Elektromagnetische Felder Klausur 14. September 2007 1

Elektromagnetische Felder
Klausur 14. September 2007
~ und B:
~
1. Berechnen Sie jeweils das Skalar- und Kreuzprodukt der folgenden Vektoren A
~ = ̺ · (~e̺ + ~ez ) und B
~ = ̺ · (~e̺ + ~eϕ ) in Zylinderkoordinaten (̺, ϕ, z),
(a) A
~ = r · ~er + r · sin ϑ · ~eϑ und B
~ = 1 · ~er + 1 · ~eϕ in Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ),
(b) A
r
r · sin ϑ
~ = ~e̺ − ̺ · ~eϕ + ~ez und B
~ = ~e̺ + 1 · ~eϕ in Zylinderkoordinaten (̺, ϕ, z),
(c) A
̺
~ = sin2 ϑ · ~er und B
~ = r 2 · (~eϑ − ~eϕ ) in Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ).
(d) A
(8 Punkte)
~ = sin ϑ · ~er durch einen Teil einer Kugelober2. Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes C
r
fläche, welcher durch die folgenden Bedingungen festgelegt wird: r = 2, π3 ≤ ϕ ≤ 2π
,
3
π
3π
≤ϑ≤ 4
4
(4 Punkte)
3. Gegeben sei eine Kugel mit dem Radius R = 3 cm, welche eine homogene Raumladungsdichte ρ = 9 nC/cm3 enthält. Das Medium, das die Kugel umgibt, sei Luft. Entwickeln
Sie mit Hilfe des Gaußschen Satzes der Elektrotechnik folgende Formeln:
a) die elektrische Feldstärke Ea außerhalb der Kugel,
b) das zu der Feldstärke zugehörige Potential Φa , mit dem Potentialwert Null im Unendlichen,
c) die elektrische Feldstärke Ei innerhalb der Kugel,
d) das zu der Feldstärke zugehörige Potential Φi innerhalb der Kugel. Berücksichtigen
Sie, dass Φi und Φa an der Kugeloberfläche gleich sein sollen.
e) Berechnen Sie nun zahlenmäßig die Feldstärke auf der Kugeloberfläche und das Potential im Kugelmittelpunkt. Näherung: ε0 ≈ 9 · 10−12 As/(Vm)
4. Gegeben ist ein Stromband (siehe Skizze) mit der Breite 2a
und dem Radius R, welches zentriert um den Mittelpunkt des
Koordinatensystems angeordnet ist, so dass die z-Achse gleichzeitig Symmetrieachse ist. Auf dem Stromband fließt ein Oberflächenstrom des Betrages K (Dimension: Strom pro Länge) im
Rechtsschraubensinn um die z-Achse.
y
R
2a
(9 Punkte)
K
x
z
a) Beschreiben Sie mit Hilfe einer Deltafunktion die vektorielle Stromdichte J~ im ganzen
Raum (Dimension: Strom pro Fläche).
~ im Koordinatenursprung mit dem Biotb) Berechnen Sie die magnetische Flussdichte B
Savart-Gesetz. Einige Rechenschritte können Sie sich ersparen, wenn Sie berücksich~
tigen, welche Komponente des B-Feldes
wegen der Symmetrie im Ergebnis nur übrig
bleiben kann.
(10 Punkte)
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5. Eine Ladung q wird auf dem Weg ~s(t) = (x0 · sin(ωt), y0 · cos(ωt), z0 · t/t0 ) in der Zeit
~ =
t ∈ [0; t0 ] durch die statischen, homogenen elektrischen und magnetischen Felder E
~ = H0 · ~ey bewegt. Hierbei sind die Konstanten x0 , y0 , z0 positive Längen,
E0 · ~ex und H
t0 eine positive Zeit, E0 und H0 die elektrischen und magnetischen Feldstärkebeträge
sowie ω eine Kreisfrequenz.
a) Berechnen Sie die Kraft F~el (t), die das elektrische Feld auf die Ladung ausübt.
b) Berechnen Sie die Kraft F~mag (t), die das magnetische Feld auf die Ladung ausübt.
Rt
c) Berechnen Sie die Arbeit Wel = 0 0 F~el (t) · ~v(t) dt, die auf Grund des elektrischen
Feldes benötigt bzw. frei wird, wenn die Ladung die vorgegebene Bahn durchläuft.
Hierbei ist ~v (t) die Geschwindigkeit der Ladung.
