Semestralklausur zu Logik

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Matr.-Nr.:
Universität Duisburg-Essen
Ingenieurwissenschaften / Informatik
Dozent: Prof. Dr. Barbara König
WS 2012/13
22. Februar 2013
Klausur
Semestralklausur zu Logik
Hinweise:
• Es gibt 6 Aufgaben, für die insgesamt 40 Punkte zu vergeben sind.
• Zur Bearbeitung der Aufgaben stehen Ihnen 120 Minuten zur Verfügung.
• Die Klausur ist bestanden, wenn 50% der Punkte (also 20 Punkte) erreicht werden.
Aufgabe 1
Kurze Behauptungen
(7 Punkte)
Nehmen Sie Stellung zu den folgenden Behauptungen zur Aussagen- und Prädikatenlogik. Geben
Sie jeweils eine kurze Begründung an. Antworten ohne Begründung erhalten keine Punkte!
(a) Aus einer Formel F lässt sich eine Formel G genau dann folgern, in Zeichen F |= G, wenn
¬F ∧ ¬G unerfüllbar ist.
(b) Eine Menge M von Operatoren ist genau dann vollständig, wenn alle Operatoren der
Menge {¬, ∨, ∧} mit Hilfe der Operatoren aus M dargestellt werden können.
(c) Bei der aussagenlogischen Resolution von zwei beliebigen Klauseln gibt es immer genau
einen Resolventen.
(d) Es gibt eine prädikatenlogische Formel mit einem überabzählbaren Herbrand-Universum,
das heißt, das zugehörige Herbrand-Universum enthält überabzählbar viele Elemente.
(e) Jede prädikatenlogische Formel F kann in eine äquivalente Formel F 0 umgewandelt werden,
die keine Existenzquantoren enthält.
(f) Mit Hilfe der aussagenlogischen Resolution kann von einer beliebigen Formel in Klauselform
überprüft werden, ob diese erfüllbar ist.
Aufgabe 2
Folgerungen
(8 Punkte)
Gegeben seien die unten stehenden Folgerungen. Überprüfen Sie jeweils, ob die angegebene
Folgerung korrekt ist, indem Sie die Folgerung beweisen, oder ein Gegenbeispiel angeben.
(a) A ∧ B |= ¬A → B
(b) (A ∨ ¬B) ∧ ¬C |= (¬A ∨ C) → (B ∨ C)
(c) (A ∧ ¬C) → (B ∨ C) |= ¬A ∨ B ∨ C
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Aufgabe 3
Knf und Dnf
(4 Punkte)
Gegeben seien die folgenden Formeln:
(a) F = ¬(A → B) ∧ (¬B → (¬A ∨ C))
(b) G = (A ↔ (¬B ∧ C)) ∨ (¬C → B)
Wandeln Sie die beiden Formeln mit Hilfe der Gesetze aus der Vorlesung in zwei äquivalente
Formeln F 0 und F 00 bzw. G0 und G00 um, so dass die Formeln F 0 und G0 in konjunktiver sowie
die Formeln F 00 und G00 in disjunktiver Normalform sind. Geben Sie bei der Umwandlung jeweils
ausreichend Zwischenschritte und die verwendeten Äquivalenzgesetze an.
Aufgabe 4
Strukturen
(8 Punkte)
Bei den folgenden Formeln Fi (i = 1, 2, 3) handelt es sich um erfüllbare, aber nicht gültige
Formeln. Geben Sie für die Formeln je eine passende Struktur Ai an, so dass Ai ein Modell
für die Formel Fi ist (i = 1, 2, 3). Begründen Sie Ihre Antworten. Antworten ohne Begründung
erhalten keine Punkte.
(a) F1 = P (a) ∨ ∀x P (f (x))
(b) F2 = ∀x P (x) → ∃y Q(y, x)
(c) F3 = ∀x∃y R(x, y) ∧ ∀z R(x, z) → y = z
Aufgabe 5
Normalformen in der Prädikatenlogik
(6 Punkte)
(a) Geben Sie für die folgende Formel F eine erfüllbarkeitsäquivalente Formel in Klauselform
an. Geben Sie dabei außerdem jeweils die folgenden Formeln als Zwischenschritte an:
• die zu F äquivalente, bereinigte Formel,
• die zu F äquivalente Formel in Pränexform und
• die zu F erfüllbarkeitsäquivalente Formel in Skolemform.
F = ¬∃x P (x) ∧ ∀y R(x, y) ∧ R(a, b) → ∀x∃y R(x, y) ∧ ∀x R(x, y)
(b) Beschreiben Sie die allgemeine Umwandlung einer Formel, die in Pränexform vorliegt, in
eine erfüllbarkeitsäquivalente Formel in Skolemform.
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Aufgabe 6
Resolution in der Prädikatenlogik
(7 Punkte)
(a) Gegeben sei das folgende Paar von Klauseln:
{P (x, f (y)), ¬Q(f (x)), ¬Q(y)} und {¬P (f (x), f (x)), Q(f (y))},
wobei x und y Variablen sowie P und Q Prädikatensymbole sind und f ein Funktionssymbol
ist.
Bestimmen Sie jeweils alle prädikatenlogischen Resolventen, die sich aus den jeweiligen
Paaren von Klauseln herleiten lassen. Sie brauchen dabei nur solche Resolventen zu
betrachten, die sich durch unterschiedliche allgemeinste Unifikatoren herleiten lassen.
Resolventen, die sich nur durch Variablenumbenennung voneinander unterscheiden, sollen
nur einmal angegeben werden.
Beispiel: Für die beiden Klauseln {P (x, y), Q(x)} und {¬Q(f (x))} reicht es aus, den
Resolventen {P (f (z), y)} anzugeben. Ein anderer Resolvent wäre zwar {P (f (u)), y)},
allerdings unterscheiden sich die beiden Resolventen nur durch eine Variablenumbenennung.
(b) Gegeben sei die folgende Klauselmenge:
{¬P (x, y), ¬P (f (a), x), ¬Q(y)}, {P (f (x), y)}, {¬P (y, g(b, x)), Q(b)} ,
wobei x, y und z Variablen, a und b Konstantensymbole, f und g Funktionssymbole sowie
P und Q Prädikatensymbole sind. Zeigen Sie mittels prädikatenlogischer Resolution, dass
die Klauselmenge unerfüllbar ist.
(Insgesamt werden für diese Klausur 40 Punkte vergeben.)
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