Springer-Lehrbuch

Springer-Lehrbuch
Grundwissen Mathematik
Ebbinghaus et al.: Zahlen
Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie
Hämmerlin† /Hoffmann: Numerische Mathematik
Koecher† : Lineare Algebra und analytische Geometrie
Lamotke: Riemannsche Flächen
Leutbecher: Zahlentheorie
Remmert/Schumacher: Funktionentheorie 1
Remmert: Funktionentheorie 2
Walter: Analysis 1
Walter: Analysis 2
Herausgeber der Grundwissen-Bände im Springer-LehrbuchProgramm sind: F. Hirzebruch, H. Kraft, K. Lamotke,
R. Remmert, W. Walter
Klaus Lamotke
Riemannsche
Flächen
Mit 53 Abbildungen
123
Klaus Lamotke
Universität zu Köln
Mathematisches Institut
Weyertal 86–90
50931 Köln, Deutschland
e-mail: [email protected]
Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar.
Mathematics Subject Classification (2000): 30Fxx, 32C15
ISBN 3-540-57053-5 Springer Berlin Heidelberg New York
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Gedruckt auf säurefreiem Papier
SPIN: 10070447
44/3142YL - 5 4 3 2 1 0
Vorwort
Riemanns Idee, die Funktionentheorie nicht auf den klassischen Fall ebener
Definitionsgebiete zu beschränken, sondern auf beliebige Flächen auszudehnen, ist 150 Jahre alt und hat seither die Entwicklung der Mathematik
stark beeinflußt. In dieser dem Grundwissen der Mathematik gewidmeten
Lehrbuchreihe folgt daher auf die Darstellung der klassischen Funktionentheorie durch R. Remmert der vorliegende Band über Riemannsche Flächen.
Große Teile des Stoffes wurden zwischen 1961 und 2001 in Vorlesungen vorgetragen oder in Übungen, Seminaren und Hausarbeiten von Studenten bearbeitet. Die Erfahrung, daß man nur bescheidene Vorkenntnisse
erwarten darf, wenn man einen größeren Kreis von Interessenten erreichen
will, hat sich in diesem Buch niedergeschlagen. Nur die Grundlagen der
reellen Analysis und komplexen Funktionentheorie, der Algebra und der Allgemeinen Topologie werden bis zu folgenden Niveaus vorausgesetzt: klassische
Residuentheorie; endliche Körpererweiterungen; Hausdorffräume, Kompaktheit und Zusammenhang.
Die Stoffauswahl orientiert sich an den bedeutenden Ergebnissen, die
Riemann, Weierstraß und ihre Nachfolger erreichten. Das ist der Stoff, den
H. Weyl in sein einflußreiches Buch von 1913 aufnahm (Entwicklung der allgemeinen Theorie bis zur Uniformisierung und zur Formel von Riemann -Roch)
und das, was er im Vorwort erwähnte, aber bewußt wegließ: projektive Kurven, elliptische Funktionen, die Theta -Funktion.
Während sich Riemanns Veröffentlichungen und Weyls Buch auf die Darstellung der allgemeinen Theorie beschränken, wird sie im vorliegenden Buch
häufig unterbrochen, um spezielle Flächen und ihre Funktionen zu betrachten.
Dazu gehören die elliptischen Funktionen (Kapitel 2), die einfachsten Modulfunktionen und ihre Anwendungen (Kapitel 5) sowie spezielle Flächen mit
vielen Symmetrien. Sie werden unter anderem benutzt, um den Leser mit neu
eingeführten Begriffen (z.B. Differentialformen in Kapitel 7) und allgemein
gültigen Theoremen anhand von Beispielen vertraut zu machen.
Die Riemannschen Flächen leben von ihren zahlreichen Beziehungen zu
mathematischen Nachbargebieten. Um sie zu erfassen, wird in den folgenden
Kapiteln auch die Topologie kompakter Flächen entwickelt, wird die Fundamentalgruppe mit ihrer Beziehung zur Überlagerungstheorie behandelt, werden Garben, Homologie und Cohomologie definiert und werden Einführungen
VI
Vorwort
in so verschiedene Gebiete wie die projektive Geometrie und die Potentialtheorie geboten.
Einige Nachbargebiete haben ihre historischen Wurzeln in der Theorie
Riemannscher Flächen. Bei anderen wurden die Beziehungen im Laufe der
Zeit geknüpft. Insgesamt durchziehen viele mathematische Ideen, die manchmal bis in die Antike zurückreichen und sich im 19. Jahrhundert häufen, wie
die Fäden eines Knäuels die Entstehung und Entwicklung der Riemannschen
Flächen. Zahlreiche in den Text eingestreute historische Bemerkungen weisen
bei passenden Gelegenheiten darauf hin.
Die Ergebnisse, welche im folgenden präsentiert werden, sind zum großen
Teil mehr als 100 Jahre alt. Trotz aller Rücksicht auf die Historie werden
sie in der mathematischen Sprache und mit Beweisen des ausgehenden 20.
Jahrhunderts formuliert.
Das vorliegende Buch wurde vor 10 Jahren als gemeinsames Projekt von
Reinhold Remmert und dem Autor begonnen. Erste Entwürfe von Kapiteln
mit vorwiegend analytischen Aspekten wurden von R. Remmert und solche
mit topologischen Aspekten vom unterzeichnenden Autor verfaßt und anschließend vom Partner eingehend kritisiert. Bei mehreren Aufenthalten im
Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach konnten wir uns in intensiven Gesprächen austauschen, um eine optimale Darstellung zu erreichen.
