R.Mohr ME1 Blatt4 VektorrechnungII WS2015/16

R. Mohr ME 1 Blatt 4 Vektorrechnung II WS 2015/16
Aufgabe 1: Eine Straßenlampe hängt in der Mitte eines über die Straße gespannten Seiles,
das infolge des Durchhangs einen Winkel von 20o mit der Waagrechten bildet und im
Höchstfall mit 120N belastet werden dar. Wie schwer darf die Lampe höchstens sein?
f~2
f~1
~g
~ |
|G
| f~1 | · sin 20◦ = 2
;
20o
~ | = 2| f~1 | sin 20◦ = 2 · 120 · sin 20◦ ≈ 82, 0848 . . .
|G
Aufgabe 2:
d~R
~c
d~F
~b
~a
a) d~F = ~a + ~b
| d~F |2 = (~a +~b)2 = ~a ·~a + ~b·~b + 2 |{z}
~a · ~b = 9+25−2·3·5· 12 = 19
|~a||~b| cos 120◦
b) d~R = ~a + ~b + ~c
1
;
|d~F | =
√
19
| d~R |2 = (~a + ~b + ~c)2
= ~a · ~a + ~b · ~b + ~c · ~c +
|d~F |
~b · ~c
2 |{z}
~a · ~b
+
2 |{z}
~a · ~c
+
2 |{z}
|~a||~c| cos 120◦
|~a||~b| cos 120◦
|~b||~c| cos 60◦
= 9 + 25 + 4 − 2 · 3 · 5 · 12 − 2 · 3 · 2 · 12 + 2 · 5 · 2 · 12 + = 27 ;
√
27
=
~
c) cos ϕ1 = dR · ~a
|d~R ||~a|
−1
3
d~R · ~a = (~a + ~b + ~c) · ~a = ~a · ~a + ~b · ~a + ~c · ~a = 3 · 3 + 3 · 5 · −1
2 + 3·2· 2 = − 2
− 32
cos ϕ1 = √
; ϕ1 = 95, 5218 . . .◦
3 27
~ ~
cos ϕ2 = dR · b
|d~R ||~b|
1
45
d~R · ~b = (~a + ~b + ~c) · ~b = ~a · ~b + ~b · ~b + ~c · ~b = 3 · 5 · −1
2 + 5·5 + 5·2· 2 = 2
√
45
2
cos ϕ2 = √
= 23 ; ϕ2 = 30◦
5 27
~
cos ϕ3 = dR · ~c
|d~R ||~c|
1
d~R · ~c = (~a + ~b + ~c) · ~c = ~a · ~c + ~b · ~c + ~c · ~c = 3 · 2 · −1
2 + 5·2· 2 + 2·2 = 6
6
cos ϕ3 = √
= √1
; ϕ3 = 54, 73561 . . .◦
3
2 27
d) Projektion von ~x auf Richtung ~y :
d =
3
|d~ · ~a|
d~ auf ~a: d1 =
= 2 = 21
|~a|
3
45
|d~ · ~b|
d~ auf ~b: d2 =
= 2 = 92
~
5
|b|
6
|d~ · ~c|
d~ auf ~c: d3 =
=
= 3
|~c|
2
2
|~x · ~y |
|~y |
Aufgabe 3:
a) Abtrieb x: |~v H | : |~v F | = 100 : x
x =
100 · |~v F |
= 200
3
|~v H |
|~v F |
= 32
|~v H |
; ϕ = 48, 189 . . .◦
b) tan ϕ =
~v R
~v F
c) Für die Überequerung ist nur der
senkrecht zur Fließrichtung verlaufende Anteil der resultierenden Geschwindigkeit maßgebend.
p
√
|~v H |2 − |~v F |2 = 0, 2
|~v R | =
im Fall b)
~v H
Ta bzw. Tb seien die Überquerungszeiten im Fall a) bzw. b):
p
|~v H |2 − |~v F |2
Tb : Ta = |~v H | :
~v H
~v F
~v R
Aufgabe 4:
y
~a
2.5
d
g
x
5
3
In der xy-Ebene stellt die Gleichung ~a · ~x = b eine Geradengleichung dar:
x + 2y = 5
1
wobei der Vektor
senkrecht auf der Geradenrichtung steht.
2
√
Die Größe b = √ 5
= 5 stellt den Abstand der Geraden zum Ursprung dar.
|~a|
4+1
~a
~a
E
~x2
~x1
Sämtliche Vektoren, die die Gleichung ~a · ~x = b erfüllen, liegen in einer Ebene senkrecht zu
~a . Die Größe b bestimmt den Abstand zum Nullpunkt.
|~a|
4
x3
E
x2
~x
x1
Aufgabe 5: Gegeben sind die Vektoren ~a und ~b mit | ~a | = 2, | ~b | = 5 und ](~a, ~b) = 45o .
a) Welchen Winkel schließen die Vektoren ~u = ~a − 2~b und ~v = 3~a + 2~b ein?
~u · ~v = (~a − 2~b) · (3~a + 2~b)
= 3~a · ~a − 4~b · ~b − 4~a · ~b
√
◦
=
−
88
−
20
2
= 3 · 2 · 2 − 4 · 5 · 5 − 4 · 2 · 5 · cos
45
| {z }
√
=
2
2
~u · ~u = (~a − 2~b) · (~a − 2~b)
= ~a · ~a + 4~b · ~b − 4~a · ~b
√
◦
= 2 · 2 + 4 · 5 · 5 − 4 · 2 · 5 · cos
| {z45} = 104 − 20 2
=
√
2
2
5
~v · ~v = (3~a + 2~b) · (3~a + 2~b)
= 9~a · ~a + 4~b · ~b + 12~a · ~b
√
◦
= 9 · 2 · 2 + 4 · 5 · 5 + 12 · 2 · 5 · cos
45
2
=
136
+
60
| {z }
√
=
2
2
√
−88
−
20
~
u
·
~
v
q 2
cos ϕ =
= q
√
√
|~u| · |~v |
104 − 20 2 · 136 + 60 2
ϕ = 154, 058 . . .◦
b) Wie groß ist der Flächeninhalt des von ~u und ~v aufgespannten Dreiecks?
~u × ~v = (~a − 2~b) × (3~a + 2~b)
× ~}b
= 3 ~a
× ~a} + 2~a × ~b − 6~b × ~a − 4 ~b| {z
| {z
=~
o
=~
o
= 8~a × ~b
√
√
1
◦
~
~
F∆ = 2 |~u × ~v | = 4|~a × b| = 4|~a||b| sin 45 = 4 · 2 · 5 · 22 = 20 2
Aufgabe 6: Es seien ~ı, ~, ~k die Einheitsvektoren eines kartesischen
Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke:
~i × (~j + ~k) − ~j × (~i + ~k) + (~i + ~j − ~k) × ~k
a)
~
~
~k −
 ×~ı − ~ × ~k + ~|ı ×
= ~ı × ~ + ~|ı ×
{z k} − ~|{z}
{z k} + ~| ×
| {z }
{z }
|{z}
−~

