Algorithmen und Datenstrukturen

SS13
Algorithmen und Datenstrukturen
2. Kapitel
Fundamentale Datentypen und
Datenstrukturen
Martin Dietzfelbinger
April 2013
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
Einfache Datentypen
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
1
Einfache Datentypen
• Stacks (Keller, Stapel, LIFO-Speicher)
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1
Einfache Datentypen
• Stacks (Keller, Stapel, LIFO-Speicher)
• Indizierte dynamische Folgen (Dynamische Arrays)
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1
Einfache Datentypen
• Stacks (Keller, Stapel, LIFO-Speicher)
• Indizierte dynamische Folgen (Dynamische Arrays)
• Queues (Warteschlangen, FIFO-Speicher)
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Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
1
Einfache Datentypen
• Stacks (Keller, Stapel, LIFO-Speicher)
• Indizierte dynamische Folgen (Dynamische Arrays)
• Queues (Warteschlangen, FIFO-Speicher)
• Mengen
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1
Einfache Datentypen
• Stacks (Keller, Stapel, LIFO-Speicher)
• Indizierte dynamische Folgen (Dynamische Arrays)
• Queues (Warteschlangen, FIFO-Speicher)
• Mengen
• Wörterbücher
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1
Einfache Datentypen
• Stacks (Keller, Stapel, LIFO-Speicher)
• Indizierte dynamische Folgen (Dynamische Arrays)
• Queues (Warteschlangen, FIFO-Speicher)
• Mengen
• Wörterbücher
Einfache Datenstrukturen
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1
Einfache Datentypen
• Stacks (Keller, Stapel, LIFO-Speicher)
• Indizierte dynamische Folgen (Dynamische Arrays)
• Queues (Warteschlangen, FIFO-Speicher)
• Mengen
• Wörterbücher
Einfache Datenstrukturen
• Statische Arrays (1. Semester)
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1
Einfache Datentypen
• Stacks (Keller, Stapel, LIFO-Speicher)
• Indizierte dynamische Folgen (Dynamische Arrays)
• Queues (Warteschlangen, FIFO-Speicher)
• Mengen
• Wörterbücher
Einfache Datenstrukturen
• Statische Arrays (1. Semester)
• Einfach und doppelt verkettete Listen (1. Semester)
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1
2.1 Stacks (Keller, Stapel, LIFO-Speicher∗)
empty
push(2)
2
push(7)
push(4)
4
top
7
4
2
7
2
1
isempty?
top
4
2
1
2
pop
push(1)
4
4
1
7
4
2
2
false
pop
1
4
pop
4
pop
2
2
2
∗
isempty?
true
Last-In-First-Out
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1
Was sollen die Operationen bewirken? Informal:
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2
Was sollen die Operationen bewirken? Informal:
Als Stackeinträge zugelassen sind Elemente einer Menge D
(Parameter).
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2
Was sollen die Operationen bewirken? Informal:
Als Stackeinträge zugelassen sind Elemente einer Menge D
(Parameter).
empty (()): erzeuge leeren Stack
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( Konstruktor“).
”
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2
Was sollen die Operationen bewirken? Informal:
Als Stackeinträge zugelassen sind Elemente einer Menge D
(Parameter).
empty (()): erzeuge leeren Stack
( Konstruktor“).
”
push(s, x): lege neues Element x ∈ D auf den Stack s.
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2
Was sollen die Operationen bewirken? Informal:
Als Stackeinträge zugelassen sind Elemente einer Menge D
(Parameter).
empty (()): erzeuge leeren Stack
( Konstruktor“).
”
push(s, x): lege neues Element x ∈ D auf den Stack s.
pop(s): entferne oberstes Element von Stack s
(falls nicht vorhanden: Fehler).
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2
Was sollen die Operationen bewirken? Informal:
Als Stackeinträge zugelassen sind Elemente einer Menge D
(Parameter).
empty (()): erzeuge leeren Stack
( Konstruktor“).
”
push(s, x): lege neues Element x ∈ D auf den Stack s.
pop(s): entferne oberstes Element von Stack s
(falls nicht vorhanden: Fehler).
top(s): gib oberstes Element von Stack s aus
(falls nicht vorhanden: Fehler).
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2
Was sollen die Operationen bewirken? Informal:
Als Stackeinträge zugelassen sind Elemente einer Menge D
(Parameter).
empty (()): erzeuge leeren Stack
( Konstruktor“).
”
push(s, x): lege neues Element x ∈ D auf den Stack s.
pop(s): entferne oberstes Element von Stack s
(falls nicht vorhanden: Fehler).
top(s): gib oberstes Element von Stack s aus
(falls nicht vorhanden: Fehler).
isempty (s): Ausgabe true“ falls Stack s leer, false“ sonst.
”
”
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2
Was sollen die Operationen bewirken? Informal:
Als Stackeinträge zugelassen sind Elemente einer Menge D
(Parameter).
empty (()): erzeuge leeren Stack
( Konstruktor“).
”
push(s, x): lege neues Element x ∈ D auf den Stack s.
pop(s): entferne oberstes Element von Stack s
(falls nicht vorhanden: Fehler).
top(s): gib oberstes Element von Stack s aus
(falls nicht vorhanden: Fehler).
isempty (s): Ausgabe true“ falls Stack s leer, false“ sonst.
”
”
Brauchen: Präzise Beschreibung.
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2
Spezifikation des Datentyps Stack über D“
”
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Spezifikation des Datentyps Stack über D“
”
1. Signatur:
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Spezifikation des Datentyps Stack über D“
”
1. Signatur:
Sorten:
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Spezifikation des Datentyps Stack über D“
”
1. Signatur:
Sorten:
Elements
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Spezifikation des Datentyps Stack über D“
”
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Stacks
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Spezifikation des Datentyps Stack über D“
”
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Stacks
Boolean
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Spezifikation des Datentyps Stack über D“
”
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Stacks
Boolean
Operationen:
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Spezifikation des Datentyps Stack über D“
”
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Stacks
Boolean
Operationen: empty : → Stacks
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Spezifikation des Datentyps Stack über D“
”
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Stacks
Boolean
Operationen: empty : → Stacks
push: Stacks × Elements → Stacks
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Spezifikation des Datentyps Stack über D“
”
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Stacks
Boolean
Operationen: empty : → Stacks
push: Stacks × Elements → Stacks
pop: Stacks → Stacks
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Spezifikation des Datentyps Stack über D“
”
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Stacks
Boolean
Operationen: empty : → Stacks
push: Stacks × Elements → Stacks
pop: Stacks → Stacks
top: Stacks → Elements
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Spezifikation des Datentyps Stack über D“
”
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Stacks
Boolean
Operationen: empty : → Stacks
push: Stacks × Elements → Stacks
pop: Stacks → Stacks
top: Stacks → Elements
isempty : Stacks → Boolean
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Spezifikation des Datentyps Stack über D“
”
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Stacks
Boolean
Operationen: empty : → Stacks
push: Stacks × Elements → Stacks
pop: Stacks → Stacks
top: Stacks → Elements
isempty : Stacks → Boolean
Namen von Objekttypen, Namen von Operationen mit Angabe
der Typen von Argument(en) und Resultat(en).
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Spezifikation des Datentyps Stack über D“
”
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Stacks
Boolean
Operationen: empty : → Stacks
push: Stacks × Elements → Stacks
pop: Stacks → Stacks
top: Stacks → Elements
isempty : Stacks → Boolean
Namen von Objekttypen, Namen von Operationen mit Angabe
der Typen von Argument(en) und Resultat(en).
Rein syntaktische Vorschriften!
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Spezifikation des Datentyps Stack über D“
”
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Stacks
Boolean
Operationen: empty : → Stacks
push: Stacks × Elements → Stacks
pop: Stacks → Stacks
top: Stacks → Elements
isempty : Stacks → Boolean
Namen von Objekttypen, Namen von Operationen mit Angabe
der Typen von Argument(en) und Resultat(en).
Rein syntaktische Vorschriften! Verhalten (noch) ungeklärt!
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Spezifikation des Datentyps Stack“ über D
”
2. Mathematisches Modell
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Spezifikation des Datentyps Stack“ über D
”
2. Mathematisches Modell
Sorten: Elements: (nichtleere) Menge D (Parameter)
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Spezifikation des Datentyps Stack“ über D
”
2. Mathematisches Modell
Sorten: Elements: (nichtleere) Menge D (Parameter)
Stacks: D<∞ = Seq(D)
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Spezifikation des Datentyps Stack“ über D
”
2. Mathematisches Modell
Sorten: Elements: (nichtleere) Menge D (Parameter)
Stacks: D<∞ = Seq(D)
mit Seq(D) = {(a1, . . . , an) | n ∈ N, a1, . . . , an ∈ D}
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Spezifikation des Datentyps Stack“ über D
”
2. Mathematisches Modell
Sorten: Elements: (nichtleere) Menge D (Parameter)
Stacks: D<∞ = Seq(D)
mit Seq(D) = {(a1, . . . , an) | n ∈ N, a1, . . . , an ∈ D}
Boolean: {true, false} bzw. {1, 0}
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Spezifikation des Datentyps Stack“ über D
”
2. Mathematisches Modell
Sorten: Elements: (nichtleere) Menge D (Parameter)
Stacks: D<∞ = Seq(D)
mit Seq(D) = {(a1, . . . , an) | n ∈ N, a1, . . . , an ∈ D}
Boolean: {true, false} bzw. {1, 0}
Objekttypen werden durch Mengen modelliert.
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Spezifikation des Datentyps Stack“ über D
”
2. Mathematisches Modell
Sorten: Elements: (nichtleere) Menge D (Parameter)
Stacks: D<∞ = Seq(D)
mit Seq(D) = {(a1, . . . , an) | n ∈ N, a1, . . . , an ∈ D}
Boolean: {true, false} bzw. {1, 0}
Objekttypen werden durch Mengen modelliert.
Die leere Folge ( ) stellt den leeren Stack dar.
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Spezifikation des Datentyps Stack“ über D
”
2. Mathematisches Modell (Forts.)
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Spezifikation des Datentyps Stack“ über D
”
2. Mathematisches Modell (Forts.)
Operationen:
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Spezifikation des Datentyps Stack“ über D
”
2. Mathematisches Modell (Forts.)
Operationen:
empty () := ()
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Spezifikation des Datentyps Stack“ über D
”
2. Mathematisches Modell (Forts.)
Operationen:
empty () := ()
push((a1, . . . , an), x) := (x, a1, . . . , an)
FG KTuEA, TU Ilmenau
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5
Spezifikation des Datentyps Stack“ über D
”
2. Mathematisches Modell (Forts.)
Operationen:
empty () := ()
push((a1, . . . , an), x) := (x, a1, . . . , an)
pop((a1, . . . , an)) :=
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(a2, . . . , an), falls n ≥ 1
undefiniert,
falls n = 0
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Spezifikation des Datentyps Stack“ über D
”
2. Mathematisches Modell (Forts.)
Operationen:
empty () := ()
push((a1, . . . , an), x) := (x, a1, . . . , an)
(a2, . . . , an), falls n ≥ 1
undefiniert,
falls n = 0
a1,
falls n ≥ 1
undefiniert, falls n = 0
pop((a1, . . . , an)) :=
top((a1, . . . , an)) :=
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5
Spezifikation des Datentyps Stack“ über D
”
2. Mathematisches Modell (Forts.)
Operationen:
empty () := ()
push((a1, . . . , an), x) := (x, a1, . . . , an)
pop((a1, . . . , an)) :=
(a2, . . . , an), falls n ≥ 1
undefiniert,
falls n = 0
a1,
top((a1, . . . , an)) :=
undefiniert,
false,
isempty ((a1, . . . , an)) :=
true,
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falls n ≥ 1
falls n = 0
falls n ≥ 1
falls n = 0
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Spezifikation des Datentyps Stack“ über D
”
2. Mathematisches Modell (Forts.)
Operationen:
empty () := ()
push((a1, . . . , an), x) := (x, a1, . . . , an)
pop((a1, . . . , an)) :=
(a2, . . . , an), falls n ≥ 1
undefiniert,
falls n = 0
a1,
top((a1, . . . , an)) :=
undefiniert,
false,
isempty ((a1, . . . , an)) :=
true,
falls n ≥ 1
falls n = 0
falls n ≥ 1
falls n = 0
Operationen werden durch Funktionen modelliert.
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Spezifikation des Datentyps Stack“ über D
”
Alternative: Axiome
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Spezifikation des Datentyps Stack“ über D
”
Alternative: Axiome
(siehe z. B. [Saake/Sattler], Kap. 11)
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6
Spezifikation des Datentyps Stack“ über D
”
Alternative: Axiome
(siehe z. B. [Saake/Sattler], Kap. 11)
Signatur: wie oben.
Axiome:
∀ s: Stacks, ∀ x: Elements
pop(push(s, x)) = s
top(push(s, x)) = x
isempty (empty ()) = true
isempty (push(s, x)) = false
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6
Spezifikation des Datentyps Stack“ über D
”
Alternative: Axiome
(siehe z. B. [Saake/Sattler], Kap. 11)
Signatur: wie oben.
Axiome:
∀ s: Stacks, ∀ x: Elements
pop(push(s, x)) = s
top(push(s, x)) = x
isempty (empty ()) = true
isempty (push(s, x)) = false
Vorteil: Zugänglich für automatisches Beweisen von Eigenschaften der Datenstruktur.
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6
Spezifikation des Datentyps Stack“ über D
”
Alternative: Axiome
(siehe z. B. [Saake/Sattler], Kap. 11)
Signatur: wie oben.
Axiome:
∀ s: Stacks, ∀ x: Elements
pop(push(s, x)) = s
top(push(s, x)) = x
isempty (empty ()) = true
isempty (push(s, x)) = false
Vorteil: Zugänglich für automatisches Beweisen von Eigenschaften der Datenstruktur. – Nachteil: Finden eines geeigneten Axiomensystems evtl. nicht offensichtlich.
