Übungen zur Vorlesung Mathematische Modellierung

Prof. Dr. M. Burger, Dr. H. Dirks, M.Sc. Judith Berendsen
WS 15/16
Übungen zur Vorlesung Mathematische Modellierung
Übungsblatt 8, Abgabe bis Freitag, 8. 1. 2016, 10.00 Uhr
Aufgabe 1: Schwärme(n) für die Mathematik (4 Punkte)
Schwarmsysteme sind eine spezielle Form von Partikelsystemen. Jeder Partikel des Systems ist in der Lage auf seine Umwelt zu reagieren. Gut erforscht ist das Verhalten vom
Heringsschwarm, der von selbst seine Richtung blitzschnell ändern kann, und daher wie
ein einziger Organismus wirkt. Dies schützt ihn in gewissem Maÿe vor Angreifern. Obwohl es keinen Anführer in diesem System gibt, kommt es trotzdem zu koordiniertem
Verhalten. Dies beruht im Wesentlichen auf den Prinzipien der Kollisionsvermeidung,
Geschwindigkeits- und Richtungsanpassung und der Gruppenzusammengehörigkeit. Im
Idealfall bewegen sich die Fische in einem Schwarmsystem mit einer bevorzugten Geschwindigkeit in einem bevorzugten Abstand voneinander. Wird der bevorzugte Abstand
unter- oder überschritten, neigen die Fische dazu den Idealabstand wieder einzunehmen,
d.h. es wirkt eine abstoÿende bzw. anziehende Kraft.
a) Modellieren Sie das Schwarmverhalten von N Fischen mit den Newton'schen Bewegungsgleichungen und geben Sie eine mögliche funktionale Form für ein passendes Potential an.
b) Skalieren Sie das Modell und leiten Sie eine geeignete Näherung her.
Aufgabe 2: Zwei Körper-Problem (4 Punkte)
Wir wollen die Bewegung eines Planeten der Masse mP um eine Sonne der Masse mS
beschreiben. Dazu seien xP (t) und xS (t) die Positionen von Planeten und Sonne und
x(t) = xP (t) − xS (t)
der Abstand zwischen Sonne und Planeten.
a) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen für Sonne und Planeten auf. Berechnen Sie die
kinetische Energie
Ekin = Σi mi
|x0i |2
2
und die potentielle Energie
1
Epot = − Σi Σj Vij (|xi − xj |),
2
wobei Vij eine Stammfunktion von Hij ist, und verizieren Sie, dass die Gesamtenergie
E = Ekin + Epot
eine Erhaltungsgröÿe ist.
b) Zeigen Sie, dass sich die Bewegung der Erde um die Sonne durch die Gleichung
mP x00 (t) = −G0 mP m
x(t)
|x(t)|3
mit der Gravitationskonstante G0 und der Gesamtmasse m = mS + mP beschreiben lässt.
Aufgabe 3: Kepler'sche Gesetze (4 Punkte)
Wir beschreiben mit der Funktion
t → x(t) = xP (t) − xS ,
die Bahn des Planeten relativ zur Sonne und vernachlässigen die Bewegung der Sonne.
Wir können zeigen, dass Energie und Drehimpuls,
E=
−G0 mP m mP 0 2
+
|x |
|x|
2
bzw. L = mP x × x0 ,
Erhaltungsgröÿen sind. Mit Hilfe der Polarkoordinaten
cos ϕ
x=r
sin ϕ
lässt sich aus den Erhaltungssätzen das folgende System herleiten:
|L|
mP
E
G0 m
=2
(ϕ̇)2 + r2 (ϕ̇)2 − 2
.
r
mP
(1)
r2 ϕ̇ =
(2)
a) Betrachten Sie r als Funktion von ϕ und zeigen Sie, dass
p
r=
1 + e cos ϕ
|L|2
mit p =
,
G0 mm2P
s
e=
1+
2E|L|2
G20 m2 m3P
den Gleichungen (1) und (2) genügt.
b) Wir betrachten den Fall e < 1. Beweisen Sie mit Hilfe der Polarkoordinaten das 1.
Kepler'sche Gesetz: Der Planet bewegt sich auf einer elliptischen Bahn um die Sonne.
Leiten Sie dazu die Ellipsengleichung
(x1 + ea)2 x22
+ 2 =1
a2
b
mit geeigneten Konstanten a, b her.
Hinweis: e ist die numerische Exzentrität, d.h. es gilt e2 = 1 − ( ab )2 .
c) Beweisen Sie das 2. Kepler'sche Gesetz: Der Abstandsvektor x überstreicht in einem
gegebenen Zeitintervall ∆t stets die gleiche Fläche A∆t . Nutzen und begründen Sie, dass
für ∆t = t2 − t1 gilt
Z
A ∆t =
1
2
t2
|x(t) × x0 (t)|dt.
t1
Hinweis: Betrachten Sie dafür die Bahn dx des Planeten für eine Zeitgröÿe dt. Ist dt klein
genug, so entspricht die überstrichene Fläche einem Dreieck zusammen mit einer Fläche,
die vernachlässigt werden kann.
Aufgabe 4: Schwärme(n) für die Mathematik: Programmieraufgabe Abgabe 15. Januar
(4 Punkte)
Programmieren Sie das Modell, welches sie in Aufgabe 1 entwickelt haben auf einem
quadratischem Gebiet.
Hinweis: Gehen Sie von ca. 20 Fischen aus, die jeweils ca. 30 cm lang und 0.2 kg schwer
sind. Die Fische sollten zufällig im Gebiet platziert werden. Der bevorzugte Abstand
d0 zwischen den Fischen sollte nicht mehr als eine Fischlänge betragen. Wird er unteroder überschritten, so soll der Fisch seine Schwimmrichtung geeignet ändern um den
Idealabstand zu erreichen. Gehen Sie von einer Wunschgeschwindigkeit von 0.3m/s aus.
Betrachten Sie eine geeignete Relaxationszeit τ = 101 [s].