Vorkurs Mathematik

Vorkurs Mathematik
5. – 9. September 2016
Sabrina Doser, Dominik Himmelsbach, Stefano Iula,
Carlos Mojentale, Sergio Mouzo, Uri Nahum, Anja Plüss,
Nadine Scossa, Aline Steiner und Dennis Tröndle
Skript geschrieben von Sebastian Knüsli und Christian Stohrer,
ergänzt und verbessert von Manuela Utzinger
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
Skript
2
2 Basics
3
3 Lösen von Gleichungen
4
4 Zahlenfolgen
7
5 Grenzwerte
8
6 Vollständige Induktion
9
7 Reihen
10
8 Funktionen
12
9 Trigonometrische Funktionen
20
10 Exponentialfunktion und Logarithmen
22
11 Differentiation
25
12 Integration
30
13 Lösen von Gleichungssystemen
35
14 Vektoren
37
15 Geraden in Ebene und Raum
40
16 Ebenen im Raum
43
17 Kombinatorik
48
18 Wahrscheinlichkeitslehre
53
Übungen
59
Übungen Montag (Übungen 1 – 4)
60
Übungen Dienstag (Übungen 5 – 8)
64
Übungen Mittwoch (Übungen 9 – 12)
68
Übungen Donnerstag (Übungen 13 – 16)
72
Übungen Freitag (Übungen 17 – 20)
76
Lösungen
80
Lösungen Montag (Lösungen 1 – 4)
81
Lösungen Dienstag (Lösungen 5 – 8)
87
Lösungen Mittwoch (Lösungen 9 – 12)
92
Lösungen Donnerstag (Lösungen 13 – 16)
97
Lösungen Freitag (Lösungen 17 – 20)
100
Vorkurs Mathematik 2016
1
EINLEITUNG
1 Einleitung
“In mathematics you don’t understand things. You just get used to them.“
John von Neumann
Ein schwieriges Fach, diese Mathematik. Selbst anerkannten Grössen solche Zeilen wie
oben abringend erstaunt es kaum, dass sie dem Normalsterblichen Respekt wenn nicht
gar Furcht einflösst. Diese Sachen abzubauen, diese Gewöhnung an die Mathematik zu
fördern sind die Ziele dieses Kurses. Wir haben ihn nicht geschrieben um dem ambitionierten Primus einen Haufen neuer Erkenntnisse zu präsentieren. Die behandelten
Gegenstände sind das, was ein/e Maturand/in nach unserem Ermessen in der Schule
kennengelernt haben sollte. Wir haben den Kurs geschrieben im Gedanken an Leute,
die vielleicht keine guten Erinnerungen an die Schulmathematik haben, die Mühe hatten und sich jetzt trotzdem, vielleicht sogar nach ein, zwei Jahren Mathe-Abstinenz,
an ein naturwissenschaftliches Studium wagen, was wir toll finden. Diese Leute auf
einen gemeinsamen Nenner zu bringen, Lücken aufzuzeigen und vielleicht auszufüllen,
Furcht zu nehmen, auf dass an der Uni unbeschwerter losgelegt werden kann, ist unser
Ziel. Manches wird altbekannt und einfach erscheinen, anderes ist vielleicht ganz neu.
Wie das dem Kurs zugrundeliegende Skript. Orientiert haben wir uns an den Unterlagen der bisherigen Vorkurse, die von Jonas Budmiger, Jan Draisma und Johannes
Lieberherr verfasst wurden. Wir danken ihnen für das zur Verfügung stellen ihres Materials, welches uns eine grosse Hilfe beim Auf-die-Beine-stellen des Kurses war. Der,
wenn er seinen Zweck erfüllt, den ersten Satz des Zitats ein wenig widerlegt.
Basel, 8. September 2008
Sebastian Knüsli und Christian Stohrer
Die Idee und der Aufbau des Kurses sind die gleichen wie im letzten Jahr. Das Skript
haben wir jedoch einer Kur unterzogen um es von den Kinderkrankheiten, die es bei
seiner letztjährigen Erstverwendung hatte, so gut wie möglich zu befreien. Namentlich verbesserten wir Druck- und andere Fehler, versuchten Ungereimtheiten in der
Notation zu beseitigen, erneuerten die Plots zur besseren Lesbarkeit und gaben dem
Übungsteil ein einheitlicheres Gewand. Mit der Hoffnung dadurch dem Zweck des Kurses gerechter zu werden wünschen wir den Studienanfängern, an welche sich dieses
Skript richtet, einen erfolgreichen Start an der hiesigen Alma Mater.
Basel, 5. August 2009
Sebastian Knüsli und Christian Stohrer
1
Teil I: Skript
2
Vorkurs Mathematik 2016
2 BASICS
2 Basics
Zahlbereiche
Was für Arten von Zahlen kennen wir?
•
-6
•
-5
•
-4
•
-3
•
-2
•
-1
0
•
1
•
2
•
3
•
4
•
5
•
6
✲N
•
0
•
1
•
2
•
3
•
4
•
5
•
6
✲Z
✲Q
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------✲R
- Natürliche Zahlen: N = {1, 2, 3, ...}
In ihnen funktionieren + und ·.
- Ganze Zahlen: Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}
In ihnen funktionieren +, · und −.
o
n
- Rationale Zahlen: Q = pq | p ∈ Z, q ∈ N
In ihnen funktionieren +, ·, − und : dazu!
Aber ACHTUNG! Division durch 0 ist verboten!
Man kann zeigen, dass nicht alle Zahlen auf der Zahlengerade rationale Zahlen
sind. Darum brauchen wir noch
- Reelle Zahlen: R = “Die ganze Zahlengerade”
In ihnen funktionieren +, ·, −,
√ : und man kann Wurzeln ziehen (was man in Q
a priori nicht kann, z.B. ist 2 nicht in Q) und man findet verrückte Zahlen
wie das Verhältnis zwischen Kreisumfang und Kreisdurchmesser, π, oder e, die
Eulersche Zahl, die man in Q vergebens sucht.
Aber ACHTUNG! Wurzelziehen aus negativen Zahlen ist in R nicht erlaubt!
3
Vorkurs Mathematik 2016
3 LÖSEN VON GLEICHUNGEN
Grundgesetze
Rufen wir uns einige Grundgesetze in Erinnerung:
Kommutativität:
Assoziativität:
Distributivität:
a+b=b+a
(a + b) + c = a + (b + c)
ab = ba
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac
(a + b)c = ac + bc
Potenzgesetze:
am an = an+m
am bm = (ab)m
(am )n = am·n
√
1
am = m a
1
a−m = m
a
Binomische Formeln:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a + b)(a − b) = a2 − b2
3 Lösen von Gleichungen
Einfache Gleichung
Wir beginnen mit einer simplen Gleichung. Dafür seien m und b zwei reelle Zahlen.
Wir setzen zudem voraus, dass m 6= 0 ist.
mx + b = 0
Gesucht ist x. Wir machen immer auf beiden Seiten dasselbe, bis x alleine dasteht:
mx + b = 0
mx = −b
b
x=−
m
|−b
|:m
4
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3 LÖSEN VON GLEICHUNGEN
Quadratische Gleichung
Bei einer allgemeinen quadratischen Gleichung haben wir drei Parameter a, b und c.
Um eine Lösungsformel herleiten zu können, setzen wir voraus, dass einerseits a 6= 0
und b2 − 4ac ≥ 0 gilt.
ax2 + bx + c = 0
hat zwei Lösungen x1 , x2 , gegeben durch die Formel
√
−b ± b2 − 4ac
x1,2 =
.
2a
Vieta
Wenn a = 1 und die Lösungen ganzzahlig sind kann man sie leicht selbst ersehen: Seien
m und n die Lösungen. Dann muss
x2 + bx + c = (x − m)(x − n) = x2 − (m + n)x + mn
sein. Also gilt der
Satz von Vieta. Seien m, n Lösungen von x2 + bx + c = 0. Dann ist
b = −(m + n)
c = mn.
Beispiel. Wir wollen x2 + x − 12 = 0 lösen. Zuerst zerlegen wir −12 in Faktoren.
Möglich sind:
±(1, −12), ±(2, −6) und ± (3, −4).
Dann kontrollieren wir, ob die negative Summe einer Kombination 1 ergibt und werden
mit (3, −4) fündig.
Test:
(x − (−4))(x − 3) = x2 + x − 12
X
Einfache Gleichungssysteme
Wir wollen eine gemeinsame Lösung der Gleichungen
2x + 3y = 5
(1)
x + 2y = 4
(2)
finden. Dafür kennen wir drei Verfahren:
5
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3 LÖSEN VON GLEICHUNGEN
Einsetzungsverfahren
Man löst eine Gleichung nach einer Variablen auf und setzt diese in die andere Gleichung ein: Im obigen Beispiel lösen wir zum Beispiel (2) nach x auf
x + 2y = 4 ⇒ x = 4 − 2y
und setzen dies in (1) ein. Wir erhalten damit
2(4 − 2y) + 3y = 5 ⇒ y = 3
und nach Einsetzen von y in eine der ursprünglichen Gleichungen erhalten wir x = −2.
Bemerkung. Man kann genauso gut die Gleichung (1) nach einer der Variablen x
oder y auflösen und in (2) einsetzen. Die Lösung ist dieselbe!
Gleichsetzungsverfahren
Wir formen die Gleichungen so um, dass bei beiden auf einer Seite dasselbe steht und
setzen dies gleich:
- Die Gleichung (1) machen wir zu 2x = 5 − 3y.
- Die Gleichung (2) multiplizieren wir mit 2 und erhalten 2x + 4y = 8.
Dies formen wir um zu 2x = 8 − 4y.
Gleichsetzen liefert
und weiter wie zuvor.
8 − 4y = 5 − 3y ⇒ y = 3
Additionsverfahren
Man multipliziert die Gleichungen mit geschickt gewählten Zahlen, so dass Unbekannte
wegfallen wenn man die Gleichungen anschliessend addiert: Wenn wir (2) mit −2
multiplizieren erhalten wir das System
2x + 3y = 5
−2x − 4y = −8
Jetzt addieren wir die zweite Gleichung zur ersten hinzu und erhalten
−y = −3 ⇒ y = 3
und weiter wie zuvor.
6
(1)
(2’)
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4 ZAHLENFOLGEN
4 Zahlenfolgen
Als Zahlenfolge bezeichnet man eine unendliche Folge von Zahlen.
Beispiel (Ein paar einfache Zahlenfolgen).
1. {1, 2, 3, 4, ...}
2. {2, 4, 6, 8, ...}
3. {2, 4, 8, 16, ...}
4. {1, −1, 1, −1, ...}
5. eine konstante Folge: {2, 2, 2, 2, ...}
6. eine wilde Folge ohne erkennbare Gesetzmässigkeit: {1, 500, 49, 60, 51 , 33, ...}
Allgemein schreibt man eine Zahlenfolge {a1 , a2 , a3 , a4 , ...} oder kurz (an )n∈N , wobei
ai als i-tes Glied der Folge bezeichnet wird.
Beispiel. Das 3. Glied in der zweiten Beispielfolge ist 6.
Wenn es eine Gesetzmässigkeit gibt kann man die Folge vielleicht einfacher durch eine
Vorschrift für an angeben. Für unsere Beispiele gilt für das n-te Glied
1. an = n
2. an = 2n
3. an = 2n
4. an = (−1)n+1
5. an = 2
und dann schreibt man z.B. Beispiel 3 als (2n )n∈N . Bei Beispiel 6 gibt es kein einfaches
Bildungsgesetz, welches einem just ins Auge springt.
Es gibt noch eine zweite Variante um eine Folge zu definieren, nämlich mit einer sogenannten rekursiven Definition. Dafür legt man einerseits den Startwert (also den Wert
für a1 ) fest und gibt zusätzlich noch eine Vorschrift an, wie man von einem bestimmten
Glied der Zahlenfolge aus das nächste berechnen kann. Für unsere Beispiele sieht dies
folgendermassen aus:
1. a1 = 1 und an+1 = an + 1
2. a1 = 2 und an+1 = an + 2
3. a1 = 2 und an+1 = 2an
4. a1 = 1 und an+1 = −an
5. a1 = 2 und an+1 = an
7
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5 GRENZWERTE
Mit Hilfe der rekursiven Definition können wir zwei spezielle Arten von Folgen charakterisieren:
Definition. (Arithmetische, geometrische Folgen)
- Eine Folge (an )n∈N heisst arithmetisch, wenn es ein d ∈ R gibt, so dass an+1 =
an + d für alle n ∈ N.
- Eine Folge (an )n∈N heisst geometrisch, wenn es ein q ∈ R gibt, so dass an+1 =
an · q für alle n ∈ N.
Wir kürzen arithmetische Folgen mit AF und geometrische Folgen mit GF ab. Beispiele
1 und 2 sind AFs, mit d = 1 bzw. 2, Beispiele 3 und 4 sind GFs, mit q = 2 bzw −1.
Mit Folgen kann man auch rechnen. Die Regeln dafür lauten:
(an )n∈N + (bn )n∈N := (an + bn )n∈N
(an )n∈N − (bn )n∈N := (an − bn )n∈N
(an )n∈N
an
:=
(bn )n∈N
bn n∈N
(an )n∈N · (bn )n∈N := (an · bn )n∈N
wobei Letzteres natürlich nur erlaubt ist, wenn bn 6= 0 für alle n ∈ N.
5 Grenzwerte
Wir betrachten nun die Folge
1 1 1 1
1
=
, , , ...
n n∈N
1 2 3 4
Was fällt auf? Alle Glieder sind positiv und je weiter man in der Folge nach hinten
geht, desto kleiner werden sie. Bei genauer Betrachtung sieht man, dass sie beliebig
nahe an 0 rankommen, wenn man nur genug weit nach hinten geht. Dieses „beliebig
nahe“ kann man mathematisch genau ausformulieren, allerdings würde dies hier den
Rahmen sprengen.
Es gibt viele solcher Folgen (an )n∈N die sich, je weiter man nach hinten geht, immer
näher an eine Zahl a annähern. Ist dies der Fall, so sagt man (an )n∈N konvergiert mit
dem Grenzwert (oder Limes) a, in kompakter Schreibweise
lim an = a,
n→∞
manchmal auch nur kurz
Beispiel. (Grenzwerte)
n→∞
an −→ a.
1
=0
n
n−1
lim
=1
n→∞
n
lim
n→∞
8
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6
VOLLSTÄNDIGE INDUKTION
Falls (an )n∈N keinen Grenzwert hat sagt man die Folge divergiert. Alle unsere Beispiele
divergieren, bis auf das Beispiel 5. Dieses konvergiert mit Limes 2, was ziemlich klar
sein dürfte.
Gesetze für konvergierende Folgen. Seien (an )n∈N ,(bn )n∈N konvergierende Folgen
mit Limites a bzw. b. Dann gilt
lim an + bn = a + b
lim an − bn = a − b
n→∞
n→∞
lim an bn = ab.
lim
n→∞
n→∞
a
an
= .
bn
b
Natürlich setzen wir beim letzten Fall b 6= 0, bn 6= 0 für alle n ∈ N voraus.
berechnen:
Damit können wir nun den Grenzwert für die Folge n−1
n
n∈N
lim
n→∞
n−1
1
1
= lim 1 − = lim 1 − lim
= 1.
n→∞
n→∞ n
n
n n→∞
Beispiel (Grenzwert für eine etwas kompliziertere Folge). Wir fragen uns ob die Folge
2
n +n−1
3n2 + 2n + 1 n∈N
konvergiert und wenn ja, gegen was?
n2 (1 +
n2 + n − 1
=
lim
n→∞ n2 (3 +
n→∞ 3n2 + 2n + 1
lim
1
n
2
n
= lim
1
n
2
n
= lim
0
1✕
n −
0
2✕
n +
1+
n→∞ 3 +
1+
n→∞
3+
−
+
−
+
1
n2 )
1
n2 )
1
n2
1
n2
0
1✼
n2
0
1✼
2
n
1
=
3
6 Vollständige Induktion
Wie sieht wohl die Vorschrift für die Folge (an )n∈N , die durch
a1 = 0 und an+1 = an + 2n
rekursiv definiert ist, aus? Wir schreiben dazu die ersten paar Glieder auf: {0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, ...}.
Nach langem Nachdenken sieht man, dass da {12 − 1, 22 − 2, 32 − 3, 42 − 4, ...} steht.
Unsere Vermutung: an = n2 − n.
Wie beweist man die Richtigkeit dieser Vermutung?
9
Vorkurs Mathematik 2016
7
REIHEN
Beweis durch vollständige Induktion
Man beweist, dass die Aussage für n = 1 stimmt (Induktionsverankerung). Danach
beweist man dass die Aussage für n + 1 stimmt, unter der Annahme, dass sie für n
stimmt (Induktionsannahme). Dieses Schliessen von n auf n + 1 wird als Induktionsschritt bezeichnet.
Warum beweist dies die ganze Formel? Wenn es für n = 1 stimmt, so stimmt es für
n = 2 wegen dem Induktionsschritt. Aber wenn es für n = 2 stimmt, dann auch für
n = 3, wiederum wegen dem Induktionsschritt, usw. Aber für n = 1 stimmt es ja
sicher, wegen der Induktionsverankerung!
Beispiel (Induktionsbeweis).
Induktionsverankerung (n = 1): Gemäss Definition der Definition der Folge ist a1 =
0 = 12 − 1.
Induktionsannahme: (IA) Für ein n gelte, dass an = n2 − n.
Induktionsschritt: Unter dieser Annahme beweisen wir, dass die Formel für n + 1
stimmt:
(IA)
an+1 = an + 2n = n2 − n + 2n
= n2 + n
= n(n + 1)
= (n + 1)n + (n + 1) − (n + 1)
= (n + 1)(n + 1) − (n + 1) = (n + 1)2 − (n + 1)
(Bemerkung: Das kleine Quadrat rechts kennzeichnet das Ende eines Beweises.)
7 Reihen
Summenschreibweise
Wir haben n Zahlen a1 , a2 , ..., an und wollen diese zusammenzählen. Wir sind aber zu
faul um immer a1 + a2 + ... + an zu schreiben. Darum führen wir folgende abkürzende
Schreibweise ein:
n
X
ai
a1 + a2 + ... + an =:
i=1
Hier ist i der Laufindex, 1 die untere Grenze, n die obere Grenze und die ai geben an,
was wir zusammenzählen.
10
Vorkurs Mathematik 2016
7
REIHEN
Beispiel.
Wollen wir die ersten n ungeraden Zahlen zusammenzählen, so schreiben wir
nicht mehr 1 + 3 + ... + (2n − 1) sondern
n
X
i=1
(2i − 1).
Hierbei vergewissere man sich selbst, dass 2i − 1 die i-te ungerade Zahl ist.
Oder die Summe der ersten n Quadrate: 1 + 4 + 9 + ... + n2 heisst ab jetzt
n
X
i2
i=1
Reihen
Mit dieserPSchreibweise können wir aus jeder Folge (an )n∈N eine neue Folge basteln,
n
nämlich ( k=1 ak )n∈N , die Folge, deren n-tes Glied die Summe der ersten n Glieder
von (an )n∈N ist. Wenn diese Folge konvergiert, so bezeichnet man ihren Grenzwert mit
P
∞
i=k ak und nennt dies die Reihe der Folge (an )n∈N . Das n-te Glied der neuen Folge
nennen wir n-te Partialsumme von (an )n∈N und bezeichnen es mit Sn .
Beispiel. (Partialsummen von AF,GF)
n
(a1 + an )
2
qn − 1
1 − qn
= a1
Sn = a 1
1−q
q−1
Für arithmetische Folgen gilt:
Sn =
Für geometrische Folgen gilt:
Beispiel. (Geometrische Reihe für q = 21 ) Wir wollen
=
∞
X
1
1 1 1
= + + + ...
n
2
2
4 8
n=1
berechnen. Dies ist die Reihe der geometrischen Folge mit a1 =
oben gilt
n
1 − 12
1
1
= 1 − n n→∞
·
−→ 1
Sn =
1
2
2
1− 2
Also ist
∞
X
1
=1
n
2
n=1
Allgemein ersehen wir aus obigem
11
1
2
und q = 21 . Gemäss
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8
FUNKTIONEN
Geometrische Reihe. Sei (an )n∈N eine GF mit |q| < 1. Dann gilt für die zugehörige
Reihe
∞
X
a1
an =
.
1
−q
n=1
8 Funktionen
Wir kommen nun zu einem der wichtigsten Gegenstände der Mathematik, der Funktion.
Definition (Funktionen). Eine Funktion f ist eine Vorschrift, die einer Zahl x genau
eine Zahl y zuordnet. Man schreibt dann y = f (x), manchmal auch f : x 7→ y („f
wirft x auf y“).
x heisst das Argument der Funktion. Die x-Werte, denen sich durch die Funktion yWerte zuordnen lassen, bilden den Definitionsbereich D der Funktion. Der Zielraum,
also die Menge in welcher die y-Werte liegen können heisst Wertebereich W. Wenn es
nötig ist, Definitions- und Wertebereich anzugeben, schreibt man f wie folgt:
D → W
f:
x 7→ y
Man beachte, dass nicht alle Werte im Wertebereich angenommen werden müssen. Das
bedeutet, dass es im Wertebereich auch Werte gibt auf welche kein einziges x aus dem
Definitionsbereich geschickt wird. Daher kann es zu derselben Funktion verschiedene
mögliche Wertebereiche geben. Man kann aber noch genauer sagen, wohin die x-en aus
dem Definitionsbereich abgebildet werden. Denn diejenigen Werte des Wertebereichs,
welche tatsächlich angenommen werden, bilden den sogenannten Bildbereich B. Wir
wollen noch zwei Eigenschaften festhalten:
- Der Bildbereich ist im Wertebereich enthalten.
- Der Bildbereich ist der kleinst mögliche Wertebereich für eine gegebene Funktion
f und einen zugehörigen Definitionsbereich D.
√
Beispiel (x2 , x, x1 ).
- Sei f die Funktion, die einer Zahl ihr Quadrat zuordnet. Weil man jeder Zahl ihr
Quadrat zuordnen kann, dürfen wir D = R nehmen. Das Quadrat einer reellen
Zahl ist sicherlich wieder eine reelle Zahl. Deshalb können wir ebenfalls W = R
wählen. Für B gilt: B = R≥0 , denn alle Quadrate sind ja grösser oder gleich 0
und jede solche Zahl wird auch angenommen (man kann ja Wurzel ziehen). f
wird beschrieben durch
R → R
f:
und es gilt: B = R≥0 .
x 7→ x2
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FUNKTIONEN
- Sei g die Funktion, die einer Zahl ihre Quadratwurzel zuordnet. Weil Quadratwurzeln aus negativen Zahlen nicht definiert sind, müssen wir D = R≥0 wählen.
Die Wurzel einer solchen Zahl ist wiederum sicherlich reell. Daher können wir
W = R wählen. Da genau alle nichtnegativen Zahlen Quadratwurzeln sind, ist
B = R≥0 . g wird beschrieben durch
R≥0 → √R
und es gilt: B = R≥0 .
g:
x
7→
x
- Sei h die Funktion, die einer Zahl ihren Kehrwert zuordnet. Weil durch 0 teilen
verboten ist, nehmen wir D = R\{0}, die reellen Zahlen ohne 0, und weil 0 die
einzige reelle Zahl ist, die kein Kehrwert einer weiteren Zahl ist, ist B dieselbe
Menge. h wird beschrieben durch
R\{0} → R
h:
und es gilt: B = R\{0}
x
7→ x1
Funktionen kann man gut im kartesischen Koordinatensystem darstellen, indem man
als x-Koordinaten Punkte aus D und als y-Koordinaten die zugehörigen Werte aus W
verwendet.
y
y
y
1
1
x
1
1
x
1
(a) f : x 7→ x2
x
1
(b) g : x 7→
√
x
(c) g : x 7→
1
x
So ein Bild nennt man den Graph einer Funktion.
Lineare Funktionen
Eine erste Klasse von Funktionen die wir untersuchen sind die linearen Funktionen,
definiert durch
R →
R
g:
x 7→ mx + b
wobei m und b reelle Zahlen sind.
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Vorkurs Mathematik 2016
8
FUNKTIONEN
Beispiel (m = 2, b = 1)). Wir sehen, dass der Graph der Funktion eine Gerade ist.
m ist die Steigung der Geraden und b die Höhe, auf der die Funktion die y-Achse
schneidet. Sie wird als y-Achsenabschnitt bezeichnet.
y
1
x
1
Eine Zahl x0 ∈ D mit f (x0 ) = 0 nennt man Nullstelle. Lineare Funktionen haben
genau eine Nullstelle. Im Beispiel muss gelten 0 = 2x0 + 1, also ist x0 = − 21 die
Nullstelle. Allgemein muss gelten 0 = mx0 + b, also ist die Nullstelle im allgemeinen
b
.
Fall x0 = − m
Wie finden wir die Steigung einer Funktion raus, wenn wir nur zwei Punkte P = (x1 , y1 )
und Q = (x2 , y2 ) auf ihrem Graphen kennen? Es muss gelten
y1 = mx1 + b,
y2 = mx2 + b.
Wir subtrahieren die erste Gleichung von der zweiten Gleichung und erhalten
y2 − y1 = m(x2 − x1 )
und so
m=
y2 − y1
.
x2 − x1
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8
y
FUNKTIONEN
g
✻
Q
•
2
P
•
1
1
✲x
1
Wir sehen, dass die Steigung gerade das Verhältnis zwischen der vertikalen und der
horizontalen Kathete des eingezeichneten rechtwinkligen Dreiecks ist. So ein Dreieick
wird als Steigungsdreieck bezeichnet.
Polynome
Polynome sind Funktionen bestehend aus Summen von Vielfachen von natürlichen
Potenzen. Ihr Definitionsbereich ist immer R.
Beispiel. (Polynome)
(a) f : x 7→ 3x2 − x + 4
(b) g : x 7→ x5 − 4x3 + 2x2 − 5
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8
y
FUNKTIONEN
y
2
x
1
2
x
1
(a) f : x 7→ 3x2 − x + 4
(b) g : x 7→ x5 − 4x3 + 2x2 − 5
Allgemein schreibt man Polynome folgendermassen:
y=
n
X
ai xi = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0
i=0
mit ai ∈ R.
Die ai werden als Koeffizienten bezeichnet. Man ordnet die Potenzen ihrer Grösse nach.
Die höchste vorkommende Potenz bezeichnet man als Grad des Polynoms. Wenn ein
Polynom p Grad d hat, so sagt man p ist von Ordnung d, oder von d-ter Ordnung.
Beispiel (Grad). Die Polynome von Grad 1 sind gerade die linearen Funktionen.
Wenn d der Grad eines Polynoms ist, so kann es höchstens d Nullstellen haben. Die
Bestimmung der Nullstellen kann sehr schwierig werden. Für Polynome 1. Ordnung
haben wir sie schon gesehen. Für Polynome 2. Ordnung gibt es die Lösungsformel für
quadratische Gleichungen. Für Polynome 3. Ordnung gibt es einen Trick, wenn man
eine der drei Nullstellen schon kennt: Die Polynomdivision.
Polynomdivision
Sei p(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 . Sei x0 eine Nullstelle von p. Dann können wir
p(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = q(x) · (x − x0 )
schreiben, wobei q(x) ein Polynom 2. Ordnung ist, dessen zwei Nullstellen gerade die
anderen beiden Nullstellen von p sind. Wie erhält man q?
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Vorkurs Mathematik 2016
8
FUNKTIONEN
Wir machen den Ansatz q(x) = ax2 + bx + c und erhalten
a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = (ax2 + bx + c) · (x − x0 ) = ax3 + (b − x0 a)x2 + (c − x0 b)x − x0 c
und so, durch sukzessiven Vergleich der Koeffizienten, a = a3 , b = a3 x0 + a2 , c =
a3 x20 + a2 x0 + a1 .
Für Polynome höherer Ordnung wird es noch schwieriger. Meist muss man den Computer zu Hilfe nehmen.
Gebrochenrationale Funktionen
Seien p, q Polynome und q1 , q2 , ..., qd die Nullstellen von q. Dann gibt es eine Funktion
(
R\{q1 , q2 , ..., qd } → W
.
r:
x
7→ p(x)
q(x)
Funktionen von dieser Bauart nennt man gebrochenrationale Funktionen. Die Nullstellen von q müssen wir vom Definitionsbereich ausschliessen, weil Division durch 0 nicht
erlaubt ist.
Beispiel (Einige gebrochenrationale Funktionen).
(a) f : x 7→
x−1
x2 +1
(b) g : x 7→
x2 −1
x2 +2x+3
(c) h : x 7→
x3 −2x2
x2 −5x
y
y
y
1
x
3
1
3
x
x
3
3
(a) f : x 7→
x−1
x2 +1
(b) g : x 7→
x2 −1
x2 +2x+3
(c) h : x 7→
x3 −2x2
x2 −5x
In den Nullstellen der Nenner sind gebrochenrationale Funktionen nicht definiert, rundherum aber schon. Wir können untersuchen, was passiert, wenn wir beliebig nahe an
einen solche Nennernullstelle rangehen.
Dies tut man, indem man aus der Funktion eine Folge bastelt. Nennen wir die Funktion
f und die Nullstelle s. Man nimmt eine Folge mit Grenzwert s (z.B. (s + n1 )n∈N ) und