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Implementierung von Stacks
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Implementierung von Stacks
Grundsätzlich, in objektorientierter Sprache: als Klasse.
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Implementierung von Stacks
Grundsätzlich, in objektorientierter Sprache: als Klasse.
Kapselung – Information Hiding
Signatur =
b Interface (Java) bzw. h-Datei (C++)
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7
Implementierung von Stacks
Grundsätzlich, in objektorientierter Sprache: als Klasse.
Kapselung – Information Hiding
Signatur =
b Interface (Java) bzw. h-Datei (C++)
Parameter:
Typ elements. Instanzen sind die Elemente der Menge D.
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7
Implementierung von Stacks
Grundsätzlich, in objektorientierter Sprache: als Klasse.
Kapselung – Information Hiding
Signatur =
b Interface (Java) bzw. h-Datei (C++)
Parameter:
Typ elements. Instanzen sind die Elemente der Menge D.
(Mindestens) Zwei strukturell unterschiedliche Möglichkeiten
für interne Realisierung:
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7
Implementierung von Stacks
Grundsätzlich, in objektorientierter Sprache: als Klasse.
Kapselung – Information Hiding
Signatur =
b Interface (Java) bzw. h-Datei (C++)
Parameter:
Typ elements. Instanzen sind die Elemente der Menge D.
(Mindestens) Zwei strukturell unterschiedliche Möglichkeiten
für interne Realisierung:
• verkettete Liste
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Implementierung von Stacks
Grundsätzlich, in objektorientierter Sprache: als Klasse.
Kapselung – Information Hiding
Signatur =
b Interface (Java) bzw. h-Datei (C++)
Parameter:
Typ elements. Instanzen sind die Elemente der Menge D.
(Mindestens) Zwei strukturell unterschiedliche Möglichkeiten
für interne Realisierung:
• verkettete Liste
• Array
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Listenimplementierung von Stacks
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Listenimplementierung von Stacks
(siehe z.B. Saake/Sattler, AuD, Kap. 13.2)
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8
Listenimplementierung von Stacks
(siehe z.B. Saake/Sattler, AuD, Kap. 13.2)
a1
s:
(Das Symbol
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a2
an
steht für den Nullzeiger)
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Listenimplementierung von Stacks
(siehe z.B. Saake/Sattler, AuD, Kap. 13.2)
a1
s:
(Das Symbol
a2
an
steht für den Nullzeiger)
s.empty:
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8
Listenimplementierung von Stacks
(siehe z.B. Saake/Sattler, AuD, Kap. 13.2)
a1
s:
(Das Symbol
a2
an
steht für den Nullzeiger)
s.empty: Erzeuge leere Liste.
s:
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Listenimplementierung von Stacks
(siehe z.B. Saake/Sattler, AuD, Kap. 13.2)
a1
s:
(Das Symbol
a2
an
steht für den Nullzeiger)
s.empty: Erzeuge leere Liste.
s:
s.push(x):
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8
Listenimplementierung von Stacks
(siehe z.B. Saake/Sattler, AuD, Kap. 13.2)
a1
s:
a2
(Das Symbol
an
steht für den Nullzeiger)
s.empty: Erzeuge leere Liste.
s:
s.push(x): Setze neuen Listenknoten mit Eintrag x an den
Anfang der Liste.
s:
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x
a1
a2
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an
8
Listenimplementierung von Stacks
s.pop:
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9
Listenimplementierung von Stacks
s.pop: Entferne ersten Listenknoten (falls vorhanden)
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9
Listenimplementierung von Stacks
s.pop: Entferne ersten Listenknoten (falls vorhanden)
s:
FG KTuEA, TU Ilmenau
a2
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an
9
Listenimplementierung von Stacks
s.pop: Entferne ersten Listenknoten (falls vorhanden)
s:
a2
an
s.top:
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9
Listenimplementierung von Stacks
s.pop: Entferne ersten Listenknoten (falls vorhanden)
s:
a2
an
s.top:
Gib Inhalt des ersten Listenknotens aus (falls
vorhanden)
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9
Listenimplementierung von Stacks
s.pop: Entferne ersten Listenknoten (falls vorhanden)
a2
s:
an
s.top:
Gib Inhalt des ersten Listenknotens aus (falls
vorhanden)
s:
FG KTuEA, TU Ilmenau
a1
a2
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an
9
Listenimplementierung von Stacks
s.isempty:
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Listenimplementierung von Stacks
s.isempty: Falls Liste leer: Ausgabe true, sonst false
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10
Listenimplementierung von Stacks
s.isempty: Falls Liste leer: Ausgabe true, sonst false
s:
FG KTuEA, TU Ilmenau
s:
a1
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10
Listenimplementierung von Stacks
s.isempty: Falls Liste leer: Ausgabe true, sonst false
s:
s:
a1
Einzige Fehlermöglichkeit: Speicherüberlauf bei s.push(x).
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10
Korrektheit der Listenimplementierung
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Korrektheit der Listenimplementierung
Wir betrachten eine Folge
Op0 = empty, Op1, . . . , OpN
von Stackoperationen
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11
Korrektheit der Listenimplementierung
Wir betrachten eine Folge
Op0 = empty, Op1, . . . , OpN
von Stackoperationen, wobei empty nur ganz am Anfang
vorkommen darf.
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11
Korrektheit der Listenimplementierung
Wir betrachten eine Folge
Op0 = empty, Op1, . . . , OpN
von Stackoperationen, wobei empty nur ganz am Anfang
vorkommen darf.
Diese Folge erzeugt im mathematischen Modell eine Folge
(s0, s1, s2, . . . , sN ) von Stacks (Tupeln)
(man wende die Operationen in der vom mathematischen
Modell vorgeschriebenen Weise an)
und eine Folge
(z0, z1, z2, . . . , zN )
von Ausgaben.
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11
Beispiel:
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12
Beispiel:
FG KTuEA, TU Ilmenau
OPi
empty
si
()
zi
–
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12
Beispiel:
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OPi
empty
push(2)
si
()
(2)
zi
–
–
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
12
Beispiel:
FG KTuEA, TU Ilmenau
OPi
empty
push(2)
push(4)
si
()
(2)
(4, 2)
zi
–
–
–
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
12
Beispiel:
FG KTuEA, TU Ilmenau
OPi
empty
push(2)
push(4)
push(7)
si
()
(2)
(4, 2)
(7, 4, 2)
zi
–
–
–
–
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
12
Beispiel:
FG KTuEA, TU Ilmenau
OPi
empty
push(2)
push(4)
push(7)
top
si
()
(2)
(4, 2)
(7, 4, 2)
(7, 4, 2)
zi
–
–
–
–
7
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
12
Beispiel:
FG KTuEA, TU Ilmenau
OPi
empty
push(2)
push(4)
push(7)
top
pop
si
()
(2)
(4, 2)
(7, 4, 2)
(7, 4, 2)
(4, 2)
zi
–
–
–
–
7
–
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
12
Beispiel:
FG KTuEA, TU Ilmenau
OPi
empty
push(2)
push(4)
push(7)
top
pop
push(1)
si
()
(2)
(4, 2)
(7, 4, 2)
(7, 4, 2)
(4, 2)
(1, 4, 2)
zi
–
–
–
–
7
–
–
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
12
Beispiel:
FG KTuEA, TU Ilmenau
OPi
empty
push(2)
push(4)
push(7)
top
pop
push(1)
top
si
()
(2)
(4, 2)
(7, 4, 2)
(7, 4, 2)
(4, 2)
(1, 4, 2)
(1, 4, 2)
zi
–
–
–
–
7
–
–
1
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
12
Beispiel:
FG KTuEA, TU Ilmenau
OPi
empty
push(2)
push(4)
push(7)
top
pop
push(1)
top
isempty
si
()
(2)
(4, 2)
(7, 4, 2)
(7, 4, 2)
(4, 2)
(1, 4, 2)
(1, 4, 2)
(1, 4, 2)
zi
–
–
–
–
7
–
–
1
false
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
12
Beispiel:
FG KTuEA, TU Ilmenau
OPi
empty
push(2)
push(4)
push(7)
top
pop
push(1)
top
isempty
top
si
()
(2)
(4, 2)
(7, 4, 2)
(7, 4, 2)
(4, 2)
(1, 4, 2)
(1, 4, 2)
(1, 4, 2)
(1, 4, 2)
zi
–
–
–
–
7
–
–
1
false
1
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
12
Beispiel:
FG KTuEA, TU Ilmenau
OPi
empty
push(2)
push(4)
push(7)
top
pop
push(1)
top
isempty
top
pop
si
()
(2)
(4, 2)
(7, 4, 2)
(7, 4, 2)
(4, 2)
(1, 4, 2)
(1, 4, 2)
(1, 4, 2)
(1, 4, 2)
(4, 2)
zi
–
–
–
–
7
–
–
1
false
1
–
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
12
Beispiel:
FG KTuEA, TU Ilmenau
OPi
empty
push(2)
push(4)
push(7)
top
pop
push(1)
top
isempty
top
pop
pop
si
()
(2)
(4, 2)
(7, 4, 2)
(7, 4, 2)
(4, 2)
(1, 4, 2)
(1, 4, 2)
(1, 4, 2)
(1, 4, 2)
(4, 2)
(2)
zi
–
–
–
–
7
–
–
1
false
1
–
–
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
12
Beispiel:
FG KTuEA, TU Ilmenau
OPi
empty
push(2)
push(4)
push(7)
top
pop
push(1)
top
isempty
top
pop
pop
pop
si
()
(2)
(4, 2)
(7, 4, 2)
(7, 4, 2)
(4, 2)
(1, 4, 2)
(1, 4, 2)
(1, 4, 2)
(1, 4, 2)
(4, 2)
(2)
()
zi
–
–
–
–
7
–
–
1
false
1
–
–
–
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
12
Beispiel:
FG KTuEA, TU Ilmenau
OPi
empty
push(2)
push(4)
push(7)
top
pop
push(1)
top
isempty
top
pop
pop
pop
isempty
si
()
(2)
(4, 2)
(7, 4, 2)
(7, 4, 2)
(4, 2)
(1, 4, 2)
(1, 4, 2)
(1, 4, 2)
(1, 4, 2)
(4, 2)
(2)
()
()
zi
–
–
–
–
7
–
–
1
false
1
–
–
–
true
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
12
Beispiel:
FG KTuEA, TU Ilmenau
OPi
empty
push(2)
push(4)
push(7)
top
pop
push(1)
top
isempty
top
pop
pop
pop
isempty
pop
si
()
(2)
(4, 2)
(7, 4, 2)
(7, 4, 2)
(4, 2)
(1, 4, 2)
(1, 4, 2)
(1, 4, 2)
(1, 4, 2)
(4, 2)
(2)
()
()
∗
zi
–
–
–
–
7
–
–
1
false
1
–
–
–
true
∗
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
12
Beispiel:
FG KTuEA, TU Ilmenau
OPi
empty
push(2)
push(4)
push(7)
top
pop
push(1)
top
isempty
top
pop
pop
pop
isempty
pop
push(3)
..
si
()
(2)
(4, 2)
(7, 4, 2)
(7, 4, 2)
(4, 2)
(1, 4, 2)
(1, 4, 2)
(1, 4, 2)
(1, 4, 2)
(4, 2)
(2)
()
()
∗
∗
..
zi
–
–
–
–
7
–
–
1
false
1
–
–
–
true
∗
∗
..
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
12
Korrektheit der Listenimplementierung
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
13
Korrektheit der Listenimplementierung
Dabei liefern Op0 = empty (), Opi = push(x) und Opi = pop
die Ausgabe −“.
”
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
13
Korrektheit der Listenimplementierung
Dabei liefern Op0 = empty (), Opi = push(x) und Opi = pop
die Ausgabe −“.
”
Die Operationen Opi = top liefert normalerweise die erste
Komponente von si−1 als Ausgabe.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
13
Korrektheit der Listenimplementierung
Dabei liefern Op0 = empty (), Opi = push(x) und Opi = pop
die Ausgabe −“.
”
Die Operationen Opi = top liefert normalerweise die erste
Komponente von si−1 als Ausgabe.
Fehlerfall: Wenn j minimal ist, so dass Opj = top oder
Opj = pop ist, wobei sj−1 = ()
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
13
Korrektheit der Listenimplementierung
Dabei liefern Op0 = empty (), Opi = push(x) und Opi = pop
die Ausgabe −“.
”
Die Operationen Opi = top liefert normalerweise die erste
Komponente von si−1 als Ausgabe.
Fehlerfall: Wenn j minimal ist, so dass Opj = top oder
Opj = pop ist, wobei sj−1 = (), dann ist sj = · · · = sN = ∗
und zj = · · · = zN = ∗.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
13
Korrektheit der Listenimplementierung
Dabei liefern Op0 = empty (), Opi = push(x) und Opi = pop
die Ausgabe −“.
”
Die Operationen Opi = top liefert normalerweise die erste
Komponente von si−1 als Ausgabe.
Fehlerfall: Wenn j minimal ist, so dass Opj = top oder
Opj = pop ist, wobei sj−1 = (), dann ist sj = · · · = sN = ∗
und zj = · · · = zN = ∗.
Die Operation Opi = isempty liefert true, wenn si−1 = () gilt,
und false, wenn si−1 6= ().
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
13
Satz 2.1.1
Die Listenimplementierung ist korrekt, d. h. sie erzeugt genau
dieselbe Ausgabefolge wie das mathematische Modell,
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
14
Satz 2.1.1
Die Listenimplementierung ist korrekt, d. h. sie erzeugt genau
dieselbe Ausgabefolge wie das mathematische Modell, solange
weder im mathematischen Modell ein Fehler (top oder pop
auf leerem Stack) auftritt
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
14
Satz 2.1.1
Die Listenimplementierung ist korrekt, d. h. sie erzeugt genau
dieselbe Ausgabefolge wie das mathematische Modell, solange
weder im mathematischen Modell ein Fehler (top oder pop
auf leerem Stack) auftritt noch (bei push(x)) in der Implementierung ein Laufzeitfehler Speicherüberlauf“ eintritt.
