante von f .
Es folgen einige Erklärungen dazu.
Ist M ein freier R-Modul vom Rang n, so ist Λn M ein freier R-Modul vom Rang 1
(siehe Korollar 14 auf Blatt 3).
Zu jedem Endomorphismus
f ∈ End(M)
haben wir den Endomorphismus Λn f , der einfach eine Zahl aus R ist (mittels τ ):
τ
Λn f ∈ End(Λn M) −
→R
Diese Zahl ist die Determinante von f .
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Nochmal: Ist
f
M−
→M
x 7→ f (x)
ein Endomorphismus, so erhalten wir den Endomorphismus
Λn f
Λn M −−→ Λn M
x1 ∧ · · · ∧ xn 7→ f (x1 ) ∧ · · · ∧ f (xn )
Ist nun
v1 , . . . , vn
eine Basis von M, so ist das Element
ω := v1 ∧ · · · ∧ vn ∈ Λn M
eine Basis von Λn M. Man erhält folgende Formel für die Determinante:
det(f ) =
Λn f (ω)
f (v1 ) ∧ · · · ∧ f (vn )
=
ω
v1 ∧ · · · ∧ vn
Die Beziehung zur Determinante det(A) einer Matrix aus der LA (definiert etwa
durch die Leibniz-Formel) wird beschrieben durch:
Lemma 5. Es sei
A ∈ Mn (R)
eine n × n Matrix mit den Spalten
wi = Aei ∈ Rn
wobei ei die Standardbasis des Rn ist.
Dann gilt
w1 ∧ · · · ∧ wn = det(A)e1 ∧ · · · ∧ en
Anders geschrieben:
det(A) =
Ae1 ∧ · · · ∧ Aen
e1 ∧ · · · ∧ en
Beweis. Wie in der Vorlesung diskutiert, bekommt man das aus der Charakterisierung der Determinant einer Matrix durch gewisse Eigenschaftem. . . Wichtig
ist dabei, daß der Ausdruck
w1 ∧ · · · ∧ wn
multilinear und alternierend in den Spalten wi der Matrix ist.
Es ist damit klar, daß die neue Definition
det(A) := τ (Λn A)
mit der aus der LA bekannten Definition übereinstimmt.
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Die bekannte Formel
det(AB) = det(A) det(B)
erhält man mit der neuen Definition sofort aus der Funktorialität (Lemma 2)
Λn (AB) = Λn (A) ◦ Λn (B)
Zur Illustration: Im Fall einer 2 × 2-Matrix
a c
A=
b d
ergibt explizites Nachrechnen (mit Basis e, f von R2 )
Ae ∧ Af = (ae + bf ) ∧ (ce + df )
= ac(e ∧ e) + ad(e ∧ f ) + bc(f ∧ e) + bd(f ∧ f )
= 0 + ad(e ∧ f ) − bc(e ∧ f ) + 0
= (ad − bc)(e ∧ f )
= det(A)(e ∧ f )
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Die universelle Eigenschaft für Λk
Die folgende Eigenschaft ist nützlich zur Definition von Abbildungen auf den
äußeren Potenzen Λk M eines Moduls:
Proposition 6. Es seien M und P R-Moduln. Für jede R-multilineare Abbildung
f : Mk = M
· · × M} → P
| × ·{z
k Faktoren
die alternierend ist, also mit
f (x1 , . . . , xk ) = 0
falls xi = xi+1 für ein 1 ≤ i < k
gibt es genau einen R-Modulhomomorphismus
f : Λk M → P
mit
f (x1 ∧ · · · ∧ xk ) = f (x1 , . . . , xk )
Beweis. Die R-Multilinearität sichert schon mal die Existenz von
fˆ: M ⊗k → P
mit
fˆ(x1 ⊗ · · · ⊗ xk ) = f (x1 , . . . , xk )
(universelle Eigenschaft des Tensorproduktes).
Nun gilt (siehe Blatt 3, Lemma 5, Definition 6).
M ⊗k
Jk
Nach der universellen Eigenschaft des Gruppen-Quotienten reicht es nachzuprüfen, daß fˆ auf Jk trivial ist. Dies ist aber genau die angegebene Bedingung (f
is alternierend).
Λk M :=
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Diesmal wieder nur 3 Aufgaben.
Notation: Für Elemente
v0 , . . . , vk ∈ M
und einen Index i (0 ≤ i ≤ k) wird mit
ωi (v0 , . . . , vk ) := v0 ∧ · · · ∧ vbi ∧ · · · ∧ vk
:= v0 ∧ · · · ∧ vi−1 ∧ vi+1 ∧ · · · ∧ vk ∈ Λk M
das Dach-Produkt der vr unter Auslassung von vi bezeichnet.
Aufgabe 1. Man zeige:
(1) Für v0 , . . . , vk ∈ M gilt
v0 ∧ · · · ∧ vn = (−1)i vi ∧ ωi (v0 , . . . , vk )
(2) Es gibt einen R-Modul-Homomorphismus
κ : Λk+1M → M ⊗ Λk M
mit
κ(v0 ∧ · · · ∧ vn ) =
k
X
(−1)i vi ⊗ ωi (v0 , . . . , vk )
i=0
Hinweis. Benutzen Sie Proposition 6.
Aufgabe 2. Es sei M = R2 . Wir identifizieren Λ2 M mit R mittels der Basis
e1 ∧ e2 . Für v, w ∈ M wird also
v ∧ w ∈ Λ2 M
mit
v∧w
= det(v, w) ∈ R
e1 ∧ e2
identifiziert.
Für Elemente
v1 , v2 , v3 ∈ M
zeige man
(v2 ∧ v3 )v1 + (v3 ∧ v1 )v2 + (v1 ∧ v2 )v3 = 0
Hinweis. Die linke Seite ist alternierend in den vi .
Anmerkung. Dies bekommt man in der LA1 aus
det(v1 , v2 , v3 ) = 0
und der Laplace-Entwicklung.
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Aufgabe 3. Dies ist eine Fortführung von Blatt 3, Aufgabe 4.
Es sei K ein Körper und V = K 4 . Es sei char K 6= 2.
Man zeige: Ein Element
α ∈ Λ2 V
ist genau dann von der Form
α= v∧w
mit v, w ∈ V falls
α∧α =0
Hinweis. Aus der Vorlesung ist bekannt, daß α von der Form
α = v1 ∧ w1 + v2 ∧ w2
ist.
Anmerkung. Die quadratische Form
P : Λ2 V → Λ4 V ≃ K
P (α) = α ∧ α
ist bekannt unter dem Namen Plücker-Form.