schaut was passiert, wenn man die Funktion drauf anwendet, d.h. das Verhalten der
Folge (f (s + n1 ))n∈N .
17
Vorkurs Mathematik 2016
8
FUNKTIONEN
2
−1
). Wir finden die Nullstellen des Zählers und des Nenners
Beispiel (r(x) = x2x+2x−3
raus. Für den Zähler erhalten wir x = 1 und x = −1, für den Nenner x = −3 und
x = 1. Wir können r also wiefolgt schreiben:
r(x) =
(x − 1)(x + 1)
.
(x − 1)(x + 3)
Zuerst untersuchen wir s = −3 mit einer Folge die von oben nach s geht: z.B. (−3 +
1
n )n∈N . Es gilt:
(−3 + n1 − 1)(−3 + n1 + 1)
−2 + n1
1
=
r −3 +
(1)
=
1
n
(−3 + n1 − 1)(−3 + n1 + 3)
n
n→∞
(2)
= −2n + 1 −→ −∞.
Was passiert, wenn wir eine Folge nehmen, die von unten nach s geht, z.B. (−3− n1 )n∈N ?
−2 − n1
(−3 − n1 − 1)(−3 − n1 + 1)
1
=
r −3 −
=
−1
n
(−3 − n1 − 1)(−3 − n1 + 3)
n
n→∞
(3)
= 2n + 1 −→ ∞.
Wir sehen, dass da nicht dasselbe rauskommt.
(2) bezeichnet man als rechtsseitigen Grenzwert,
lim r(x),
xցs
(3) als linksseitigen Grenzwert oder kurz
lim r(x).
xրs
Eine solche Nullstelle des Nenners, bei der die Grenzwerte ±∞ sind (auch uneigentliche
Grenzwerte genannt) nennt man Polstelle. Die vertikale Gerade durch die Nullstelle
nennt man (vertikale) Asymptote.
Nun untersuchen wir s = 1. Zuerst
(1 +
n→∞ (1 +
lim r(x) = lim
xց1
1
n
1
n
− 1)(1 +
− 1)(1 +
1
n
1
n
(2 + n1 )
+ 1)
1
= lim
=
1
2
+ 3) n→∞ (4 + n )
und dann, ähnlich,
(1 −
n→∞ (1 −
lim r(x) = lim
xր1
1
n
1
n
− 1)(1 −
− 1)(1 −
1
n
1
n
+ 1)
1
= .
2
+ 3)
Der links- und rechtsseitige Grenzwert ist derselbe. Eine solche Nennernullstelle heisst
Unbestimmtheitsstelle. (Sie wird in der Mathematik auch mit dem komplizierteren
Begriff hebbare Singularität bezeichnet.)
18
Vorkurs Mathematik 2016
8
FUNKTIONEN
Diese Untersuchung kann man bei einer Funktion f an einer beliebigen Stelle s durchführen. Wenn der Grenzwert von beiden Seiten her kommend derselbe ist, sagen wir
c, dann nennen wir dies den Grenzwert von f bei s und schreiben
lim f (x) = c.
x→s
Uneigentliche Grenzwerte
Eine Form von uneigentlichen Grenzwerten haben wir bei den Polstellen schon kennengelernt. Eine andere Form taucht beim Betrachten des Verhaltens einer gebrochenrationalen Funktion f für x → ±∞ auf. Dieses untersucht man z.B. mit den Folgen
(n)n∈N bzw. (−n)n∈N und schreibt, wenn so ein Grenzwert c existiert,
lim f (x) = c.
x→±∞
ACHTUNG! c kann sehr wohl ±∞ sein!
Verhalten einer Funktion für x → ±∞
Sei f eine gebrochenrationale Funktion, Z der Grad des Zählers, N der Grad des
Nenners. Es gibt drei Fälle:
N > Z:
lim f (x) = 0
x→±∞
N < Z:
lim f (x) = ±∞
x→±∞
(Was genau auf welcher Seite geschieht muss untersucht werden!)
N = Z:
lim f (x) =
x→±∞
aZ
aN
wobei aZ der erste Koeffizient des Zählers und aN der erste Koeffizient des Nenners ist.
Im letzten Fall heisst die horizontale Linie der Höhe aaNZ (horizontale) Asymptote. Im
Spezialfall Z = N + 1 kann man mittels Polynomdivision eine schräge Asymptote
finden.
19
Vorkurs Mathematik 2016
9 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN
y
5
x
5
x 7→
x5 − x4 + 2x3 − 3x2 + 4x − 5
x4 + x3 − 3x2 − 2x + 1
(mit Asymptote)
9 Trigonometrische Funktionen
y
✻
1
α ·
cos α
sin α
1
✲x
Wir beschreiben dem Einheitskreis wie oben dargestellt ein rechtwinkliges Dreieck ein.
Wir denken uns den Winkel α im Bogenmass und definieren:
sin α := Länge der Gegenkathete (Sprechweise: „Der Sinus von α“)
cos α := Länge der Ankathete (Sprechweise: „Der Cosinus von α“).
20
Vorkurs Mathematik 2016
9 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN
Dies sind beides Funktionen von R nach [−1, 1]. Eine Funktion heisst periodisch mit
Periode T falls f (x + T ) = f (x) für alle x ∈ D. Weil wir nach einer Drehung der
Hypotenuse um den Ursprung um den Winkel 2π dasselbe Dreieck erhalten wie vorher,
müssen Sinus und Cosinus 2π-periodisch sein. Sie sehen so aus:
y
1
2
−2π
π
−π
y = sin x
x
2π
y = cos x
Wir sehen, dass der Cosinus gerade der Sinus um π2 nach links verschoben ist:
π
.
cos x = sin x +
2
Wegen dem Satz von Pythagoras erhalten wir vom Bild des Einheitskreises
sin2 α + cos2 α = 1 für alle α ∈ R.
Andere wichtige Formeln:
sin α ± β = sin α cos β ± cos α sin β
cos α ± β = cos α cos β ∓ sin α sin β
Schliesslich gilt in allgemeinen Dreiecken
γ
Sinussatz:
sin β
sin γ
sin α
=
=
a
b
c
b
und
a
Cosinussatz:
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ.
Diese beiden Sätze dienen dazu, aus bekannten Seiten und
Winkeln die unbekannten abzuleiten.
α
c
β
Ferner definiert man als Tangens
tan α =
sin α
cos α
das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete. Auch der Tangens ist periodisch, jedoch hat er eine kürzere Periode, nämlich π. Bis auf die Nullstellen des Cosinus ist der
Tangens auf ganz R definiert.
21
Vorkurs Mathematik 201610 EXPONENTIALFUNKTION UND LOGARITHMEN
y
1
2
π
−π
−2π
x
2π
y = tan x
Der Tangens ist wichtig für die Steigungsbestimmung. Für eine Gerade gegeben durch
y = mx + b gilt nämlich m = tan α, wo α wie im Bild ist.
y
✻
f : x 7→ mx + b
✲x
α
10 Exponentialfunktion und Logarithmen
Exponentialfunktionen
Als Exponentialfunktion bezeichnet man eine Funktion des Typs
f : x 7→ acx ,
a ∈ R≥0 , c ∈ R\{0}
22
Vorkurs Mathematik 201610 EXPONENTIALFUNKTION UND LOGARITHMEN
f (x)
2.5x
2x
1.5x
1
x
1
f : x 7→ ax mit a = 1.5, 2, 2.5
Die Zahl a heisst hierbei Basis, die Variable x der Exponent. Anhand des Bilds sieht
man, dass D = R und B = R>0 . Somit kann man jede positive Zahl b schreiben als
b = ac für ein c ∈ R. Dies ermöglicht uns verschiedene Exponentialfunktionen durch
einander auszudrücken:
bx = acx .
Deshalb darf man sich beim Studium von Exponentialfunktionen auf eine Basis beschränken. Wir wählen a = e, die Eulersche Zahl, weil sie besonders schöne Eigenschaften hat, wie wir später sehen werden. Wer e noch nicht kennt: Man kann sie definieren
durch
n
1
e := lim 1 +
n→∞
n
und sie hat ungefähr den Wert e = 2.71828....
Exponentialfunktionen werden oft zum Beschrieb von Wachstum und Zerfall benutzt.
Bei c > 0 hat man Wachstum, bei c < 0 Zerfall.
23
Vorkurs Mathematik 201610 EXPONENTIALFUNKTION UND LOGARITHMEN
Logarithmus
Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.
Definition. (Umkehrfunktion) Sei f : D → W. Falls es eine Funktion g : W → D
gibt so dass g(f (x)) = x für alle x ∈ D und f (g(y)) = y für alle y ∈ W, so heisst f
umkehrbar und g Umkehrfunktion von f .
Wir bezeichnen den Logarithmus mit log. Also gilt
log : R>0 → R
sowie
elog x = x und log ex = x.
Der Logarithmus von x ist also gerade die Zahl, mit der man e potenzieren muss, um
x zu erhalten. Man kann den Logarithmus aber nicht nur zur Basis e definieren: Man
bezeichnet die Zahl mit der man eine Zahl a potenzieren muss, um x zu erhalten als
loga x (Sprechweise: „Logarithmus von x zur Basis a.“).
y
log2 x
log x
1
log10 x
x
1
Logarithmus zu den Basen 10, 2 und e.
Aber ähnlich wie bei der Exponentialfunktion gibt es keine grossen Unterschiede zwischen den verschieden Logarithmen. Es gilt nämlich
x = aloga x
Da b = aloga b gilt auch
x = blogb x
= aloga b
logb x
= aloga b·logb x
24
Vorkurs Mathematik 2016
11 DIFFERENTIATION
und daraus folgern wir
loga x = loga b · logb x.
Die verschieden Logarithmen unterscheiden sich also nur um einen Faktor. Wir werden fortan nur noch mit dem Logarithmus zur Basis e arbeiten. Dieser wird auch
natürlicher Logarithmus genannt.
Wir fassen die Rechenregeln für den Logarithmus kurz zusammen:
log ab = log a + log b
a
log = log a − log b
b
log ar = r log a
Beispiel (Halbwertszeit). Der Fischbestand in der Nordsee sei momentan C. Die Fischer arbeiten so, dass sich der Bestand der Fische durch die Funktion f (t) = Ce−λt
beschreiben lässt, wobei λ eine positive Zahl ist. Wir haben also einen negativen Exponenten, deshalb einen Zerfallsprozess und ferner ist f (0) tatsächlich C, die Funktion
macht also Sinn. Wir fragen nun nach der Zeit T die es braucht, um die Nordsee auf
die Hälfte der Fische hinunterzufischen. Es muss gelten
Ce−λT =
C
2
e−λT =
1
2
also
und so, nach nehmen vom Logarithmus auf beiden Seiten
1
2
= log 1 − log 2
−λT = log
= − log 2
und letztlich
T =
log 2
.
λ
11 Differentiation
Differenzierbarkeit
Wir wollen die Steigung einer Funktion f in einem bestimmten Punkt c untersuchen,
wobei wir unter der Steigung von f in c die Steigung der Tangente T an f durch
(c, f (c)) verstehen. Wie finden wir die Tangentensteigung mT ?
25
Vorkurs Mathematik 2016
11 DIFFERENTIATION
Wir nehmen einen Punkt c + h, ein wenig von c entfernt und legen die Sekante S durch
die Punkte (c, f (c)) und (c + h, f (c + h)), die auf dem Graph von f liegen.
y
T
f (c + h)
S
f (c)
f (x)
x
c
c+h
Die Steigung von S beträgt
f (c + h) − f (c)
f (c + h) − f (c)
=
.
(1)
c+h−c
h
Die Gleichung (1) wird als Differenzenquotient bezeichnet. Je mehr wir nun mit h
gegen 0 gehen, desto mehr nähert sich S an T und so (1) an die gesuchte Steigung mT .
Es gilt
f (c + h) − f (c)
=: f ′ (c).
mT = lim
h→0
h
Wir nennen f ′ (c) die Ableitung von f an der Stelle c oder auch Differentialquotient
und wir sagen f ist differenzierbar in c. Auf allen Punkten wo f differenzierbar ist
definiert f also eine neue Funktion f ′ , die wir die Ableitung von f nennen. Manchmal
df
wird f ′ auch dx
geschrieben. Sie ist die Steigungsfunktion von f .
Beispiel. Wir wollen f : x 7→ x2 in c ∈ D differenzieren. Wir beginnen mit
(c + h)2 − c2
c2 + 2hc + h2 − c2
f (c + h) − f (c)
=
=
= 2c + h.
h
h
h
Nun lassen wir h gegen 0 gehen:
lim 2c + h = 2c.
h→0
Da c ∈ D beliebig war, ist f also überall differenzierbar und es gilt
f ′ (x) = 2x.
Genau wie f kann man f ′ ableiten. Man nennt die so erhaltene Funktion zweite Ableitung von f und schreibt f ′′ . Analog kann man die n-te Ableitung f (n) definieren.
26
Vorkurs Mathematik 2016
11 DIFFERENTIATION
Ableitungsregeln
(f + g)′ = f ′ + g ′
n ′
(cf )′ = c · f ′ ,
n−1
′
(x ) = nx
(c) = 0,
c∈R
c∈R
Damit können wir Polynome ableiten:
Beispiel.
(x5 + 3x2 + 1)′ = (x5 )′ + 3(x2 )′ + (1)′ = 5x4 + 3 · 2x = 5x4 + 6x
Produkte- und Quotientenregel
Beispiel.
(uv)′ = u′ v + uv ′
u ′
u′ v − uv ′
=
, wo v 6= 0
v
v2
x2 − 1
x2 + 1
′
=
4x
2x(x2 + 1) − (x2 − 1) · 2x
= 2
.
2
2
(x + 1)
(x + 1)2
Ableitung einiger wichtiger Funktionen
(sin x)′ = cos x
(cos x)′ = − sin x
′
sin x
(tan x)′ =
cos x
(ex )′ = ex
Quot.-regel
=
sin′ x cos x − sin x cos′ x
cos2 x + sin2 x
1
=
=
2
cos x
cos2 x
cos2 x
(Darum nimmt man e als Basis für Exponentialfunktionen!)
Kettenregel
Seien f, g zwei Funktionen. Wir können, sofern g in D von f landet, eine neue Funktion
h basteln, indem wir f und g aneinanderhängen. Zuerst wenden wir g auf x an und
dann f auf die Zahl die wir erhalten haben:
h(x) := f (g(x)).
Wie sieht die Ableitung von h aus? Es gilt:
h′ (x) = (f (g(x))′ = f ′ (g(x)) · g ′ (x).
27
(Kettenregel)
Vorkurs Mathematik 2016
11 DIFFERENTIATION
Beispiel (Ableitung von sin(x2 )). Es seien
(f ′ (x) = cos x)
f (x) = sin x
g(x) =x2
(g ′ (x) = 2x)
h(x) = f (g(x)) = sin x2 .
Also ist die Ableitung von h:
h′ (x) = f ′ (g(x))g ′ (x) = cos x2 · 2x = 2x cos x2 .
Man nennt f ′ (g(x)) die äussere Ableitung und g ′ (x) die innere Ableitung. Merkregel
für die Kettenregel:
„Äussere Ableitung mal innere Ableitung.“
ACHTUNG: Die äussere Ableitung hat als Argument g(x), nicht x!
Beispiel. Mit Hilfe der Kettenregel können wir die Ableitung des Logarithmus bestimmen:
elog x = x
′
elog x = 1
Aber
elog x
also
′
= elog x · log′ x = x log′ x,
x log′ x = 1 und so log′ x =
1
.
x
Optimierung
Wir haben eine Funktion f (x) = −x3 + 2x2 + x − 2. Sie sieht so aus:
28
Vorkurs Mathematik 2016
11 DIFFERENTIATION
f (x)
1
x
1
Wir wollen rausfinden wo im ersten Quadranten die Funktion ihr Maximum hat. Wie
sieht die Steigung um das Maximum herum aus? Von links her kommend ist sie positiv
und wird immer kleiner, bis sie nach dem Maximum negativ wird. Also muss sie im
Maximum 0 sein. Es gilt
f hat ein Maximum in x =⇒ f ′ (x) = 0.
Dasselbe gilt natürlich für ein Minimum. Man nennt die Minima und Maxima Extremalwerte oder Extrema. Damit kann man gut Optimierungsaufgaben lösen:
Beispiel. Wir haben einen 2 × 4-Karton. Wir schneiden von den Ecken Quadrate weg
und falten den Rest zu einer (offenen) Kiste. Wie lange müssen die Seiten der Quadrate
sein, damit die Kiste möglichst viel fasst?
✻
2
x
✻
❄
✛
4
Das Volumen der Kiste ist
V (x) = x(2 − 2x)(4 − 2x) = 4x3 − 12x2 + 8x.
29
✲
❄
Vorkurs Mathematik 2016
12 INTEGRATION
Wir wollen V maximieren. Also müssen wir die Nullstellen von V ′ (x) finden.
V ′ (x) = 12x2 − 24x + 8
12x2 − 24x + 8 = 0
2
⇔ x2 − 2x + = 0
3
und daraus erhalten wir
x1,2 =
2±
q
4−
2
8
3
1
=1± √
3
Da ein negatives Volumen keinen Sinn macht, bleibt die Lösung x = 1 −
√1 .
3
12 Integration
Beim Integrieren sucht man für eine Funktion f eine andere Funktion F so dass F ′ = f .
F heisst dann Stammfunktion von f . Hat man eine Stammfunktion F gefunden, so
ist F + C, C ∈ R ebenso eine Stammfunktion, da die Konstante C beim Ableiten
verschwindet. Wenn es also mindestens eine Stammfunktion gibt, so gibt es unendlich
viele. Man nennt die Menge der Stammfunktionen das unbestimmte Integral von f und
notiert sie durch
Z
f (x) dx.
Ursprünglich wurde das Integral beim Bestimmen von Flächen, die unter dem Graphen einer Funktion f und zwischen zwei vertikalen Achsen x = a und x = b liegen,
gefunden.
f (x)
Z
b
f (x) dx
a
x
a
b
30
Vorkurs Mathematik 2016
12 INTEGRATION
Diese Fläche bezeichnet man mit
Z
b
f (x) dx
a
und nennt dies ein bestimmtes Integral, a, b sind die Integrationsgrenzen, f (x) der
Integrand und x die Integrationsvariable. Es gilt
Z
a
b
f (x) dx = F (b) − F (a) =: [F (x)]ba .
Integrationsregeln
Z
Z
(f + g) dx = f dx +
Z
Z
c · f dx = c f dx,
Z
g dx
für alle c ∈ R
Diese und die folgenden Regeln ergeben sich daraus, dass wir bei der Integration die
Differentiation umkehren wollen!
Z
xn+1
+C
für n 6= −1
xn dx =
n+1
Z
sin x dx = − cos x + C
Z
cos x dx = sin x + C
Z
ex dx = ex + C
Z
1
dx = log |x| + C
x
Beispiel. Bestimme die Fläche unter dem Graph von f (x) = −x2 +4x−3 zwischen den
Nullstellen von f . Zuerst suchen wir die Nullstellen von f . Wir finden x1 = 1, x2 = 3.
Wir müssen
Z
3
f (x) dx
1
31
Vorkurs Mathematik 2016
berechnen.
Z 3
Z
f (x) dx =
1
3
1
Z
=
3
1
12 INTEGRATION
−x2 + 4x − 3 dx
−x2 dx +
Z
3
4x dx +
1
2 3
Z
3
−3 dx = −
1
Z
3
x2 dx + 4
x3
=−
3
3
x
+4
2
1
3
3 [x]1
3
1
1
2
3
3
x
x
−
= − + 4 − 3x
3
2
1
1
1
4
= (−9 + 18 − 9) − (− + 2 − 3) = 0 − (− )
3
3
4
= .
3
Z
x dx − 3
Z
3
1 dx
1
Partielle Integration
Produkte können wir mit der Formel für partielle Integration berechnen. Es gilt
Z
b
f g dx =
a
[F g]ba
−
Z
b
F g ′ dx,
a
wobei F natürlich eine Stammfunktion von f ist. Dies ist das Analogon für die Produktformel der Differentialrechnung.
Beispiel. Wir wollen
Z
π
2
cos2 u du
0
berechnen. Es gilt
Z
0
π
2
cos2 u du =
Z
π
2
0
cos u · cos u du =
π
[sin u · cos u]02 −
Z
π
2
0
sin u · (− sin u) du =
π
π
0 cos 0) +
(sin cos − sin
2 | {z 2} |{z}
=0
=0
0+
Z
Dies führt auf
2
π
2
0
Z
Z
π
1 − cos u du = −
2
2
π
2
cos2 u du =
0
32
π
2
π
2
sin2 u du =
0
Z
0
π
2
cos2 u du.
Vorkurs Mathematik 2016
12 INTEGRATION
und so
Z
π
2
cos2 u du =
0
π
.
4
Uneigentliche Integrale
Manchmal will man Flächen bestimmen, deren Integrationsgrenzen nicht zum Definitionsbereich des Integranden gehören. Es gibt zwei Fälle. Einerseits können a oder b
ganz normale Zahlen sein, die einfach nicht in D sind, andererseits kann a = −∞ oder
b = ∞ sein.
f (x)
1
x
(a)
R1
0
1
√1 dx:
x
Der Integrand nimmt bei 0 keinen Wert an.
f (x)
1
x
1
(b)
R∞
1
√1 dx:
x
Der Integrand geht bis +∞.
33
Vorkurs Mathematik 2016
12 INTEGRATION
In beiden Fällen berechnet man das Integral, in dem man statt der kritischen Integrationsgrenze eine Folge in D nimmt, die gegen diese Grenze konvergiert. Wir illustrieren
dieses Vorgehen anhand eines Beispiel. (Dieses Beispiel entspricht dem Bild (a) von
oben.)
Beispiel.
Z
1
1
√ dx := lim
n→∞
x
0
denn 0 ist ja nicht in D von
Z
1
1
n
1
√ dx =
x
√1 .
x
Z
Z
1
1
n
1
√ dx,
x
Es gilt
1
− 12
dx =
x
1
n
"
1
x2
1
2
#1
1
n
=2−2
r
1 n→∞
→ 2.
n
Integrale dieser Formen nennt man uneigentliche Integrale.
Substitutionsregel
Manchmal lässt sich ein kompliziertes Integral durch Ersetzung der Integrationsvariable in eine Funktion in einer anderen Variable vereinfachen. Dies geschieht nach der
Formel
Z
Z
b
d
f (x) dx =
a
f (g(u))g ′ (u) du
(1)
c
wobei c, d so, dass g(c) = a, g(d) = b. Man kann die Gleichung auch umkehren, wenn
dies dienlich ist.
Beispiel. Wir wollen
Z
0
1
p
1 − x2 dx
berechnen. Wir versuchen es mit der Substitution x = sin u. Gemäss (1) gilt
Z
0
1
π
2
Z
p
1 − x2 dx =
0
Z
π
2
0
p
1 − sin2 u cos u du =
Z
√
cos2 u cos u du =
0
π
2
cos2 u du =
π
,
4
gemäss unserem Beispiel für die partielle Integration. Man übersehe dabei nicht, wie
wir die Integrationsgrenzen angepasst haben:
1 = sin
π
, 0 = sin 0.
2
34
Vorkurs Mathematik 2016
13 LÖSEN VON GLEICHUNGSSYSTEMEN
13 Lösen von Gleichungssystemen
Zu Beginn des Kurses haben wir folgendes Gleichungssystem gelöst:
2x + 3y = 5
(1)
x + 2y = 4
(2)
In diesem Beispiel haben wir genau eine Lösung erhalten. Ist dies immer so? Um diese
Frage zu beantworten betrachten wir das Problem geometrisch.
Verschiedene Lösungsmengen
Wir haben ein Gleichungssystem
(3)
(4)
ax + by = e
cx + dy = f
Beide Gleichungen können zu Geradengleichungen der Form y = mx + b umgeformt
werden, z.B. (3) zu y = − ab x + eb . (Wir setzen hier b 6= 0 voraus, denn mit b = 0 wäre
die Aufgabe einfach zu lösen .) Ihre jeweilige Lösungsmenge ist also eine Gerade. Die
gemeinsamen Lösungen sind also die Punkte, die auf beiden Geraden liegen.
h
h
g
g
g
h
(a) Geraden kreuzen sich
(b) Geraden sind parallel
(c) Geraden fallen aufeinander
Was gibt es da für Möglichkeiten und wie häufig treten die verschiedenen Fälle auf?
Für Fall (c) müssen g und h genau gleich sein, für Fall (b) müssen sie mindestens
dieselbe Steigung haben und im Fall (a) sind wir sobald sie verschiedene Steigungen
haben. Also ist Fall (a) (mit Abstand) am wahrscheinlichsten, dann Fall (b) und am
unwahrscheinlichsten ist Fall (c). Dieses Resultat gilt auch für n Gleichungen mit n
Unbekannten.
Anzahl Gleichungen6= Anzahl Unbekannte
Wie sieht es aus wenn die Anzahl Gleichungen m nicht mit der Anzahl Variablen n
übereinstimmt?
35
Vorkurs Mathematik 2016
13 LÖSEN VON GLEICHUNGSSYSTEMEN
m < n: Man denke nur an m = 1, n = 2, eine Gleichung der Form ax + by = c.
Dies ist, gemäss vorher, eine Geradengleichung und hat somit unendlich viele
Lösungen. m = 1, n = 2 ist kein Spezialfall, falls m < n kann es unendlich
viele Lösungen geben. Haben wir mehrere Gleichungen (m > 1), so kann es auch
vorkommen, dass die Gleichungen einander widersprechen. In diesem Fall gibt es
keine Lösung.
m > n: Hierzu denke man wieder an Geraden: Nehmen wir m = 3, n = 2, 3 Geraden.
Was für Möglichkeiten gemeinsamer Punkte gibt es? Vergleiche dazu die folgende
Abbildung.
•
P= (xp , yp )
(a) Geraden haben gemeinsamen Schnittpunkt P
(b) Geraden haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt
(c) alle drei Geraden fallen aufeinander
Es gibt die gleichen drei Möglichkeiten wie vorhin! Wie wahrscheinlich sind die verschiedenen Möglichkeiten? Damit Fall (c) eintritt müssen die Gleichungen dieselben
Geraden liefern, m und b der Gerade sind bereits durch eine Gleichung festgelegt. In
Fall (a) muss nur P auf jeder Gerade liegen, jede Gleichung kann ein anderes m haben,
allerdings ist das zugehörige b dann durch P festgelegt, denn yp = mxp + b. Im Fall (b)
muss nur gelten, dass wir nicht in Fall (a) oder in Fall (c) sind. Fall (b) ist hier also (mit
Abstand) am wahrscheinlichsten (die Gleichungen müssen nahezu keine Bedingungen
erfüllen), gefolgt von Fall (a) und dann Fall (c). Es dürfte klar sein, dass es sich gleich
verhält, wenn wir 4 oder mehr Geraden, also 4 oder mehr Gleichungen haben. Und
auch für mehr als zwei Variablen lässt sich dieses Resultat verallgemeinern. Wir fassen
zusammen:
Satz. Sei n die Anzahl Variablen und m die Anzahl Gleichungen. Dann gilt
n > m: Entweder gibt es unendlich viele Lösungen oder die Gleichungen widersprechen sich und es gibt keine Lösung.
n = m: Meistens gibt es genau eine Lösung, dass es keine oder unendlich viele gibt
kann aber auch vorkommen.
n < m: Meistens gibt es gar keine Lösung, dass es genau eine oder unendlich viele
gibt kann aber auch vorkommen.
36
Vorkurs Mathematik 2016
14 VEKTOREN
Wie wahrscheinlich die verschiedenen Fälle genau sind, und was es für Unterscheidungskriterien gibt, sind Sachen die man in einem fortgeschrittenen Kurs untersuchen
könnte, hier würden sie allerdings den Rahmen sprengen.
Lösen von Gleichungssystemen mit n Variablen
Hier erweist sich das Additionsverfahren als die robusteste Methode. Man benutzt
alle(!) m Gleichungen, um m − 1 Gleichungen zu erhalten, die nur noch von n − 1
Variablen abhängen. Dies tut man solange, bis man nur noch eine Gleichung hat. Wir
nehmen die Lösung(en) dieser Gleichung und setzen sie in die vorher aufgetauchten
Gleichungen ein, um Schritt für Schritt die Werte der anderen Variablen zu erhalten.
Alle Gleichungen muss man verwenden, weil das ignorieren einer Gleichung der Preisgabe der Bedingung gleichkommt, die die Gleichung an die Lösungsmenge des Systems
stellt.
Beispiel (für n = m = 3). Wir wollen
2x + y − z = 3
3x + 2y + z = 15
(5)
(6)
−x + y + 2z = 6
(7)
mit dem Additionsverfahren lösen. Wir addiern (5) zu (6) und (5) zweimal zu (7) hinzu
(N.B.: Es werden alle drei Gleichungen verwendet!) und erhalten
5x + 3y = 18
3x + 3y = 12
(8)
(9)
nun multiplizieren wir (9) mit −1 und addieren die Gleichungen. Wir erhalten 2x = 6
und so x = 3. Dies setzen wir in (8) oder (9) ein und erhalten y = 1. Nun setzen wir
x und y in eine der ursprünglichen drei Gleichungen ein und erhalten: z = 4.
14 Vektoren
Der Begriff des Vektors
Vektoren sind gerichtete Grössen, also Gegenstände, die neben einer Grösse auch noch
eine Richtung haben. Bislang haben wir nur mit skalaren Grössen gearbeitet, Gegenständen, die nur eine Grösse haben.
Beispiele für skalare Grössen: Temperatur, Gewicht, Höhe
37
Vorkurs Mathematik 2016
14 VEKTOREN
Beispiele für Vektoren:
- Kraft: Einerseits hat eine Kraft eine Stärke, andererseits eine
Richtung in der sie wirkt..
- Bewegung: Einerseits hat eine Bewegung eine Geschwindigkeit,
andererseits eine Richtung in der sie stattfindet. Oder, ein wenig
abstrakter:
- Punkte im Raum: Einerseits haben sie einen Abstand vom Ursprung, andererseits eine Richtung in der sie liegen.
Darstellung von Vektoren
z
✻ P
•
p
~❃
✲y
x
✠
Vektoren werden meist als Türme von Zahlen, manchmal auch als Zeilen beschrieben.
Im ersten Fall spricht man von Spaltenvektoren und im zweiten Fall von Zeilenvektoren.
Beispiel.

