Approximations- und Onlinealgorithmen

Fakultät für Informatik
Professur Theoretische Informatik
und Informationssicherheit
Prof. Dr. Hanno Lefmann
Wintersemester 2007/08
Approximations- und Onlinealgorithmen
11. Übung
Ein Hypergraph H = (V, E) besteht aus der Knotenmenge V und einer Menge E von Hyperkanten. Eine Hyperkante e ∈ E ist dabei eine Teilmenge von V der Kardinalität mindestens
1. Ein k−uniformer Hypergraph ist ein Hypergraph, bei dem jede Kante genau k Knoten
enthält. Eine Menge I ⊆ V ist unabhängig, wenn keine Kante aus E komplett in I liegt.
Aufgabe 1
Wir betrachten das Problem, eine möglichst große Teilmenge I aus {1, . . . , n} zu wählen, so
dass für keine Auswahl a, b, c, d von paarweise verschiedenen Zahlen aus I gilt, dass a + b =
c + d ist.
a) Formulieren Sie das Problem als Problem, in einem k−uniformen Hypergraphen H
eine möglichst große unabhängige Menge zu finden.
b) Wie viele Kanten kann Ihr konstruierter Hypergraph in Abhängigkeit von n höchstens
enthalten?
c) In der Vorlesung haben wir für die Fälle r = 2, 3 eine untere Schranke für die Unabhängigkeitszahl eines r−uniformen Hypergraphen (Satz von Turan) angegeben. Bestimmen Sie analog dazu eine untere Schranke für α(H) für Ihren k−uniformen Hypergraphen aus a).
Aufgabe 2
Verteilt man Greedy im T × T -Gitter Punkte, mit dem Ziel, dass je zwei Paare von verschiedenen Punkten verschiedene Steigungen besitzen, dann verbieten sich durch die Auswahl
eines neuen Punktes verschiedene andere Punkte für die Zukunft. Man erhält, dass bei x
schon vorhandenen Punkten
für die Zahl der neu verbotenen Punkte eine obere Schranke
von x + x(x − 1) + x2 T gilt. Bestimmen Sie möglichst genau, wieviele Punkte so mindestens im Gitter platziert werden können.
Aufgabe 3
Für zwei Punkte a = (ax , ay ) und b = (bx , by ) des T × T -Gitters sei der Abstandsvektor der
Vektor (ax − bx , ay − by ). Wir sagen, dass zwei Paare von Punkten den gleichen Abstand
besitzen, wenn der Abstandsvektor des einen Paares in den des anderen Paares überführbar
ist, indem seine Komponenten beliebig negiert und vertauscht werden. Beschreiben und
analysieren Sie ein Verfahren, welches möglichst viele Punkte so verteilt, dass keine zwei
Paare von verschiedenen Punkten den gleichen Abstand besitzen.