Äußere Umstände führten dazu, daß die Herstellung der finalen Version allein
dem unterzeichnenden Autor zufiel und er damit die Verantwortung für die
vorliegende Gestalt des Buches übernimmt.
Es ist nicht möglich, alle Kollegen und Studenten zu nennen, deren Hinweise und kritische Bemerkungen im Laufe der Jahre dieses Buch beeinflußten. Die Volkswagen-Stiftung ermöglichte im Rahmen des Programms
Research in Pairs” die erwähnten Aufenthalte in Oberwolfach. Frau A.
”
Rother (Köln) schrieb mit großer Sorgfalt und Geduld die sich wandelnden
Versionen des Textes. Ihnen allen, den Mitarbeitern des Springer-Verlages,
welche das Projekt auch in kritischen Phasen wohlwollend unterstützten, und
ganz besonders Reinhold Remmert, ohne den das Buch nicht begonnen und
vollendet worden wäre, gilt mein herzlicher Dank.
Köln, im Mai 2004
Klaus Lamotke.
Hinweise zur Gliederung. Die 15 Kapitel sind in Paragraphen und diese
in Abschnitte unterteilt. Zweistellige Hinweise beziehen sich auf ganze Paragraphen, z.B. 13.1, und dreistellige auf einzelne Abschnitte oder Aufgaben,
z.B. 13.1.5 oder 13.7.6. Kleingedruckte Passagen enthalten historische Bemerkungen und Ausblicke, die Ausführung spezieller Beispiele und marginaler
Bezüge zum Haupttext sowie topologische Beweise, deren Methoden sonst
nicht gebraucht werden.
Inhaltsverzeichnis
1
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Riemannsche Flächen und ihre Abbildungen . . . . . . . . . . . . .
1.2 Liftungs - und Quotientenprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Holomorphe Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Endliche Abbildungen. Überlagerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Deckgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Meromorphe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
7
11
14
17
20
22
2
Tori und elliptische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Elliptische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Die ℘-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Abelsches Theorem für elliptische Funktionen . . . . . . . . . . . .
2.4 Die Entdeckung der elliptischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Reduzierte Basen. Torusabbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Normale Abbildungen der Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
24
26
30
33
36
39
41
3
Fundamentalgruppe und Überlagerungen . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Fundamentalgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Monodromie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Holomorphe Überlagerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Analytische Fortsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Abzählbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Unverzweigte normale Überlagerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Konstruktion von Überlagerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Die Fundamentalgruppe einer Vereinigung . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
43
47
52
53
55
58
60
62
66
4
Verzweigte Überlagerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Orbitprojektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Endliche Automorphismengruppen der Zahlenkugel . . . . . . .
4.3 Diskontinuierliche Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
68
69
76
VIII
Inhaltsverzeichnis
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
Komplexe Mannigfaltigkeiten und Garben . . . . . . . . . . . . . . .
Orbitflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verzweigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verzweigte normale Überlagerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Universelle verzweigte Überlagerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
81
82
85
88
91
5
Die
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
J - und λ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modulgruppe und Modulbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reduktionstheorie binärer Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die J-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die λ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eigenschaften der λ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anwendungen der λ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modulflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
93
97
99
103
105
108
112
115
6
Algebraische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Funktionen auf endlichen Überlagerungen . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Riemannsche Gebilde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Puiseux-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Minimalpolynome und Automorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Funktionenkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
117
120
125
126
129
132
7
Differentialformen und Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1 Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Riemann-Hurwitzsche Formel. Automorphismen . . . . . . . . . .
7.3 Residuum. Invariante Formen. Spur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Die Abelsche Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Eine Charakterisierung der Tori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Homologie und Cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8 Logarithmische Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
135
138
142
144
147
149
151
153
155
8
Divisoren und Abbildungen in projektive Räume . . . . . . .
8.1 Positive Divisoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Holomorphe Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Abbildungen in projektive Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Schnittdivisoren und Linearscharen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Multiplizität. Schnittzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6 Anzahl der Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
157
160
162
166
169
173
175
Inhaltsverzeichnis
9
IX
Ebene Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1 Projektive und affine Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Normalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Schnitt-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Singularitäten. Tangenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Die duale Kurve. Eine Formel von Clebsch . . . . . . . . . . . . . . .
9.6 Plückersche Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177
178
180
182
186
187
191
195
10 Harmonische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Die Poissonsche Integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Dirichletsches Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Subharmonische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5 Gelochte Flächen. Abzählbarkeit der Topologie . . . . . . . . . . .
10.6 Greensche Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7 Elementarpotentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
197
198
201
204
206
208
211
213
216
11 Riemannscher Abbildungssatz und Uniformisierung . . . . .
11.1 Der Abbildungssatz für reiche Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Der Abbildungssatz für arme Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Uniformisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Abelsche Fundamentalgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5 Der Satz von Poincaré-Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.6 Dreiecksgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.7 Dreiecksparkettierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
218
219
220
222
223
225
228
235
238
12 Polyederflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1 Flächenkomplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Kombinatorische Klassifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Fundamentalgruppe und Homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 Die Zerschneidung Riemannscher Flächen . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5 Riemannsche Periodenrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
240
240
245
248
251
253
255
13 Der
13.1
13.2
13.3
13.4
258
258
261
263
264
Satz von Riemann-Roch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beweis des Satzes von Riemann-Roch . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die kanonische Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Darstellungen der Automorphismengruppe . . . . . . . . . . . . . . .