Rt
d) Berechnen Sie die Arbeit Wmag = 0 0 F~mag (t) · ~v(t) dt, die auf Grund des magnetischen Feldes benötigt bzw. frei wird, wenn die Ladung die vorgegebene Bahn durchläuft.
(6 Punkte)
y
10 cm
I1 = 2 A
I2 = 3 A
10 cm
6. Die rechte Abbildung zeigt zwei stromtragende Drähte. Ein langer Draht parallel zur yAchse kreuzt die x-Achse bei x = 10 cm
und trägt einen nach oben fließenden Strom
I1 = 2 A. Eine quadratische Schleife mit Kantenlänge a = 10 cm liegt in der x-y-Ebene
mit der Mitte im Ursprung. In ihr fließt ein
Strom I2 = 3 A entgegen dem Uhrzeigersinn.
Die +z-Richtung zeigt aus der Papierebene
hinaus.
x
10 cm
a) Geben Sie den Magnetfeldvektor (Richtung, Einheiten, Amplitude) an, der entlang
des rechten Segments der quadratischen Schleife (bei x = 5 cm) durch den Strom I1
im vertikalen Draht verursacht wird.
b) Welche Kraft (Richtung, Einheiten, Amplitude) wirkt auf das rechte Segment der
quadratischen Schleife durch die Wechselwirkung mit dem vertikalen Draht?
c) Welche Richtung hat die Gesamtkraft auf die vollständige quadratische Schleife?
Begründen Sie die Antwort!
(10 Punkte)
7. Leiten Sie ausgehend von den Maxwellgleichungen in differentieller Form die Wellen~ ohne Erregung im Vakuum her. Begründen Sie
gleichung für das magnetische Feld H
die einzelnen Umformungsschritte durch einen kurzen Text oder eine zugrundeliegende
Formel.
Hinweis: rot rot = grad div − ∆
(7 Punkte)
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8. a) Geben Sie die Poissongleichung für ein elektrostatisches Potential ϕ in einem homogenen Medium an.
b) Geben Sie die Dimensionen (oder ersatzweise gebräuchliche SI-Einheiten) der beiden
ortsabhängigen Größen und des Operators an, die in der Poissongleichung auftreten,
nicht jedoch vom Materialparameter.
c) Berechnen Sie zum kugelsymmetrischen, elektrostatischen Potential ϕ(r) = ϕ0 · e−αr
die zugehörige Raumladungsdichte ρ(r). Hierbei sind α > 0 und ϕ0 konstant.
Hinweis: Beachten Sie die mathematischen Hilfen auf den letzten Seiten.
d) Berechnen Sie die im gesamten Raum gespeicherte elektrische Energie zu dem Potential des vorigen Aufgabenteils.
(8 Punkte)
9. Das Verhalten einer einfallenden, ebenen und harmonischen Welle auf eine ebene Grenzschicht zwischen zwei Halbräumen unterschiedlichen Materials wird durch die Fresnelschen Formeln vollständig beschrieben.
a) Nennen Sie alle relevanten Parameter
Spezifizieren Sie jeweils eine Situation, bei der es
b) zur vollständigen Transmission bei senkrechtem Einfall,
c) zur vollständigen Reflexion bei senkrechtem Einfall,
d) zur vollständigen Transmission bei schrägem Einfall,
e) zur vollständigen Reflexion bei schrägem Einfall kommt.
Bei d) und e) soll kein Spezialfall hinsichtlich der Materialeigenschaften angenommen
werden. Wie werden die Situationen in d) und e) bezeichnet?
(9 Punkte)
10. Betrachtet wird ein Hertzscher Dipol im Koordinatenursprung, der in Richtung der
z-Achse ausgerichtet ist.
~
a) Zeichnen Sie das E-Feldbild
dieses Hertzschen Dipols in der x-z-Ebene. Zeichnen
Sie mindestens 8 vollständige Feldlinien, von denen sich 4 bereits vom Dipol gelöst haben. (Tipp: Wie würde ein Feldbild zweier entgegengesetzter Punktladungen
aussehen?)