”
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
14
Satz 2.1.1
Die Listenimplementierung ist korrekt, d. h. sie erzeugt genau
dieselbe Ausgabefolge wie das mathematische Modell, solange
weder im mathematischen Modell ein Fehler (top oder pop
auf leerem Stack) auftritt noch (bei push(x)) in der Implementierung ein Laufzeitfehler Speicherüberlauf“ eintritt.
”
Beweis: Man zeigt per Induktion über i, dass nach Ausführen
der Operation Opi folgende Behauptung (IBi) gilt:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
14
Satz 2.1.1
Die Listenimplementierung ist korrekt, d. h. sie erzeugt genau
dieselbe Ausgabefolge wie das mathematische Modell, solange
weder im mathematischen Modell ein Fehler (top oder pop
auf leerem Stack) auftritt noch (bei push(x)) in der Implementierung ein Laufzeitfehler Speicherüberlauf“ eintritt.
”
Beweis: Man zeigt per Induktion über i, dass nach Ausführen
der Operation Opi folgende Behauptung (IBi) gilt:
Die Einträge in der Liste sind genau die Einträge in si
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
14
Satz 2.1.1
Die Listenimplementierung ist korrekt, d. h. sie erzeugt genau
dieselbe Ausgabefolge wie das mathematische Modell, solange
weder im mathematischen Modell ein Fehler (top oder pop
auf leerem Stack) auftritt noch (bei push(x)) in der Implementierung ein Laufzeitfehler Speicherüberlauf“ eintritt.
”
Beweis: Man zeigt per Induktion über i, dass nach Ausführen
der Operation Opi folgende Behauptung (IBi) gilt:
Die Einträge in der Liste sind genau die Einträge in si, d. h.
die Liste ist eine präzise Darstellung von si,
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
14
Satz 2.1.1
Die Listenimplementierung ist korrekt, d. h. sie erzeugt genau
dieselbe Ausgabefolge wie das mathematische Modell, solange
weder im mathematischen Modell ein Fehler (top oder pop
auf leerem Stack) auftritt noch (bei push(x)) in der Implementierung ein Laufzeitfehler Speicherüberlauf“ eintritt.
”
Beweis: Man zeigt per Induktion über i, dass nach Ausführen
der Operation Opi folgende Behauptung (IBi) gilt:
Die Einträge in der Liste sind genau die Einträge in si, d. h.
die Liste ist eine präzise Darstellung von si,
wenn in Schritten 0, . . . , i kein Fehler aufgetreten ist.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
14
Satz 2.1.1
Die Listenimplementierung ist korrekt, d. h. sie erzeugt genau
dieselbe Ausgabefolge wie das mathematische Modell, solange
weder im mathematischen Modell ein Fehler (top oder pop
auf leerem Stack) auftritt noch (bei push(x)) in der Implementierung ein Laufzeitfehler Speicherüberlauf“ eintritt.
”
Beweis: Man zeigt per Induktion über i, dass nach Ausführen
der Operation Opi folgende Behauptung (IBi) gilt:
Die Einträge in der Liste sind genau die Einträge in si, d. h.
die Liste ist eine präzise Darstellung von si,
wenn in Schritten 0, . . . , i kein Fehler aufgetreten ist.
Daraus folgt unmittelbar, dass die Ausgabe bei der Implementierung mit der im mathematischen Modell übereinstimmt.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
14
Zeitaufwand bei Listenimplementierung
Behauptung: Bei der Listenimplementierung hat jede einzelne
Operation Kosten O(1).
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
15
Zeitaufwand bei Listenimplementierung
Behauptung: Bei der Listenimplementierung hat jede einzelne
Operation Kosten O(1).
Das ist klar.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
15
Zeitaufwand bei Listenimplementierung
Behauptung: Bei der Listenimplementierung hat jede einzelne
Operation Kosten O(1).
Das ist klar.
Kosteneinheit
Listenknotens
FG KTuEA, TU Ilmenau
für
push(x)
allerdings:
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
Allokation
eines
15
Zeitaufwand bei Listenimplementierung
Behauptung: Bei der Listenimplementierung hat jede einzelne
Operation Kosten O(1).
Das ist klar.
Kosteneinheit für push(x) allerdings: Allokation
Listenknotens – Systemaufruf ( malloc“ in C)
”
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
eines
15
Zeitaufwand bei Listenimplementierung
Behauptung: Bei der Listenimplementierung hat jede einzelne
Operation Kosten O(1).
Das ist klar.
Kosteneinheit für push(x) allerdings: Allokation eines
Listenknotens – Systemaufruf ( malloc“ in C) – um einiges
”
teurer als Arrayzugriff.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
15
Zeitaufwand bei Listenimplementierung
Behauptung: Bei der Listenimplementierung hat jede einzelne
Operation Kosten O(1).
Das ist klar.
Kosteneinheit für push(x) allerdings: Allokation eines
Listenknotens – Systemaufruf ( malloc“ in C) – um einiges
”
teurer als Arrayzugriff.
Verbesserungsmöglichkeit: Alloziere ein ganzes Array von Listenknoten.
Führe Verwaltung der benutzten und unbenutzten Listenknoten in diesem
Array als Teil der Stack-Datenstruktur durch.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
15
Zeitaufwand bei Listenimplementierung
Behauptung: Bei der Listenimplementierung hat jede einzelne
Operation Kosten O(1).
Das ist klar.
Kosteneinheit für push(x) allerdings: Allokation eines
Listenknotens – Systemaufruf ( malloc“ in C) – um einiges
”
teurer als Arrayzugriff.
Verbesserungsmöglichkeit: Alloziere ein ganzes Array von Listenknoten.
Führe Verwaltung der benutzten und unbenutzten Listenknoten in diesem
Array als Teil der Stack-Datenstruktur durch.
→ O(1) Zeit pro Stackoperation, solange Array nicht überläuft.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
15
Arrayimplementierung von Stacks
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
16
Arrayimplementierung von Stacks
(Vgl. [Saake/Sattler], Kap. 13.1) Das Stackobjekt heißt s;
es hat als Komponenten einen Zeiger/eine Referenz auf ein
Array A[1..m] und eine Integervariable p ( Pegel“).
”
s: p: n
1 2
A: a n
FG KTuEA, TU Ilmenau
n
a 2 a1 *
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
m
* * *
16
Arrayimplementierung von Stacks
(Vgl. [Saake/Sattler], Kap. 13.1) Das Stackobjekt heißt s;
es hat als Komponenten einen Zeiger/eine Referenz auf ein
Array A[1..m] und eine Integervariable p ( Pegel“).
”
s: p: n
1 2
A: a n
n
a 2 a1 *
m
* * *
Achtung: In A[1] steht an, . . . , in A[n] steht (der oberste
Stackeintrag) a1.
∗“ steht für einen beliebigen Eintrag.
”
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
16
Arrayimplementierung von Stacks
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
17
Arrayimplementierung von Stacks
s.empty: wird durch Konstruktor realisiert; Option: m als Parameter
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
17
Arrayimplementierung von Stacks
s.empty: wird durch Konstruktor realisiert; Option: m als Parameter
Erzeuge neues Objekt s mit A[1..m] of elements und p: int ;
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
17
Arrayimplementierung von Stacks
s.empty: wird durch Konstruktor realisiert; Option: m als Parameter
Erzeuge neues Objekt s mit A[1..m] of elements und p: int ;
p ← 0;
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
17
Arrayimplementierung von Stacks
s.empty: wird durch Konstruktor realisiert; Option: m als Parameter
Erzeuge neues Objekt s mit A[1..m] of elements und p: int ;
p ← 0;
s.push(x):
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
17
Arrayimplementierung von Stacks
s.empty: wird durch Konstruktor realisiert; Option: m als Parameter
Erzeuge neues Objekt s mit A[1..m] of elements und p: int ;
p ← 0;
s.push(x):
if p = A.length then Fehler“ (z.B. OverflowException)
”
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
17
Arrayimplementierung von Stacks
s.empty: wird durch Konstruktor realisiert; Option: m als Parameter
Erzeuge neues Objekt s mit A[1..m] of elements und p: int ;
p ← 0;
s.push(x):
if p = A.length then Fehler“ (z.B. OverflowException)
”
else p ← p+1; A[p] ← x;
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
17
Arrayimplementierung von Stacks
s.empty: wird durch Konstruktor realisiert; Option: m als Parameter
Erzeuge neues Objekt s mit A[1..m] of elements und p: int ;
p ← 0;
s.push(x):
if p = A.length then Fehler“ (z.B. OverflowException)
”
else p ← p+1; A[p] ← x;
s.pop:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
17
Arrayimplementierung von Stacks
s.empty: wird durch Konstruktor realisiert; Option: m als Parameter
Erzeuge neues Objekt s mit A[1..m] of elements und p: int ;
p ← 0;
s.push(x):
if p = A.length then Fehler“ (z.B. OverflowException)
”
else p ← p+1; A[p] ← x;
s.pop:
if p = 0 then Fehler“ (z.B. StackemptyException)
”
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
17
Arrayimplementierung von Stacks
s.empty: wird durch Konstruktor realisiert; Option: m als Parameter
Erzeuge neues Objekt s mit A[1..m] of elements und p: int ;
p ← 0;
s.push(x):
if p = A.length then Fehler“ (z.B. OverflowException)
”
else p ← p+1; A[p] ← x;
s.pop:
if p = 0 then Fehler“ (z.B. StackemptyException)
”
else p ← p-1;
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
17
Arrayimplementierung von Stacks
s.empty: wird durch Konstruktor realisiert; Option: m als Parameter
Erzeuge neues Objekt s mit A[1..m] of elements und p: int ;
p ← 0;
s.push(x):
if p = A.length then Fehler“ (z.B. OverflowException)
”
else p ← p+1; A[p] ← x;
s.pop:
if p = 0 then Fehler“ (z.B. StackemptyException)
”
else p ← p-1;
s.top:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
17
Arrayimplementierung von Stacks
s.empty: wird durch Konstruktor realisiert; Option: m als Parameter
Erzeuge neues Objekt s mit A[1..m] of elements und p: int ;
p ← 0;
s.push(x):
if p = A.length then Fehler“ (z.B. OverflowException)
”
else p ← p+1; A[p] ← x;
s.pop:
if p = 0 then Fehler“ (z.B. StackemptyException)
”
else p ← p-1;
s.top:
if p = 0 then Fehler“ (z.B. StackemptyException)
”
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
17
Arrayimplementierung von Stacks
s.empty: wird durch Konstruktor realisiert; Option: m als Parameter
Erzeuge neues Objekt s mit A[1..m] of elements und p: int ;
p ← 0;
s.push(x):
if p = A.length then Fehler“ (z.B. OverflowException)
”
else p ← p+1; A[p] ← x;
s.pop:
if p = 0 then Fehler“ (z.B. StackemptyException)
”
else p ← p-1;
s.top:
if p = 0 then Fehler“ (z.B. StackemptyException)
”
else return A[p];
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
17
Arrayimplementierung von Stacks
s.empty: wird durch Konstruktor realisiert; Option: m als Parameter
Erzeuge neues Objekt s mit A[1..m] of elements und p: int ;
p ← 0;
s.push(x):
if p = A.length then Fehler“ (z.B. OverflowException)
”
else p ← p+1; A[p] ← x;
s.pop:
if p = 0 then Fehler“ (z.B. StackemptyException)
”
else p ← p-1;
s.top:
if p = 0 then Fehler“ (z.B. StackemptyException)
”
else return A[p];
s.isempty:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
17
Arrayimplementierung von Stacks
s.empty: wird durch Konstruktor realisiert; Option: m als Parameter
Erzeuge neues Objekt s mit A[1..m] of elements und p: int ;
p ← 0;
s.push(x):
if p = A.length then Fehler“ (z.B. OverflowException)
”
else p ← p+1; A[p] ← x;
s.pop:
if p = 0 then Fehler“ (z.B. StackemptyException)
”
else p ← p-1;
s.top:
if p = 0 then Fehler“ (z.B. StackemptyException)
”
else return A[p];
s.isempty:
if p = 0 then return true“
”
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
17
Arrayimplementierung von Stacks
s.empty: wird durch Konstruktor realisiert; Option: m als Parameter
Erzeuge neues Objekt s mit A[1..m] of elements und p: int ;
p ← 0;
s.push(x):
if p = A.length then Fehler“ (z.B. OverflowException)
”
else p ← p+1; A[p] ← x;
s.pop:
if p = 0 then Fehler“ (z.B. StackemptyException)
”
else p ← p-1;
s.top:
if p = 0 then Fehler“ (z.B. StackemptyException)
”
else return A[p];
s.isempty:
if p = 0 then return true“ else return false“;
”
”
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
17
Korrektheit der Arrayimplementierung
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
18
Korrektheit der Arrayimplementierung
Wie vorher: Gegeben ist eine Folge
Op0 = empty, Op1, . . . , OpN
von Stackoperationen
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
18
Korrektheit der Arrayimplementierung
Wie vorher: Gegeben ist eine Folge
Op0 = empty, Op1, . . . , OpN
von Stackoperationen
(wobei empty nur ganz am Anfang vorkommen darf),
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
18
Korrektheit der Arrayimplementierung
Wie vorher: Gegeben ist eine Folge
Op0 = empty, Op1, . . . , OpN
von Stackoperationen
(wobei empty nur ganz am Anfang vorkommen darf),
die im mathematischen Modell eine Folge (s0, s1, s2, . . . , sN )
von Stacks (Tupeln) und eine Folge
(z0, z1, z2, . . . , zN )
von Ausgaben erzeugt.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
18
Satz 2.1.2
Die Arrayimplementierung ist korrekt, d. h. sie erzeugt genau
dieselbe Ausgabefolge wie das mathematische Modell,
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
19
Satz 2.1.2
Die Arrayimplementierung ist korrekt, d. h. sie erzeugt genau
dieselbe Ausgabefolge wie das mathematische Modell, solange
weder im mathematischen Modell ein Fehler (top oder pop
auf leerem Stack) auftritt
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
19
Satz 2.1.2
Die Arrayimplementierung ist korrekt, d. h. sie erzeugt genau
dieselbe Ausgabefolge wie das mathematische Modell, solange
weder im mathematischen Modell ein Fehler (top oder pop
auf leerem Stack) auftritt noch die Höhe des Stacks si die
Arraygröße m überschreitet.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
19
Satz 2.1.2
Die Arrayimplementierung ist korrekt, d. h. sie erzeugt genau
dieselbe Ausgabefolge wie das mathematische Modell, solange
weder im mathematischen Modell ein Fehler (top oder pop
auf leerem Stack) auftritt noch die Höhe des Stacks si die
Arraygröße m überschreitet.