Der Satz von Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X
Inhaltsverzeichnis
13.5 Weierstraß-Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
13.6 Weitere Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
13.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
14 Der
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
14.6
Periodentorus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vom Additionstheorem zum Periodentorus . . . . . . . . . . . . . . .
Perioden. Abelsches Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Analytische Eigenschaften der Periodenabbildung . . . . . . . . .
Symmetrische Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Linearscharen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
273
273
275
278
281
284
286
15 Die
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
15.7
15.8
Riemannsche Thetafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Weg zur Riemannschen Thetafunktion . . . . . . . . . . . . . . .
Thetafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Darstellung meromorpher Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Über das Verschwinden der Thetafunktionen . . . . . . . . . . . . .
Der Torellische Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Polarisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Schottkysche Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
288
288
291
295
300
303
307
309
311
Literaturverzeichnis
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
Namensverzeichnis
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
1. Grundlagen
Bernhard Riemann wurde am 17.9.1826 als Sohn eines Predigers in Breselenz (heute Jameln-Breselenz in Niedersachsen) geboren. Nach dem Abitur in
Lüneburg begann er Ostern 1846 in Göttingen mit dem Studium der Theologie, wechselte aber seinen Neigungen entsprechend nach einem Semester
zur Mathematik und Physik. Schon in den Herbstferien 1847 entwickelte er
Ideen für eine neue Grundlage der komplexen Funktionentheorie. Nachdem
er zum Wintersemester 1847/48 nach Berlin gegangen war, erörterte er seine
Vorstellungen mit dem drei Jahre älteren Eisenstein, der sich gerade habilitierte. Eisenstein scheint die Ideen nicht gebilligt zu haben. Er beharrte auf
dem formalen Rechnen mit Reihen als Grundlage.
Riemann fiel es schwer, seine Gedanken zu formulieren. Erst im November 1851 reichte er in Göttingen seine Dissertation [Ri 2] über Grundlagen
”
für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen
Größe“ ein. Gutachter war der bereits 74 Jahre alte Gauß. Er ging auf den
Inhalt der Arbeit überhaupt nicht ein, lobte aber die gründlichen und tief
”
eindringenden Studien des Verfassers in demjenigen Gebiete, welchem der
zu behandelnde Gegenstand angehört“ ; siehe dazu [Re 2], S. 158 f. Seine
höchste Anerkennung teilte er Riemann mündlich mit: Er bereite seit Jahren
eine Schrift über denselben Gegenstand vor.
In den ersten vier Abschnitten der Dissertation stellt Riemann die CauchyRiemannschen Differentialgleichungen als Grundlage der komplexen Funktionentheorie vor. Der 5. Abschnitt beginnt: Für die folgenden Betrachtungen
”
beschränken wir die Veränderlichkeit der Größen x, y auf ein endliches Gebiet, indem wir als Ort des Punktes O nicht mehr die Ebene A selbst,
sondern eine über dieselbe ausgebreitete Fläche T betrachten. Wir wählen
diese Einkleidung, bei der unanstössig sein wird, von aufeinander liegenden
Flächen zu reden, um die Möglichkeit offen zu lassen, dass der Ort des Punktes O über denselben Theil der Ebene sich mehrfach erstrecke, setzen jedoch
für einen solchen Fall voraus, ... .“
Hier schließt eine längere Erörterung an, in welcher Weise T über A ausgebreitet ist. Im weiteren Verlauf der Dissertation bemüht sich Riemann, die
Neuartigkeit seiner Ideen herunterzuspielen und dem Leser klarzumachen,
daß man auf der Fläche T genauso einfach wie in der Zahlenebene eine
Funktionentheorie aufbauen kann. Gauß meinte: ... der größte Theil der
”
2
1. Grundlagen
Leser möchte wohl in einigen Theilen noch eine größere Durchsichtigkeit
der Anordung wünschen.“ Über 100 Jahre später schreibt Dieudonné [Di 2],
p. 48: L’on voit Riemann, prèsque systématiquement, penser à côté (suivant
”
l’expression de Hadamard), abordant chaque problème d’une façon à laquelle
aucun de ses prédésseurs n’avait songé.“
In der Tat wurden Riemanns Ideen von seinen Zeitgenossen zwar bewundert, aber kaum angenommen. Erst durch Felix Kleins beredtes Eintreten
wurden die Riemannschen Flächen gegen Ende des 19. Jahrhunderts verbreitet anerkannt. Ein wichtiges Ereignis war Weyls Buch von 1913, in dem er
die Riemannschen Flächen von der Ausbreitung über der Zahlenebene löste
und sie als Mutterboden ansah, auf dem die analytischen Funktionen wachsen
und gedeihen können, vergleiche [Wyl 1], S. VII.
Welchen Nutzen eine Funktionentheorie auf nicht-ebenen Bereichen hat, erläutert Riemann in seiner Dissertation nicht. Dies wird erst in seiner großen
Abhandlung Ueber die Theorie der Abel’schen Funktionen [Ri 3] deutlich,
die er sechs Jahre später veröffentlichte : Dank seiner Flächen gelingt es, die
Schwierigkeiten zu überwinden, welche die Mehrdeutigkeit der algebraischen
Funktionen älteren Mathematikern bereitete, als sie versuchten, solche Funktionen zu integrieren, vgl. Kleins Bericht über Jacobis Integrationsversuche,
[Klei 5], S. 110 ff. Riemann erkennt als Ursache der Mehrdeutigkeit die topologische Gestalt der Fläche. Daher spielt im vorliegenden Buch die Topologie
eine wichtige Rolle. Wir setzen die Grundbegriffe der allgemeinen Topologie als bekannt voraus und beginnen die Entwicklung weiterer topologischer
Methoden mit der Fundamentalgruppe im 3. Kapitel.