~
b) Zeichnen Sie in einem weiteren Bild zusätzlich 4 Feldlinien des zugehörigen H-Feldes
in der x-y-Ebene.
c) Unter welchen beiden Voraussetzungen können die von einem Dipol abgestrahlten
Wellen, außer in Richtung der z-Achse, näherungsweise als ebene Wellen betrachtet
werden?
d) Warum können die abgestrahlten Wellen auch in großem Abstand nicht als Kugelwellen betrachtet werden?
e) Welche Abstandsabhängigkeit weist die Leistungsflussdichte im Fernfeld auf und
wie verhält sich dann folglich die Abstandsabhängigkeit der insgesamt abgestrahlten
Leistung?
(8 Punkte)
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11. Gegeben sei ein luftgefüllter, verlustfreier Rechteckhohlleiter mit den Abmessungen a = 8 cm und
b = 2,5 cm. Über die H10 -Mode wird bei einer Frequenz von f = 2 GHz eine Leistung von 1 W in zRichtung zu einem angepassten Verbraucher transportiert.
z
y
b
x
a
(0, 0, 0)
a) Skizzieren Sie das E-Feld der H10 -Mode in einem Querschnitt des Hohlleiters in
der x-y-Ebene. Hierbei soll die Stärke des Feldes durch die Dichte der Feldlinien
dargestellt werden.
b) Bestimmen Sie für die H10 -Mode des Hohlleiters die Grenzwellenlänge λg zahlenmäßig.
c) Geben Sie die Randbedingungen an, die das elektrische Feld im Hohlleiter erfüllen
muss.
d) Berechnen Sie für die H10 -Mode den zeitlichen Mittelwert der Komponente des
Poynting-Vektors in Ausbreitungsrichtung im Querschnitt bei z = 0. Vereinfachen
Sie soweit wie möglich, ohne in diesem Aufgabenteil schon Zahlenwerte für die Abmessungen oder Frequenz einzusetzen. Hinweis: der zeitliche Mittelwert ist hier ohne
Integral berechenbar - komplexe Darstellung!
e) Berechnen Sie den Betrag der maximalen elektrischen Feldstärke der H10 -Mode in
der Mitte des Hohlleiterquerschnitts bei x = a2 . Setzen Sie die Zahlenwerte erst am
Ende ein. Benutzen Sie dann gegebenenfalls als Näherungen π ≈ 3, vph ≈ 8 · 108 m/s
und µ0 = 4π · 10−7 Vs/(Am).
Als Hilfe: folgende Wellentypen sind in dem hier vorliegenden Rechteckhohlleiter im
Allgemeinen ausbreitungsfähig:
TE-Wellen:
−j ω · z
Êx = H0 · mπ 2ωµ nπ 2 · nπ
· cos mπ
· x · sin nπ
· y · e vph
b
a
b
( a ) +( b )
−j vω · z
mπ
nπ
Êy = −H0 · mπ 2ωµ nπ 2 · mπ
·
sin
·
x
·
cos
·
y
· e ph
a
a
b
( a ) +( b )
Êz = 0
ω
−j ω · z
v
· sin mπ
· x · cos nπ
· y · e vph
Ĥx = H0 · mπ 2 ph nπ 2 · mπ
a
a
b
( a ) +( b )
ω
−j ω · z
v
Ĥy = H0 · mπ 2 ph nπ 2 · nπ
· cos mπ
· x · sin nπ
· y · e vph
b
a
b
( a ) +( b )
−j vω · z
nπ
Ĥz = −j · H0 · cos mπ
·
x
·
cos
·
y
· e ph
a
b
TM-Wellen:
Êx = −E0 ·
(
ω
vph
2
mπ 2
+ nπ
a
b
ω
vph
2
mπ 2
+ nπ
a
b
) ( )
· cos
· mπ
a
mπ
a
· x · sin
nπ
b
−j ω · z
· y · e vph
−j vω · z
mπ
nπ
·
sin
·
x
·
cos
·
y
· e ph
· nπ
a
b
( ) ( ) b
−j vω · z
nπ
Êz = −j · E0 · sin mπ
·
x
·
sin
·
y
· e ph
a
b
−j vω · z
mπ
nπ
·
sin
·
x
·
cos
·
y
· e ph
Ĥx = E0 · mπ 2ωε nπ 2 · nπ
a
b
( a ) +( b ) b
−j vω · z
mπ
nπ
·
cos
·
x
·
sin
·
y
· e ph
Ĥy = −E0 · mπ 2ωε nπ 2 · mπ
a
a
b
( a ) +( b )
Ĥz = 0
Êy = −E0 ·
(12 Punkte)
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12. Nennen Sie die drei in der Vorlesung besprochenen analytischen Lösungsverfahren bei
Randwertproblemen. Fassen Sie ihre wesentliche(n) mathematische(n) Eigenschaft(en)
und Voraussetzung(en) in Stichworten zusammen.