Beweis: Man beweist durch Induktion über i = 0, 1, . . . , N ,
dass nach Ausführen der Operation Opi folgende Invariante
gilt (falls keiner der genannten Fehler aufgetreten ist):
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
19
Satz 2.1.2
Die Arrayimplementierung ist korrekt, d. h. sie erzeugt genau
dieselbe Ausgabefolge wie das mathematische Modell, solange
weder im mathematischen Modell ein Fehler (top oder pop
auf leerem Stack) auftritt noch die Höhe des Stacks si die
Arraygröße m überschreitet.
Beweis: Man beweist durch Induktion über i = 0, 1, . . . , N ,
dass nach Ausführen der Operation Opi folgende Invariante
gilt (falls keiner der genannten Fehler aufgetreten ist):
• p enthält die Länge ni von si
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
19
Satz 2.1.2
Die Arrayimplementierung ist korrekt, d. h. sie erzeugt genau
dieselbe Ausgabefolge wie das mathematische Modell, solange
weder im mathematischen Modell ein Fehler (top oder pop
auf leerem Stack) auftritt noch die Höhe des Stacks si die
Arraygröße m überschreitet.
Beweis: Man beweist durch Induktion über i = 0, 1, . . . , N ,
dass nach Ausführen der Operation Opi folgende Invariante
gilt (falls keiner der genannten Fehler aufgetreten ist):
• p enthält die Länge ni von si und
• si = (A[ni], . . . , A[1])
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
19
Satz 2.1.2
Die Arrayimplementierung ist korrekt, d. h. sie erzeugt genau
dieselbe Ausgabefolge wie das mathematische Modell, solange
weder im mathematischen Modell ein Fehler (top oder pop
auf leerem Stack) auftritt noch die Höhe des Stacks si die
Arraygröße m überschreitet.
Beweis: Man beweist durch Induktion über i = 0, 1, . . . , N ,
dass nach Ausführen der Operation Opi folgende Invariante
gilt (falls keiner der genannten Fehler aufgetreten ist):
• p enthält die Länge ni von si und
• si = (A[ni], . . . , A[1])
D. h.: Der Teil A[1..ni] des Arrays stellt genau si dar
(in umgekehrter Reihenfolge).
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
19
Beachte: Der Teil A[ni + 1..m] des Arrays kann völlig
beliebige Einträge enthalten.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
20
Beachte: Der Teil A[ni + 1..m] des Arrays kann völlig
beliebige Einträge enthalten.
D.h.: Ein und derselbe Stack s im Sinn des mathematischen
Modells kann durch verschieden beschriftete Arrays A[1..m]
dargestellt werden, je nach der Geschichte“ des Stacks.
”
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
20
Beachte: Der Teil A[ni + 1..m] des Arrays kann völlig
beliebige Einträge enthalten.
D.h.: Ein und derselbe Stack s im Sinn des mathematischen
Modells kann durch verschieden beschriftete Arrays A[1..m]
dargestellt werden, je nach der Geschichte“ des Stacks.
”
I.A.: i = 0.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
20
Beachte: Der Teil A[ni + 1..m] des Arrays kann völlig
beliebige Einträge enthalten.
D.h.: Ein und derselbe Stack s im Sinn des mathematischen
Modells kann durch verschieden beschriftete Arrays A[1..m]
dargestellt werden, je nach der Geschichte“ des Stacks.
”
I.A.: i = 0. Anfänglich hat p den Inhalt n0 = 0.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
20
Beachte: Der Teil A[ni + 1..m] des Arrays kann völlig
beliebige Einträge enthalten.
D.h.: Ein und derselbe Stack s im Sinn des mathematischen
Modells kann durch verschieden beschriftete Arrays A[1..m]
dargestellt werden, je nach der Geschichte“ des Stacks.
”
I.A.: i = 0. Anfänglich hat p den Inhalt n0 = 0.
⇒ (A[ni], . . . , A[1]) ist die leere Folge (), also gleich s0,
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
20
Beachte: Der Teil A[ni + 1..m] des Arrays kann völlig
beliebige Einträge enthalten.
D.h.: Ein und derselbe Stack s im Sinn des mathematischen
Modells kann durch verschieden beschriftete Arrays A[1..m]
dargestellt werden, je nach der Geschichte“ des Stacks.
”
I.A.: i = 0. Anfänglich hat p den Inhalt n0 = 0.
⇒ (A[ni], . . . , A[1]) ist die leere Folge (), also gleich s0,
gleichgültig welchen Inhalt A[1..m] hat.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
20
Beachte: Der Teil A[ni + 1..m] des Arrays kann völlig
beliebige Einträge enthalten.
D.h.: Ein und derselbe Stack s im Sinn des mathematischen
Modells kann durch verschieden beschriftete Arrays A[1..m]
dargestellt werden, je nach der Geschichte“ des Stacks.
”
I.A.: i = 0. Anfänglich hat p den Inhalt n0 = 0.
⇒ (A[ni], . . . , A[1]) ist die leere Folge (), also gleich s0,
gleichgültig welchen Inhalt A[1..m] hat.
I.V.: i > 0, und die Behauptung gilt für i − 1.
FG KTuEA, TU Ilmenau
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20
I.S.: Es gibt verschiedene Fälle.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
21
I.S.: Es gibt verschiedene Fälle.
Fall 0: si−1 = ∗ oder in Schritten 1, . . . , i − 1 ist ein
Arrayüberlauf aufgetreten.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
21
I.S.: Es gibt verschiedene Fälle.
Fall 0: si−1 = ∗ oder in Schritten 1, . . . , i − 1 ist ein
Arrayüberlauf aufgetreten. Dann ist nichts zu zeigen.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
21
I.S.: Es gibt verschiedene Fälle.
Fall 0: si−1 = ∗ oder in Schritten 1, . . . , i − 1 ist ein
Arrayüberlauf aufgetreten. Dann ist nichts zu zeigen.
Ab hier ist nach I.V. si−1 = (a1, . . . , ani−1 ), p hat den Inhalt
ni−1 und si−1 = (A[ni−1], . . . , A[1]).
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
21
I.S.: Es gibt verschiedene Fälle.
Fall 0: si−1 = ∗ oder in Schritten 1, . . . , i − 1 ist ein
Arrayüberlauf aufgetreten. Dann ist nichts zu zeigen.
Ab hier ist nach I.V. si−1 = (a1, . . . , ani−1 ), p hat den Inhalt
ni−1 und si−1 = (A[ni−1], . . . , A[1]).
Fall 1: Opi = s.push(x). – Dann ist si = (x, a1, . . . , ani−1 ).
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
21
I.S.: Es gibt verschiedene Fälle.
Fall 0: si−1 = ∗ oder in Schritten 1, . . . , i − 1 ist ein
Arrayüberlauf aufgetreten. Dann ist nichts zu zeigen.
Ab hier ist nach I.V. si−1 = (a1, . . . , ani−1 ), p hat den Inhalt
ni−1 und si−1 = (A[ni−1], . . . , A[1]).
Fall 1: Opi = s.push(x). – Dann ist si = (x, a1, . . . , ani−1 ).
Wenn ni−1 < m ist, wird von der Prozedur s.push(x) das
Objekt x an die Stelle A[ni−1 + 1] gesetzt und p auf den Wert
ni−1 + 1 = ni erhöht. Daraus folgt die Induktionsbehauptung.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
21
I.S.: Es gibt verschiedene Fälle.
Fall 0: si−1 = ∗ oder in Schritten 1, . . . , i − 1 ist ein
Arrayüberlauf aufgetreten. Dann ist nichts zu zeigen.
Ab hier ist nach I.V. si−1 = (a1, . . . , ani−1 ), p hat den Inhalt
ni−1 und si−1 = (A[ni−1], . . . , A[1]).
Fall 1: Opi = s.push(x). – Dann ist si = (x, a1, . . . , ani−1 ).
Wenn ni−1 < m ist, wird von der Prozedur s.push(x) das
Objekt x an die Stelle A[ni−1 + 1] gesetzt und p auf den Wert
ni−1 + 1 = ni erhöht. Daraus folgt die Induktionsbehauptung.
Wenn ni−1 = m ist, tritt in der Implementierung ein Fehler
ein, und die Behauptung ist trivialerweise erfüllt.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
21
Fall 2: Opi = s.top(). – Dann ist si = (a1, . . . , ani−1 ).
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
22
Fall 2: Opi = s.top(). – Dann ist si = (a1, . . . , ani−1 ).
Wenn ni−1 > 0 ist, wird a1 ausgegeben, und das ist auch
im mathematischen Modell das Resultat für diesen Schritt.
Wenn ni−1 = 0, erzeugt die top-Operation im mathematischen
Modell einen Fehler, und es ist nichts mehr zu zeigen.
Daraus folgt die Induktionsbehauptung für Schritt i.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
22
Fall 2: Opi = s.top(). – Dann ist si = (a1, . . . , ani−1 ).
Wenn ni−1 > 0 ist, wird a1 ausgegeben, und das ist auch
im mathematischen Modell das Resultat für diesen Schritt.
Wenn ni−1 = 0, erzeugt die top-Operation im mathematischen
Modell einen Fehler, und es ist nichts mehr zu zeigen.
Daraus folgt die Induktionsbehauptung für Schritt i.
Die anderen Fälle, entsprechend den anderen Operationen,
behandelt man analog.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
22
Fall 2: Opi = s.top(). – Dann ist si = (a1, . . . , ani−1 ).
Wenn ni−1 > 0 ist, wird a1 ausgegeben, und das ist auch
im mathematischen Modell das Resultat für diesen Schritt.
Wenn ni−1 = 0, erzeugt die top-Operation im mathematischen
Modell einen Fehler, und es ist nichts mehr zu zeigen.
Daraus folgt die Induktionsbehauptung für Schritt i.
Die anderen Fälle, entsprechend den anderen Operationen,
behandelt man analog.
Solche Beweise sind etwas mühselig und wenig spannend. Sie
werden nicht oft aufgeschrieben.
Korrektheitsbeweise auf der Basis eines Axiomensystems sind
oft eleganter.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
22
Zeitaufwand der Arrayimplementierung
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
23
Zeitaufwand der Arrayimplementierung
Satz 2.1.3
Bei der Arrayimplementierung hat jede einzelne Operation
Kosten O(1).
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
23
Zeitaufwand der Arrayimplementierung
Satz 2.1.3
Bei der Arrayimplementierung hat jede einzelne Operation
Kosten O(1).
Das sieht man durch Betrachtung der einzelnen Operationen.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
23
Zeitaufwand der Arrayimplementierung
Satz 2.1.3
Bei der Arrayimplementierung hat jede einzelne Operation
Kosten O(1).
Das sieht man durch Betrachtung der einzelnen Operationen.
Bei der Initialisierung empty() (Konstruktoraufruf) darf das
Array nur alloziert, nicht initialisiert werden.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
23
Zeitaufwand der Arrayimplementierung
Satz 2.1.3
Bei der Arrayimplementierung hat jede einzelne Operation
Kosten O(1).
Das sieht man durch Betrachtung der einzelnen Operationen.
Bei der Initialisierung empty() (Konstruktoraufruf) darf das
Array nur alloziert, nicht initialisiert werden.
Man beobachte, dass hierdurch die Korrektheit nicht beeinträchtigt wird.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
23
Zeitaufwand der Arrayimplementierung
Satz 2.1.3
Bei der Arrayimplementierung hat jede einzelne Operation
Kosten O(1).
Das sieht man durch Betrachtung der einzelnen Operationen.
Bei der Initialisierung empty() (Konstruktoraufruf) darf das
Array nur alloziert, nicht initialisiert werden.
Man beobachte, dass hierdurch die Korrektheit nicht beeinträchtigt wird.
(Wenn man das Array initialisiert: Kosten Θ(m).)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
23
Arrayimplementierung ohne Platzprobleme?
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
24
Arrayimplementierung ohne Platzprobleme?
Verdoppelungsstrategie
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
24
Arrayimplementierung ohne Platzprobleme?
Verdoppelungsstrategie
Vorher:
s:
p: m
1 2
A: a n
n=m
a 2 a1
Nachher:
s: p:
m +1
1 2
A: a n
FG KTuEA, TU Ilmenau
m
a 2 a1 x *
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
2m
*
24
Arrayimplementierung ohne Platzprobleme?
Verdoppelungsstrategie
In push(x): Bei Überlaufen des Arrays A nicht einen Laufzeitfehler (oder eine exception) generieren,
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
25
Arrayimplementierung ohne Platzprobleme?
Verdoppelungsstrategie
In push(x): Bei Überlaufen des Arrays A nicht einen Laufzeitfehler (oder eine exception) generieren,
sondern ein neues, doppelt so großes Array AA allozieren.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
25
Arrayimplementierung ohne Platzprobleme?