1.1 Riemannsche Flächen und ihre Abbildungen
Zu den Grundbegriffen der Funktionentheorie gehört die Holomorphie für
Funktionen f : U → C , deren Definitionsbereich U ⊂ C offen ist. Holomorph in diesem Sinne wird im folgenden als klassisch holomorph bezeichnet.
Es war Riemanns Idee, statt der Ebene C auch andere Flächen X zuzulassen
und die Holomorphie für Funktionen f : U → C zu erklären, deren Definitionsbereich U ⊂ X offen ist. So entstehen Riemannschen Flächen.
1.1.1 Holomorphe Atlanten. Riemannsche Flächen. Ein holomorpher
Atlas A = {(Ui , hi )} auf einem topologischen Raum X besteht aus einer
Überdeckung von X durch offene Mengen Ui ⊂ X und Homöomorphismen
hi : Ui → hi (Ui ) ⊂ C , die im folgenden Sinne holomorph verträglich sind:
Die Bilder hi (Ui ) sind offen in C , und für jedes Paar i, j ist
(1)
hj ◦ h−1
: hi (Ui ∩ Uj ) → hj (Ui ∩ Uj )
i
klassisch biholomorph, siehe die Figur 1.1.1. Man nennt die Paare (Ui , hi )
Karten von A und die Abbildungen (1) Kartenwechsel.
1.1 Riemannsche Flächen und ihre Abbildungen
hi
Ui
3
hi(Ui)
hj°hi-1
Uj
hj(Uj)
hj
Fig. 1.1.1 Zwei Karten (Ui , hi ) , (Uj , hj ) und ihr Kartenwechsel hj ◦ h−1
i .
Sei U ⊂ X offen. Eine Funktion f : U → C heißt holomorph bezüglich A ,
wenn für jede Karte (Uj , hj ) ∈ A die Funktion
hj (U ∩ Uj ) → C , z → f ◦ hj−1 (z) ,
klassisch holomorph ist. Wenn U ⊂ Uk liegt, genügt wegen der Biholomorphie der Kartenwechsel, daß f ◦ h−1
auf hk (U ) klassisch holomorph ist.
k
Sämtliche Funktionen f : U → C , die bezüglich A holomorph sind,
bilden einen Ring O(U, A) . Er enthält alle konstanten Funktionen und ist
daher eine C-Algebra. Alle Funktionen f ∈ O(U, A) sind stetig. Genau dann,
wenn f ∈ O(U, A) keine Nullstelle hat, gehört 1/f zu O(U, A) .
Zwei Atlanten A und B für X heißen äquivalent, wenn A ∪ B ein holomorpher Atlas ist, d.h. wenn für je zwei Karten h aus A und k aus B der
Kartenwechsel h ◦ k −1 biholomorph ist. Eine Äquivalenzklasse holomorpher
Atlanten heißt holomorphe Struktur auf X . Die Vereinigung aller Atlanten
einer holomorphen Struktur heißt maximaler Atlas.
Wenn A und B äquivalent sind, gilt O(U, A) = O(U, B) für jede offene
Menge U ⊂ X . Nach Festlegung einer holomorphen Struktur gehört also zu
jeder offenen Menge U ⊂ X die Algebra
O(U ) := O(U, A)
der holomorphen Funktionen. Dabei ist A irgendein Atlas der Struktur.
Folgendes aus der klassischen Theorie, d.h. für offene Mengen in C
bekannte Ergebnis überträgt sich nach Festlegung einer holomorphen Struktur auf offene Mengen in X .
Lokal-Global-Prinzip.
Für jede Familie {Uj } von offenen Mengen und
ihre Vereinigung U = Uj gilt: Eine Funktion f : U → C ist genau dann
holomorph, wenn alle Beschränkungen f |Uj holomorph sind.
Die fundamentale Definition lautet:
Eine Riemannsche Fläche ist ein Hausdorff raum X zusammen mit einer
holomorphen Struktur auf X .
Unter einer n-dimensionalen topologischen Mannigfaltigkeit versteht man
einen Hausdorff-Raum X , der zum Rn lokal homöomorph ist: Jeder Punkt in
4
1. Grundlagen
X besitzt eine Umgebung, die zu einer offenen Menge des Rn homöomorph
ist. Riemannsche Flächen sind also zweidimensionale Mannigfaltigkeiten.
Die Zahlenebene C ist eine Riemannsche Fläche. Jede offene Teilmenge einer
Riemannschen Fläche ist selbst eine Riemannsche Fläche. Folgende offene
Teilmengen von C sind daher Riemannsche Flächen:
die Kreisscheiben Er := {z ∈ C : |z| < r} für r > 0 ,
insbesondere die Einheitskreisscheibe E := E1 ,
die obere Halbebene H := {z ∈ C : Im z > 0} und
die punktierte Ebene C× := C \ {0} .
Historisches. Atlanten finden sich in Kleins Göttinger Vorlesungen des Wintersemesters 1891/92 über Riemannsche Flächen, siehe [Klei 4], S. 26: Eine zweidimen”
sionale, geschlossene, mit einem Bogenelement ds2 ausgestattete Mannigfaltigkeit
[= kompakte Fläche mit einer Riemannschen Metrik], welche keine Doppelmannigfaltigkeit [d.h. orientierbar] ist, ist jedenfalls dann als Riemannsche Fläche zu
brauchen, wenn man sie mit einer endlichen Zahl von Bereichen dachziegelartig
überdecken kann, deren jeder eindeutig und konform auf eine schlichte Kreisscheibe
abgebildet werden kann.“ Die Dachziegelüberdeckungen sind holomorphe Atlanten.
