Institut für Geometrie und Topologie

Institut für Geometrie und Topologie
Prof. Uwe Semmelmann
Dr. Tillmann Jentsch
Übungsblatt 1: Ebene Kurven
Für die Gruppenübungen am 17.04.2012
Aufgabe 1. Sei α : (0, π) → R2 die ebene Kurve definiert durch
t α(t) := sin(t), cos(t) + ln(tan( )) .
2
Die Spur von α wird auch Schleppkurve genannt.
Zeige: Die Kurve α ist unendlich oft differenzierbar. Sie ist regulär in t 6= π/2 , aber sie ist nicht regulär in
t = 0 . Zeichnen Sie die Spur von α !
Loesung: Die ebene Kurve α ist differenzierbar, da dies für ihre beiden Komponenten, sin(t) und cos(t) +
ln(tan( 2t )) , zutrifft. Wir berechnen die Ableitungen:
d
sin(t) = cos(t) ,
dt
d
t
1
1
(cos(t) + ln(tan( ))) = − sin(t) +
·
.
t
2
dt
2
2 cos( 2 ) tan( 2t )
(1)
(2)
Mit Hilfe des Additionstheorems für den Sinus läßt sich (2) weiter vereinfachen:
1
1
1
1
1
t 2 ·
t =
t ·
t = sin(t)
2 cos( 2 ) tan( 2 )
2 cos( 2 ) sin( 2 )
Wir sehen: Falls t 6= π/2, so (1) nicht Null, insbesondere α̇(t) 6= 0 , d.h. α ist in t regulär. Für t = π/2
verschwindet sowohl (1) als auch (2). Also α̇(π/2) = 0 , daher ist α in t = π/2 nicht regulär.
Ein Bild der Schleppkurve (oder Tractrix) zusammen mit einer sehr schönen Erklärung findet sich auf der
englischsprachigen Wikipediaseite http://en.wikipedia.org/wiki/Tractrix
Aufgabe 2. Seien reelle Zahlen a > 0 und b < 0 gegeben. Wir betrachten die ebene Kurve α : R → R2 mit
α(t) = (a eb t cos(t), a eb t sin(t)) .
Diese Kurve wird logarithmische Spirale genannt. Zeige:
(a) Die Spur von α erfüllt die Gleichung r = a eb θ . Hierbei seien (r, θ) die üblichen ebenen Polarkoordinaten.
(b) Die Kurve α nähert sich für t → ∞ beliebig nah dem Ursprung und windet sich dabei unendlich oft
um diesen herum.
Zeichnen Sie die Spur von α !
Loesung: Zu (a): In Polarkoordinaten (r, θ) ist α wie folgt gegeben,
r(t) = a eb t ,
θ(t) = t .
Daraus folgt die Behauptung.
Zu (b): Wir behalten die Notation aus (a) bei. Wegen b < 0 folgt eb t → 0 für t → ∞ . Also r(t) = a eRb t → 0 für
∞
t → ∞ . Wir definieren die Windungszahl einer Kurve α : [t0 , ∞) → R2 \ {0} durch W (α) := 21π t0 θ̇(t)dt .
R∞
Für θ(t) = t haben wir θ̇(t) = 1 und daher t0 θ(t)dt = ∞ für jedes t0 . Also gilt W (α|[t0 ,∞) ) = ∞ für jedes
t0 , d.h. jedes Kurvenendstück α|[t0 ,∞) windet sich unendlich oft um den Ursprung.
Ein Bild findet sich unter http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmische_Spirale. In der Vorlesung
wurde die logarithmische Spirale für a = b = 1 defniert (Beispiel 1.3 (7)). Also muss man von t auf −t
transfomieren, damit das Verhalten für t → ∞ das Selbe wie das der logaritmischen Spirale aus unserer
Aufgabe ist.
Aufgabe 3. Sei I ein Intervall, X und Y differenzierbare Kurven I → R2 und α : I → R2 eine zweimal
differenzierbare Kurve. Zeige:
(a) Es gilt die Produktregel
d
hX(t), Y (t)i = hẊ(t), Y (t)i + hX(t), Ẏ (t)i .
dt
Hierbei bezeichne h·, ·i das gewöhnliche Skalarprodukt auf R2 .
Hinweis: Verwenden Sie die gewöhnliche Produktregel für reellwertige Funktionen auf I .
(b) Der Geschwindigkeitsvektor α̇(t) hat genau dann konstante Länge, wenn hα̇(t), α̈(t)i = 0 für alle t ∈ I .
Hinweis: Verwenden Sie Teil (a).
Lösung: Teil (a) sollte klar sein. Zu (b): Wir wenden Teil (a) mit X(t) = Y (t) = α̇(t) an. Dann folgt
d
hα̇(t), α̇(t)i = hα̇(t), α̈(t)i + hα̈(t), α̇(t)i = 2 hα̇(t), α̈(t)i .
dt
(3)
Hat also α̇(t) konstante Länge, so ist hα̇(t), α̇(t)i = kα̇(t)k2 konstant, also verschwindet die linke und damit
auch die rechte Seite von (3). Umgekehrt, wenn die rechte Seite von (3)verschwindet, so verschwindet die
Ableitungp
von hα̇(t), α̇(t)i , also ist diese Funktion konstant (da auf einem Intervall definiert). Dann ist auch
kα̇(t)k = hα̇(t), α̇(t)i konstant.