Verdoppelungsstrategie
In push(x): Bei Überlaufen des Arrays A nicht einen Laufzeitfehler (oder eine exception) generieren,
sondern ein neues, doppelt so großes Array AA allozieren.
Einträge aus A nach AA kopieren.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
25
Arrayimplementierung ohne Platzprobleme?
Verdoppelungsstrategie
In push(x): Bei Überlaufen des Arrays A nicht einen Laufzeitfehler (oder eine exception) generieren,
sondern ein neues, doppelt so großes Array AA allozieren.
Einträge aus A nach AA kopieren.
AA in A umbenennen/Referenz umsetzen.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
25
Arrayimplementierung ohne Platzprobleme?
Verdoppelungsstrategie
In push(x): Bei Überlaufen des Arrays A nicht einen Laufzeitfehler (oder eine exception) generieren,
sondern ein neues, doppelt so großes Array AA allozieren.
Einträge aus A nach AA kopieren.
AA in A umbenennen/Referenz umsetzen.
(altes Array freigeben).
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
25
Arrayimplementierung ohne Platzprobleme?
Verdoppelungsstrategie
In push(x): Bei Überlaufen des Arrays A nicht einen Laufzeitfehler (oder eine exception) generieren,
sondern ein neues, doppelt so großes Array AA allozieren.
Einträge aus A nach AA kopieren.
AA in A umbenennen/Referenz umsetzen.
(altes Array freigeben).
Kosten: Θ(m), wo m = aktuelle Zahl der Einträge.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
25
Kostenanalyse bei Verdoppelungsstrategie:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
26
Kostenanalyse bei Verdoppelungsstrategie:
Operationenfolge Op0 = empty, Op1, . . . , OpN
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
26
Kostenanalyse bei Verdoppelungsstrategie:
Operationenfolge Op0 = empty, Op1, . . . , OpN
Arraygröße am Anfang: m0.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
26
Kostenanalyse bei Verdoppelungsstrategie:
Operationenfolge Op0 = empty, Op1, . . . , OpN
Arraygröße am Anfang: m0.
Jede Operation hat Kosten O(1), außer
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
26
Kostenanalyse bei Verdoppelungsstrategie:
Operationenfolge Op0 = empty, Op1, . . . , OpN
Arraygröße am Anfang: m0.
Jede Operation hat Kosten O(1), außer
wenn die Arraygröße von m0 · 2i−1 auf m0 · 2i wächst.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
26
Kostenanalyse bei Verdoppelungsstrategie:
Operationenfolge Op0 = empty, Op1, . . . , OpN
Arraygröße am Anfang: m0.
Jede Operation hat Kosten O(1), außer
wenn die Arraygröße von m0 · 2i−1 auf m0 · 2i wächst.
Hier entstehen Kosten Θ(m0 · 2i−1).
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
26
k := Anzahl der push-Operationen in Op1, . . . , OpN
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
27
k := Anzahl der push-Operationen in Op1, . . . , OpN
⇒ Zahl der Einträge immer ≤ k,
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
27
k := Anzahl der push-Operationen in Op1, . . . , OpN
⇒ Zahl der Einträge immer ≤ k,
also bei Verdopplung m0 · 2i−1
FG KTuEA, TU Ilmenau
m0 · 2i:
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
27
k := Anzahl der push-Operationen in Op1, . . . , OpN
⇒ Zahl der Einträge immer ≤ k,
also bei Verdopplung m0 · 2i−1
m0 · 2i:
m0 · 2i−1 < k.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
27
k := Anzahl der push-Operationen in Op1, . . . , OpN
⇒ Zahl der Einträge immer ≤ k,
also bei Verdopplung m0 · 2i−1
m0 · 2i:
m0 · 2i−1 < k.
Sei L maximal mit m0 · 2L−1 < k.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
27
k := Anzahl der push-Operationen in Op1, . . . , OpN
⇒ Zahl der Einträge immer ≤ k,
also bei Verdopplung m0 · 2i−1
m0 · 2i:
m0 · 2i−1 < k.
Sei L maximal mit m0 · 2L−1 < k.
Gesamtkosten für die Verdopplungen also:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
27
k := Anzahl der push-Operationen in Op1, . . . , OpN
⇒ Zahl der Einträge immer ≤ k,
also bei Verdopplung m0 · 2i−1
m0 · 2i:
m0 · 2i−1 < k.
Sei L maximal mit m0 · 2L−1 < k.
Gesamtkosten für die Verdopplungen also:
X
O(m0 · 2i−1)
1≤i≤L
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
27
k := Anzahl der push-Operationen in Op1, . . . , OpN
⇒ Zahl der Einträge immer ≤ k,
also bei Verdopplung m0 · 2i−1
m0 · 2i:
m0 · 2i−1 < k.
Sei L maximal mit m0 · 2L−1 < k.
Gesamtkosten für die Verdopplungen also:
X
O(m0 · 2i−1)
1≤i≤L
2
= O m0 · (1 + 2 + 2 + · · · + 2
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
L−1
)
27
k := Anzahl der push-Operationen in Op1, . . . , OpN
⇒ Zahl der Einträge immer ≤ k,
also bei Verdopplung m0 · 2i−1
m0 · 2i:
m0 · 2i−1 < k.
Sei L maximal mit m0 · 2L−1 < k.
Gesamtkosten für die Verdopplungen also:
X
O(m0 · 2i−1)
1≤i≤L
2
= O m0 · (1 + 2 + 2 + · · · + 2
L
= O m0 · 2
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
L−1
)
27
k := Anzahl der push-Operationen in Op1, . . . , OpN
⇒ Zahl der Einträge immer ≤ k,
also bei Verdopplung m0 · 2i−1
m0 · 2i:
m0 · 2i−1 < k.
Sei L maximal mit m0 · 2L−1 < k.
Gesamtkosten für die Verdopplungen also:
X
O(m0 · 2i−1)
1≤i≤L
2
= O m0 · (1 + 2 + 2 + · · · + 2
L
= O m0 · 2 = O(k).
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
L−1
)
27
k := Anzahl der push-Operationen in Op1, . . . , OpN
⇒ Zahl der Einträge immer ≤ k,
also bei Verdopplung m0 · 2i−1
m0 · 2i:
m0 · 2i−1 < k.
Sei L maximal mit m0 · 2L−1 < k.
Gesamtkosten für die Verdopplungen also:
X
O(m0 · 2i−1)
1≤i≤L
2
= O m0 · (1 + 2 + 2 + · · · + 2
L
= O m0 · 2 = O(k).
L−1
)
Gesamtkosten: N · Θ(1) + O(k) = Θ(N ).
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
27
Satz 2.1.4
Wenn ein Stack mit Arrays und der Verdoppelungsstrategie implementiert wird, betragen die Gesamtkosten für N
Operationen O(N ).
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
28
Satz 2.1.4
Wenn ein Stack mit Arrays und der Verdoppelungsstrategie implementiert wird, betragen die Gesamtkosten für N
Operationen O(N ).
Bemerkung: Bei der Verdoppelungsstrategie gilt weiter:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
28
Satz 2.1.4
Wenn ein Stack mit Arrays und der Verdoppelungsstrategie implementiert wird, betragen die Gesamtkosten für N
Operationen O(N ).
Bemerkung: Bei der Verdoppelungsstrategie gilt weiter:
Der gesamte Platzbedarf ist O(k), wenn k die maximale je
erreichte Stackhöhe ist.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
28
Satz 2.1.4
Wenn ein Stack mit Arrays und der Verdoppelungsstrategie implementiert wird, betragen die Gesamtkosten für N
Operationen O(N ).
Bemerkung: Bei der Verdoppelungsstrategie gilt weiter:
Der gesamte Platzbedarf ist O(k), wenn k die maximale je
erreichte Stackhöhe ist.
Selbst wenn der Speicher nie bereinigt wird (kleinere, jetzt
unbenutzte Arrays nicht freigegeben werden), tritt ein Speicherüberlauf erst ein, wenn die Zahl der Stackeinträge zu
einem bestimmten Zeitpunkt mehr Speicher beansprucht als 14
des gesamten zur Verfügung stehenden Speichers.
(Beweis: Übung.)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
28
Vergleich Listen-/Arrayimplementierung:
Arrayimplementierung
• O(1) Kosten pro Operation, amortisiert“ (im Durch”
schnitt über alle Operationen),
• Sequentieller,
indexbasierter
(cachefreundlich),
FG KTuEA, TU Ilmenau
Zugriff
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
im
Speicher
29
Vergleich Listen-/Arrayimplementierung:
Arrayimplementierung
• O(1) Kosten pro Operation, amortisiert“ (im Durch”
schnitt über alle Operationen),
• Sequentieller,
indexbasierter
(cachefreundlich),
Zugriff
im
Speicher
• Höchstens 50% des allozierten Speicherplatzes ungenutzt.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
29
Vergleich Listen-/Arrayimplementierung:
Arrayimplementierung
• O(1) Kosten pro Operation, amortisiert“ (im Durch”
schnitt über alle Operationen),
• Sequentieller,
indexbasierter
(cachefreundlich),
Zugriff
im
Speicher
• Höchstens 50% des allozierten Speicherplatzes ungenutzt.
Listenimplementierung
• O(1) Kosten pro Operation im schlechtesten Fall
(jedoch: Allokationskosten bei push-Operationen),
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
29
Vergleich Listen-/Arrayimplementierung:
Arrayimplementierung
• O(1) Kosten pro Operation, amortisiert“ (im Durch”
schnitt über alle Operationen),
• Sequentieller,
indexbasierter
(cachefreundlich),
Zugriff
im
Speicher
• Höchstens 50% des allozierten Speicherplatzes ungenutzt.
Listenimplementierung
• O(1) Kosten pro Operation im schlechtesten Fall
(jedoch: Allokationskosten bei push-Operationen),
• Zusätzlicher Platz für Zeiger benötigt.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
29
Datentyp
Indizierte Folgen
Stacks +
wahlfreier Zugriff“.
”
Grunddatentyp: Nat – durch die natürlichen Zahlen N =
{0, 1, 2, . . .} interpretiert.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
30
Datentyp
Indizierte Folgen
Stacks +
wahlfreier Zugriff“.
”
Grunddatentyp: Nat – durch die natürlichen Zahlen N =
{0, 1, 2, . . .} interpretiert.
A:
FG KTuEA, TU Ilmenau
1
e
2 3 4
h x a
5 6
c f
7
u
8
z
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
9 10
l q
30
Datentyp
Indizierte Folgen
Stacks +
wahlfreier Zugriff“.
”
Grunddatentyp: Nat – durch die natürlichen Zahlen N =
{0, 1, 2, . . .} interpretiert.
A:
1
e
2 3 4
h x a
5 6
c f
7
u
8
z
9 10
l q
Operationen, skizziert:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
30
Datentyp
Indizierte Folgen
Stacks +
wahlfreier Zugriff“.
”
Grunddatentyp: Nat – durch die natürlichen Zahlen N =
{0, 1, 2, . . .} interpretiert.
A:
1
e
2 3 4
h x a
5 6
c f
7
u
8
z
9 10
l q
Operationen, skizziert:
read(A, i): liefert Eintrag A[i] an Position i, falls definiert.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
30
Datentyp
Indizierte Folgen
Stacks +
wahlfreier Zugriff“.
”
Grunddatentyp: Nat – durch die natürlichen Zahlen N =
{0, 1, 2, . . .} interpretiert.
A:
1
e
2 3 4
h x a
5 6
c f
7
u
8
z
9 10
l q
Operationen, skizziert:
read(A, i): liefert Eintrag A[i] an Position i, falls definiert.
write(A, i, x): ersetzt Eintrag A[i] an Position i durch x, falls definiert.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
30
Datentyp
Indizierte Folgen
Stacks +
wahlfreier Zugriff“.
”
Grunddatentyp: Nat – durch die natürlichen Zahlen N =
{0, 1, 2, . . .} interpretiert.
A:
1
e
2 3 4
h x a
5 6
c f
7
u
8
z
9 10
l q
Operationen, skizziert:
read(A, i): liefert Eintrag A[i] an Position i, falls definiert.
write(A, i, x): ersetzt Eintrag A[i] an Position i durch x, falls definiert.
length(A): liefert aktuelle Länge.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
30
Datentyp
Indizierte Folgen
Stacks +
wahlfreier Zugriff“.
”
Grunddatentyp: Nat – durch die natürlichen Zahlen N =
{0, 1, 2, . . .} interpretiert.
A:
1
e
2 3 4
h x a
5 6
c f
7
u
8
z
9 10
l q
Operationen, skizziert:
read(A, i): liefert Eintrag A[i] an Position i, falls definiert.
write(A, i, x): ersetzt Eintrag A[i] an Position i durch x, falls definiert.
length(A): liefert aktuelle Länge.
addLast(A, x): verlängert Folge, schreibt x an letzte Stelle.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
30
Datentyp
Indizierte Folgen
Stacks +
wahlfreier Zugriff“.
”
Grunddatentyp: Nat – durch die natürlichen Zahlen N =
{0, 1, 2, . . .} interpretiert.