Der Übergang zwischen Dachziegeln (Kartenwechsel) ist wegen der Konformität automatisch biholomorph. Atlanten mit unendlich vielen Karten sind für Klein noch
suspekt.– Weyl vergißt in [Wyl 1] das Hausdorffsche Trennungsaxiom zu fordern.
Die Karten nennt er Ortsuniformisierende.
:= C ⊎ {∞} entsteht aus der
1.1.2 Die Riemannsche Zahlenkugel C
Zahlenebene C , indem man einen unendlich fernen Punkt ∞ hinzufügt und
mit folgender Definition zunächst zu einem Hausdorffraum macht:
C
sind die offenen Mengen in C und die Mengen
Die offenen Mengen in C
(C \ K) ∪ {∞} , wobei K alle Kompakta in C durchläuft. Die Umgebungen
von ∞ sind also die Komplemente der Kompakta in C .
besteht aus den zwei Karten (C, id) und (C
\ {0}, h) ,
Ein Atlas für C
wobei h(z) = 1/z für z = ∞ und h(∞) = 0 ist. Der Kartenwechsel
zu
h ◦ id−1 : C× → C× , z → 1/z , ist holomorph. Der Atlas macht C
einer Riemannschen Fläche, die zur Sphäre
S 2 := {(w, t) ∈ C × R : |w|2 + t2 = 1}
homöomorph ist. Denn die stereographische Projektion (Figur 1.1.2)
, π(w, t) := w/(1 − t) für t = 1 und π(0, 1) := ∞ ,
(1) π : S 2 → C
wie
ist bijektiv und stetig, also ein Homöomorphismus. Insbesondere ist C
S 2 kompakt und zusammenhängend.
Wir geben die Umkehrabbildung π −1 explizit an: Sei N := (0, 1) ∈ S 2 der
Nordpol. Die Gerade durch N und x = (w, t) = N besteht aus den Punkten
sx + (1 − s)N = (sw, st + 1 − s) , s ∈ R .
Sie schneidet die Äquatorebene {t = 0} in π(x) = (z, 0). Das trifft für z = sw
mit s := 1/(1 − t) zu. Aus |w|2 + t2 = |x|2 = 1 und w = (1 − t)z erhält
man nach kurzer Rechnung für die Umkehrabbildung neben π −1 (∞) = N
die Gleichungen
1.1 Riemannsche Flächen und ihre Abbildungen
5
t-Achse
x
w-Ebene
•
• /(x)
Fig. 1.1.2. Die stereographische Projektion π : Man
zieht eine Gerade durch den
Nordpol und x ∈ S 2 . Sie
trifft die komplexe w-Ebene
in π(x) .
|z|2 − 1
2z
2z
|z|2 − 1
.
+
N
,
d.h.
w
=
,
t
=
|z|2 + 1 |z|2 + 1
|z|2 + 1
|z|2 + 1
ist somit ein reell-analytischer Isomorphismus,
Die Abbildung π : S 2 → C
2
der S \ {N } konform, d.h. winkel- und orientierungstreu, auf C abgebildet.
π −1 (z) = x =
Riemann führte die Zahlenkugel im Wintersemester 1858/59 in seinen Vorlesungen
über die hypergeometrische Reihe, ein [Werke, 3. Aufl., S. 678/79]. In seinen Publikationen kommt sie nicht explizit vor. Die erste Veröffentlichung, die (unter Berufung
auf Riemanns Vorlesungen) die Zahlenkugel enthält, stammt von Neumann [Neu],
S. VI und S. 131 ff., siehe auch [Klei 1] II, S. 256.
1.1.3 Holomorphe Abbildungen. Eine stetige Abbildung η : X → Y
zwischen Riemannschen Flächen heißt holomorph, wenn sie die holomorphen
Funktionen in Y zu holomorphen Funktionen in X liftet:
offene
Für jede
Menge V ⊂ Y und jede Funktion g ∈ O(V ) ist g ◦ η ∈ O η −1 (V ) .
Das Lokal-Global-Prinzip gilt auch für holomorphe Abbildungen. Jede
Hintereinanderschaltung holomorpher Abbildungen ist holomorph. Die holomorphen Abbildungen X → C sind die auf X holomorphen Funktionen.
Eine bijektive, holomorphe Abbildung η : X → Y , deren Umkehrabbildung η −1 : Y → X holomorph ist, heißt biholomorph oder Isomorphismus.
Die Flächen X und Y heißen dann isomorph, kurz X ≈ Y . Für jedes r > 0
gilt Er ≈ E . Eine Riemannsche Fläche U heißt Scheibe (mit dem Zentrum
a) , wenn es einen Isomorphismus η : U → E (mit η(a) = 0) gibt. Die obere
Halbebene ist wegen der Cayleyschen Abbildung H → E , z → (z − i)/(z + i) ,
eine Scheibe mit dem Zentrum i.
Wir nennen η bei a ∈ X biholomorph, wenn a eine Umgebung U besitzt,
so daß η(U ) ⊂ Y offen und die Beschränkung η : U → η(U ) biholomorph
ist. Wenn η bei jeder Stelle biholomorph ist, heißt η lokal biholomorph.
Isomorphismen X → X heißen Automorphismen. Sie bilden mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung die Automorphismengruppe Aut(X) .