−~

~k
~ı
~ı
−~
k
= 2~k − 2~
b)
~i × [~j × (~k × ~i) + (~j × ~k) × ~i + (~j × ~i) × (~j × ~k)]
= ~ı × [~ × ~ + ~ı ×~ı + (−~k ×~ı)
= ~ı × [−~] = − ~k
6
Koordinatensystems.
~k × ~k
| {z }
~o
Aufgabe 7:
x2
C
γ
~b
~a
1
hc
α
β
A
x1
~c
1
B


1
~ =  −2  = ~c
AB
2
 
0
~

1
AC =
2
|~a| =
= ~b
|~b| =
√
√
~b · ~c
=
|~b| · |~c|
cos β = ~a · ~c =
|~a| · |~c|
cos α =
10
5
3·
3·
2√
5
7
√
10
;
α ≈ 72.65
;
β ≈ 42.45
|~c| = 3
; γ = 180 − α − β ≈ 64.19
1
~ =  −3  = ~a
CB
0


~e1 ~e2 ~e3 √
6
√
~b × ~c = 0 1 2 =  2 
~
|b × ~c| = 36 + 4 + 1 ; F∆ = 241
1 −2 2 −1
√
|~b × ~c|
41 ≈ 2.1344
hc =
=
3
|~c|
√
|~b × ~c|
hb =
= √41 ≈ 2.8636
~
5
|b|
√
|~b × ~c|
ha =
= √41 ≈ 2.0248
|~a|
10


Aufgabe 8: (~a ·~b)2 +(~a ×~b)2 = |~a|2 ·|~b|2 ·cos2 ϕ + |~a|2 ·|~b|2 ·sin2 ϕ = |~a|2 ·|~b|2
7
ϕ = ](~a, ~b)