 
 

2
7
2.5
 3  ,  −10  ,  3/10  oder auch (5, 1, 8)
4
1
4.001
oder, etwas abstrakter

 

a
x
 b , y ,
c
z
oftmals aber auch abgekürzt mit Pfeil z.B.: ~v , ~a. Wenn wir einen Vektor ~a haben, so
schreiben wir ihn explizit als


a1
 a2 
a3
Die ai bezeichnet man als Koordinaten.
Operationen mit Vektoren
Was kann man mit Vektoren tun?
- Addieren:






a1
b1
a1 + b 1
~a + ~b =  a2  +  b2  :=  a2 + b2 
a3
b3
a3 + b 3
Man sagt auch: Die Vektoren werden koordinatenweise addiert.
38
❃✕
~b
~a + ~b
✶
~a
Vorkurs Mathematik 2016
Beispiel.
14 VEKTOREN

   

3
7
10
 6  +  8  =  14 
5
1
6
❃
- Mit einem Skalar multiplizieren:

c · a1
c · ~a :=  c · a2 
c · a3

c · ~a
❃
~a
wobei c eine ganz normale Zahl ist. Später werden wir statt c · ~a nur noch c~a
schreiben.
Beispiel.

 

2
8
4 ·  7  =  28 
9
36
- Skalarprodukt: Zwei Vektoren werden multipliziert und liefern uns ein Skalar:

 

b1
a1
~a · ~b =  a2  ·  b2  := a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3
b3
a3
Beispiel.

  
2
7
 5  ·  1  = 2 · 7 + 5 · 1 + 3 · 9 = 46
3
9
- Betrag nehmen: Dies heisst Grösse des Vektors rausfinden:


q
a1
|~a| := a21 + a22 + a23 , wenn ~a =  a2 
a3
Beachte: Wegen dem Skalarprodukt gilt:

 

a1
a1
~a · ~a =  a2  ·  a2  = a21 + a22 + a23
a3
a3
und so
|~a| =
√
~a · ~a
Beispiel. Sei ~a = (3, 4, 0). Dann ist
p
√
|~a| = 32 + 42 + 02 = 25 = 5
39
Vorkurs Mathematik 2016
15 GERADEN IN EBENE UND RAUM
- Normieren: Dies bedeutet den Vektor zu einem Vektor gleicher Richtung, aber
der Länge 1 machen:
~a
1
:=
· ~a
|~a|
|~a|
Je nachdem woran wir arbeiten lohnt es sich Vektoren als frei im Raum oder, in
dem man einen Ursprung wählt, relativ zueinander zu betrachten. „Freie“ Vektoren
bezeichnet man als Richtungsvektoren, an einen Ursprung gebundene als Ortsvektoren.
y
y
✻✶
✶ ✶
✶ ✶ ✶
✶ ✶ ✶
✻
❃
✲
✲
z
✠
z
✠
x
x
(b) Ortsvektor
(a) Richtungsvektor
Wie bestimmt man den Winkel zwischen zwei Vektoren? Mit Hilfe des Skalarprodukts!
Es gilt die
✕
Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren.
Seien ~a,~b zwei Vektoren und γ der von ihnen eingeschlossene Winkel. ~a
Dann gilt
✯
~a · ~b
= cos γ
~b
γ
|~a| · |~b|
15 Geraden in Ebene und Raum
In der Ebene
Wir haben gesehen, dass Geraden in der Ebene durch Gleichungen der Form y = mx+b
beschrieben werden können, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt sind.
Nun wollen wir Geraden durch Vektoren ausdrücken. Dazu nehmen wir einen beliebigen
Punkt ~
p auf der Geraden g. Sei nun ~q ein anderer Punkt von g und ~r = ~q −~p der Vektor
von p~ nach ~
q . Nun sieht man, dass alle Punkte von g durch Vielfache von ~r, angehängt
an p~ beschrieben werden:
g = {~
p + t~r | t ∈ R}
oder expliziter: Sei (x, y) ein Punkt in g. Dann gilt
r1
x
p1
= ~p + t~r
+t·
=
r2
p2
y
40
für ein t ∈ R
Vorkurs Mathematik 2016
x
✻
g
15 GERADEN IN EBENE UND RAUM
x
x
✻
Q
g
❃
✻
g
•
✒
~
r
P
•
✣
P
t~
r
❃
•
✣
q
~
p
~
p
~
✲y
✲y
✲y
(a) Gerade durch Gleichung
y = mx + b gegeben
(b) Gerade mit zwei Punkten
P, Q und ~
r
(c) Gerade durch Vektoren gegeben
Beispiel. Wir wollen die Gerade g, gegeben durch y = 2x + 5 mittels Vektoren darstellen. Dazu brauchen wir zwei Punkte auf g. Als Erstes nehmen wir den Punkt p~ mit
x = 1. Die Gleichung liefert p~ = (1, 7). Dann nehmen wir ~q mit x = 2. Wir erhalten
~q = (2, 9). Wir bilden ~r = ~q − p~ = (2, 9) − (1, 7) = (1, 2). Nun sind die Punkte von g
gegeben durch
x
1
1
=
+t·
= p~ + t~r für ein t ∈ R
y
7
2
Wir überprüfen die Richtigkeit unserer Darstellung, in dem wir sie in die Geradengleichung einsetzen:
y = 2x + 5 = 2(1 + t) + 5 = 2 + 2t + 5 = 7 + 2t
X
Also erfüllen die Punkte für alle t die Gleichung.
Im Raum
Nun gehen wir in den Raum. Hier gibt es keine einfache Beschreibung wie in der Ebene
mehr. Aber mit Vektoren klappts. Gleich wie in zwei Dimensionen wählen wir ~p, ~q und
somit ~r und alles läuft genau gleich, ausser dass die Vektoren jetzt drei statt zwei
Koordinaten haben. Die Gerade g wird wiederum beschrieben durch:
g = {~
p + t~r | t ∈ R}
Diese Darstellung von Geraden durch Vektoren wird als Parameterdarstellung bezeichnet, wobei die Variable t der Parameter ist. Zu jedem Punkt auf der Geraden gehört
genau ein Wert des Parameters. Ferner bezeichnet man ~r als den Richtungsvektor
der Geraden. Notation: Ist g in Parameterdarstellung gegeben so schreibt man kurz
g : p~g + t~rg .
41
Vorkurs Mathematik 2016
15 GERADEN IN EBENE UND RAUM
Anwendungen
Nun können wir verschiedene Probleme mit Geraden angehen, zum Beispiel:
- Liegt ein gegebener Punkt ~a auf der Geraden g?
- Beschreibe die Gerade g, die durch die Punkte ~a und ~b geht.
Beispiel. Wir wollen eine Aufgabe des ersten Typs lösen. Seien die Punkte von g
gegeben durch