Zu jeder holomorphen Abbildung η : X → Y gehört die Deckgruppe D(η) :=
{g ∈ Aut(X) : η ◦ g = η} . Ihre Elemente heißen Deckabbildungen zu η .
6
1. Grundlagen
Beispiele. Die Exponentialabbildung exp : C → C× , z → ez , ist lokal biholomorph. Die Translationen z → z + 2πin, n ∈ Z , gehören zu D(exp) .– Bei
der Potenzabbildung ηn : E → E, z → z n , für n = 1, 2, . . . gehört zu jeder
n-ten Einheitswurzel ω die Deckabbildung z → ωz .
In beiden Fällen gibt es keine anderen Deckabbildungen, also D(exp) ∼
=Z
und D(ηn ) ∼
= µn := multiplikative Gruppe der n-ten Einheitswurzeln.
1.1.4 Meromorphe Funktionen. Eine Teilmenge A ⊂ X heißt lokal endlich, wenn in jedem Kompaktum K ⊂ X nur endlich viele Punkte von A
liegen. Sei f : X \A → C holomorph, wobei A lokal endlich in X ist. Für
jedes a ∈ A und jede Karte z : (U, a) → (E, 0) mit hinreichend kleinem
Definitionsbereich U ist f auf U \{a} holomorph und hat dort eine normal
∞
konvergente Laurent-Darstellung f = j=−∞ cj z j . Genau dann, wenn ihr
stetig fortsetzen.
Hauptteil endlich ist, läßt sich f mit einem Wert f (a) ∈ C
Man nennt diese Fortsetzung meromorph. Falls f (a) = ∞ ist, heißt a ein
Pol von f . Wenn sich f in alle Punkte a ∈ A meromorph fortsetzen läßt,
heißt die fortgesetzte Funktion meromorph. Die meromorphen Funktionen
, deren Polstellenmenge
sind genau die holomorphen Abbildungen f : X → C
−1
f (∞) lokal endlich ist.
Satz. Die Menge M(X) aller auf X meromorphen Funktionen ist ein Ring,
welcher O(X) umfaßt. Wenn f ∈ M(X) eine lokal endliche Nullstellenmenge hat, gehört 1/f zu M(X) .
1.1.5 Lokale und globale Funktionentheorie. Jeder Punkt einer Riemannschen Fläche ist Zentrum einer Scheibe, die in X offen ist. Daher lassen
sich alle Sätze der klassischen Funktionentheorie, die im Kleinen gültig sind,
auf Riemannsche Flächen übertragen. Interessant werden diese Flächen erst
dann, wenn man fragt, welche Auswirkungen ihre globale topologische Gestalt
auf die Funktionentheorie hat.
Auf kompakten, zusammenhängenden Flächen sind alle holomorphen
Funktionen konstant, siehe 1.3.5. Für eine reichhaltige Theorie muß man
meromorphe Funktionen einbeziehen. Auf der Zahlenkugel sind diese genau
die rationalen Funkionen, siehe 1.6.5.
Jede kompakte zusammenhängende Riemannsche Fläche ist eine Brezelfläche.
Solche Flächen werden topologisch durch ihr Geschlecht g unterschieden,
welches anschaulich die Anzahl der Löcher oder der Henkel angibt, siehe
Figur 1.1.5. Kapitel 12 enthält die genaue Darstellung. In einem Vortrag
vor Gymnasiallehrern sagt Weyl, [Wyl 2] III, no. 95, S. 354 unten: Wie ein
”
Sauerteig durchdringt die Geschlechtszahl die ganze Theorie der Funktionen
auf einer Riemannschen Fläche. Auf Schritt und Tritt begegnet man ihr, und
ihre Rolle ist unmittelbar, ohne komplizierte Rechnungen, verständlich von
ihrer topologischen Bedeutung her.“
1.2 Liftungs - und Quotientenprinzip
7
Fig. 1.1.5. Kompakte Flächen vom Geschlecht 0 (Sphäre), 1 (Torus), 2 und 3
(Brezelflächen).
Bereits bei den Tori (g = 1) ist die Funktionentheorie reichhaltig (2. Kapitel). Je zwei Tori sind homöomorph, aber als Riemannsche Flächen i.a. nicht
isomorph. Im 5. Kapitel betrachten wir ihre holomorphe Klassifikation.
In den Kapiteln 3, 4 und 6 werden verschiedenen Methoden (Überlagerungen, Gruppenoperationen, Lösungen algebraischer Gleichungen) entwickelt,
um weitere Riemannsche Flächen herzustellen. Vom 7. Kapitel an wird für
beliebige Flächen systematisch untersucht, wie ihre topologische Gestalt die
Funktionentheorie beeinflußt.
1.2 Liftungs - und Quotientenprinzip
Bei gegebener Abbildung η : X → Y soll eine auf Y bzw. X vorhandene
holomorphe Struktur nach X hochgehoben (Liftungsprinzip 1.2.1) bzw. nach
Y abgesenkt (Quotientenprinzip 1.2.5) werden, so daß in beiden Fällen η
zu einer lokalen biholomorphen Abbildung zwischen Riemannschen Flächen
wird. Beide Prinzipien liefern neue Riemannsche Flächen.
1.2.1 Das Liftungsprinzip geht auf Riemanns Dissertation [Ri 2], 5. Abschnitt, zurück, wo er eine Fläche T über der Ebene A ausbreitet und sodann
holomorphe Funktionen definiert, deren Definitionsbereiche in T liegen.