A:
1
e
2 3 4
h x a
5 6
c f
7
u
8
z
9 10
l q
Operationen, skizziert:
read(A, i): liefert Eintrag A[i] an Position i, falls definiert.
write(A, i, x): ersetzt Eintrag A[i] an Position i durch x, falls definiert.
length(A): liefert aktuelle Länge.
addLast(A, x): verlängert Folge, schreibt x an letzte Stelle.
removeLast(A): verkürzt Folge.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
30
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays
1. Signatur:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
31
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays
1. Signatur:
Sorten:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
31
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays
1. Signatur:
Sorten:
Elements
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
31
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Arrays
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
31
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Arrays
Nat
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
31
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Arrays
Nat
Operationen:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
31
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Arrays
Nat
Operationen: empty : → Arrays
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
31
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Arrays
Nat
Operationen: empty : → Arrays
addLast: Arrays × Elements → Arrays
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
31
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Arrays
Nat
Operationen: empty : → Arrays
addLast: Arrays × Elements → Arrays
removeLast: Arrays → Arrays
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
31
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Arrays
Nat
Operationen: empty : → Arrays
addLast: Arrays × Elements → Arrays
removeLast: Arrays → Arrays
read: Arrays × Nat → Elements
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
31
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Arrays
Nat
Operationen: empty : → Arrays
addLast: Arrays × Elements → Arrays
removeLast: Arrays → Arrays
read: Arrays × Nat → Elements
write: Arrays × Nat × Elements → Arrays
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
31
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Arrays
Nat
Operationen: empty : → Arrays
addLast: Arrays × Elements → Arrays
removeLast: Arrays → Arrays
read: Arrays × Nat → Elements
write: Arrays × Nat × Elements → Arrays
length: Arrays → Nat
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
31
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays über D
2. Mathematisches Modell
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
32
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays über D
2. Mathematisches Modell
Sorten: Elements: (nichtleere) Menge D (Parameter)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
32
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays über D
2. Mathematisches Modell
Sorten: Elements: (nichtleere) Menge D (Parameter)
Arrays:
Seq(D)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
32
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays über D
2. Mathematisches Modell
Sorten: Elements: (nichtleere) Menge D (Parameter)
Arrays:
Seq(D)
Nat:
FG KTuEA, TU Ilmenau
N
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
32
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays über D
2. Mathematisches Modell (Forts.)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
33
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays über D
2. Mathematisches Modell (Forts.)
Operationen:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
33
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays über D
2. Mathematisches Modell (Forts.)
Operationen:
empty () := ()
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
33
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays über D
2. Mathematisches Modell (Forts.)
Operationen:
empty () := ()
addLast((a1, . . . , an), x) := (a1, . . . , an, x)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
33
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays über D
2. Mathematisches Modell (Forts.)
Operationen:
empty () := ()
addLast((a1, . . . , an), x) := (a1, . . . , an, x)
removeLast((a1, . . . , an)) :=
FG KTuEA, TU Ilmenau
(a1, . . . , an−1), falls n ≥ 1
undefiniert,
falls n = 0
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
33
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays über D
2. Mathematisches Modell (Forts.)
Operationen:
empty () := ()
addLast((a1, . . . , an), x) := (a1, . . . , an, x)
removeLast((a1, . . . , an)) :=
read((a1, . . . , an), i) :=
FG KTuEA, TU Ilmenau
(a1, . . . , an−1), falls n ≥ 1
undefiniert,
falls n = 0
ai,
falls 1 ≤ i ≤ n
undefiniert, sonst
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
33
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays über D
2. Mathematisches Modell (Forts.)
Operationen:
empty () := ()
addLast((a1, . . . , an), x) := (a1, . . . , an, x)
removeLast((a1, . . . , an)) :=
(a1, . . . , an−1), falls n ≥ 1
undefiniert,
falls n = 0
ai,
falls 1 ≤ i ≤ n
read((a1, . . . , an), i) :=
undefiniert, sonst
(a1, . . . , ai−1, x, ai+1, . . . , an), falls 1 ≤ i ≤ n
write((a1, . . . , an), i, x) :=
undefiniert,
sonst
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
33
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays über D
2. Mathematisches Modell (Forts.)
Operationen:
empty () := ()
addLast((a1, . . . , an), x) := (a1, . . . , an, x)
removeLast((a1, . . . , an)) :=
(a1, . . . , an−1), falls n ≥ 1
undefiniert,
falls n = 0
ai,
falls 1 ≤ i ≤ n
read((a1, . . . , an), i) :=
undefiniert, sonst
(a1, . . . , ai−1, x, ai+1, . . . , an), falls 1 ≤ i ≤ n
write((a1, . . . , an), i, x) :=
undefiniert,
sonst
length((a1, . . . , an)) := n
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
33
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays über D
Implementierung:
Arrayimplementierung wie bei Stacks, mit Verdoppelungsstrategie.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
34
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays über D
Implementierung:
Arrayimplementierung wie bei Stacks, mit Verdoppelungsstrategie.
Kosten:
empty, read, write, length: O(1).
addLast: k addLast-Operationen kosten Zeit O(k).
removeLast: Einfache Version (Pegel dekrementieren): O(1).
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
34
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays über D
Implementierung:
Arrayimplementierung wie bei Stacks, mit Verdoppelungsstrategie.
Kosten:
empty, read, write, length: O(1).
addLast: k addLast-Operationen kosten Zeit O(k).
removeLast: Einfache Version (Pegel dekrementieren): O(1).
Verfeinerung: Halbierung, wenn Array (Länge m) zu groß
für die Anzahl n der Einträge wird,
z. B. wenn durch eine removeLast-Operation n < 14 · m wird.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
34
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays über D
Implementierung:
Arrayimplementierung wie bei Stacks, mit Verdoppelungsstrategie.
Kosten:
empty, read, write, length: O(1).
addLast: k addLast-Operationen kosten Zeit O(k).
removeLast: Einfache Version (Pegel dekrementieren): O(1).
Verfeinerung: Halbierung, wenn Array (Länge m) zu groß
für die Anzahl n der Einträge wird,
z. B. wenn durch eine removeLast-Operation n < 14 · m wird.
Nachteil: Diese Operation kostet Θ(n) Zeit.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
34
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays über D
Implementierung:
Arrayimplementierung wie bei Stacks, mit Verdoppelungsstrategie.
Kosten:
empty, read, write, length: O(1).
addLast: k addLast-Operationen kosten Zeit O(k).
removeLast: Einfache Version (Pegel dekrementieren): O(1).
Verfeinerung: Halbierung, wenn Array (Länge m) zu groß
für die Anzahl n der Einträge wird,
z. B. wenn durch eine removeLast-Operation n < 14 · m wird.
Nachteil: Diese Operation kostet Θ(n) Zeit.
Vorteil: Arraylänge ist stets ≤ 4n.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
34
Indizierte Folgen – Dynamische Arrays über D
Mitteilung
Startend mit einem leeren dynamischen Array, kosten
k addLast- und removeLast-Operationen
bei der Arrayimplementierung mit Verdoppelung und
Halbierung insgesamt Zeit O(k).
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
35
2.2 Queues – Warteschlangen – FIFO-Listen
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
36
2.2 Queues – Warteschlangen – FIFO-Listen∗
∗
First-In-First-Out
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
36
2.2 Queues – Warteschlangen – FIFO-Listen∗
∗
First-In-First-Out
FG KTuEA, TU Ilmenau
Idee (siehe AuP-Vorlesung):
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
36
2.2 Queues – Warteschlangen – FIFO-Listen∗
∗
First-In-First-Out
Idee (siehe AuP-Vorlesung):
vorne
hinten
3
1
4
1
5
9
2
6
"head"
isempty:
"tail"
false
first: 3
enqueue(5):
3
1
4
1
5
9
2
6
5
dequeue:
1
4
1
5
9
2
6
5
3
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
36
Spezifikation des Datentyps Queue“
”
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
37
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
1. Signatur:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
37
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
1. Signatur:
Sorten:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
37
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
1. Signatur:
Sorten:
Elements
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
37
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Queues
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
37
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Queues
Boolean
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
37
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Queues
Boolean
Operationen:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
37
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Queues
Boolean
Operationen: empty : → Queues
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
37
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Queues
Boolean
Operationen: empty : → Queues
enqueue: Queues × Elements → Queues
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
37
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Queues
Boolean
Operationen: empty : → Queues
enqueue: Queues × Elements → Queues
dequeue: Queues → Queues
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
37
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Queues
Boolean
Operationen: empty : → Queues
enqueue: Queues × Elements → Queues
dequeue: Queues → Queues
first: Queues → Elements
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
37
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Queues
Boolean
Operationen: empty : → Queues
enqueue: Queues × Elements → Queues
dequeue: Queues → Queues
first: Queues → Elements
isempty : Queues → Boolean
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
37
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Queues
Boolean
Operationen: empty : → Queues
enqueue: Queues × Elements → Queues
dequeue: Queues → Queues
first: Queues → Elements
isempty : Queues → Boolean
Beachte: Die Signatur ist identisch zur Signatur von Stacks
– bis auf Umbenennungen.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
37
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Queues
Boolean
Operationen: empty : → Queues
enqueue: Queues × Elements → Queues
dequeue: Queues → Queues
first: Queues → Elements
isempty : Queues → Boolean
Beachte: Die Signatur ist identisch zur Signatur von Stacks
– bis auf Umbenennungen.
Rein syntaktische Vorschriften!
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
37
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Queues
Boolean
Operationen: empty : → Queues
enqueue: Queues × Elements → Queues
dequeue: Queues → Queues
first: Queues → Elements
isempty : Queues → Boolean
Beachte: Die Signatur ist identisch zur Signatur von Stacks
– bis auf Umbenennungen.
Rein syntaktische Vorschriften! Verhalten (noch) ungeklärt!
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
37
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
2. Mathematisches Modell
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
38
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
2. Mathematisches Modell
Sorten: Elements: (nichtleere) Menge D (Parameter)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
38
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
2. Mathematisches Modell
Sorten: Elements: (nichtleere) Menge D (Parameter)
Queues: Seq(D)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
38
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
2. Mathematisches Modell
Sorten: Elements: (nichtleere) Menge D (Parameter)
Queues: Seq(D)
Boolean: {true, false}
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
38
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
2. Mathematisches Modell
Sorten: Elements: (nichtleere) Menge D (Parameter)
Queues: Seq(D)
Boolean: {true, false}
Die leere Folge () stellt die leere Warteschlange dar.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
38
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
2. Mathematisches Modell (Forts.)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
39
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
2. Mathematisches Modell (Forts.)
Operationen:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
39
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
2. Mathematisches Modell (Forts.)
Operationen:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
39
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
2. Mathematisches Modell (Forts.)
Operationen:
empty () := ()
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
39
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
2. Mathematisches Modell (Forts.)
Operationen:
empty () := ()
enqueue((a1, . . . , an), x) :=
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
39
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
2. Mathematisches Modell (Forts.)
Operationen:
empty () := ()
enqueue((a1, . . . , an), x) := (a1, . . . , an, x)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
39
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
2. Mathematisches Modell (Forts.)
Operationen:
empty () := ()
enqueue((a1, . . . , an), x) := (a1, . . . , an, x)
dequeue((a1, . . . , an)) :=
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
39
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
2. Mathematisches Modell (Forts.)
Operationen:
empty () := ()
enqueue((a1, . . . , an), x) := (a1, . . . , an, x)
dequeue((a1, . . . , an)) :=
FG KTuEA, TU Ilmenau
(a2, . . . , an), falls n ≥ 1
undefiniert,
falls n = 0
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
39
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
2. Mathematisches Modell (Forts.)
Operationen:
empty () := ()
enqueue((a1, . . . , an), x) := (a1, . . . , an, x)
dequeue((a1, . . . , an)) :=
first((a1, . . . , an)) :=
FG KTuEA, TU Ilmenau
(a2, . . . , an), falls n ≥ 1
undefiniert,
falls n = 0
a1,
falls n ≥ 1
undefiniert, falls n = 0
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
39
Spezifikation des Datentyps Queue“ über D
”
2. Mathematisches Modell (Forts.)
Operationen:
empty () := ()
enqueue((a1, . . . , an), x) := (a1, . . . , an, x)
dequeue((a1, . . . , an)) :=
(a2, . . . , an), falls n ≥ 1
undefiniert,
falls n = 0
a1,
falls n ≥ 1
first((a1, . . . , an)) :=
undefiniert, falls n = 0
false, falls n ≥ 1
isempty ((a1, . . . , an)) :=
true, falls n = 0
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
39
Listenimplementierung von Queues
Implementierung mittels einfach verketteter Listen: Übung. –
Skizze:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
40
Listenimplementierung von Queues
Implementierung mittels einfach verketteter Listen: Übung. –
Skizze:
hinten
vorne
3
1
4
1
5
9
2
6
tail:
head:
3
FG KTuEA, TU Ilmenau
1
4
1
5
9
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
2
6
40
Listenimplementierung von Queues
Implementierung mittels einfach verketteter Listen: Übung. –
Skizze:
hinten
vorne
3
1
4
1
5
9
2
6
tail:
head:
3
1
4
1
5
9
2
6
Variante: Dummy-Element am Listenende.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
40
Arrayimplementierung von Queues
vorne
hinten
3
1
4
1
5
9
2
6
"head"
"tail"
m−2
*
*
m−1 0
* *
1
2
*
*
*
tail:
t
4
*
*
*
*
*
t *
*
3
6
1
2 9
4
5 1
FG KTuEA, TU Ilmenau
h
3
*
*
head:
h
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
41
Arrayimplementierung von Queues
Implementierung mittels Arrays, zirkulär benutzt:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
42
Arrayimplementierung von Queues
Implementierung mittels Arrays, zirkulär benutzt:
In Array A[0..m − 1] sind durch den Inhalt h von head und
den Inhalt t von tail zwei Positionen markiert.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
42
Arrayimplementierung von Queues
Implementierung mittels Arrays, zirkulär benutzt:
In Array A[0..m − 1] sind durch den Inhalt h von head und
den Inhalt t von tail zwei Positionen markiert.
Die Idee ist, dass die Arrayeinträge
A[h],A[h + 1],. . . ,A[t − 1]
die Einträge (a1, . . . , an) der Warteschlange bilden, von vorne
nach hinten. Dabei werden die Indizes modulo m gerechnet;
auf m − 1 folgt also 0.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
42
Arrayimplementierung von Queues
Implementierung mittels Arrays, zirkulär benutzt:
In Array A[0..m − 1] sind durch den Inhalt h von head und
den Inhalt t von tail zwei Positionen markiert.