  
 
x
2
7
 y  =  4  + t ·  3 .
z
6
4
Wir wollen überprüfen ob ~q = (16, 10, 14) auf g liegt. Damit der Parameter t auf der
x-Koordinate den richtigen Wert liefert, muss er den Wert 2 haben, also gilt t = 2.
Warum? Für das gesuchte t muss gelten 2 + 7t = x = q1 = 16. Nun überprüfen
wir, ob es auf den anderen Koordinaten für dieses t auch stimmt. Und tatsächlich:
y = 4 + 2 · 3 = 10 = q2 und z = 6 + 2 · 4 = 14 = q3 . Also liegt ~q auf g.
Lagen von Geraden im Raum
Was für Lagen können zwei Geraden g und h im Raum zueinander haben? Es gibt vier
Arten:
(a) sich schneidend, d.h. g und h haben genau einen gemeinsamen Punkt
(b) kollinear (parallel), d.h. g und h haben die gleiche Richtung
(c) zusammenfallend, d.h. g = h
(d) windschief: g und h schneiden sich nicht und haben nicht die gleiche Richtung
Man beachte, dass Fall (c) ein Spezialfall von Fall (b) ist. Damit ergeben sich weitere
Probleme:
- Was für eine Lage haben zwei gegebene Geraden g und h zueinander?
- Falls sich g und h schneiden, wo ist der Schnittpunkt?
- Finde eine Gerade h durch einen Punkt p~, so dass h parallel zu einer gegebenen
Gerade g ist.
Wie geht man solche Probleme an?
Kriterien für die Bestimmung von Lagen. Es seien zwei Geraden g : ~pg + t~rg
und h : p~h + sr~h gegeben. Dann gilt
1. g und h sind kollinear ⇐⇒ rg ist ein Vielfaches von rh , d.h. es gibt ein λ ∈
R\{0} so dass rg = λrh
42
Vorkurs Mathematik 2016
16 EBENEN IM RAUM
2. g und h schneiden sich ⇐⇒ Es gibt genau ein t ∈ R und auch genau ein s ∈ R,
so dass p~g + t~rg = ~
ph + s~rh
Man beachte, dass wir uns, wenn es unendlich viele t und s gibt, die das Gleichungssystem lösen, in Fall (c) befinden und das Kriterium von 1 automatisch erfüllt ist.
Wenn es genau eine Lösung gibt, so befinden wir uns in Fall (a). In diesem Fall kann
man sich nach dem Winkel zwischen den beiden Geraden fragen. Mit Hilfe der Skalarproduktformel findet man ihn leicht:
Satz (Winkel zwischen zwei Geraden). Es seien g : p~g + tr~g und h : p~h + sr~h gegeben.
Dann gilt für den Winkel γ zwischen g und h
cos γ =
~rg · ~rh
.
|~rg | · |~rh |
16 Ebenen im Raum
Darstellungen
Parameterdarstellung
Sei E eine Ebene im Raum. Wir wollen sie durch Vektoren beschreiben. Dazu wählen
wir einen Punkt ~a auf der Ebene und die Richtungsvektoren p~ und ~q von zwei nicht
gleichgerichteten Geraden in E, die durch ~a gehen.
z
q
~
p~
~a
~b
E
y
x
43
Vorkurs Mathematik 2016
16 EBENEN IM RAUM
Anhand des Bilds sehen wir, dass ein beliebiger Punkt ~b von E durch Vielfache von ~p
und ~
q , angehängt an ~a beschrieben werden kann. Somit gilt
E = {~a + t~
p + s~q | t, s ∈ R}
oder expliziter: Sei (x, y, z) ein Punkt in E. Dann gilt





 

x
q1
p1
a1
 y  =  a2  + t ·  p2  + s ·  q2  = ~a + t~
p + s~q für je ein t, s ∈ R (1)
q3
z
p3
a3
Analog zu der Parameterdarstellung für Geraden schreiben wir, wenn E wie oben
gegeben ist, kurz E : ~a + t~
p + s~q.
Beispiel. Wir wollen die x-y-Ebene darstellen. Als ~a wählen wir den Ursprung (0, 0, 0).
Eine Gerade, die in der x-y-Ebene liegt, ist die x-Achse. Ein möglicher Richtungsvektor
für sie ist (1, 0, 0). Eine andere, nicht gleichgerichtete Gerade ist die y-Achse. Als ihren
Richtungsvektor können wir (0, 1, 0) nehmen. Also bilden folgende Punkte die x-yEbene:

  
 
 
x
0
1
0
 y  =  0  + t ·  0  + s ·  1  mit t, s ∈ R
z
0
0
0
Wie sehen denn t und s konkret für einen Punkt aus? Wir
Punkt (3, 4, 0). Wir wollen t und s so finden

  
 

3
0
1
 4 =  0 +t· 0 +s·
0
0
0
nehmen zum Beispiel den

0
1 
0
gilt und sehen schnell, dass wir dies mit und nur mit t = 3 und s = 4 erhalten.
Koordinatendarstellung
Gleichung (1) können wir als drei Gleichungen in den Variablen t und s auffassen:
x = a1 + p1 t + q1 s
y = a2 + p2 t + q2 s
z = a3 + p3 t + q3 s
Durch Elimination von t und s erhalten wir eine Gleichung in x, y, z der Form
Ax + By + Cz = D
mit A, B, C, D ∈ R
(2)
die jeder Punkt in E erfüllt. Umgekehrt kann man verifizieren, dass jeder Punkt (x, y, z)
der (2) erfüllt, in E liegt. Wir haben analog zur Geradengleichung in der Ebene eine
einfache Gleichung gefunden, deren Lösungsmenge eine Ebene im Raum ist.
44
Vorkurs Mathematik 2016
16 EBENEN IM RAUM
Beispiel. Sei E gegeben durch

  




x
1
−1
−1
 y = 0 +t· 1 +s· 0 
z
0
0
1
mit t, s ∈ R
In Gleichungen übersetzt:
x =1−1·t−1·s=1−t−s
y =0+1·t+0·s=t
z = 0+0·t+1·s= s
Wir addieren die zweite Gleichung zur ersten hinzu. Übrig bleibt
x+y =1−s
z=s
Und weiter addieren wir die neue zweite Gleichung zur neuen ersten hinzu. Dies liefert
x+y+z =1
Also haben wir wie erwünscht eine Gleichung der Form (2) mit A = B = C = D = 1
erhalten.
Begriffe
Wir haben nun also zwei Darstellungen der Ebene im Raum, einerseits mit Vektoren,
andererseits als Lösungsmenge einer Gleichung. Erstere heisst Parameterdarstellung,
wobei t, s als Parameter bezeichnet werden; letztere Koordinatendarstellung, wobei die
Gleichung selbst als Koordinatengleichung bezeichnet wird.
Anwendungen
Mit diesen Werkzeugen lassen sich folgende Probleme bearbeiten:
- Liegt ein gegebener Punkt p~ in einer gegebenen Ebene E?
- Finde die Parameter-/Koordinatendarstellung der Ebene durch die Punkte ~a, ~b, ~c
- Finde die Parameter-/Koordinatendarstellung der Ebene die eine gegebene Gerade g und einen Punkt ~
p enthält
- Wo schneidet eine Gerade g, die nicht in einer Ebene E selbst liegt, diese Ebene?
- Finde die Schnittgerade zweier nicht paralleler Ebenen E1 und E2
45
Vorkurs Mathematik 2016
16 EBENEN IM RAUM
Beispiel. Als Beispiel wollen wir eine Aufgabe des vierten Typs lösen. Wir wollen
die Gerade, die durch (2, 1, 2) und (1, 2, 1) geht mit der Ebene E von vorhin, gegeben
durch x + y + z = 1, schneiden. Die Gerade ist gegeben durch

  


x
2
−1
 y  =  1  + t ·  1  mit t ∈ R
z
2
−1
Wir setzen x, y und z in die Gleichung von E ein:
(2 − t) + (1 + t) + (2 − t) = 1
Dies führt auf t = 4. Wir setzen 4 als Parameter der Gerade ein. Dies gibt uns den
Schnittpunkt (−2, 5, −2). Wir überprüfen ob dieser Punkt tatsächlich in der Ebene
liegt
x + y + z = −2 + 5 − 2 = 1
X
Normalenvektor
Anschaulich ist klar, dass es (bis auf Vielfache) genau einen Richtungsvektor ~n gibt,
der senkrecht auf alle in einer Ebene liegenden Vektoren steht. Diesen Vektor nennt
man Normalenvektor, er steht normal d.h. senkrecht auf die Ebene.
z
~n
E
y
x
46
Vorkurs Mathematik 2016
16 EBENEN IM RAUM
Man kann zeigen, dass folgende Formel gilt:
Berechnung des Normalenvektors. Sei E durch Ax+By +Cz = D gegeben. Dann
ist
~n = (A, B, C)
ein Normalenvektor von E.
Anwendungen
Wie bestimmt man den Winkel zwischen zwei Ebenen E1 , E2 ?
Satz (Winkel zwischen zwei Ebenen). Seien E1 , E2 zwei nichtparallele Ebenen. Dann
ist der Winkel zwischen den beiden Ebenen genau derjenige zwischen den beiden Normalenvektoren. (Diesen Winkel kann man mit dem Skalarprodukt berechnen. Die Formel dazu steht auf Seite 40.)
Ein weiteres Problem: Wie bestimmt man den Abstand eines Punkts p~ von einer Ebene
E? Dieses Resultat wollen wir herleiten. Wieder kommt uns der Normalenvektor zu
Hilfe. Sei ~a = |~~nn| der normierte Normalenvektor. Gesucht ist der Betrag des Vielfachen
von ~a, welches p~ und E verbindet.
z
p~
~a
E
y
x
Wir müssen die Gerade durch p~ mit Richtung ~a mit E schneiden. Oder abstrakter:
47
Vorkurs Mathematik 2016
17 KOMBINATORIK
Finde t so dass p~ + t ·~a in E liegt, also die Gleichung Ax + By + Cz = D von E erfüllt.
Pro memoria:


A
p
~n
, wobei ~n =  B  und somit |~n| = A2 + B 2 + C 2
~a =
|~n|
C
Wir setzen die Gerade in die Gleichung ein:
A(p1 + t
B
C
A
) + B(p2 + t ) + C(p3 + t ) = D
|~n|
|~n|
|~n|
Umgeschrieben gibt das
Ap1 + Bp2 + Cp3 +
Nun ist
Also
(A2 + B 2 + C 2 )
t=D
|~n|
(A2 + B 2 + C 2 ) p 2
(A2 + B 2 + C 2 )
= A + B 2 + C 2 = |~n|
=√
|~n|
A2 + B 2 + C 2
Ap1 + Bp2 + Cp3 + |~n|t = D
Und so
D − (Ap1 + Bp2 + Cp3 )
D − (Ap1 + Bp2 + Cp3 )
√
=
|~n|
A2 + B 2 + C 2
Und weil der Abstand positiv ist, nehmen wir den Betrag hiervon:
t=
t=
|D − (Ap1 + Bp2 + Cp3 )|
|Ap1 + Bp2 + Cp3 − D|
√
√
=
A2 + B 2 + C 2
A2 + B 2 + C 2
wobei die letzte Umformung nur aus ästhetischen Gründen getätigt wurde. Wir haben
folgenden Satz bewiesen:
Satz (Abstand zwischen Punkt und Ebene). Sei p~ = (p1 , p2 , p3 ) ein beliebiger Punkt
im Raum. Dann gilt für den Abstand d zwischen ~p und der Ebene E durch Ax + By +
Cz = D definiert
|Ap1 + Bp2 + Cp3 − D|
√
(1)
d=
A2 + B 2 + C 2
Formel (1) wird als Hessesche Normalenform bezeichnet.
17 Kombinatorik
In der Kombinatorik geht es ums Zählen von Möglichkeiten. Alle hier vorgestellten Formeln lassen sich von einer einzelnen Formel, der sogenannten Produktregel der Kombinatorik, herleiten. Grundsätzlich reicht es somit aus, sich diese eine Formel zu merken.
48
Vorkurs Mathematik 2016
17 KOMBINATORIK
Produktregel
Wir illustrieren die Formel an einem einfachen Beispiel.
Beispiel (Der Weg nach Hause). Max ist an der Uni (U) und will nach Hause (H).
Auf dem Nachhauseweg will er noch ein Buch kaufen. Von der Uni zur Buchhandlung
(B) gibt es 3 und von der Buchhandlung nach Hause 4 verschiedene Wege. Wieviele
verschiedene Möglichkeiten hat Max um nach Hause zu kommen?
Max kann sich zweimal entscheiden. Diese Entscheidungspunkte nennen wir Stufen.
Es handelt sich also um einen zweistufigen Entscheidungsprozess. Auf der ersten Stufe
(Weg von der Uni zur Buchhandlung) hat Max n1 = 3 Möglichkeiten. Für jeden der
drei Wege gibt es n2 = 4 mögliche Fortsetzungen (Weg von der Buchhandlung nach
Hause). Insgesamt gibt es also n1 · n2 = 3 · 4 = 12 verschieden Wege. Die Anzahl der
Möglichkeiten auf den verschiedenen Stufen werden miteinander multipliziert. Dies ist
auch schon die gesuchte Regel.
Produktregel der Kombinatorik. In einem Entscheidungsprozess mit k Stufen
habe man auf der ersten Stufen n1 , auf der zweiten Stufen n2 , und so weiter und
schliesslich auf der k–ten Stufe nk Möglichkeiten. So hat dieser Entscheidungsprozess
insgesamt
n = n1 · n2 · . . . · nk
mögliche Ergebnisse.
Es folgt noch ein Beispiel zur Produktregel:
Beispiel (Auswahl). Auf wieviele Arten kann man eine Auswahl aus zehn verschiedenen Gegenständen treffen? Dabei können beliebig viele Gegenstände (sogar keine oder
alle zehn) ausgewählt werden.
Jeder einzelne Gegenstand kann entweder ausgewählt oder nicht ausgewählt werden.
Für jeden der zehn Gegenständ haben wir zwei Möglichkeiten und somit insgesamt
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 210 = 1024
verschiedene Möglichkeiten eine Auswahl zu treffen.
Permutation
Beispiel (100m Sprint (zum Ersten)). Beim 100m Sprint Finale starten acht Läufer.
Wie viele verschiedene Zieleinläufe sind möglich? (Wir schliessen aus, dass zwei Läufer
genau gleich schnell sind.)
49
Vorkurs Mathematik 2016
17 KOMBINATORIK
Wieviele mögliche Sieger gibt es? Natürlich acht. Den zweiten Platz kann der Sieger
nicht auch noch belegen und somit gibt es nur noch sieben mögliche Zweitplatzierte.
Für den dritten Platz gibt es noch sechs Möglichkeiten und so weiter. Wir wenden die
Produktregel an und schliessen, dass es
8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40320
mögliche Zieleinläufe gibt. Diese Aufgabe kann folgendermassen verallgemeinert werden. Wir wollen n verschiedenen Dinge anordnen, das heisst in eine Reihenfolge bringen. Eine solche Reihenfolge nennen wir Permutation. Mit derselben Überlegung wie
im Beispiel sehen wir, dass es n · (n − 1) · . . . · 2 · 1 Möglichkeiten gibt, dies zu tun. Um
dieses Produkt nicht immer ausschreiben zu müssen führen wir die folgende Notation
ein:
n! = n · (n − 1) · . . . · 2 · 1
(Sprechweise: „n Fakultät“)
Wir können nun unsere Erkenntnis in folgendem Satz zusammenfassen:
Permutation ohne Wiederholung. Es gibt n! Permutationen von n verschiedenen
Elementen.
Bis jetzt sind wir immer davon ausgegangen, dass wir verschiedene Dinge anordnen
wollen. Dies ändern wir nun:
Beispiel (TATET). Wieviele verschiedene Wörter kann man aus den Buchstaben T
A T E T bilden?
Wir stellen uns zunächst vor die Ts seien verscheiden (z.B. T, T, T). Dies ist nun eine
Permutation ohne Wiederholung und es gibt 5! = 120 verschiedene Wörter. Wir fragen
uns jetzt auf wie viele Arten wir das Wort TATET schreiben können. Da wir nur die
drei Ts anordnen müssen ist dies wieder eine Permutation ohne Wiederholung und es
gibt daher 3! = 6 Möglichkeiten. Diese Überlegung gilt nicht nicht nur für das Wort
TATET, sondern für jedes Wort mit diesen Buchstaben. In einer Auflistung aller 120
Wörter kommt also jedes Wort sechs mal vor. Wir schliessen daraus: Es gibt
120
5!
=
= 20
3!
6
verschiedene Wörter mit den Buchstaben T A T E T. Auch dieses Ergebnis kann
verallgemeinert werden.
Permutation mit Wiederholung. Haben wir n1 ununterscheidbare Elemente einer
Art, n2 ununterscheidbare Elemente einer zweiten Art, und so weiter und schliesslich
nk ununterscheidbare Elemente einer k–ten Art und sei n die Anzahl aller Elemente
(d.h. n = n1 + n2 + . . . + nk ), so gibt es
n!
n1 ! · n2 ! · . . . nk !
Möglichkeiten, diese Elemente anzuordnen.
50
Vorkurs Mathematik 2016
17 KOMBINATORIK
Variation
Unter einer Variation ohne Wiederholung verstehen wir ebenfalls eine Anordnung,
bei welcher die anzuordnenden Elemente nicht mehrfach verwendet werden dürfen.
Der Unterschied zur Permutation besteht daran, dass nicht alle Elemente angeordnet
werden, sondern nur ein Teil davon.
Beispiel (100m Sprint (zum Zweiten)). Wie viele verschiedene Podestbesetzungen
sind mit 8 Läufern möglich?
Wir können dieses Problem auf zwei Arten lösen. Erstens direkt mit der Produktregel.
Der erste Platz kann von acht, der zweite von sieben und der dritte Platz von 6 Läufern
belegt werden. Es gibt also 8 · 7 · 6 = 336 mögliche Podestbesetzungen. Hier haben
wir die Läufer auf die Plätze verteilt. Wir können aber auch anders herum vorgehen
und die Plätze auf die Läufer verteilen. Wir stellen uns dazu die Läufer auf einer
Reihe aufgestellt vor. Und wir verteilen folgende Plätze: 1., 2., 3. und fünf andere. So
betrachtet haben wir eine Permutation mit Wiederholung und können das Problem
mit der angegebenen Formel lösen. Es gibt
8!
8·7·6·5·4·3·2·1
= 8 · 7 · 6 = 336
=
5!
5·4·3·2·1
mögliche Podestbesetzungen. Der folgende Satz ergibt sich genau aus dieser Überlegung.
Variation ohne Wiederholung. Es sei n ≥ k. Es gibt dann
n!
= n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1)
(n − k)!
Möglichkeiten k Elemente aus einer Menge mit n Elementen anzuordnen.
Auch bei Variationen können wir Wiederholungen zulassen. Ein Beispiel dafür sieht
folgendermassen aus:
Beispiel (100m Sprint (zum Dritten und Letzten)). Zwei Länder veranstalten unter
sich einen Wettkampf. Dafür schickt jedes Land seine vier besten 100m-Sprinter an den
Start. Bei der Siegerehrung werden die jeweiligen Landesflaggen der Medalliengewinner
gehisst. (Die des Sieger am höchsten, die des zweiten etwas niedriger und die des dritten
noch etwas tiefer.) Wieviele mögliche Fahnenbilder gibt es bei der Siegerehrung?
In diesem Beispiel kann man direkt die Produktregel anwenden: Es gibt zwei Möglichkeiten aus welchem Land der Sieger stammt. Dies gilt ebenfalls für den Zweit- und für
den Drittplatzierten. Daher gibt es insgesamt:
2 · 2 · 2 = 23 = 8
mögliche Arten die Landesflaggen zu hissen. Zusammengefasst gilt also
51
Vorkurs Mathematik 2016
17 KOMBINATORIK
Variation mit Wiederholung. Es gibt nk Möglichkeiten aus n Elementen k-mal
nacheinander ein bestimmtes Element zu wählen, wobei bei jeder Wahl alle n Elemente
zur Verfügung stehen.
Kombination
Bei vielen Aufgabenstellungen spielt die Reihenfolge keine Rolle. Diesen Fall wollen
wir jetzt behandeln. Wiederum betrachten wir zuerst ein Beispiel.
Beispiel (Regierungswahlen). Bei den Wahlen in die Regierung sind sieben Sitze
zu vergeben. Für diese Sitze kandidieren jedoch elf Personen. Wie viele verschiedene
Zusammensetzung für die Regierung sind möglich?
Wie zuvor verteilen wir nicht die Personen auf die Sitze, sondern die Sitze auf die
Personen. Wir stellen uns dafür die Kandidaten wieder in einer Reihe aufgestellt vor.
Wer gewählt ist bekommt einen Zettel mit einem X darauf, wer es nicht geschafft hat
jedoch ein O. Die Anzahl der möglichen Regierungen entspricht also der Anzahl der
Wörter die wir mit sieben Xen und vier Os schreiben können. Dies ist jedoch wieder
eine Permutation mit Wiederholung und daher können wir folgern: Es gibt
11 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
11!
=
= 330
7! · (11 − 7)!
(7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1) · (4 · 3 · 2 · 1)
verschiedene Zusammensetzungen für die Regierung. Wir fassen unsere Überlegungen
zusammen und erhalten:
Kombination ohne Wiederholung. Es sei n ≥ k. Aus n verschiedenen Elementen
n!
verschiedene Arten k davon auswählen.
kann man auf k!·(n−k)!
Für den Bruch
n!
k!·(n−k)!
führen nochmals eine vereinfachende Notation ein:
n!
n
=
k! · (n − k)!
k
(Sprechweise: „n über k“)
Der letzte Aufgabentyp ist der schwierigste. Doch auch er kann auf eine Permutation
mit Wiederholung und somit auf die Produktregel zurückgeführt werden.
Beispiel (Erbteilung). Max, Nora und Karl haben zusammen fünf identische Perlen
geerbt. Auf wie viele Arten können die Perlen verteilt werden?
Um die Aufgabe zu lösen stellen wir uns vor, dass Max, Nora und Karl jeweils eine
Schachtel mitbringen und diese nebeneinander stellen. Die Perlen werden jetzt in die
entsprechenden Schachteln gelegt. Schematisch können wir dies wie folgt darstellen:
52
Vorkurs Mathematik 2016
18 WAHRSCHEINLICHKEITSLEHRE
M N K
o oo oo
Max bekommt eine,
Nora und Karl je zwei Perlen
N K
M
oooo
o
Max bekommt vier,
Nora keine und Karl eine Perle
Betrachten wir nur den unteren Teil der Abbildung erkennen wir, dass wir eigentlich
fünf Perlen und zwei Trennwände anordnen müssen. Dafür gibt es
7!
7·6·5·4·3·2·1
=
= 21
5! · 2!
(5 · 4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1)
Möglichkeiten. Zusammengefasst erhalten wir:
Kombination mit Wiederholung. n gleiche Elemente kann man auf
(n + k − 1)!
n+k−1
=
n! · (k − 1)!
n
verschiedene Arten k Klassen zuteilen.
Wir beenden diesen Abschnitt mit einem weiteren Beispiel:
Beispiel (Würfeln). Wie viele verschiedene Würfe sind mit zwei gleichen Würfeln
möglich?
Auch hier handelt es sich um eine Kombination mit Wiederholungen. Wir teilen nämlich die zwei Würfel (d.h. n = 2) den Zahlen eins bis sechs zu (d.h. k = 6). Hier sind
die Zahlen also die genannten Klassen. Somit gibt es
2+6−1
7!
7
= 21
=
=
2! · 5!
2
2
verschiedene Würfe.
18 Wahrscheinlichkeitslehre
Ein Basketballspieler treffe durchschnittlich 3 von 4 Freiwürfen. Wie gross ist seine
Treffwahrscheinlichkeit? Sie beträgt
3
= 0.75 = 75%.
4
Dieses einleitende Beispiel zeigt, dass wir alle eine Vorstellung von Wahrscheinlichkeiten haben. Das Beispiel motiviert auch die folgende Formel:
Wahrscheinlichkeit =
Anzahl günstige Fälle
Anzahl mögliche Fälle
53
Vorkurs Mathematik 2016
18 WAHRSCHEINLICHKEITSLEHRE
Etwas mathematischer ausgedrückt wird dies zu:
NA
,
(1)
N
wobei wir mit P (A) die Wahrscheinlichkeit bezeichnen, dass das Ereignis A eintritt. NA
ist die Anzahl der günstigen Fälle. Das sind diejenigen Fälle, in welchen A eingetreten
ist. Mit N bezeichnen wir die Anzahl aller möglichen Fälle. Dies ist die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit. Heutzutage wird in der Mathematik anders definiert,
was Wahrscheinlichkeit ist. Doch die klassische Definition reicht für unsere Zwecke aus.
Wir nennen die Gleichung (1) deshalb auch Grundformel der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
P (A) =
Beispiel (Würfeln (zum ersten)). Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit bei einem Wurf
mit einem normalen Würfel eine gerade Zahl zu würfeln?
„Gerade Zahl gewürfelt“ ist das Ereignis A. Der Würfel kann eine Eins bis Sechs zeigen.
Wir haben also sechs mögliche Fälle, das heisst N = 6. Davon sind drei (2, 4 und 6)
gerade. Wir haben also drei günstige Fälle, das heisst NA = 3. Somit gilt:
P (A) =
3
1
NA
= = .
N
6
2
Aus der Grundformel kann man direkt einige Folgerungen ziehen. Dazu fragen wir uns
wie gross NA ist. Im einen Extrem tritt das Ereignis A nie ein. Wir sprechen dann von
einem unmöglichen Ereignis und es gilt NA = 0. Im anderen Extrem tritt das Ereignis
A immer ein. Dann sprechen wir von einem sicheren Ereignis und es gilt NA = N . Für
die Wahrscheinlichkeit bedeutet dies
N
0
≤ P (A) ≤
= 1.
0=
N
N
Die zweite Folgerung ist das Prinzip der Gegenwahrscheinlichkeit. Sei A wieder irgendein Ereignis. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, das A nicht eintritt? Für das
Ereignis „nicht A“ schreiben wir auch AC (Sprechweise: „A Komplement“). Die folgende
Gleichung liefert die Antwort.
Nnicht A
N − NA
NA
=
=1−
= 1 − P (A)
N
N
N
Folgerungen aus der Grundformel.
P (AC ) = P („nicht A“) =
0 ≤ P (A) ≤ 1
C
P (A ) = 1 − P (A)
für alle Ereignisse A
Prinzip der Gegenwahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeitsbäume
Wahrscheinlichkeitsbäume sind ein einfaches Mittel um die Wahrscheinlichkeit in einem
mehrstufigen Prozess zu ermitteln. Das folgende Beispiel zeigt, wie solche Bäume zu
erstellen und zu gebrauchen sind.
54
Vorkurs Mathematik 2016
18 WAHRSCHEINLICHKEITSLEHRE
Beispiel. In einer Urne befinden sich drei blaue, zwei gelbe und eine rote Kugel. Es
werden nacheinander zwei Kugeln gezogen, ohne dass die erste Kugel wieder zurückgelegt wird.
1. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit zwei blaue Kugeln zu ziehen?
2. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die rote Kugel gezogen wird? (Egal ob
im ersten oder im zweiten Zug.)
Die Verzweigungs- und die Endpunkte nennen wir Knoten und die Strecken zwischen
zwei Knoten Äste. Über jeden Ast wird die Wahrscheinlichkeit geschrieben mit welcher er gewählt wird. Die Antworten auf die Fragen findet man wie folgt. Erstens
sucht man alle Endpunkte, bei welchen das gefragte Ereignis eingetreten ist. Für die
erste Frage ist dies nur ein einzelner Endpunkt (im Diagramm mit (1) markiert). Die
Wahrscheinlichkeit dorthin zu gelangen erhält man, indem man die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der Äste auf dem Weg zu diesem Endpunkt miteinander multipliziert.
Die Wahrscheinlichkeit zwei blaue Kugeln zu ziehen ist also
1 2
1
· = .
2 5
5
Zur Beantwortung der zweiten Frage geht man genau gleich vor. Man sucht wieder
die Endpunkte, bei welchen das gefragte Ereignis eingetroffen ist. Wir haben hier
nicht mehr nur einen sondern vier solche Endpunkte (im Diagramm mit (2a) bis (2d)
markiert). Die Wahrscheinlichkeit für einen Endpunkt findet man wie vorhin. Die
Wahrscheinlichkeit für das gesamte Ereignis ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten
der entsprechenden Endpunkte. Die Wahrscheinlichkeit, dass die rote Kugel gezogen
wird beträgt also
1
1
1
1
10
1
1 1 1 1 1 3 1 2
· + · + · + · =
+
+
+
=
=
2
5
3
5
6
5
6
5
10
15
10
15
30
3
| {z } | {z } | {z } | {z }
(2a)
(2b)
(2c)
(2d)
55
Vorkurs Mathematik 2016
18 WAHRSCHEINLICHKEITSLEHRE
Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit
Beispiel (Würfeln (zum Zweiten)). Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei
einem Wurf mit einem normalen Würfel eine gerade Zahl gewürfelt wurde, wenn wir
wissen, dass die gewürfelte Zahl grösser als drei ist?
Wir bezeichnen mit A wiederum das Ereignis, dass die gewürfelte Zahl gerade ist
und mit B bezeichnen wir das Ereignis, dass die gewürfelte Zahl grösser als drei ist.
Berechnen wollen wir die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, wenn wir wissen, dass B
eingetreten ist. Dafür schreiben wir:
P (A|B)
(Sprechweise: „Wahrscheinlichkeit von A gegeben B“)
Dazu wenden wir die Grundformel an. Wir wissen, dass die gewürfelte Zahl grösser
als drei ist. Daher kommen nur die Zahlen vier, fünf oder sechs als mögliche Würfelergebnisse in Frage. Wir haben also drei mögliche Fälle. Dies ist in unserer Schreibweise
genau NB , also die Anzahl der Fälle in welchen B eingetreten ist. Die günstigen Fälle davon sind die Würfelergebnisse vier und sechs. Dies sind genau die Ergebnisse,
bei welchen A und B eingetreten sind. Für dieses „und“ gibt es ein mathematisches
Zeichen, nämlich ∩. Somit gilt:
P (A|B) =
2
NA∩B
=
NB
3
Diese Formel gilt nicht nur in diesem Beispiel. Wir bringen sie noch in eine allgemeinere
Form, indem wir mit N kürzen.
Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit.
P (A|B) =
NA∩B
=
NB
NA∩B
N
NB
N
=
P (A ∩ B)
P (B)
Betrachtet man zwei Ereignisse (wir nennen sie wieder A und B), so kann man sich fragen, ob diese Ereignisse einander beeinflussen. Zwei Ereignisse, welche einander nicht
beeinflussen nennt man unabhängig zueinander. In der Praxis nennen wir zwei Ereignisse unabhängig, wenn sie von verschiedenen Mechanismen erzeugt werden. Wie sieht
dies in der Mathematik aus? Wir können den Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit erfolgreich einsetzen. Falls A und B voneinander unabhängig sind, sollte Kenntnis
darüber, ob B eingetreten ist oder nicht, die Wahrscheinlichkeit, dass A eintrifft nicht
verändern. In Formeln:
P (A ∩ B)
P (A) = P (A|B) =
P (B)
Diese Formel ist nicht ganz unproblematisch, denn was ist damit gemeint, falls B
ein unmögliches Ereignis ist? Dann gilt ja P (B) = 0 und wir müssten durch null
dividieren! Wir formen daher diese Formel um, indem wir beide Seiten (formal) mit
P (B) multiplizieren. Wir erhalten damit einen Formel, mit welcher wir Unabhängigkeit
definieren können.
56
Vorkurs Mathematik 2016
18 WAHRSCHEINLICHKEITSLEHRE
Definition (Unabhängigkeit von Ereignissen). Zwei Ereignisse A und B sind voneinander unabhängig, falls
P (A) · P (B) = P (A ∩ B)
gilt.
Additionsregel und Satz von Bayes
Beispiel (Kurierdienste). Wir wollen eine wichtige Nachricht verschicken. Es gibt
dafür zwei Kurierdienste. Der erste Kurierdienst ist doppelt so zuverlässig wie der
zweite Kurierdienst, kostet aber auch doppelt so viel. Was ist nun besser, einen Boten
des ersten Dienstes oder zwei (unabhängige) Boten des zweiten Dienstes loszuschicken?
Wir formalisieren das Problem: Mit A bezeichnen wir das Ereignis, dass mit dem
zuverlässigeren Kurierdienst die Nachricht ankommt, mit B1 , dass der erste Bote des
schlechteren Dienstes die Nachricht überbringt und mit B2 dasselbe für den zweiten
Boten des zweiten Kurierdienstes. Es gilt:
P (B1 ) = P (B2 )
P (A) = 2 · P (B1 )
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens B1 oder B2 eintritt. Das mathematische Zeichen für dieses „oder“ ist ∪. Wir rechnen:
P (B1 ∪ B2 ) = 1 − P („weder B1 noch B2 “)
= 1 − P (B1C ∩ B2C )
= 1 − P (B1C ) · P (B2C )
= 1 − (1 − P (B1 )) · (1 − P (B2 ))
= P (B1 ) + P (B2 ) − P (B1 ) · P (B2 )
(*)
2
= 2 · P (B1 ) − P (B1 )
= P (A) − P (B1 )2
Beim ersten und vierten Gleichheitszeichen wird das Prinzip der Gegenwahrscheinlichkeit eingesetzt und das dritte Gleichheitszeichen gilt nur weil B1 und B2 unabhängig
voneinander sind. Wir können schliessen, dass P (A) ≥ P (B1 ∪ B2 ) (da P (B1 )2 ≥ 0).
Es ist also besser nur einen Boten des besseren Dienstes zu beauftragen. In der Berechnung haben wir zudem folgende Gleichheit entdeckt (siehe (*)).
P (B1 ∪ B2 ) = P (B1 ) + P (B2 ) − P (B1 ) · P (B2 )
Sie gilt jedoch nur für unabhängige Ereignisse B1 und B2 . Ersetzen wir jedoch P (B1 ) ·
P (B2 ) mit P (B1 ∩ B2 ) erhalten wir die allgemeingültige
Satz (Allgemeine Additionsregel). Für zwei Ereignisse B1 und B2 gilt
P (B1 ∪ B2 ) = P (B1 ) + P (B2 ) − P (B1 ∩ B2 ).
57
Vorkurs Mathematik 2016
18 WAHRSCHEINLICHKEITSLEHRE
Nehmen wir nun an, dass wir P (B|A) kennen. Können wir damit P (A|B) berechnen?
Ja! Und der folgende Satz zeigt uns auch wie.
Satz von Bayes. Seien A, B zwei Ereignisse mit P (A) > 0 und P (B) > 0, dann gilt
P (A|B) =
P (B|A) · P (A)
P (B)
Beweis.
P (B ∩ A)
P (A ∩ B)
=
P (A)
P (A)
⇒ P (A ∩ B) = P (B|A) · P (A)
P (B|A) =
Damit gilt
P (A|B) =
P (A ∩ B) (2) P (B|A) · P (A)
=
P (B)
P (B)
58
(2)
Teil II: Übungen
59
Übungen
Übung 1
1. Berechne (((4/3 + 5/2) · 6/5) − 2/5) · 5/2.
2. Berechne (a)
1
(
2
)
(3)
4
, (b)
4
+
3. Vereinfache: (a) ( xy
1
(2)
( 34 )
3
4z
yz )( xy
und (c)
( 12 )
.
( 34 )
− y2 ), (b)
z
x
y−x
2
z
+
x
y
und (c)
x
1
1− 1−x
.
√
rationale Zahl ist, das heisst es gibt keine ganzen Zahlen
4. Beweise, dass 2 keine
√
a und b mit ab = 2. Tipp: Nehme an, dass ab soweit wie möglich gekürzt ist.
Quadriere die Gleichung und folgere, dass a gerade ist. Also lässt sich a wiefolgt
schreiben: a = 2n für irgendeine natürliche Zahl n. Was bedeutet dies für b? Ist
b gerade oder ungerade? Leite einen Widerspruch her.
5. Grösser, kleiner oder gleich? (a)
5
14
und
6
21 ,
(b)
27
5
und
16
3 ,
(c)
3
13
und
21
91 .
6. Leite folgende Gesetze aus den Potenzregeln her:
(a)
√
1
1
a
c
ad + bc
a = a m , (b) a−1 = , (c) + =
a
b
d
bd
m
√
√
7. Wie viele Lösungen hat die Gleichung 2x2 − (2 2 − 1)x − 2 = 0
in (a) Z, (b) Q und in (c) R?
8. Löse folgende quadratische Gleichungen: (a) x2 +x−6 = 0, (b) −2x2 −4x−2 = 0,
34
4
2
2
(c) 13 x2 + 10
3 x + 3 = 0 und (d) x − 13x + 36 = 0. (e) x − 4x − 3 = 0. Versuche
dies zuerst mit Vieta und sonst mit der Lösungsformel.
9. Für welche a hat (x − 1)2 + 1 = ax genau eine Lösung?
10. Für welche Werte von a hat die Gleichung x2 − (|a| − 3)x + 1 = 0 genau zwei
verschiedene Lösungen?
11. Löse die folgenden Gleichungssysteme. Überlege dabei, welches der Verfahren
sich am besten eignet.
(a)
(
12. Berechne
0 = 2y + 4x − 2
y = −4x + 6
)
, (b)
(
y = 2x
y = −4x + 6
p√
√ p√
√
6− 2·
6 + 2.
)
, (c)
(
0 = 2x + 2y − 5
0 = 3x − y + 1
)
13. Vereinfache: (a) (−1 + a)2 − (1 − a)2 , (b) (a2 + b2 )2 − (a2 − b2 )2
p
√
n+1
n+7
3
·9bx+1
14. Vereinfache: (a) 3a 3xn·6x
,
(b)
a3 · a8 .
x+1
·2b
·3a
√
15. Beweise, analog zu Aufgabe 4, dass p, mit p prim, keine rationale Zahl ist.
Erinnerung: Eine Zahl p heisst prim wenn sie genau zwei Teiler hat.
60
Übungen
Übung 2
1. Finde eine Formel für die Folgen: (a) {5, 8, 11, · · · }, (b) {1, 3, 9, 27, · · · },
(c) {1, 8, 27, 64, · · · }, (d) { 81 , 14 , 38 , 12 , · · · } und (e) {1, − 21 , 13 , − 41 , · · · }.
2. Schreibe die ersten paar Glieder von den folgenden Folgen auf: (a) {1 + 4n}n∈N,
n(n+1)
n
(b) {3 · 2n }n∈N , (c) {n1+(−1) }n∈N und (d) {(−1) 2 }n∈N .
3. Eine arithmetische Folge ist durch a1 = 2 und d = 3 gegeben.
Berechne a5 , a10 , a20 .
4. Eine geometrische Folge ist gegeben durch a1 = 16 und q = − 21 .
Berechne a3 , a5 und a8 .
5. Von einer arithmetischen Folge wissen wir, dass a7 = 13 und a9 = 7.
Bestimme die Vorschrift für diese Folge.
6. Von einer geometrischen Folge wissen wir, dass a4 = 4 und a6 = 36.
Bestimme die Vorschrift für diese Folge.
7. Bestimme den Limes der Folgen (an )n∈N , (bn )n∈N und (cn )n∈N , sowie den Limes
von an + cn und an · cn für n → ∞.
1
n(n + 1)
(−1)n
bn =
n
4n2 − n
cn =
2n + 8
an =
8. Betrachte die Folge: 1, 2, 4, 7, 11, 16, . . ..
(a) Finde eine rekursive Vorschrift für diese Folge. Das heisst: Drücke an+1 mit
Hilfe von an aus und gebe a1 an.
(b) Finde eine explizite Vorschrift für diese Folge. Das heisst: Drücke an mit
Hilfe von n aus. Die Vorschrift hat die Form an = a · n2 + b · n + c.
(Diese Aufgabe wird fortgesetzt.)
61
Übungen
Übung 3
1. Finde eine explizite Vorschrift für eine allgemeine arithmetische Folge. Das heisst:
Für a1 und d sind keine konkreten Zahlen vorgegeben, sondern sie sind sogenannte Parameter.
2. Finde eine explizite Vorschrift für eine allgemeine geometrische Folge mit a1 und
q.
3. (Fortsetzung der letzten Aufgabe des zweiten Übungsblattes)
(c) Beweise die zuvor gefundene Formel mit vollständiger Induktion.
4. Zeige die folgenden zwei Formeln mit vollständiger Induktion.
(a)
n
X
k=1
n
X
k=
n(n + 1)
2
n(n + 1)(2n + 1)
6
k=1
Pn
5. Finde eine Formel für k=1 (2k − 1) und beweise sie. Tipp: Rechne die ersten
paar Glieder der Summenfolge aus.
(b)
k2 =
6. Versuche die oben gefundene Formel geometrisch zu veranschaulichen, indem du
ein Quadrat mit Seitenlänge n geschickt unterteilst.
7. Im Skript ist eine Formel für die n-te Partialsumme einer arithmetischen Folge
gegeben. Beweise diese Formel.
8. Im Skript ist ebenfalls eine Formel für die n-te Partialsumme einer geometrischen
Folge gegeben. Beweise auch diese Formel.
9. Nehme an, dass |q| < 1 und dass an eine geometrische Folge ist. Beweise damit
die folgende Formel:
∞
X
a1
an =
.
1
−q
n=1
Was passiert, falls |q| ≥ 1 ist?
P
1
10. Überlege dir, was mit ∞
n=1 n geschieht.
62
Übungen
Übung 4
1. Skizziere die Graphen der folgenden linearen Funktionen:
(a) f (x) = x, (b) f (x) = 2x + 1, (c) f (x) = −x + 1.
2. Skizziere die Graphen der folgenden Funktionen in dasselbe Koordinatensystem:
√
(a) f (x) = x, (b) f (x) = x2 , (c) f (x) = x3 , (d) f (x) = 1/x und (e) f (x) = x.
(Lasse die x-Achse von −5 bis 5 und die y-Achse von −3 bis 3 gehen.)
3. Skizziere die folgenden Geraden in dasselbe Koordinatensystem:
(a) y = 2x + 1, (b) y = 3, (c) 2x + y = 1.
4. Skizziere die Gerade x = 1. Ist diese Gerade Graph einer linearen Funktion
f (x) = mx + q?
5. Errate eine Nullstelle und berechne dann die anderen! (a) x 7→ x3 + 4x2 + x − 6,
(b) x 7→ − 43 x3 + x2 + 2, (c) t 7→ t3 − t2 + 0.16t und (d) z 7→ z 4 − 2z 2 + 1.
6. Überlege wieviele reelle Nullstellen ein Polynom vom Grad m höchstens hat?
Und wieviele mindestens, falls m gerade bzw. ungerade ist?
7. Es sei f (x) = x2 + x − 2.
(a) Skizziere den Graphen der Funktion.
(b) Skizziere den Graphen von f (x + 2). Wie sieht f (x + a) aus? Überlege dir
dies und beschreibe es mit einigen Worten. Beachte, dass a auch negativ
sein kann.
(c) Skizziere den Graphen von f (x) + 2. Wie sieht f (x) + a aus? Überlege dir
dies und beschreibe es mit einigen Worten. Beachte, dass a auch negativ
sein kann.
(d) Skizziere den Graphen von 2 · f (x). Wie sieht a · f (x) aus? Überlege dir dies
und beschreibe es mit einigen Worten. Beachte, dass a auch negativ sein
kann.
8. Konstruiere ein Polynom ersten Grades, dessen Graph durch die Punkte P1 =
(x1 , y1 ) = (2, 3) und P2 = (x2 , y2 ) = (5, −3) geht. Wieviele solche Polynome gibt
es?
9. Konstruiere ein Polynom zweiten Grades, dessen Graph durch die Punkte P1 =
(x1 , y1 ) = (2, 3) und P2 = (x2 , y2 ) = (5, −3) geht. Wieviele solche Polynome gibt
es? Was passiert, wenn der Graph auch noch durch P3 = (x3 , y3 ) = (7, 3) gehen
soll?
√
10. Konstruiere ein Polynom
√ mit
√ ganzzahligen Koeffizienten, das 2+1 als Nullstelle
hat. Das gleiche mit 2 + 3.
63
Übungen
Übung 5
1. Bestimme Nullstellen, Polstellen, Unbestimmtheitsstellen und allfällige Asym2
3
−6
−8
, (c) f (x) = x 4x
,
ptoten für x → ∞ für (a) f (x) = x2x−1 , (b) f (x) = 12x−x
x2 +3
(d) f (x) =
x2 −4x+3
x2 +x−2 .
Skizziere die Graphen der Funktionen und die Asymptoten.
2. Bestimme Nullstellen, Polstellen, Unbestimmtheitsstellen und Verhalten für x →
3
±∞: x 7→ xx2−4x
+1 Skizziere die Graphen der Funktionen und die Graphen der
Asymptoten.
x−2
x
2x+2 + x+1
4
x2 +4x
x−4 = x2 −16 .
3. Löse die folgenden Gleichungen: (a)
(c)
x2 +x+1
x−2
+2=
−5
x−2 ,
(d) x +
4. Bestimme Polynome A und B, so dass
3
x2 +3x
=
=
x2 −x−1
x+1 ,
A
x
+
(b)
x−3
x2
x2 −1 + x+1
=
x2
x−1 ,
B
x+3 .
3
hat bei x = 3 eine Nullstelle. Bestimme a und zeige, dass f
5. f (x) = x −5x+a
4x3
keine weitere Nullstelle hat.
n
−px+1
soll eine Funktion mit einer Polstelle bei x = 4 und zusätzlich
6. f (x) = 6x ax−b
soll die Asymptote 3x2 + 12x sein. Bestimme die Funktion (d.h. bestimme n, p,
a und b).
7. Teile x5 + 2x4 + 2x3 − x2 − 3x − 1 durch x2 − 1.
64
Übungen
Übung 6
1. Bringe vom Grad- ins Bogenmass: (a) 90◦ , (b) 180◦, (c) −540◦ und (d) 30◦ .
(Erinnerung: 2π im Bogenmass entsprechen 360◦ im Gradmass.) Wie lauten die
Koordinaten der Punkte, die durch Rotation des Punktes (1, 0) um den Nullpunkt um die entsprechenden Winkel entstehen?
2. Bringe vom Bogen- ins Gradmass: (a) 2π, (b) π/10, (c) 0 und (d) 3π.
3. In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit β = π/2 seien (a) a = 3 und b = 6
oder (b) a = 1 und c = 1. Berechne jeweils α.
4. Ich stehe 20m von einem Baum entfernt und muss meinen Kopf um 25◦ nach
oben drehen, um dessen Spitze zu sehen. Meine Augenhöhe ist 1.70m. Wie hoch
ist der Baum?
5. Eine Strasse hat eine konstante Steigung von 10%. Was gibt der Kilometerzähler
meines Fahrrads an, wenn ich 1000 Höhenmeter auf dieser Strasse gemacht habe?
6. Berechne cos(π/6) exakt, d.h. ohne Taschenrechner, in dem du eine Gleichung
findest, die von cos(π/6) gelöst wird. Tipp: Betrachte ein gleichseitiges Dreieck.
7. Löse die Gleichung sin(x) = cos(x) algebraisch.
8. Betrachte ein Dreieck mit Winkeln α = π/6 und β = π/3 und Seitenlänge a = 1.
Wie lang ist die dritte Seite c? Wir verwenden die Konvention, dass α der Winkel
ist, der der Seite a gegenüberliegt, usw. (Hinweis: Pythagoras oder Sinussatz).
9. Drücke sin 2α mit Hilfe von sin α und cos α aus. Tipp: Verwende die Additionstheoreme.
65
Übungen
Übung 7
1. Berechne falls definiert ohne Taschenrechner: (a) 101 , (b) 103 , (c) 10−2 , (d) 1−1 ,
(e) 10 , (f) 11 1, (g) 0−1 , (h) 00 , (i) 01 , (j) 04 .
2. Ich kaufe Seerosen für meinen Teich, die so schnell wachsen, dass sich die von
ihnen bedeckte Fläche jeden Tag verdoppelt. Kaufe ich ein Exemplar, so ist der
Teich nach 20 Tagen völlig bedeckt. An welchem Tag ist der Teich halb bedeckt?
Wie lange dauert es, falls ich gleich zwei Seerosen kaufe?
3. Zu welcher Grösse wird mein Anfangskapital von 1000 Franken nach 10 Jahren
gewachsen sein, wenn der Zinssatz 1.5 Prozent beträgt? Und wie lange dauert
es, bis sich das Vermögen verdreifacht hat? (Taschenrechner erlaubt.)
4. Skizziere die Graphen der folgenden Funktionen:
1
(a) f (x) = ex−1 − 1, (b) g(x) = 2x .
2e
5. Viele Sinnesempfindungen des Menschen sind logarithmisch im folgenden Sinne:
Die empfundene Stärke eines physikalischen Reizes (z.B. Licht oder Schall) ist
proportional zum natürlichen Logarithmus der Intensität dieses Reizes. (a) Ein
dunkler Raum werde zuerst von einer, dann von zwei Kerzen erhellt. Wie viele
(identische) Kerzen müssen wir zusätzlich anzünden, damit der Helligkeitsunterschied von einer zu zwei Kerzen gleich gross ist wie von den zwei Kerzen zu der
Anzahl nun leuchtenden Kerzen? (b) Die Dezibell-Skala für Lautstärken trägt
diesem Umstand Rechnung. So entspricht ein um 3 höherer Dezibell-Wert einer doppelten Schallintensität. Nun werden an einem Konzert bei einer Messung
statt der erlaubten 93dB ganze 103dB gemessen. Um wieviel ist die Schallintensität und damit die eigentliche Belastung der Ohren gestiegen? (c) Warum könnte
unser Empfinden logarithmisch sein?
6. Löse die Gleichungen nach x: (a) log4 (x + 1) = −3, (b) log10 (x − 1)2 = 2, (c)
log10 x
2x+1
= x.
log (x+1) = −1 und (d) x
10
7. Leite die Regel loga (b/c) = loga b − loga c aus den Potenzrechenregeln her.
8. Berechne ohne Taschenrechner:√
(a) log7 49, (b) log3 1, (c) log5 6 25 und (d) log10
1
10
9. Vereinfache: (a) loga (b+c)+loga (b+c)−1 , (b) loga−b (a2 −2ab+b2), (c) logc (b2 )/ logc (a)
und (d) logc (a4 − b4 ) − logc (a2 + b2 ) − logc (a + b).
10. Finde x, so dass:
(a) logx 8 = 3, (b) log5 x = 2, (c) log3 x = 5 und (d) logx 1024 = 10.
66
Übungen
Übung 8
1. Finde die Ableitung von 2x2 − 4. Verwende dazu den Differenzenquotienten.
2. Berechne die Ableitung mit dem Differenzenquotienten von:
a) f (x) = c mit c ∈ R (konstante Funktion),
b) f (x) = mx + b (Lineare Funktion)
c) f (x) = ax2 + bx + c (Quadratische Funktion)
3. Zeige mit Hilfe des Differenzenquotienten, dass
√
a) ( x)′ = 2√1 x . Tipp: Erweitere den Differenzenquotienten mit
√
√
√x+h+√x .
x+h+ x
b) ( √1x )′ = − 2x1√x .
4. Beweise folgende Ableitungsregeln mit Hilfe der Definition der Ableitung:
a) (f + g)′ = f ′ + g ′
b) (c · f )′ = c · f ′ , c ∈ R
5. Differenziere
x+1
x−1
mit Hilfe des Differenzenquotienten.
67
Übungen
Übung 9
1. Wo sind die folgenden Funktionen
Berechne dort die Ableitung.
√ differenzierbar?
√
(a) x 7→ x3 − 2x + 1, (b) x 7→ x, (c) x 7→ x x und (d) x 7→ |x|.
2. Finde eine allgemeine Formel für die Ableitung eines Polynoms
x 7→ a0 + a1 x + . . . + an xn .
√
√
√
3. Leite ab: (a) x 7→ a2 x3 − bx2 + 12 cx − 2, (b) x 7→ ( x − q)(1 + x), (c)
x 7→ (1 − x−4 )(x−1 + x2 ), (d) x 7→ xx und (e) x 7→ log(ax + b).
4. Finde eine Formel für die Ableitung von v1 , wo diese Funktion definiert ist.
(Bemerkung: v soll eine differenzierbare Funktion sein.)
5. An welchen Kurvenpunkten schneiden die Tangenten an den Graphen von f die
x-Achse in einem Winkel von π/4 (45◦ )? (a) f : x 7→ x2 , (b) f : x 7→ x3 ,
(c) f : x 7→ x|3 − x| und (d) f : x 7→ ex .
6. Zeige (tan x)′ = 1 + tan2 x.
7. Zeige (tan x)′ =
1
cos2 x .
8. Welchen Winkel bildet die Tangente
im Punkt (x0 , f (x0 )) an den
√ Graphen von
√
f mit der x-Achse? (a) f : x 7→ x mit x0 = 1 und (b) f : x 7→ x x mit x0 = 3.
9. Bestimme die erste und die zweite Ableitung von
3
2
−3
(a) f (x) = 2x +3x
und (b) g(t) = t sin(4π) + cos(4t)
x
10. Differenziere folgende Funktionen einmal (a)
68
ex −e−x
ex +e−x
und (b) log(log x)
Übungen
Übung 10
1. Eine Kugel, die im Ursprung nach oben abgeschossen wird, beschreibt eine Parabel, deren höchster Punkt (1, 2) ist. Wie gross war der Schusswinkel mit der
x-Achse?
2. Diskutiere die Graphen (Nullstellen, Extrema, Bild):
(a) x 7→ x2 − x − 2, (b) x 7→ x3 − x2 und (c) x 7→ |x3 + 9x2 − 108|.
3. Bestimme die Extrema: (a) x 7→ x2 − 2x + 3, (b) x 7→
x
x2 +1
und (c) x 7→ (x − a)4 .
4. Zerlege eine reelle Zahl a so in zwei Summanden a1 und a2 , dass deren Produkt
möglichst gross wird.
5. Zerlege eine positive reelle Zahl a so in zwei positive Faktoren a1 und a2 , dass
deren Summe möglichst klein wird.
6. Diskutiere die Graphen (Definitionsbereich, Polstellen, Nullstellen, Asymptote,
4
x2 +2x+1
1
und (c) x 7→ (2x+1)
Extrema, Bild): (a) x 7→ 1+x
2 , (b) x 7→
2.
2x
7. Für welche Punkte auf der Kurve mit der Gleichung y = x−1 ist der Abstand
zum Nullpunkt minimal?
8. Schreibe einem gleichseitigen Dreieck ein möglichst grosses Rechteck ein. Dabei
soll eine Seite des Rechtecks auf einer Seite des Dreiecks liegen. Wie gross ist das
Flächenverhältnis von Dreieck zu Rechteck?
9. Eine Firma stellt Radiergummi her. Die Produktionsmaschinen können pro Tag
maximal 10000 Stück herstellen. Die Produktionskosten K(x) für x Mengeneinheiten zu 1000 Stück lassen sich mit folgender Formel berechnen:
K(x) = 2x3 − 18x2 + 60x + 32
Ein Paket zu 1000 Radiergummis wird an Papeterien für 50 Franken verkauft.
Wie viele Radiergummi sollte die Firma pro Tag herstellen um einen möglichst
grossen Gewinn zu machen? Es kann davon ausgegangen werden, dass alle produzierten Gummis auch wirklich verkauft werden.
69
Übungen
Übung 11
1. Bestimme
(a) x 7→ x3 − 5x2 + 7x − 2, (b) x 7→ x23 ,
√ eine Stammfunktion:
x+5
2x
(c) x 7→ x und (d) x 7→ (x2 +1)2 . (e) x 7→ (1−x
2 ) . Tipp: Gehe wie in Aufgabe 4
auf Blatt 5 vor um die Funktion in eine einfacher integrierbare Form zu bringen.
2. Berechne den Inhalt der durch die Graphen von x 7→ x2 und x 7→ x3 begrenzten
Fläche.
R3
R1
3. Berechne die folgenden bestimmten Integrale: (a) 2 dt und (b) −1 x23x
+1 dx.
4. Ein Polynom p ist gegeben durch p : y = ax − x3 . Sie soll im 1. Quadranten mit
der x-Achse eine Fläche vom Inhalt A = 9 einschliessen. Bestimme den Wert von
a.
5. Welchen Inhalt hat das Flächenstück, das die Parabel p : y = 3x − x2 mit ihren
Tangenten in den Nullstellen umschliesst?
6. (a) Für welche x gilt sin x = cos x.
(b) Berechne die Fläche eines der von den Graphen von y = sin x und y = cos x
eingeschlossenen Flächenstücke.
7. Gegeben ist die Funktion f (x) = t22 x − t13 x2 . Beweise, dass die Fläche, die der
Graph von f (x) mit der x-Achse einschliesst, für alle Werte von t 6= 0 gleich
gross ist.
70
Übungen
Übung 12
1. Berechne
2. Berechne
3. Berechne
4. Berechne
R
π
2
R
π
2
−π
2
sin x cos x dx (Tipp: Partielle Integration).
0
R
π
2
sin2 x cos x dx (Tipp: Substitution t = sin x).
0
Re
1
x3 cos x dx.
log x dx (Tipp: log x = 1 · log x).
5. Die Punkte einer Ellipse sind gegeben durch
y2
x2
+
=1
a2
b2
(a) Finde eine Funktion deren Graph die Punkte der Ellipse im 1. Quadranten
sind.
(b) Finde die Fläche zwischen Graph und x-Achse, indem du das Integral von
x = 0 bis x = s berechnest, wobei s die Nullstelle der Funktion ist. Verwende
dabei die Substitution x = a sin t.
(c) Berechne die Fläche der Ellipse.
R∞
6. Berechne 1 x12 dx.
71
Übungen
Übung 13
1. Wandle die Gleichung −12x + 4y = 8 in eine Geradengleichung um.
2. Wo schneiden sich die Geraden ax + b = y, cx + d = y? (Unterscheide drei Fälle!)
3. Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem und wie lauten sie?
(
(
(
2x + y = 5
2x + y = 5
3x + y = 6
(a)
(b)
(c)
3x + 7y = 13
10x + 5y = 11
9x + 3y = 18
4. Beschreibe die Lösungsmenge von
(
(
x+y+z =1
2x + y + z = 1
(a)
(b)
x + 2y + z = 1
−4x − 2y − 2z = 1
(c)
(
2x + y + z = 1
−4x − 2y − 2z = −2
als Teilmenge des dreidimensionalen Raums.
5. Löse
3x + 6y − 2z = 0
4x + 2y + 3z = 5
5x − 3y + 4z = −4
6. Sei ~a = (1, 2, 4), ~b = (2, 1, −1), c = 3. Berechne (a) ~a + ~b, (b) ~a − ~b, (c) ~a · ~b, (d)
c · ~a, (e) |~a|, (f) |c · ~a| und (g) normiere ~a und ~b.
7. Zeige, dass
~
a
|~
a|
tatsächlich Länge 1 hat.
8. Finde einen Vektor, der senkrecht auf (2, −3, 4) steht.
9. Sei ~a = (2, 1), ~b = (8, 2). Finde ~a + ~b
(a) graphisch
(b) durch Rechnen.
10. Beschreibe die Ecken eines Würfels der Kantenlänge 1 mit drei Kanten auf den
positiven Koordinatenachsen durch Vektoren.
11. Romeo steht bei (3, 4, 0). Julias Balkon ist bei (2, 1, 5). Welche Entfernung gebietet der Liebe Einhalt?
72
Übungen
Übung 14
1. (a) Bringe y = 2x + 3 in Parameterform.
2
5
(b) Mache aus g :
+t
eine Geradengleichung.
1
8
2. Um wieviel muss man den Richtungsvektor von g strecken um P zu bekommen?
1
9
28
5
7
19
(a) g :
+t
,P =
und (b) g :
+t
,P =
2
5
17
8
2
14
3. Wo schneiden sich die beiden Geraden g und h?
2
6
2
4
g:
+t
,
h:
+s
3
3
−6
5
 