Eine Abbildung η : X → Y zwischen topologischen Räumen heißt lokal
topologisch, wenn jeder Punkt in X eine Umgebung U besitzt, die durch η
homöomorph auf die offene Menge η(U ) ⊂ Y abgebildet wird.
Liftungsprinzip. Sei η : X → Y eine lokal topologische Abbildung von einem
Hausdorff raum X in eine Riemannsche Fläche Y . Dann gibt es auf X
genau eine holomorphe Struktur, so daß η lokal biholomorph wird.
Beweis. Jeder Punkt in X liegt in einer offenen Menge Ui , welche durch
η homöomorph auf dem Definitionsbereich einer holomorphen Karte (Vi , ki )
8
1. Grundlagen
von Y abgebildet wird. Mit hi := ki ◦ η|Ui erhält man den Atlas A =
{(Ui , hi )} für X . Seine Kartenwechsel hj ◦ h−1
= kj ◦ ki−1 sind holomorph.
i
Wenn man X mit der durch A bestimmten holomorphen Struktur versieht,
wird η lokal biholomorph. Umgekehrt: Für jede holomorphe Struktur O auf
X , welche η lokal biholomorph macht, sind die oben beschriebenen Karten
(Ui , hi ) holomorph. Daher ist O eindeutig bestimmt.
Das Liftungsprinzips wird benutzt, um Riemannsche Flächen durch Polynome zu definieren. Die nächsten beiden Abschnitte dienen der Vorbereitung.
1.2.2 Abschätzung der Wurzeln. Sei Q := w n +c1 wn−1 +. . .+cn ∈ C[w] .
Für jede Wurzel u von Q gilt |u| ≤ 2 max{|cj |1/j : j = 1, . . . , n} . Wenn
umgekehrt alle Wurzeln von Q durch R beschränkt sind, gibt es eine nur
von R abhängige Schranke M , so daß |cj | ≤ M für j = 1, . . . , n gilt.
Beweis. Sei r := max{|cj |1/j : j = 1, . . . , n} > 0. Für v := u/r ist dann
rn + (c1 /r)v n−1 + . . . + (cn /rn = 0 , somit |v|n ≤ |v|n−1 + . . . + |v| + 1 . Im
Falle |v| > 2 wäre 1 ≤ |v|−1 + . . . + |v|−n < 2−1 + . . . + 2−n < 1 . Es folgt |v| ≤ 2 ,
also |u| ≤ 2 r .– Die umgekehrte Behauptung ist klar, da die Koeffizienten cj
die elementarsymmetrischen Funktionen der Wurzeln von Q sind.
1.2.3 Holomorphie der Wurzeln. Wir betrachten ein normiertes Polynom
(1)
P (y, w) := w n + a1 (y)wn−1 + . . . + an−1 (y)w + an (y) ,
dessen Koeffizienten aν holomorphe Funktionen auf einer Riemannschen
Fläche Y sind. Für jeden Punkt (b, c) ∈ Y ×C bezeichnen wir mit k(b , c) ∈ N
die Vielfachheit von c als Wurzel von P (b, w) ∈ C[w] .
Satz. Sei b ∈ Y , und sei f holomorph um c ∈ C . Es gibt Scheiben V um
b und W um c , so daß die endliche Summe
k(y, w)f (w)
(2)
F (y) :=
w∈W
holomorph von y ∈ V abhängt.
Beweis. Sei W eine Scheibe um c , so daß f holomorph in W und P (b, w)
nullstellenfrei in W \ {c} ist. Es gibt eine Scheibe V um b , so daß P auf
V × ∂W keine Nullstellen hat. Nach [Re 1], Abschnitt 13.2.1, läß sich F (y)
für y ∈ V als Integral darstellen, welches holomorph von y abhängt:
Pw (y, t)
1
f (t) dt mit Pw := ∂P/∂w .
F (y) =
2πi ∂W P (y, t)
Folgerung. Sei k := k(b, c) . Es gibt Scheiben V um b ∈ Y und W um
c ∈ C , so daß für jedes y ∈ V genau k mit Vielfachheiten gezählte Wurzeln
von P (y, w) in W liegen. Für k = 1 ist die Funktion g : V → W , die jedem
y die einzige Wurzel g(y) ∈ W von P (y, w) zuordnet, holomorph.
Beweis : Für die erste Behauptung wendet man den Satz auf f (w) := 1 an
und für die zweite auf f (w) := w .
1.2 Liftungs - und Quotientenprinzip
9
C
f
c
X
d
b
Y
Fig. 1.2.4. Reelles Bild der Nullstellenmenge eines Polynoms 3. Grades mit
einfachen Wurzeln.
1.2.4 Nullstellengebilde. Wir behalten die Bezeichnungen aus 1.2.3 bei
und bilden, vgl. Figur 1.2.4, die Nullstellenmenge
X := {(y, w) ∈ Y × C : P (y, w) = 0}
mit den beiden stetigen Projektionen
η : X → Y , (y, w) → y , f : X → C , (y, w) → w .
Lemma. Die Projektion η : X → Y ist endlich, d.h. jede η-Faser ist endlich,
und für jedes Kompaktum K ⊂ Y ist η −1 (K) ⊂ X kompakt.