Die Idee ist, dass die Arrayeinträge
A[h],A[h + 1],. . . ,A[t − 1]
die Einträge (a1, . . . , an) der Warteschlange bilden, von vorne
nach hinten. Dabei werden die Indizes modulo m gerechnet;
auf m − 1 folgt also 0.
Die Zelle A[t] ist immer leer.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
42
Arrayimplementierung von Queues
Implementierung mittels Arrays, zirkulär benutzt:
In Array A[0..m − 1] sind durch den Inhalt h von head und
den Inhalt t von tail zwei Positionen markiert.
Die Idee ist, dass die Arrayeinträge
A[h],A[h + 1],. . . ,A[t − 1]
die Einträge (a1, . . . , an) der Warteschlange bilden, von vorne
nach hinten. Dabei werden die Indizes modulo m gerechnet;
auf m − 1 folgt also 0.
Die Zelle A[t] ist immer leer.
Um x einzufügen, wird (sofern Platz ist), x an die Stelle
A[tail] geschrieben und dann tail um 1 erhöht.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
42
Arrayimplementierung von Queues (Forts.)
Maximale Zahl der Einträge im Array (Kapazität) ist m − 1,
da die Zelle mit Index t immer leer sein muss.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
43
Arrayimplementierung von Queues (Forts.)
Maximale Zahl der Einträge im Array (Kapazität) ist m − 1,
da die Zelle mit Index t immer leer sein muss.
Ein Überlauf wird ausgelöst, wenn beim Einfügen die Variable
tail denselben Wert erhalten würde wie head.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
43
Arrayimplementierung von Queues (Forts.)
Maximale Zahl der Einträge im Array (Kapazität) ist m − 1,
da die Zelle mit Index t immer leer sein muss.
Ein Überlauf wird ausgelöst, wenn beim Einfügen die Variable
tail denselben Wert erhalten würde wie head.
Um in einer nichtleeren Warteschlange dequeue auszuführen,
wird head um 1 weitergezählt (modulo m).
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
43
Arrayimplementierung von Queues (Forts.)
Maximale Zahl der Einträge im Array (Kapazität) ist m − 1,
da die Zelle mit Index t immer leer sein muss.
Ein Überlauf wird ausgelöst, wenn beim Einfügen die Variable
tail denselben Wert erhalten würde wie head.
Um in einer nichtleeren Warteschlange dequeue auszuführen,
wird head um 1 weitergezählt (modulo m).
Wenn bei einem dequeue die Warteschlange komplett geleert
wird, steht in head und tail derselbe Wert.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
43
Arrayimplementierung von Queues (Forts.)
Maximale Zahl der Einträge im Array (Kapazität) ist m − 1,
da die Zelle mit Index t immer leer sein muss.
Ein Überlauf wird ausgelöst, wenn beim Einfügen die Variable
tail denselben Wert erhalten würde wie head.
Um in einer nichtleeren Warteschlange dequeue auszuführen,
wird head um 1 weitergezählt (modulo m).
Wenn bei einem dequeue die Warteschlange komplett geleert
wird, steht in head und tail derselbe Wert. Wir benutzen die
Bedingung head = tail als Leerheitstest.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
43
Arrayimplementierung von Queues (Forts.)
Maximale Zahl der Einträge im Array (Kapazität) ist m − 1,
da die Zelle mit Index t immer leer sein muss.
Ein Überlauf wird ausgelöst, wenn beim Einfügen die Variable
tail denselben Wert erhalten würde wie head.
Um in einer nichtleeren Warteschlange dequeue auszuführen,
wird head um 1 weitergezählt (modulo m).
Wenn bei einem dequeue die Warteschlange komplett geleert
wird, steht in head und tail derselbe Wert. Wir benutzen die
Bedingung head = tail als Leerheitstest.
Um die Warteschlange (bei empty ()) zu initialisieren, setzen
wir head und tail auf denselben Wert, z.B. 0.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
43
Implementierung der Operationen auf einer Queue q:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
44
Implementierung der Operationen auf einer Queue q:
q.empty(): (∗ Konstruktor; Option: m als Argument ∗)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
44
Implementierung der Operationen auf einer Queue q:
q.empty(): (∗ Konstruktor; Option: m als Argument ∗)
Erzeuge Array A[0..m − 1] of elements
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
44
Implementierung der Operationen auf einer Queue q:
q.empty(): (∗ Konstruktor; Option: m als Argument ∗)
Erzeuge Array A[0..m − 1] of elements
und 2 Variable head, tail: int ;
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
44
Implementierung der Operationen auf einer Queue q:
q.empty(): (∗ Konstruktor; Option: m als Argument ∗)
Erzeuge Array A[0..m − 1] of elements
und 2 Variable head, tail: int ;
head ← 0; tail ← 0;
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
44
Implementierung der Operationen auf einer Queue q:
q.empty(): (∗ Konstruktor; Option: m als Argument ∗)
Erzeuge Array A[0..m − 1] of elements
und 2 Variable head, tail: int ;
head ← 0; tail ← 0;
q.isempty:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
44
Implementierung der Operationen auf einer Queue q:
q.empty(): (∗ Konstruktor; Option: m als Argument ∗)
Erzeuge Array A[0..m − 1] of elements
und 2 Variable head, tail: int ;
head ← 0; tail ← 0;
q.isempty:
if head = tail then return true“ else return false“ ;
”
”
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
44
Implementierung der Operationen auf einer Queue q:
q.empty(): (∗ Konstruktor; Option: m als Argument ∗)
Erzeuge Array A[0..m − 1] of elements
und 2 Variable head, tail: int ;
head ← 0; tail ← 0;
q.isempty:
if head = tail then return true“ else return false“ ;
”
”
q.first:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
44
Implementierung der Operationen auf einer Queue q:
q.empty(): (∗ Konstruktor; Option: m als Argument ∗)
Erzeuge Array A[0..m − 1] of elements
und 2 Variable head, tail: int ;
head ← 0; tail ← 0;
q.isempty:
if head = tail then return true“ else return false“ ;
”
”
q.first:
if head = tail then Fehler“ (z.B. QEmptyException)
”
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
44
Implementierung der Operationen auf einer Queue q:
q.empty(): (∗ Konstruktor; Option: m als Argument ∗)
Erzeuge Array A[0..m − 1] of elements
und 2 Variable head, tail: int ;
head ← 0; tail ← 0;
q.isempty:
if head = tail then return true“ else return false“ ;
”
”
q.first:
if head = tail then Fehler“ (z.B. QEmptyException)
”
else return A[head] ;
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
44
Implementierung der Operationen auf einer Queue q:
q.empty(): (∗ Konstruktor; Option: m als Argument ∗)
Erzeuge Array A[0..m − 1] of elements
und 2 Variable head, tail: int ;
head ← 0; tail ← 0;
q.isempty:
if head = tail then return true“ else return false“ ;
”
”
q.first:
if head = tail then Fehler“ (z.B. QEmptyException)
”
else return A[head] ;
q.dequeue:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
44
Implementierung der Operationen auf einer Queue q:
q.empty(): (∗ Konstruktor; Option: m als Argument ∗)
Erzeuge Array A[0..m − 1] of elements
und 2 Variable head, tail: int ;
head ← 0; tail ← 0;
q.isempty:
if head = tail then return true“ else return false“ ;
”
”
q.first:
if head = tail then Fehler“ (z.B. QEmptyException)
”
else return A[head] ;
q.dequeue:
if head = tail then Fehler“ (z.B. QEmptyException)
”
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
44
Implementierung der Operationen auf einer Queue q:
q.empty(): (∗ Konstruktor; Option: m als Argument ∗)
Erzeuge Array A[0..m − 1] of elements
und 2 Variable head, tail: int ;
head ← 0; tail ← 0;
q.isempty:
if head = tail then return true“ else return false“ ;
”
”
q.first:
if head = tail then Fehler“ (z.B. QEmptyException)
”
else return A[head] ;
q.dequeue:
if head = tail then Fehler“ (z.B. QEmptyException)
”
else head ← (head + 1) mod m
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
44
Implementierung der Operationen auf einer Queue q:
q.empty(): (∗ Konstruktor; Option: m als Argument ∗)
Erzeuge Array A[0..m − 1] of elements
und 2 Variable head, tail: int ;
head ← 0; tail ← 0;
q.isempty:
if head = tail then return true“ else return false“ ;
”
”
q.first:
if head = tail then Fehler“ (z.B. QEmptyException)
”
else return A[head] ;
q.dequeue:
if head = tail then Fehler“ (z.B. QEmptyException)
”
else head ← (head + 1) mod m
q.enqueue(x):
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
44
Implementierung der Operationen auf einer Queue q:
q.empty(): (∗ Konstruktor; Option: m als Argument ∗)
Erzeuge Array A[0..m − 1] of elements
und 2 Variable head, tail: int ;
head ← 0; tail ← 0;
q.isempty:
if head = tail then return true“ else return false“ ;
”
”
q.first:
if head = tail then Fehler“ (z.B. QEmptyException)
”
else return A[head] ;
q.dequeue:
if head = tail then Fehler“ (z.B. QEmptyException)
”
else head ← (head + 1) mod m
q.enqueue(x):
tt ← (tail + 1) mod m;
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
44
Implementierung der Operationen auf einer Queue q:
q.empty(): (∗ Konstruktor; Option: m als Argument ∗)
Erzeuge Array A[0..m − 1] of elements
und 2 Variable head, tail: int ;
head ← 0; tail ← 0;
q.isempty:
if head = tail then return true“ else return false“ ;
”
”
q.first:
if head = tail then Fehler“ (z.B. QEmptyException)
”
else return A[head] ;
q.dequeue:
if head = tail then Fehler“ (z.B. QEmptyException)
”
else head ← (head + 1) mod m
q.enqueue(x):
tt ← (tail + 1) mod m;
if tt = head then Fehler“ (z.B. QOverflowException)
”
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
44
Implementierung der Operationen auf einer Queue q:
q.empty(): (∗ Konstruktor; Option: m als Argument ∗)
Erzeuge Array A[0..m − 1] of elements
und 2 Variable head, tail: int ;
head ← 0; tail ← 0;
q.isempty:
if head = tail then return true“ else return false“ ;
”
”
q.first:
if head = tail then Fehler“ (z.B. QEmptyException)
”
else return A[head] ;
q.dequeue:
if head = tail then Fehler“ (z.B. QEmptyException)
”
else head ← (head + 1) mod m
q.enqueue(x):
tt ← (tail + 1) mod m;
if tt = head then Fehler“ (z.B. QOverflowException)
”
else A[tail] ← x ; tail ← tt ;
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
44
Alternative zu Overflow-Exception:
Verdoppelungsstrategie
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
45
Alternative zu Overflow-Exception:
Verdoppelungsstrategie
Erzeugen eines neuen Arrays AA[0..2m − 1]
(mit Kapazität 2m − 1);
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
45
Alternative zu Overflow-Exception:
Verdoppelungsstrategie
Erzeugen eines neuen Arrays AA[0..2m − 1]
(mit Kapazität 2m − 1);
Umkopieren der Einträge
A[head], A[(head + 1) mod m], . . . , A[(tail − 1) mod m]
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
45
Alternative zu Overflow-Exception:
Verdoppelungsstrategie
Erzeugen eines neuen Arrays AA[0..2m − 1]
(mit Kapazität 2m − 1);
Umkopieren der Einträge
A[head], A[(head + 1) mod m], . . . , A[(tail − 1) mod m]
in AA[0], AA[1], . . . , AA[m − 2];
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
45
Alternative zu Overflow-Exception:
Verdoppelungsstrategie
Erzeugen eines neuen Arrays AA[0..2m − 1]
(mit Kapazität 2m − 1);
Umkopieren der Einträge
A[head], A[(head + 1) mod m], . . . , A[(tail − 1) mod m]
in AA[0], AA[1], . . . , AA[m − 2];
head ← 0; tail ← m − 1;
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
45
Alternative zu Overflow-Exception:
Verdoppelungsstrategie
Erzeugen eines neuen Arrays AA[0..2m − 1]
(mit Kapazität 2m − 1);
Umkopieren der Einträge
A[head], A[(head + 1) mod m], . . . , A[(tail − 1) mod m]
in AA[0], AA[1], . . . , AA[m − 2];
head ← 0; tail ← m − 1;
Umbenennen von AA in A.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
45
Alternative zu Overflow-Exception:
Verdoppelungsstrategie
Erzeugen eines neuen Arrays AA[0..2m − 1]
(mit Kapazität 2m − 1);
Umkopieren der Einträge
A[head], A[(head + 1) mod m], . . . , A[(tail − 1) mod m]
in AA[0], AA[1], . . . , AA[m − 2];
head ← 0; tail ← m − 1;
Umbenennen von AA in A.
A[tail] ← x ;
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
45
Alternative zu Overflow-Exception:
Verdoppelungsstrategie
Erzeugen eines neuen Arrays AA[0..2m − 1]
(mit Kapazität 2m − 1);
Umkopieren der Einträge
A[head], A[(head + 1) mod m], . . . , A[(tail − 1) mod m]
in AA[0], AA[1], . . . , AA[m − 2];
head ← 0; tail ← m − 1;
Umbenennen von AA in A.
A[tail] ← x ; tail++ ;
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
45
Satz 2.2.1
Die angegebene Arrayimplementierung einer Queue über D
ist korrekt, ohne Verdoppelungsstrategie, solange kein Fehler
im Modell und kein Überlauf im Array eintritt; mit Verdoppelungsstrategie, solange kein Fehler im Modell und kein
Speicherüberlauf auftritt.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
46
Satz 2.2.1
Die angegebene Arrayimplementierung einer Queue über D
ist korrekt, ohne Verdoppelungsstrategie, solange kein Fehler
im Modell und kein Überlauf im Array eintritt; mit Verdoppelungsstrategie, solange kein Fehler im Modell und kein
Speicherüberlauf auftritt.