 
3
2
4. (a) Bastle eine Gerade durch 1 und 7.
4
8


7
(b) Bastle eine zur x-Achse parallele Gerade durch −2.
3
 
 
2
1
5. (a) Wo schneidet g :  7  + t 2 die y-z-Ebene?
−1
1
 
 
2
3
(b) Wo schneidet h : 0 + s 4 die x-y-Ebene?
8
0
6. Was haben g und h für eine Lage zueinander?
 
 
 
 
1
−1
−4
1
(a) g : 4 + t  2  ,
h :  8  + s 0
2
1
1
1
 
 
 
 
−1
4
3
−8
(b) g :  0  + t −2 ,
h : −2 + s  4 
−1
3
2
−6
 
 
 
 
0
2
2
1
(c) g : 3 + t −1 ,
h : −3 + s  3 
5
6
5
−7
 
 
 
 
5
−4
12
2
(d) g : −1 + t −6 ,
h : −1 + s  3 
3
2
4
−1
73
Übungen
Übung 15
1. Gegeben ist die Ebene
   
 
 
x
1
1
−3
E : y  = 3 + t 2 + s  2  .
z
4
1
4
(a) Welchen Punkt der Ebene erhält man für t = 1, s = −2? Welchen für t = 4,
s = 1?
(b) Liegen die Punkte (−2, 13, 10) und (6, 5, 2) in der Ebene?
(c) Ermittle x so, dass (x, −5, −9) in der Ebene liegt.
(d) Ermittle die Koordinatendarstellung von E.
(e) Löse (b) und (c) mittels Koordinatendarstellung.
2. Wie lautet eine Parameterdarstellung der Ebene, die durch die Punkte (0, 7, 8),
(8, 0, 7) und (3, 2, 6) bestimmt ist.
3. Welche Voraussetzung müssen drei Punkte im Raum erfüllen, damit durch sie
eine Ebene bestimmt ist?
4. (1, 2, 3), (1, 4, 5), (−1, 3, 0) und (3, 0, 5) seien die Ecken eines Vierecks. Ist das
Viereck eben?
5. Stelle die Koordinatengleichung der Ebene auf, die durch (1, −2, 2) geht und zur
Ebene E parallel ist.
   
 
 
x
1
1
2
E : y  = 1 + t  0  + s 1 .
z
2
−1
0
6. In welchen Punkten durchstossen die Koordinatenachsen die Ebene, welche durch
die Gleichung 2x + 3y − z + 12 = 0 gegeben ist?
7. Stelle eine Parametergleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen mit den
Gleichungen x + y − z − 3 = 0 und 2x − y + 3z = 0 auf.
74
Übungen
Übung 16
1. Bestimme
 die Koordinatengleichung der Ebene, die durch (2, 0, 5) geht und
5
~n =  3  als Normalenvektor hat.
−4
2. Bestimme die Ebene, die parallel zur Ebene 5x − 3y + z = 7 ist und durch
(6, 7, −5) geht.
3. Bestimme die Ebene,
(a) die durch (6, 0, 1) und (−1, −2, 2) geht und parallel zur z-Achse ist.
(b) die durch (1, 2, 3) und (0, 7, 0) geht und senkrecht auf der Ebene y = 7 steht.
(c) die senkrecht zur Ebene 3x − 2y + z = 10 und die Gerade g
   