(9 Punkte)
13. Ersatzschaltbild-Bauelemente werden durch bestimmte Idealisierungen in der Beschreibung der Leistungsbilanz definiert. Geben Sie diese Idealisierungen in Form der zu
berücksichtigenden und wegzulassenden Terme des Poynting-Theorems an für:
a) einen Ohmschen Widerstand R,
b) eine Induktivität L.
(4 Punkte)
14. Gegeben sei nebenstehende Abbildung mit einer in
Richtung der 3. Raumachse unendlich ausgedehnten
Linienladung und einem dazu parallelen, ebenfalls unendlich ausgedehnten, metallischen Zylinder. Die Mittelachse des Zylinders ist also ebenfalls parallel zur
3. Raumachse und kreuzt die x-Achse bei x0 = 43 . Der
Radius des Zylinders ist r0 = 14 . Zur Berechnung des
Potentials soll diese Geometrie mit der konformen Abj·z
in eine einfache Struktur transforbildung w = 1−z
miert werden.
y
τ
z2
z3
r0 ϕ z1+
x0
3. Raum−
achse
z1−
x
z4
Hinweis: In der Abbildung wurde die 3. Raumachse nicht mit z beschriftet, um Verwirrung zu vermeiden. In dieser Aufgabe ist z = x + j · y.
a) Parametrisieren Sie den Querschnitt des Zylinders (Kreislinie) mit dem eingezeichneten Winkel ϕ und der e-Funktion in komplexer Schreibweise: zk (ϕ) = ...
Zur eigenen Überprüfung: zk (ϕ = 0) = x0 + r0 und zk (ϕ = π2 ) = x0 + j · r0 .
b) Wenden Sie die Abbildungsvorschrift auf den Zylinderquerschnitt an und berechnen
Sie Re{w(zk )} und Im{w(zk )}.
c) Skizzieren Sie, wie die Geometrie in die w-Ebene abgebildet wird und zeichnen Sie
dort τ , die Punkte z2 , z3 und z4 , sowie z1+ für ϕ → 0 mit ϕ > 0 und z1− für ϕ → 0
mit ϕ < 0 ein.
d) Ermitteln Sie in der w-Ebene das Potential Φ(w).
~
e) Wie groß ist das E-Feld
innerhalb des Zylinders? Erklären Sie warum die Lösung in
der w-Ebene für das Feld innerhalb des Zylinders nicht korrekt sein kann und nur
außerhalb des Zylinders gilt.
(14 Punkte)
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Hilfsformeln:
Z
∞
xn e−ax dx =
0
Z
Z
n!
an+1
für a > 0 und n ∈ N
1
1
sin 2ax ,
sin ax dx = x −
2
4a
Z
2
dx
(x2 + a2 )3/2
x
√
=
a2 · x2 + a2
,
Z
1
1
cos2 ax dx = x +
sin 2ax
2
4a
√
= ln x + x2 + a2
dx
(x2 + a2 )1/2
x
~ senkrecht zur Einfallsebene
E
Z2 cos(θeinf ) − Z1 cos(θtrans )
Erefl
=
Eeinf
Z2 cos(θeinf ) + Z1 cos(θtrans )
2Z2 cos(θeinf )
Etrans
=
Eeinf
Z2 cos(θeinf ) + Z1 cos(θtrans )
Grenzfläche
Reflexion und Brechung an Grenzflächen:
kt
Ht
qt
ne
ebe
s
l
l
a
qe
f
Ein
Et
qe
Hr
kr
m2
diu
e
M
ke
m1
diu
e
M
E r He
Ee
z
x
~ parallel zur Einfallsebene
E
Erefl
Z2 cos(θtrans ) − Z1 cos(θeinf )
=
Eeinf
Z2 cos(θtrans ) + Z1 cos(θeinf )
2Z2 cos(θeinf )
Etrans
=
Eeinf
Z2 cos(θtrans ) + Z1 cos(θeinf )
Grenzfläche
y
Et
qe
He
Hr
kt
qt
ne
ebe
s
l
l
Er
fa
Ein
kr
Ht
Ee
m2
diu
e
M
qe
ke
m1
diu
e
M
z
y