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Übungen Physik VI (Kerne und Teilchen)
Sommersemester 2008
Übungsblatt Nr. 10
Bearbeitung bis 10.07.2008
Aufgabe 1: SU(2)-Symmetrie
(5 Punkte)
Die Darstellung von Spins in einem Spin-1/2-System durch zweidimensionale Spinoren kann analog auf das Isospindublett aus u- und d-Quark übertragen werden:
u-Quark =
1
0
!
(Isospin up)
d-Quark =
0
1
!
(Isospin down)
Durch eine SU(2)-Transformation kann z.B. ein u-Quark in ein d-Quark umgewandelt werden oder umgekehrt. Da der Isospin in der starken Wechselwirkung erhalten
ist, hat eine solche Transformation keine Auswirkungen auf diese Wechselwirkung.
Dies gilt für alle möglichen SU(2)-Transformationen im dreidimensionalen Isospinraum. Diese Transformationen U, die U + U = UU + = 1 und det U = 1 erfüllen
müssen, sind durch folgende Formel gegeben:
1
θ
θ
U = exp iθn̂ · τ = 1 cos + in̂ · τ sin
2
2
2
Dabei ist 1 die Einheitsmatrix, θ der Drehwinkel, n̂ ein dreidimensionaler Einheitsvektor, der die Drehachse im Isospinraum angibt, und τ ein Vektor von drei 2 × 2Matrizen:


τ1

τ =  τ2 

τ3
τ1 =
0 1
1 0
!
τ2 =
0 −i
i 0
!
τ3 =
1 0
0 −1
!
!
u
Durch eine solche SU(2)-Transformation wird ein beliebiger Isospinor
mit der
d
Isospin-up-Komponente u und der Isospin-down-Komponente
d überführt in einen
!
u′
:
im Isospinraum gedrehten Isospinor
d′
u′
d′
!
=U·
u
d
!
a) Bestimmen Sie die Matrizen U1 , U2 und U3 für die Rotation um die drei Achsen
im Isospinraum (n1 = (1, 0, !
0), n2 = (0, 1, 0), n3 = (0, 0, 1)) und wenden Sie
u
diese auf den Isospinor
an.
d
1
b) Zeigen Sie, dass für Antiquarks dieselben Transformationsmatrizen
U verwen!
¯
d
det werden können, wenn man das Isospindublett als
definiert1 :
−ū
d¯′
−ū′
!
=U·
d¯
−ū
!
Wenden Sie dazu die Ladungskonjugation (u → ū, d → d¯ und
! komplex konjuu
gieren) auf den um U1 , U2 bzw. U3 gedrehten Spinor
aus dem vorigen
d
Aufgabenteil an, und vergleichen
! Sie diese Spinoren mit den um U1 , U2 bzw.
d¯
U3 gedrehten Spinoren
.
−ū
¯ ein Isospin-Singulett ist, indem
c) Zeigen Sie, dass das ω-Meson ( √12 (uū + dd))
Sie die Invarianz unter Rotation um jede der drei Achsen zeigen. Was ändert
sich an der Argumentation, wenn man statt des ω-Mesons die η-Mesonen betrachtet? Wie wirken sich Isospin-Transformationen auf das φ-Meson aus?
d) Drehen Sie das π + -Meson (ud̄) im Isospinraum um 90◦ bzw. 180◦ einmal um
die erste und einmal um die zweite Achse (U1 (90◦ )π + , U1 (180◦ )π + , U2 (90◦ )π + ,
U2 (180◦ )π + ). Welche Zustände erhalten Sie?
e) Die Auf- und Absteigeoperatoren, die die I3 -Komponente eines Zustandes um
eins erhöhen bzw. erniedrigen, sind gegeben durch:
1
I± = (τ1 ± iτ2 )
2
Schreiben Sie die beiden Operatoren als Matrix, und ermitteln Sie wie sie
¯
auf u-, d-, ū- und d-Quarks
wirken. Zeigen Sie mit Hilfe der Auf- und Absteigeoperatoren, dass das ω-Meson ein Isospin-Singulett und die Pionen ein
Isospin-Triplett bilden. (Beachten Sie, dass nach der Produktregel I± q q̄ =
(I± q)q̄ + q(I± q̄) ist.) Wie sehen Isospin-Singulett und -Triplett aus, wenn man
statt eines Systems aus Quark und Antiquark (2 × 2̄-Gruppe) ein System aus
zwei Quarks hat (2 × 2-Gruppe)?
1
Bei der Ladungskonjugation ändern die additiven Quatenzahlen ihr Vorzeichen, d.h. I3 (ū) =
¯ = +1/2 (Isospin up)
−1/2 (Isospin down) und I3 (d)
2
Aufgabe 2: Deuteron-Wellenfunktion
(3 Punkte)
Näherungsweise kann das Potential von Proton und Neutron im Deuteron durch
ein zentralsymmetrisches Kastenpotential der Tiefe −V0 und Radius r0 ≈ 1.4 fm
beschrieben werden:
(
−V0 für r < r0
V (r) =
0 für r > r0
Betrachten Sie die radiale Schrödingergleichung für den Grundzustand (l = 0) des
Deuterons:
d2 u 2m
u(r) 0
ψ(~r) =
+ 2 (E − V )u = 0
Y
2
dr
r 0
h̄
Was muss hier als Masse m eingestezt werden? Lösen Sie die Gleichung für r < r0
und r > r0 unter den Randbedingungen u(r = 0) = 0 und u(r → ∞) = 0 und
benutzen Sie die Stetigkeitsbedingung für die Wellenfunktion und deren Ableitung,
um die Tiefe des Potentials abzuschätzen. Gehen Sie von der Näherung aus, dass
die Bindungsenergie B = 2.25 MeV viel kleiner als V0 ist. Ist diese Näherung gerechtfertigt?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Nukleonen bei einem Radius r < r0
aufhalten?
3