 
x
5
3
g : y  = 1 + t −8
z
1
2
enthält.
4. Berechne den Schnittwinkel von
(a) E1 : 2x + 3y + 4z − 6 = 0 und E2 : 3x − 2y − z + 4 = 0.
(b) E1 : 3x + 4y + 5z = 0 und der xy-Ebene.
5. Gib eine möglichst einfache Formel für den Schnittwinkel ϕ einer Geraden (mit
Richtungsvektor ~a) und einer Ebene (mit Normalenvektor) ~n an.
6. Die Ebene E : 2x − 5y + 14z − 1 = 0 und die Punkte P = (0, −9, 29) und Q =
(xQ , 11, −27) sind gegeben. Bestimme xQ so, dass P und Q auf verschiedenen
Seiten von E liegen, aber gleich weit von der Ebene entfernt sind.
7. Gegeben sind die Punkte A = (5, 0, 10), B = (−4, 21, 4), C = (2, 21, 10), S =
(−13, 12, 22). Von S aus wird das Lot auf die Ebene ABC gefällt. Berechne seinen
Fusspunkt.
75
Übungen
Übung 17
1. Berechne von Hand (a) 3! · 5! und (b)
7!
5!
und
11!
8!
2. Du gehst an ein Filmfestival bei welchem 21 Filme gezeigt werden, von denen
jeweils drei gleichzeitig stattfinden. Wieviele Möglichkeiten hast du, dir ein Festivalprogramm zusammenzustellen? (Bonus: Wie viele Möglichkeiten hat der Organisator des Festivals das Programm zusammenzustellen? Nimm der Einfachheit
halber an, dass es nicht drauf ankommt welcher der 3 Filme in welchem Raum
gezeigt wird.)
3. Beim Regalkauf kann man bei 5 Modellen jeweils aus 4 Farben, 3 Höhen und 3
Breiten auswählen. Zusätzlich kann der Kunde wählen ob unten Schubladen eingebaut werden sollen oder nicht. Wieviele verschieden Regale sind im Angebot?
4. Bei einem Ball sind 39 Damen und 37 Herren anwesend. Wieviele verschiede
Tanzpaarungen (bestehend aus jeweils einem Herr und einer Dame) sind möglich?
5. Wie viele verschiedene vierstellige Zahlen kann man aus den Ziffern 1 bis 9 bilden
wenn
(a) Jede Ziffer mehrfach verwendet werden darf?
(b) Jede Ziffer nur einmal verwendet werden darf?
6. Bei einem Skirennen nehmen 15 Fahrer teil. Wieviele verscheidene Startreihenfolgen gibt es?
7. Ein gewöhnliches Morsezeichen besteht aus minimal einem Punkt oder einem
Strich und maximal aus vier Punkten oder Strichen. Wieviele verschiedene Zeichen lassen sich damit bilden?
8. Bei einem Marathon starten 65 Männer und 35 Frauen. Im Ziel wird auf einer Liste nacheinander das Geschlecht der ersten zehn Läufer oder Läuferinnen
notiert. Wieviele verschiedene solche Listen sind möglich?
9. Ein Handballspiel endet 24:27. Wieviele Halbzeitresultate sind möglich?
10. Auf wieviele Arten können 10 Personen an einem runden Tisch Platz nehmen?
Anordnungen, welche sich durch Drehung ineinander überführen lassen, sollen
dabei nur einmal gezählt werden.
11. Sei n irgendeine natürlich Zahl. Was ist grösser (n!)2 oder (2n)! ?
12. Beweise für n ≥ k + 1:
n!
(n + 1)!
n!
+
=
k! · (n − k)! (k + 1)! · (n − k − 1)!
(k + 1)! · (n − k)!
76
Übungen
Übung 18
1. Berechne von Hand
a) 50 , 51 , 52 , 53 ,
2000
b) 100
und
99 ,
2
5
4
und
106
106
. Was fällt auf?
5
5
2. Eine Firma bekommt für drei Lehrstellen 100 Bewerbungen. Auf wieviele Arten
kann sie drei Lehrlinge auswählen?
3. An einer Feier sind 10 Personen anwesend. Jeder stösst mit jedem an. Wie oft
klingen die Gläser?
4. Bei der Fussballeuropameisterschaft hat jedes Team insgesamt 22 Spieler dabei.
Elf davon kommen in die Startaufstellung. Wie viele verschiedene Startaufstellungen gibt es in einem Spiel zweier Mannschaften?
5. Zu Beginn gibt jeder der elf Startspieler jedem der Gegner die Hand. Zu wievielen
Händeschütteln kommt es dann?
6. Wieviele Schnittpunkte haben 12 Geraden, falls keine zwei zueinander parallel
sind?
7. Wieviele verschiedene Ergebnisse gibt es, wenn man mit drei identischen Würfeln
würfelt?
8. Auf einem Blatt hat es 18 Punkte. Diese sollen die Eckpunkte von Dreiecken
sein. Wieviele solche Dreiecke gibt es?
9. Ein Jassblatt besteht aus 9 von 36 Spielkarten. Wieviele solche Blätter sind
möglich?
10. Ein Stall hat 10 Boxen. Auf wieviele Arten kann man 8 (nicht zu unterscheidende)
Tiere in diesen Boxen unterbringen, falls
(a) jeweils nur ein Tier in einer Box sein darf?
(b) beliebig viele Tiere in einer Box sein können?
11. Begründe folgende Formel kombinatorisch
n X
n n−k k
(a + b)n =
a
b
k
k=0
12. Beweise mittels obiger Formel (einfach, Tipp: Suche geschickt a und b) oder
mittels vollständigen Induktion (schwierig)
n X
n
= 2n
k
k=0
77
Übungen
Übung 19
1. Aus einem Jasskartenspiel mit 36 Karten wird eine Karte gezogen. Wie gross ist
die Wahrscheinlichkeit, dass es (a) eine Dame , (b) eine Dame oder ein König,
(c) eine Dame oder ein König oder ein Ass (d) weder eine Dame noch ein König
noch ein Ass ist?
2. Wir haben nun schon ein Ass gezogen und ziehen noch eine weitere Karte. Wie
gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir (a) wieder ein Ass, (b) eine Dame, (c)
eine Dame oder einen König, (d) weder eine Dame noch einen König ziehen?
3. Beim Schweizer Zahlenlotto soll man auf 6 aus 45 Zahlen tippen. Wie gross ist die
Wahrscheinlichkeit (a) 6 Richtige, (b) 5 Richtige oder (c) 4 Richtige zu haben?
4. Man kann mit einer verfälschten Münze ein faires Verfahren gestalten. (Fair
bedeutet eine Gewinnchance von 50% ). Dazu wettet man auf eine Wurffolge von
zwei Würfen. Der eine wettet auf die Wurffolge zuerst Kopf und dann Zahl. Der
andere auf die Wurffolge zuerst Zahl und dann Kopf. Falls zweimal hintereinder
entweder Kopf oder Zahl geworfen wird, zählt der Wurf nicht und man beginnt
erneut von vorne. Zeige, dass dieses Verfahren wirklich fair ist.
5. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit mit einer fairen Münze (a) Kopf, (b) zweimal
hintereinander Kopf, (c) in zwei Würfen genau einmal Kopf, (d) in zwei würfen
mindesten einmal Kopf, (e) n mal hintereinder Kopf, (f) in n Würfen genau k-mal
Kopf (wobei k < n) und (g) in n Würfen mindestens einmal Kopf zu werfen?
6. Was ist wahrscheinlicher in 4 Würfen mindesten eine 6 zu würfeln oder in 24
Würfen mindesten eine Doppelsechs (mit zwei Würfeln gleichzeitig) zu würfeln?
7. (a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass von zehn Person mindestens zwei
am gleichen Tag Geburtstag haben? (Der Einfachheit halber nehmen wir
an, dass jedes Jahr 365 Tage hat.)
(b) Finde die kleinste Zahl n, sodass die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens
zwei dieser n Personen am gleichen Tag Geburtstag haben grösser als 0.5
ist.
8. Ein Ball mit 5 cm Durchmesser wird, ohne dass dabei gezielt wird, gegen ein
Drahtgitter mit quadratischen Maschen von 8 cm Seitenlänge geworfen. Wie
gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Ball, ohne den Draht zu berühren,
durch das Gitter hindurchfliegt?
78
Übungen
Übung 20
1. In einer Urne sind zwei schwarze und zwei weisse Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln gezogen. Sind die Ereignisse „Beim 1.Zug wird eine weisse
Kugel gezogen“ und „Beim 2. Zug wird eine weisse Kugel gezogen“ stochastisch
abhängig, falls
(a) die erste Kugel zurückgelegt wird?
(b) die erste Kugel nicht zurückgelegt wird?
(Begründe deine Antwort mathematisch.)
2. Ein Test zur Krebsdiagnose ist, wenn ich Krebs habe, zu 96% positiv. Wenn ich
keinen Krebs habe so ist der Test zu 94% negativ. Insgesamt haben 0.7% aller
Personen tatsächlich Krebs. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich Krebs
habe, falls (a) der Test positiv ausfällt oder falls (b) der Test negativ ausfällt.
3. Die Hälfte aller Teilnehmer einer Konferenz sind Amerikaner. Jeder achte Amerikaner und jeder 80. Nichtamerikaner trinkt zum Frühstück Tomatensaft. Man
sieht einen Teilnehmer zum Frühstück Tomatensaft trinken. Wie gross ist die
Wahrscheinlichkeit, dass er Amerikaner ist?
4. Auf drei gleich aussehende Kästen mit jeweils zwei Schubladen werden drei Goldund drei Silbermünzen so verteilt, dass in einem Kästchen 2 Goldmünzen, in
einem 2 Silbermünzen und im dritten eine Gold- und eine Silbermünze zu liegen
kommt. Du wählst zufällig ein Kästchen und öffnest eine der beiden Schubladen.
Darin befindet sich eine Goldmünze. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass
in der anderen Schublade eine Silbermünze liegt?
5. Herr Meier hat zwei Kinder.
(a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zwei Töchter hat?
(b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zwei Töchter hat, wenn er uns
verrät, dass sein erstes Kind eine Tochter ist?
(c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zwei Töchter hat, wenn er auf
die Frage, ob er mindestens eine Tochter habe, mit ja antwortet.
79
Teil III: Lösungen
80
Lösungen
Lösung 1
1.
21
2
2. (a) 38 , (b) 6, (c)
2
3
2
−yz
· (4z − 2x)(3x + 4z), (b) x2y+xz
, (c) x − 1
√
4. Behauptung: 2 ist keine
√ rational Zahl. (D.h. es gibt keine ganzen Zahlen a
und b, sodass ab = 2.)
√
Beweis: Wir nehmen an, es gäbe ganze Zahlen a und b, sodass ab = 2. Wir
können zusätzlich annehmen, dass ab ein vollständig gekürzter Bruch ist.
Insbesondere können daher nicht sowohl a als auch b gerade sein. (Sonst
√
2
könnte man den Bruch mit 2 kürzen.) Aus ab = 2 folgt ab2 = 2 und somit
a2 = 2b2 . Daher ist a2 und somit auch a gerade (bitte selber nachprüfen).
Es gibt also eine ganze Zahl n, sodass a = 2n. Damit gilt 2b2 = a2 =
4n2 , woraus b2 = 2n2 folgt. Daher ist auch b2 und somit b gerade. Dies
√
widerspricht unserer Annahme, welche somit falsch ist und daher ist 2
keine rationale Zahl.
3. (a)
1
y 2 x2 z
5. (a)
5
14
>
1
6
21 ,
(b)
27
5
>
16
3 ,
(c)
3
13
=
21
91
m
6. (a) (a m )m = a m = a
(b) a−1 · a1 = a−1+1 = a0 = 1
(c) ab−1 + cd−1 = ab−1 dd−1 + cd−1 bb−1 = (ad + bc)b−1 d−1 = ad+bc
bd
√
√
2
7. Lösungen der Gleichung 2x − (2 2 − 1)x − 2 = 0:
q √
√
√
√
2 2 − 1 ± (2 2)2 − 2(2 · 2) + 1 + 4(2 · 2)
x1,2 =
4
q √
√
√
2
2 2 − 1 ± (2 2) + 2(2 · 2) + 1
=
q √4
√
2 2 − 1 ± ((2 2) + 1)2
=
4√
√
2 2 − 1 ± (2 2) + 1)
,
=
4
√
somit ist x1 = − 21 und x2 = 2. Daher lauten die Lösungen der Aufgabe: (a) 0,
(b) 1, (c) 2.
8. (a) x1 = 2, x2 = −3,
√ (b) x1,2 = −1, (c) keine reellen Lösungen, (d) x ∈
{−2, 2, −3, 3}, (e)2 ± 7
81
Lösungen
√
9. Diskriminante der Gleichung ist: (2+a)2 −8.
√ Diese ist Null,
√ sobald a = ±2 2−2.
√
Die Lösung √
der Gleichung ist dann x = 2, falls a = 2 2 − 2 und x = − 2,
falls a = −2 2 − 2
10. Solange gilt a < −5, −1 < a < 1 oder a > 5, gibt es 2 Lösungen.
11. (a) x = 52 , y = −4, (b) x = 1, y = 2, (c) x = 38 , y =
17
8
12. 2
13. (a) 0, (b) 4a2 b2
7
14. (a) 9an x7 , (b) a 3
15. Bemerkung: Der Beweis wird analog zum Beweis der Aufgabe 4 geführt und
wird deshalb nicht gross kommentiert.
√
Behauptung: Sei p prim, so ist p keine rationale Zahl.
2
√
Beweis: Annahme: p = ab ist gekürzter Bruch. Es folgt p = ab2 und daher teilt
p a2 und daher teilt p a. (Bitte selber überprüfen). Es gibt nun ein n, sodass
a = np und daraus folgt b2 = n2 p. Somit teilt p b2 und daher auch b. Dies
widerspricht der Annahme, dass ab gekürzt ist.
Lösung 2
1. (a) an = 2 + 3 · n, (b) an = 3n−1 , (c) an = n3 , (d) an =
n
8,
(e) an =
(−1)n+1
n
2. (a) 5, 9, 13, . . .
(b) 6, 12, 24, . . .
(c) 1, 4, 1, 16, 1, 36, . . .
(d) −1, −1, 1, 1, −1, −1, 1, 1, . . .
3. a5 = 14, a10 = 29 und a20 = 59
4. a3 = 4, a5 = 1 und a8 = − 81
5. an = 34 − 3n
6. an =
4
34
· 3n (Es gibt auch noch eine zweite Lösung mit q < 0.)
7. (a) limn→∞ an = 0, (b) limn→∞ bn = 0 (c) limn→∞ cn = ∞,
4n−1
)=0
(d) limn→∞ (an + cn ) = ∞, (e) limn→∞ (an · cn ) = limn→∞ ( (n+1)(2n+8)
8. (a) an+1 = an + n und a1 = 1.
(b) an = 0.5n2 − 0.5n + 1 (Beweis mittels Induktion!)
82
Lösungen
Lösung 3
1. an = a1 + (n − 1) · d
2. an = a1 · q n−1
3. Induktionsverankerung (n = 1): a1 = 0.5 − 0.5 + 1 = 1
X
Induktionsschritt (n → n + 1): Es gilt an+1 = an + n. Da wir annehmen, dass
an = 0.5n2 − 0.5n + 1, gilt an+1 = 0.5n2 − 0.5n + 1 + n = 0.5(n + 1)2 −
0.5(n + 1) + 1 und die Formel ist bewiesen.
4. (a) Induktionsverankerung (n = 1): a1 =
1·2
2
=1
Pn+1
X
Pn
I.A.
Induktionsschritt (n → n + 1): Es gilt
k=1 k =
k=1 k + (n + 1) =
n(n+1)
+ (n + 1). Weiterhin gilt n(n+1)
+ (n + 1) = (n+1)(n+2)
und die
2
2
2
Behauptung ist bewiesen.
(b) Induktionsverankerung (n = 1): a1 =
1·2·3
6
=1
X
Pn+1 2 Pn
I.A.
Induktionsschritt (n → n + 1): Es gilt k=1 k = k=1 k 2 + (n + 1)2 =
n(n+1)(2n+1)
(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)
n(n+1)(2n+1)
+(n+1)2 . Weiterhin gilt
+(n+1)2 =
6
6
6
und die Behauptung ist bewiesen.
Pn
Pn
Pn
Pn
Pn
5. Es gilt
k=1 (1) =
k=1 (k) −
k=1 (1) = 2
k=1 (2k) −
k=1 (2k − 1) =
n(n+1)
2
2 · 2 − n = n(n + 1) − n = n .
1
2
3
6.
4
5
6
Das k-te L-förmige Gebiet besteht aus 2k − 1 Einheitsquadraten. Die ersten n
L-förmigen Gebiete kann man zu einem Quadrat mit der Seitenlänge n zusammenlegen. Dieses grosse Quadrat besteht somit aus n2 Einheitsquadraten, womit
die Formel gezeigt ist.
7. Induktionsverankerung (n = 1): S1 = 21 (a1 + a1 ) = a1
X
I.A.
Induktionsschritt (n → n + 1): Sn+1 = Sn + a1 + n · d = n2 (a1 + an ) + a1 +
d·n
n · d = n2 a1 + n2 an + a1 + d · n = n2 a1 + n2 an + a21 + a21 + d·n
2 + 2 =
a1 n
d · n a1
d·n
n
+
a1 +
+
+ an +
= n+1
2 (a1 + an+1 ), womit der Beweis
2
2
2
2
2
2
| {z } |
{z
} | {z }
= n+1
2 a1
endet.
=n
2 an+1
= 12 an+1
83
Lösungen
1−q
= a1
8. Induktionsverankerung (n = 1): S1 = a1 1−q
X
I.A.
n
n
Induktionsschritt (n → n + 1): Sn+1 = Sn + a1 · q n = a1 1−q
=
1−q + a1 · q
n
a1 ( 1−q
1−q +
(1−q)qn
1−q )
n+1
= a1 1−q
1−q , womit der Beweis endet.
n
9. Falls |q| < 1 konvergiert obiger Ausdruck, d.h. limn→∞ Sn = limn→∞ (a1 1−q
1−q ) =
a1
n
,
da
q
immer
kleiner
wird,
sobald
|q|
<
1.
1−q
Falls q = 1, so gilt an = a1 für alle n und somit limn→∞ Sn = ±∞ (abhängig
davon ob a1 positiv oder negativ).
Falls q = −1, so gilt an = a1 ·(−1)n−1 für alle n und somit konvergiert limn→∞ Sn
nicht (auch nicht gegen ∞!)
Falls q > 1, so gilt limn→∞ Sn = ±∞ (abhängig davon ob an > 0 oder an < 0)
und falls q < −1 konvergiert limn→∞ Sn wiederum nicht (auch nicht gegen ∞).
P∞ 1
10.
n=1 n = ∞, wie man folgendermassen einsieht:
P∞ 1
1 1 1 1
1 1
1
+ + ) + . . ., und somit addiert man
n=1 n = 1 + 2 + ( + ) + ( +
| 3 {z 4 } | 5 6 {z 7 8 }
>2· 41 = 21
>4· 81 = 12
immer wieder nach endlicher Zeit mindestens
der Ausdruck gegen unendlich konvergiert.
1
2
zu unserer Summe dazu, womit
Lösung 4
y
(b) f (x) = 2x + 1
(a) f (x) = x
1.
1
1
x
(c) f (x) = −x + 1
84
Lösungen
y
(b)
(c)
(a)
(e)
1
(d)
2.
x
1
y
(a) y = 2x + 1
(b) y = 3
3.
1
1
x
(c) 2x + y = 1
4. Die Gerade mit der Gleichung x = 1 ist kein Graph einer linearen Funktion, da
dem Wert x = 1 unendlich viele Werte zugeordnet werden (anstelle eines einzigen
Werts).
5. (a) x 7→ x3 + 4x2 + x − 6 hat Nullstellen x = −3, −2, 1, (b) x 7→ − 34 x3 + x2 + 2
hat Nullstelle x = 2, (c) t 7→ t3 − t2 + 0.16t hat Nullstellen t = 0, 15 , 45 und (d)
z 7→ z 4 − 2z 2 + 1 hat Nullstellen z = −1, 1.
6. Ein Polynom vom Grad m hat höchstens m Nullstellen. Falls m gerade ist, kann
das Polynom keine Nullstelle haben, ist m ungerade, so gibt es immer mindestens
eine Nullstelle.
85
Lösungen
y
7. (a)
f (x)
1
1
x
(b) f (x + a) hat denselben um −a in Richtung der x-Achse verschobenen Graphen wie f (x).
(c) f (x)+a hat denselben um a in Richtung der y-Achse verschobenen Graphen
wie f (x).
(d) a · f (x) bedeutet eine Streckung des Graphens. Der Öffnungswinkel der
Parabel verändert sich dadurch. Die Nullstellen bleiben fix, aber die Richtung in welche die Parabel geof̈fnet ist kann sich ebenfalls an̈dern, abhan̈gig
davon ob a positiv oder negativ ist.
8. f (x) = −2x+ 7. Es gibt nur ein Polynom ersten Grades, das durch die gegebenen
zwei Punkte geht.
9. z.B. f (x) = −x2 + 5x − 3. Es gibt aber unendlich viele Polynome zweiten Grades
die durch die zwei gegebenen Punkte gehen. Falls aber das Polynom zusätzlich
durch den dritten Punkt geht, gibt es nur noch ein mögliches Polynom.
√
√
√
10. 2 + 1 ist Nullstelle von z.B. x2 − 2x − 1 und 2 + 3 ist Nullstelle von z.B.
x4 − 10x2 + 1.
86
Lösungen
Lösung 5
1. (a) Nullstelle bei x = 0, Polstellen bei x = ±1, Asymptote ist y = 0.
√
(b) Nullstellen bei x = 6 ± 30, keine Pole, Asymptote ist y = −1.
(c) Nullstelle bei x = 2, Pol bei x = 0, Asymptote ist y =
x2
4 .
(d) Nullstelle bei x = 3, Pol bei x = −2, Unbestimmtheitsstelle bei x = 1,
Asymptote ist y = 1.
y
y
1
1
x
1
(a) f (x) =
x
x2 −1
(b) f (x) =
12x−x2 −6
x2 +3
y
y
2
5
1
(c) f (x) =
x
10
x
1
(d) f (x) =
x3 −8
4x
87
x2 −4x+3
x2 +x−2
x
Lösungen
3
2. x 7→ xx2−4x
+1 hat Nullstellen x = −2, 0, 2, keine Polstellen und geht nach ±∞ für
x → ±∞.
y
x 7→ x (Asymptote)
x 7→
x3 −4x
x2 +1
1
x
1
3. (a) Lösungsmenge: L = {0, 5/2}
(b) Lösungsmenge: L = {}
(c) Lösungsmenge: L = {−2, −1}
(d) Lösungsmenge: L = {1}, ACHTUNG: ±4 löst die Gleichung nicht, denn bei
beiden ist die rechte Seite der Gleichung nicht definiert!
4.
3
x2 +3x
=
1
x
+
−1
x+3 .
5. a = −12. Den Zähler kann man mittels Polynomdivision umschreiben. Es gilt:
x3 − 5x − 12 = (x2 + 3x + 4)(x − 3) und die Diskriminante von x2 + 3x + 4 ist
−5. Daher hat der Zähler und somit die ganze Funktion keine weitere Nullstelle.
6. y =
6x3 −96x+1
.
2x−8
7. (x5 + 2x4 + 2x3 − x2 − 3x − 1) : (x2 − 1) = x3 + 2x2 + 3x + 1.
Lösung 6
1. (a) π/2, ergibt Punkt (0, 1), (b) π, √
ergibt Punkt (−1, 0), (c) −3π, ergibt Punkt
(−1, 0) und (d) π/6, ergibt Punkt ( 3/2, 1/2).
88
Lösungen
2. (a) 360◦ , (b) 18◦ , (c) 0◦ und (d) 540◦ .
3. (a) α = 30◦ = π/6, (b) α = 45◦ = π/4.
4. Der Baum ist 1.7m + tan(25◦ )20m ≃ 11m hoch.
p
5. Der Kilometerzähler gibt (10000m)2 + (1000m)2 = 10.05km an.
6. Zeichne in ein Koordinatensystem den Einheitskreis um den Nullpunkt. Wir
zeichnen nun ein Dreieick, dessen eine Ecke im Nullpunkt liegt und dessen andere zwei Ecken, rechts vom Nullpunkt auf dem Kreis liegen und die Koordinaten
(x, ±1/2) haben. Dies ist ein gleichseitiges Dreieck. (Warum?). Ein Dreieckswinkel ist also 60◦ = π/3 gross. Wegen der Symmetrie zur x-Achse bildet die Dreiecksseite mit der Koordinaten (x, 1/2) zusammen mit der x-Achse eine Winkel
von π/6. Der Abschnitt der x-Achse, welcher im Dreieck liegt, hat also die Länge
cos(π/6). (Warum?) Wir können den Satz des Pythagoras auf das obere Teildreieck anwenden und erhalten
damit die Gleichung: 12 = (cos(π/6))2 + (1/2)2 .
√
Daraus folgt cos(π/6) = 3/2.
7. Wir quadrieren die Gleichung (und erhalten evtl. zusätzliche Lösungen!) und
lösen: sin2 (x) = cos2 (x). Ersetze sin2 (x) durch 1 − cos2 (x). Also
p brauchen wir
die Gleichung 2 cos2 (x) = 1 zu lösen. Wir finden: cos(x) = ± 1/2, also x =
π/4 + kπ/2, k ∈ Z. Ist allerdings k ungerade, so haben sin(π/4 + kπ/2) und
cos(π/4+kπ/2) verschiedenes Vorzeichen (dies sind die Lösungen der quadrierten
Gleichung, die durchs Quadrieren neu entstanden sind). Deshalb finden wir als
Lösungen von sin(x) = cos(x) die x von der Form x = π/4 + kπ.
8. Da die Innenwinkelsumme im Dreieck 180◦ oder π beträgt, muss der dritte Winkel γ = π/2 sein. Nun kann man entweder den Satz von Pythagoras oder den
Sinussatz anwenden. Wir erinnern uns an den Sinussatz, der sagt, dass in einem
Dreieck mit Seiten a, b und c und gegenüberliegenden Winkeln α, β und γ gilt:
b
c
a
=
=
.
sin(α)
sin(β)
sin(γ)
Da sin(π/2) = 1 ist, folgern wir daraus: c =
a
sin(α)
=
1
1/2
= 2.
9. sin 2α = 2 sin α cos α
Lösung 7
1. (a) 10, (b) 1000, (c) 0.01, (d) 1, (e) 1, (f) 1, (g) nicht definiert, (h) nicht definiert,
(i) 0, (j) 0.
2. Am Tag 19 ist der Teich halb bedeckt. Kaufe ich gleich 2 Seerosen, so dauert es
bis zur vollständigen Bedeckung 19 Tage.
89
Lösungen
3. Das Vermögen beträgt dann 1000 · 1.01510 = 1160.55 Franken. In 74 Jahren hat
sich das Vermögen verdreifacht (log1.015 3 ≃ 73.79).
y
y
4.
1
2
1
x
1
(b) g(x) =
(a) f (x) = ex−1 − 1
x
1
2e2x
5. (a) Man braucht total 4 Kerzen, also müssten zu den zwei schon leuchtenden
zusätzlich noch zwei Kerzen angezündet werden. (b) Die Belastung der Ohren
ist um den Faktor 210/3 = 10.079 grösser - also mehr als 10 mal so gross. (c) Wir
wollen auf verschiedenen Skalen gut differenziert hören und sehen können. Wäre
z.B. das Hörempfinden linear und darauf ausgelegt, dass wir ein lautes Konzert
überstehen können, so könnten wir z.B. ein Blätterrascheln kaum von absoluter
Stille unterscheiden.
6. (a) x = −63/64, (b) x = −9, 11, (c) x =
sein) und (d) x = 0 oder x = ±1.
√
5−1
2
(Vorsicht: x darf nicht negativ
7. Betrachte aloga (b/c) = b/c und aloga b−loga c = b/c und überlege, dass daraus die
Behauptung folgt.
√
1
= −1
8. (a) log7 49 = 2, (b) log3 1 = 0, (c) log5 6 25 = 13 , (d) log10 10
9. (a) loga (b+c)+loga (b+c)−1 = 0, (b) loga−b (a2 −2ab+b2) = 2, (c) logc (b2 )/ logc (a) =
2 loga b, (d) logc (a4 − b4 ) − logc (a2 + b2 ) − logc (a + b) = logc (a − b).
10. (a) log2 8 = 3, (b) log5 25 = 2, (c) log3 243 = 5, (d) log2 1024 = 10.
Lösung 8
1. 4x
2. (a) 0, (b) m, (c) 2ax + b
90
Lösungen
3. (a)
√
√
√
√ √
√
x+h− x
x+h− x x+h+ x
√
=
√
h
h
x+h+ x
(x + h) − x
= √
√
h( x + h + x)
1
1
h→0
= √
√ −→ √
2 x
x+h+ x
(b)
√1
x+h
−
h
√1
x
√
√
√
√
x− x+h x+ x+h
√
= √
√ √
h( x + h x) x + x + h
x − (x + h)
√
= √
√ √
h( x + h x)( x + x + h)
−1
h→0 −1
√
√
= √
−→
√ √
2x x
( x + h x)( x + x + h)
4. (a)
(f (x + h) + g(x + h)) − (f (x) + g(x))
h
g(x + h) − g(x)
f (x + h) − f (x)
+ lim
= lim
h→0
h→0
h
h
= f ′ (x) + g ′ (x)
(f (x) + g(x))′ = lim
h→0
(b)
(c · f (x))′ = lim
h→0
5.
f (x + h) − f (x)
c · f (x + h) − c · f (x)
= c · lim
= c · f ′ (x)
h→0
h
h
−2
(x−1)2
91
Lösungen
Lösung 9
1. (a) überall differenzierbar, Ableitung: x 7→ 3x2 − 2, (b) differenzierbar
√für x > 0,
Ableitung: x 7→ 2√1 x , (c) differenzierbar für x ≥ 0, Ableitung: x 7→ 23 x und (d)
1
falls x > 0;
differenzierbar für x 6= 0, Ableitung: x 7→
−1 falls x < 0.
2. Polynome sind überall differenzierbar.
Ableitung: x 7→ a1 + 2a2 x + . . . + iai xi−1 + . . . + nan xn−1
√
3. (a) x 7→ 3a2 x2 −2 bx+ 21 c, (b) x 7→ (1−q) 2√1 x +1, (c) x 7→ 2x−x−2 +2x−3 +5x−6 ,
a
.
(d) x 7→ xx (log x + 1) und (e) x 7→ ax+b
4.
′
0 · v − 1 · v′
v′
1
=
=
−
v
v2
v2
Aber natürlich nur da wo v(x) 6= 0!
5. Die Ableitung f ′ (x0 ) muss in x0 gleich ±1 sein. (a) {(1/2, 1/4), (−1/2, 1/4)}, (b)
1
)}, (c) {(1, 2), (2, 2)} und (d) {(0, 1)}.
{±( √13 , 33/2
6.
′
sin x
cos x
′
cos x cos x + sin x sin x
cos2 x
2
2
2
cos x + sin x
sin x
=
1
+
=
cos2 x
cos x
(tan x) =
=
= 1 + tan2 x
7.
(tan x)′ =
=
sin x
cos x
′
=
cos x cos x + sin x sin x
cos2 x
cos2 x + sin2 x
1
=
cos2 x
cos2 x
√
8. (a) arctan 21 = 0.46365 = 26.565◦ und (b) arctan 3 2 3 = 1.20337 = 68.948◦
9. (a) f ′ (x) = 4x + 3 +
g ′′ (t) = −16 cos(4t)
10. (a)
4
(ex +e−x )2
und (b)
3
x2 ,
f ′′ (x) = 4 −
1
x log x .
92
6
x3
und (b) g ′ (t) = sin(4π) − 4 sin(4t),
Lösungen
Lösung 10
1. Wurfbahn: f : x 7→ −2x2 + 4x, Ableitung in 0 ist 4, also Schiesswinkel mit der
x-Achse ist gleich arctan 4 = 1.3258 = 75.964◦.
2. (a) Nullstellen bei x = −1, x = 2, absolutes Minimum in (1/2, −9/4), (b) Nullstellen bei x = 0, x = 1, relatives Maximum in (0, 0), relatives Minimum in
(2/3, −4/27) und (c) Nullstellen und absolute Minima in (−6, 0) und (3, 0), relatives Maximum in (0, 108) (bemerke: x3 + 9x2 − 108 = (x + 6)2 (x − 3)).
y
y
y
1
1
x
1
1
x
25
1
(a) x 7→ x2 − x − 2
(b) x 7→ x3 − x2
x
(c) x 7→ kx3 + 9x2 − 108k
3. (a) absolutes Minimum in (1, 2), (b) absolutes Minimum in (−1, −1/2), absolutes
Maximum in (1, 1/2) und (c) absolutes Minimum in (a, 0).
4. Maximiere x(a − x). Dies ergibt x = a/2. Also: a1 = a2 = a/2.
√
x = ± a. Da nur positive Lösungen
5. Finde die Extrema von x + xa . Dies ergibt √
gesucht sind ist die Lösung also a1 = a2 = a.
6. (a) Definitionsbereich: R; keine Polstellen; keine Nullstelle; Asymptote: x-Achse
y = 0; absolutes Maximum (0, 1). (b) Definitionsbereich: R \ {0}; Polstelle in
x = 0; Nullstelle in x = −1; Asymptote: y = 21 x + 1, relatives Maximum in
(−1, 0), relatives Minimum in (1, 2). (c) Definitionsbereich: R \ {− 21 }; Polstelle
in x = − 21 ; keine Nullstelle; Asymptote: x-Achse y = 0; keine Extrema.
93
Lösungen
y
y
y
1
2
x
1
x
1
5
1
(a) x 7→
1
1+x2
(b) x 7→
x2 +2x+1
2x
(c) x 7→
x
4
(2x+1)2
7. (±1, ±1).
8. Dreiecksfläche : Rechtecksfläche = 2 : 1
9. Es sollten 5708 Stück Radiergummi produziert werden.
Lösung 11
1. (a) x 7→ 41 x4 − 35 x3 + 27 x2 − 2x + c, (b) x 7→ −x−2 + c, (c) x 7→ 23 x3/2 + c, (d)
x 7→ − x21+1 + c und (e) x 7→ 2 log(|x + 1|) − 3 log(|1 − x|) + c.
R1
1
2. A = 0 x2 − x3 dx = 31 − 41 = 12
R1
3
3. (a) 1, (b) −1 x23x
+1 dx = 2 (log(2) − log(2)) = 0
√
4. Nullstellen von p sind x1 = 0 und x2,3 = ± a. Damit können wir folgende
Gleichung (für a) aufstellen:
Flächenstück =
Z
0
√
a
ax − x3 dx = 9
Die Lösung davon ist a = 6.
5. Die Nullstellen von p sind x1 = 0 und x2 = 3.
Die Steigung der Tangenten: f ′ (x1 ) = f ′ (0) = 3 und f ′ (x2 ) = f ′ (3) = −3.
Gleichungen der Tangenten sind gegeben durch t1 : x 7→ 3x und t2 : x 7→ −3x+9.
Die Tangenten schneiden sich bei (1.5, 4.5). Da die Figur achsensymmetrisch ist,
94
Lösungen
reicht es aus die eine Hälfte zu berechnen und schlussendlich das Ergebnis zu
verdoppeln.
Z 1.5
Z 1.5
3x − (3x − x2 ) dx =
x2 dx = 1.125
0
0
Also misst die Fläche A = 2 · 1.125 = 2.25
π
4
π
4
6. (a) sin x = cos x für x =
Schnittpunkte sind also
+ kπ, wobei k ∈ Z. Zwei aufeinanderfolgende
und 5π
4 .
(b)
A=
Z
5π
4
π
4
√
5π
sin x − cos x dx = [− cos x − sin x] π4 = 2 2
4
7. f (x) = t22 x − t13 x2 = x( t22 −
Fläche ist gegebene durch
1
t3 x)
Z
0
2t
hat die Nullstellen x1 = 0 und x2 = 2t. Die
1
4
2
x − 3 x2 dx =
2
t
t
3
und somit unabhängig von t.
Lösung 12
1.
Z
π
2
Z
π
2
π
sin x cos x dx = [sin x sin x]02 −
0
Z
π
2
cos x sin x dx
0
Daraus folgt
2·
Z
sin x cos x dx = 1 =⇒
0
π
2
sin x cos x dx =
0
1
2
2.
Z
π
2
sin2 x cos x dx =
0
Z
π
2
(sin x)2 (sin x)′ dx
0
Nun können wir die Substitutionsregel anwenden. Mit t = sin x führt dies auf
Z
π
2
sin2 x cos x dx =
0
Z
0
95
1
t2 dt =
t3
3
1
0
=
1
3
Lösungen
3.
R
π
2
−π
2
x3 cos x dx = 0. Man kann entweder dreimal partielle Integration anwenden
oder feststellen, dass der Graph von x3 cos x punktsymmetrisch bezüglich des
Ursprungs ist, woraus direkt folgt, dass das Integral verschwindet.
4.
Z
e
log x dx =
0
Z
0
e
1 · log x
=e
q
5. (a) y = b 1 −
Z
e
1
dx
x
1
= (e log e) − (1 log 1) −(e − 1) = 1
| {z } | {z }
e
= [x log x]1 −
x·
=0
x2
a2
(b) Nullstelle ist a und somit ist die Fläche gegeben durch
Z π2
Z a r
x2
π
b 1 − 2 dx =
ab cos2 t dt = ab
a
4
0
0
Dabei haben wir die Substitution x = a sin t verwendet.
(c) Für den Flächeninhalt der Ellipse gilt A = πab.
6.
Z
1
∞
Z
n
1
dx
2
x
1 n
−1
= lim
n→∞
x 1
1
= lim − + 1 = 1
n→∞
n
1
dx = lim
n→∞
x2
96
Lösungen
Lösung 13
1. y = 3x + 2
2. Fall 1 a 6= c: Die Geraden schneiden sich im Punkt
d−b ad−bc
a−c , a−c
.
Fall 2 a = c und b = d: Die Geraden schneiden sich nicht, sondern fallen aufeinander.
Fall 3 a = c und b 6= d: Die Geraden schneiden sich nicht, sondern sie sind parallel.
3. (a) Es gibt nur die eine Lösung (x, y) = (2, 1), (b) es gibt keine Lösung, (c) es
gibt unendlich viele Lösungen, sie haben die Form (x, −3x + 6).
4. (a) Die Lösungsmenge ist eine Gerade, gegeben durch die Gleichung x + z = 1
wobei y = 0.
(b) Es gibt keine Lösung.
(c) Die Lösungsmenge ist eine Ebene, gegeben durch 2x + y + z = 1.
5. (x, y, z) = (−2, 2, 3)
√
√
6. (a) (3, 3, 3), (b) (−1, 1, 5), (c) 0, (d) (3, 6, 12), (e) 21 (f) 3 21 und
 1 
 2 
√
√
√4
21
−1
√
6
 21 
 6
(g)  √221  und  √16 
7.
 