Beweis. Jede η-Faser hat ≤ n Punkte. Wenn man die Koeffizientenfunktionen von P auf K beschränkt, ist ihre Wertemenge beschränkt. Aus 1.2.2
folgt: Die Funktion f : η −1 (K)
→ C ist beschränkt, d.h. es gibt ein Kompaktum L ⊂ C mit f η −1 (K) ⊂ L . Dann ist η −1 (K) ⊂ K × L kompakt. Satz. Wenn das Polynom P für alle y ∈ Y einfache Wurzeln hat, gibt es auf
X genau eine holomorphe Struktur, so daß η : X → Y lokal biholomorph und
f : X → C holomorph ist. Jede Faser η −1(y) wird durch f bijektiv auf die
n Wurzeln von P (y, w) abgebildet.
Beweis. Sei (b, c) ∈ X . Wir wenden die Folgerung in 1.2.3 an. Es gibt Umgebungen V von b und W von c , so daß P (y, w) für jedes y ∈ V genau eine
Wurzel g(y) ∈ W besitzt. Diese hängt holomorph von y ab. Die Umgebung
(V × W ) ∩ X von (b, c) wird durch
η homöomorph auf V abgebildet. Die
Umkehrabbildung lautet y → y, g(y) .– Nach dem Liftungsprinzip 1.2.1
wird X zu einer Riemannschen Fläche und η zu einer lokal biholomorphen
Abbildung. Die Funktion f ist holomorph; denn in der Umgebung von (b, c)
gilt f = g ◦ η .
Wir nennen (X, η, f ) das Nullstellengebilde des Polynoms P .– In 6.2.5
wird die Konstruktion solcher Gebilde unter Einbeziehung mehrfacher Wurzeln des Polynoms fortgesetzt.
1.2.5 Quotientenprinzip. Sei η : X → Y eine lokal topologische Abbildung
von einer Riemannschen Fläche X auf einen Hausdorff raum Y . Wenn es
zu je zwei Punkten a und b aus X , die in derselben η-Faser liegen, Umgebungen U bzw. V und einen Isomorphismus ϕ : U → V mit ϕ(a) = b und
η ◦ ϕ = η|U gibt, existiert auf Y genau eine holomorphe Struktur, so daß η
lokal biholomorph ist.
10
1. Grundlagen
Beweis. Die Fläche X besitzt einen holomorphen Atlas A = {(U, h)} , dessen
Kartenbereiche U so klein sind, daß η : U → η(U ) ein Homöomorphismus
ist. Dann ist {(η(U ), h◦(η|U )−1 } ein holomorpher Atlas für Y . Sind nämlich
(U, h), (V, k) ∈ A und a ∈ U , b ∈ V mit η(a) = η(b) := c , so gibt es
Umgebungen U ′ ⊂ U und V ′ ⊂ V von a bzw. b sowie eine biholomorphe Abbildung ϕ : U ′ → V ′ mit η ◦ ϕ = η|U ′ und ϕ(a) = b . Dann ist
(η|V ′ )−1 ◦η|U ′ = ϕ|U ′ . In einer Umgebung von h ◦ (η|U )−1 (c) ist der Kartenwechsel k◦(η|V )−1 ◦(η|U )◦h−1 die biholomorphe Abbildung k ◦ ϕ ◦ h−1 .
Da h ◦ (η|U )−1 und h biholomorph sind, ist η|U biholomorph, also η
lokal biholomorph. Die Eindeutigkeit der holomorphen Struktur auf Y folgt
direkt.
1.2.6 Komplexe Tori. Die Kreislinie S 1 = {z ∈ C : |z| = 1} ist eine
Untergruppe der multiplikativen Gruppe C× aller komplexen Zahlen = 0 .
Das kartesische Produkt S 1 × S 1 ist ein Torus, siehe Figur 1.1.5. Um ihn
mit einer holomorphen Struktur zu versehen, bilden wir mit zwei reell linear unabhängigen Zahlen ω1 , ω2 ∈ C das Gitter Ω = Zω1 + Zω2 ⊂ C aller
ganzzahligen Linearkombinationen n1 ω1 +n2 ω2 , siehe Figur 1.2.6. Jede komplexe Zahl läßt sich eindeutig als z = t1 ω1 + t2 ω2 mit reellen tj darstellen.
Folgende Torusprojektion ist ein Gruppenepimorphismus
mit dem Kern Ω :
1
1
(1)
η : C → S × S , t1 ω1 + t2 ω2 → exp(2πit1 ), exp(2πit2 ) .
t2
•
°
•t
1
Fig. 1.2.6. Die Ecken der Parallelogramme bilden das Gitter Zω1 + Zω2 ⊂ C .
Satz. Der Torus S 1 ×S 1 besitzt genau eine holomorphe Struktur, so daß η
lokal biholomorph ist. Die Deckgruppe D(η) besteht aus allen Translationen
C → C, z → z + ω , mit ω ∈ Ω .
Beweis. Jeder Punkt in C besitzt eine Umgebung U , so daß U ∩(ω +U ) = ∅
für alle ω ∈ Ω, ω = 0 gilt. Das Bild η(U ) ⊂ S 1 × S 1 ist offen, und U wird
durch η homöomorph auf η(U ) abgebildet. Daher ist η lokal topologisch. Zu
je zwei Punkten a, b in derselben η-Faser gibt es ein ω ∈ Ω mit b = a + ω .
Die Isomorphismus-Bedingung in 1.2.5 wird durch U = V = C und die
Abbildung ϕ(z) = z + ω erfüllt.– Weil η ein Gruppenepimorphismus mit
dem Kern Ω ist, besteht D(η) aus den Translationen z → z + ω .
Mit dem durch (1) induzierten Isomorphismus η̂ : C/Ω → S 1 × S 1 der
Gruppen wird die topologische und holomorphe Struktur von S 1 × S 1 auf