a1


a2 
√ 2 a1 2 2 a1 +a2 +a3 ~a 
 √ a2
a3
= p


|~a| a2 + a2 + a2 =  a21 +a22 +a23 
√ a3
1
2
3
a21 +a22 +a23
s
a22
a23
a21
+ 2
+ 2
=
2
2
2
2
2
a1 + a2 + a3
a1 + a2 + a3
a1 + a22 + a23
s
a21 + a22 + a23
=
=1
a21 + a22 + a23
8. Es gibt unendlich viele solche Vektoren, z.B. (3, 2, 0)
9. (10, 3)
97
Lösungen
10. Die Koordinaten der 8 Ecken sind: (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1),
(1, 0, 1), (0, 1, 1) und (1, 1, 1).
√
11. 35
Lösung 14
1. (a)
x
0
1
=
+t
y
3
2
(b) 5y − 8x + 11 = 0
2. (a) t = 3, (b) geht nicht, P liegt nicht auf g.
3. (14, 9)
   
 
x
3
−1
4. (a) y  = 1 + t  6 
z
4
4
   
 
x
7
1
(b) y  = −2 + t 0
z
3
0
5. (a) g schneidet die yz-Ebene in (0, 3, −3).
(b) h schneidet die xy-Ebene nirgends.
6. (a) g und h schneiden sich in (−1, 8, 4).
(b) g und h beschreiben dieselbe Gerade
(c) g und h sind windschief
(d) g und h sind zueinander parallel
Lösung 15
1. (a) (8, 1, −3) und (2, 13, 12); (b) (−2, 13, 10) liegt nicht in der Ebene, (6, 5, 2)
liegt darin; (c) x = 9; (d) 6x − 7y + 8z − 17 = 0; (e) Man lerne, dass manche
Sachen mit Koordinatendarstellung viel schneller lösbar sind!
   
 
 
x
0
8
3
2. z.B. y  = 7 + t −7 + s −5 .
z
8
−1
−2
3. Die Punkte dürfen nicht auf einer Geraden liegen.
4. Ja, das Viereck ist eben.
98
Lösungen
5. x − 2y + z − 7 = 0
6. Die Achsen durchstossen die Ebene in den Punkten (−6, 0, 0), (0, −4, 0) und
(0, 0, 12).
   
 
x
1
2
7. z.B.y  = 2 + t −5
z
0
−3
Lösung 16
1. 5x + 3y − 4z = −10
2. 5x − 3y + z = 4
3. (a) 2x − 7y = 12, (b) 3x − z = 0, (c) 4x − 3y − 18z = −1
4. (a) 78.6◦ und (b) 45◦
5. sinϕ =
~
a·~
n
|~
a|·|~
n|
6. xQ = −8
7. Der Fusspunkt hat die Koordinaten (1, 14, 8).
99
Lösungen
Lösung 17
1. (a) 720
(b) 42 und 990
2. 37 = 2187 (Bonus: 182′ 509′367′ 040′ 000)
3. 5 · 4 · 3 · 3 · 2 = 360
4. 39 · 37 = 1443
5. (a) 9 · 9 · 9 · 9 = 94 = 6561
(b) 9 · 8 · 7 · 6 = 3024 verschiedene solche Zahlen.
6. 15! = 1′ 307′ 674′ 368′ 000
7.
21
|{z}
+
einstellige
8. 2
10
= 1024
22
|{z}
zweistellige
+
23
|{z}
dreistellige
+
24
|{z}
= 2 + 4 + 8 + 16 = 30
vierstellige
9. (24 + 1) · (27 + 1) = 25 · 28 = 700
10.
10!
10
= 9! = 362880
11. Behauptung: (2n)! > (n!)2 .
Beweis: Sind a und b zwei positive Zahlen, so ist a genau dann grösser als b,
wenn ab grösser als 1 ist. Wir setzen a = (2n)! und b = (n!)2 und erhalten:
(2n) · (2n − 1) · . . . · (n + 1) · n · (n − 1) · . . . · 1
(2n)!
a
=
=
2
b
(n!)
n · (n − 1) · . . . · 1 · n · (n − 1) · . . . · 1
|
{z
} |
{z
}
n!
n!
n+1 n n−1
1
2n 2n − 1
·...·
·...·
=
·
·
>1
·
n
n
−
1
1
n
n
−
1
1
|{z} | {z }
| {z } |{z} | {z }
|{z}
>1
>1
>1
=1
=1
=1
12. Beweis:
n!
n!
n! · (k + 1)
n! · (n − k)
+
=
+
k! · (n − k)! (k + 1)! · (n − k − 1)!
(k + 1)! · (n − k)! (k + 1)! · (n − k)!
n! · (k + 1) + n! · (n − k)
=
(k + 1)! · (n − k)!
n! · (k + 1 + n − k)
(n + 1)!
=
=
(k + 1)! · (n − k)!
(k + 1)! · (n − k)!
100
Lösungen
Lösung 18
1. (a) 1, 5, 10, 10, 5, 1 und es gilt
2. 161700
n
k
=
n
n−k
. (b) 100, 1999000, 1
3. 45
4. 497634306624
5. 121
6. höchstens 66
7. 56
8. 816
9. 94143280
10. (a) 45; (b) 24310
11.
(a + b)n = (a + b) · (a + b) · . . . · (a + b)
{z
}
|
n Faktoren
n−k k
Wie bekommt man a
b ? Indem
man aus k Klammern b und aus n − k Klamn
mern a auswählt.
Dies
ist
auf
k Arten möglich und deshalb ist der Koeffizient
von an−k bk nk .
12. Beweis (mittels Formel):
2n = (1 + 1)n =
n n X
n n−k k X n
1
1 =
k
k
k=0
k=0
Beweis (mit vollständiger Induktion): Induktionsverankerung (n = 1):
1
1
+
= 1 + 1 = 2 = 21
X
0
1
101
Lösungen
Induktionsschritt (n → n + 1):
n+1
X
k=0
X
n n+1
n+1
n+1
n+1
=
+
+
k
n+1
k
0
k=1
X
n n+1
n
n
n+1
=
+
+
+
n+1
k−1
k
0
k=1
n
n
X
X
n
n
=1+
+
+1
k−1
k
k=1
k=1
!
!
n n X
X
n
n
=1+
−1 +
−1 +1
k
k
k=0
k=0
n X
n I.A.
=2·
= 2 · 2n = 2n+1
k
k=0
Im zweiten Gleichheitszeichen haben wir die Aufgabe 12 von Blatt 17
verwendet.
Lösung 19
1. (a) 91 , (b) 92 , (c)
2. (a)
3
35 ,
(b)
4
35 ,
1
3
(c)
und (d) 32 .
8
35
und (d)
27
35 .
3. (a) 1.228 · 10−7 , (b) 2.873 · 10−5 und (c) 0.0014.
4. Die Wahrscheinlichkeit für Kopf sei p (0 < p < 1).
Wahrscheinlichkeit für Kopf–Zahl = p · (1 − p) = p − p2
Wahrscheinlichkeit für Zahl–Kopf = (1 − p) · p = p − p2
Also sind diese beiden Wurffolgen gleich wahrscheinlich und das Verfahren ist
fair.
n
n
n
5. (a) 12 , (b) 41 , (c) 12 und (d) 43 , (e) 12 (f) 21 · nk , (g) 1 − 12 .
6. Die Wahrscheinlichkeit in vier Würfen mindestens eine sechs zu werfen beträgt
0.5177 und die Wahrscheinlichkeiz in 24 Würfen mindestens eine Doppelsechs zu
werfen beträgt jedoch nur 0.4914 = 1 − 0.5086.
7. (a) 11, 7% und (b) 23
8. Wir überlegen, wo das Zentrum des Balls durch fliegen darf. Die Fläche einer
Masche ist 8cm × 8cm = 64cm2 . Durch kommt der Ball aber nur, wenn sein
102
Lösungen
Zentrum mehr als 2.5cm Abstand vom Draht hat i.e. durch das 3cm × 3cmQuadrat in der Mitte einer Masche fliegt. Dies verhält sich auf dem ganzen Zaun
9
.
so. Darum ist die Wahrscheinlichkeit=Günstige Fläche : Mögliche Fläche = 64
Lösung 20
1. Unabhängigkeit bedeutet ja:
P (A) · P (B) = P (A ∩ B)
Die folgenden Wahrscheinlichkeiten können mit Hilfe eines Wahrscheinlichkeitsbaums berechnet werden.
(a) P („1. Kugel weiss“) = 12 , P („2. Kugel weiss“) = 12 und P („1. und 2. Kugel weiss“) =
1
4 . Und es gilt
1 1
1
· =
2 2
4
Also sind die Ereignisse unabhängig voneinander..
(b) P („1. Kugel weiss“) = 21 , P („2. Kugel weiss“) = 12 und P („1. und 2. Kugel weiss“) =
1
6 . Und es gilt
1 1
1
· 6=
2 2
6
Also sind die Ereignisse nicht unabhängig voneinander.
2. (a) 10.1% und (b) 0.03%.
3. 90.9%
4.
1
3
5. (a) 14 , (b)
1
2
und (c)
1
3
103