Korrektheit“ heißt wie bei Stacks: Das E/A-Verhalten der
”
Implementierung ist das gleiche wie beim mathematischen
Modell.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
46
Satz 2.2.1
Die angegebene Arrayimplementierung einer Queue über D
ist korrekt, ohne Verdoppelungsstrategie, solange kein Fehler
im Modell und kein Überlauf im Array eintritt; mit Verdoppelungsstrategie, solange kein Fehler im Modell und kein
Speicherüberlauf auftritt.
Korrektheit“ heißt wie bei Stacks: Das E/A-Verhalten der
”
Implementierung ist das gleiche wie beim mathematischen
Modell.
Beweis: Betrachte eine Folge
Op0 = empty, Op1, . . . , OpN von Queueoperationen
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
46
Satz 2.2.1
Die angegebene Arrayimplementierung einer Queue über D
ist korrekt, ohne Verdoppelungsstrategie, solange kein Fehler
im Modell und kein Überlauf im Array eintritt; mit Verdoppelungsstrategie, solange kein Fehler im Modell und kein
Speicherüberlauf auftritt.
Korrektheit“ heißt wie bei Stacks: Das E/A-Verhalten der
”
Implementierung ist das gleiche wie beim mathematischen
Modell.
Beweis: Betrachte eine Folge
Op0 = empty, Op1, . . . , OpN von Queueoperationen,
wobei empty nur ganz am Anfang vorkommen darf.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
46
Zeige dann durch Induktion über i = 0, . . . , N unter der
Annahme, dass im mathematischen Modell kein Fehler
auftritt, folgende Behauptung (IB)i:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
47
Zeige dann durch Induktion über i = 0, . . . , N unter der
Annahme, dass im mathematischen Modell kein Fehler
auftritt, folgende Behauptung (IB)i:
Wenn nach Operationen Op0, Op1, . . . , Opi der Inhalt der
Queue qi = (a1, . . . , ani ) ist, dann stehen nach Ausführung
der Operationen in der Implementierung die Elemente
a1, . . . , ani in den Positionen A[h],A[h + 1],. . . ,A[t − 1],
(Indizes modulo m gerechnet), wobei h der Inhalt von head
und t der Inhalt von tail ist.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
47
Zeige dann durch Induktion über i = 0, . . . , N unter der
Annahme, dass im mathematischen Modell kein Fehler
auftritt, folgende Behauptung (IB)i:
Wenn nach Operationen Op0, Op1, . . . , Opi der Inhalt der
Queue qi = (a1, . . . , ani ) ist, dann stehen nach Ausführung
der Operationen in der Implementierung die Elemente
a1, . . . , ani in den Positionen A[h],A[h + 1],. . . ,A[t − 1],
(Indizes modulo m gerechnet), wobei h der Inhalt von head
und t der Inhalt von tail ist.
Insbesondere ist die Warteschlange leer genau dann wenn
h = t ist.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
47
Satz 2.2.2
Wenn eine Queue mit Arrays und der Verdoppelungsstrategie
implementiert wird, sind die Gesamtkosten für N Operationen
O(N ).
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
48
Satz 2.2.2
Wenn eine Queue mit Arrays und der Verdoppelungsstrategie
implementiert wird, sind die Gesamtkosten für N Operationen
O(N ).
Beweis: Genauso wie bei Stacks.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
48
Satz 2.2.2
Wenn eine Queue mit Arrays und der Verdoppelungsstrategie
implementiert wird, sind die Gesamtkosten für N Operationen
O(N ).
Beweis: Genauso wie bei Stacks.
Bemerkung: Bei der Verdoppelungsstrategie gilt weiter:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
48
Satz 2.2.2
Wenn eine Queue mit Arrays und der Verdoppelungsstrategie
implementiert wird, sind die Gesamtkosten für N Operationen
O(N ).
Beweis: Genauso wie bei Stacks.
Bemerkung: Bei der Verdoppelungsstrategie gilt weiter:
Der gesamte Platzbedarf ist O(k), wenn k die maximale je
erreichte Länge der Queue ist.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
48
Datentyp Doppelschlange – Deque
Schlange mit zwei Enden; Einfügen und Entnehmen an beiden
Enden möglich.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
49
Datentyp Doppelschlange – Deque
Schlange mit zwei Enden; Einfügen und Entnehmen an beiden
Enden möglich.
Schema:
vorn:
1
hinten
4
1
5
9
Einfache Implementierung:
first
last:
1
4
1
5
9
Implementierung mit Dummyelementen:
last:
first:
f
1
FG KTuEA, TU Ilmenau
4
1
5
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
9
l
49
1. Signatur:
Operationen: empty : . . .
pushFront: . . .
popFront: . . .
first: . . .
pushBack: . . .
popBack: . . .
last: . . .
isempty : . . .


Details



2. Mathematisches Modell
Übung.

Implementierung mit Arrays


Implementierung mit doppelt verketteten Listen 
Sorten: Elements
Deques
Boolean
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
50
2.3 Einfache Datenstrukturen für Mengen
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
51
2.3 Einfache Datenstrukturen für Mengen
Modelliere: Endliche Mengen über D.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
51
2.3 Einfache Datenstrukturen für Mengen
Modelliere: Endliche Mengen über D.
Intuitive Aufgabe:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
51
2.3 Einfache Datenstrukturen für Mengen
Modelliere: Endliche Mengen über D.
Intuitive Aufgabe:
Speichere eine veränderliche Menge S ⊆ D, S endlich
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
51
2.3 Einfache Datenstrukturen für Mengen
Modelliere: Endliche Mengen über D.
Intuitive Aufgabe:
Speichere eine veränderliche Menge S ⊆ D, S endlich, mit
Operationen:
Initialisierung: S ← ∅;
FG KTuEA, TU Ilmenau
(∗ anfangs ist S leer ∗)
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
51
2.3 Einfache Datenstrukturen für Mengen
Modelliere: Endliche Mengen über D.
Intuitive Aufgabe:
Speichere eine veränderliche Menge S ⊆ D, S endlich, mit
Operationen:
Initialisierung: S ← ∅;
Suche:
x ∈ S ?;
FG KTuEA, TU Ilmenau
(∗ anfangs ist S leer ∗)
(∗ teste, ob x in S ist ∗)
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
51
2.3 Einfache Datenstrukturen für Mengen
Modelliere: Endliche Mengen über D.
Intuitive Aufgabe:
Speichere eine veränderliche Menge S ⊆ D, S endlich, mit
Operationen:
Initialisierung: S ← ∅;
Suche:
x ∈ S ?;
Hinzufügen: S ← S ∪ {x};
FG KTuEA, TU Ilmenau
(∗ anfangs ist S leer ∗)
(∗ teste, ob x in S ist ∗)
(∗ füge x zu S hinzu ∗)
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
51
2.3 Einfache Datenstrukturen für Mengen
Modelliere: Endliche Mengen über D.
Intuitive Aufgabe:
Speichere eine veränderliche Menge S ⊆ D, S endlich, mit
Operationen:
Initialisierung:
Suche:
Hinzufügen:
Löschen:
FG KTuEA, TU Ilmenau
S ← ∅;
x ∈ S ?;
S ← S ∪ {x};
S ← S − {x}.
(∗
(∗
(∗
(∗
anfangs ist S leer ∗)
teste, ob x in S ist ∗)
füge x zu S hinzu ∗)
entferne x aus S ∗)
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
51
Datentyp Dynamische Menge
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
52
Datentyp Dynamische Menge
1. Signatur:
Sorten:
Elements
Sets
Boolean
Operationen: empty : → Sets
insert: Sets × Elements → Sets
delete: Sets × Elements → Sets
member : Sets × Elements → Boolean
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
52
2. Mathematisches Modell:
Modellierung einer Menge als endliche Menge von Objekten:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
53
2. Mathematisches Modell:
Modellierung einer Menge als endliche Menge von Objekten:
Sorten:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Elements: (nichtleere) Menge D (Parameter)
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
53
2. Mathematisches Modell:
Modellierung einer Menge als endliche Menge von Objekten:
Sorten:
Elements: (nichtleere) Menge D (Parameter)
Sets:
FG KTuEA, TU Ilmenau
P <∞(D) = {S ⊆ D | S endlich}
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
53
2. Mathematisches Modell:
Modellierung einer Menge als endliche Menge von Objekten:
Sorten:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Elements: (nichtleere) Menge D (Parameter)
Sets:
P <∞(D) = {S ⊆ D | S endlich}
Boolean:
{true, false}
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
53
2. Mathematisches Modell:
Modellierung einer Menge als endliche Menge von Objekten:
Sorten:
Operationen:
Elements: (nichtleere) Menge D (Parameter)
Sets:
P <∞(D) = {S ⊆ D | S endlich}
Boolean:
{true, false}
empty () := ∅
insert(S, x) := S ∪ {x}
delete(S, x) := S − {x}
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
53
2. Mathematisches Modell:
Modellierung einer Menge als endliche Menge von Objekten:
Sorten:
Operationen:
Elements: (nichtleere) Menge D (Parameter)
Sets:
P <∞(D) = {S ⊆ D | S endlich}
Boolean:
{true, false}
empty () := ∅
insert(S, x) := S ∪ {x}
delete(S, x) := S − {x}
(
true, falls x ∈ S
member (S, x) :=
false, falls x ∈
/S
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
53
Implementierungsmöglichkeiten
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
54
Implementierungsmöglichkeiten
(A) Einfach verkettete Liste oder Array mit Wiederholung
(B) Einfach verkettete Liste oder Array ohne Wiederholung
(C) Einfach verkettete Liste oder Array, aufsteigend sortiert
Nur möglich, wenn es auf D eine totale Ordnung < gibt.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
54
Implementierungsmöglichkeiten
(A) Einfach verkettete Liste oder Array mit Wiederholung
(B) Einfach verkettete Liste oder Array ohne Wiederholung
(C) Einfach verkettete Liste oder Array, aufsteigend sortiert
Nur möglich, wenn es auf D eine totale Ordnung < gibt.
Später:
(D) Suchbäume
(E) Hashtabellen
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
54
Array, aufsteigend sortiert:
A:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
2
5
7
10 17 19 26 50 54 59 67 ∗
∗
∗
Pegel“ p: 11.
”
Nachteil:
insert, delete: Verschieben vieler Elemente nötig, um die
Ordnung zu erhalten und dabei das Entstehen von Lücken zu
vermeiden.
Zeitaufwand: Θ(|S|)
Vorteil:
member: Kann binäre Suche benutzen.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
55
∗
Binäre Suche, rekursiv
Aufgabe: Suche Objekt x ∈ D in Teilarray A[a..b]
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
56
Binäre Suche, rekursiv
Aufgabe: Suche Objekt x ∈ D in Teilarray A[a..b]
Idee:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
56
Binäre Suche, rekursiv
Aufgabe: Suche Objekt x ∈ D in Teilarray A[a..b]
Idee:
0. Falls b < a, ist x nicht im Teilarray
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
56
Binäre Suche, rekursiv
Aufgabe: Suche Objekt x ∈ D in Teilarray A[a..b]
Idee:
0. Falls b < a, ist x nicht im Teilarray
1. Falls a = b, ist x in A[a..b], falls x = A[a], sonst nicht
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
56
Binäre Suche, rekursiv
Aufgabe: Suche Objekt x ∈ D in Teilarray A[a..b]
Idee:
0. Falls b < a, ist x nicht im Teilarray
1. Falls a = b, ist x in A[a..b], falls x = A[a], sonst nicht
2. Falls a < b, berechne m = b(a+b)/2c (Mitte des Teilarrays)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
56
Binäre Suche, rekursiv
Aufgabe: Suche Objekt x ∈ D in Teilarray A[a..b]
Idee:
0. Falls b < a, ist x nicht im Teilarray
1. Falls a = b, ist x in A[a..b], falls x = A[a], sonst nicht
2. Falls a < b, berechne m = b(a+b)/2c (Mitte des Teilarrays)
3 Fälle:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
56
Binäre Suche, rekursiv
Aufgabe: Suche Objekt x ∈ D in Teilarray A[a..b]
Idee:
0. Falls b < a, ist x nicht im Teilarray
1. Falls a = b, ist x in A[a..b], falls x = A[a], sonst nicht
2. Falls a < b, berechne m = b(a+b)/2c (Mitte des Teilarrays)
3 Fälle:
x = A[m]: gefunden
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
56
Binäre Suche, rekursiv
Aufgabe: Suche Objekt x ∈ D in Teilarray A[a..b]
Idee:
0. Falls b < a, ist x nicht im Teilarray
1. Falls a = b, ist x in A[a..b], falls x = A[a], sonst nicht
2. Falls a < b, berechne m = b(a+b)/2c (Mitte des Teilarrays)
3 Fälle:
x = A[m]: gefunden
1
A:
FG KTuEA, TU Ilmenau
a
11111
00000
00000
11111
00000
11111
00000
11111
m
b
1111111
0000000
0000000
x1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
n
56
Binäre Suche, rekursiv
x < A[m]: Wende binäre Suche auf A[a..m − 1] an
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
57
Binäre Suche, rekursiv
x < A[m]: Wende binäre Suche auf A[a..m − 1] an
1
A:
a
m
b
0000000
1111111
n
0000000
z1111111
>x
0000000
1111111
0000000
1111111
x<z
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
57
Binäre Suche, rekursiv
x < A[m]: Wende binäre Suche auf A[a..m − 1] an
1
A:
a
m
b
0000000
1111111
n
0000000
z1111111
>x
0000000
1111111
0000000
1111111
x<z
x > A[m]: Wende binäre Suche auf A[m + 1..b] an
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
57
Binäre Suche, rekursiv
x < A[m]: Wende binäre Suche auf A[a..m − 1] an
1
a
m
b
0000000
1111111
n
0000000
z1111111
>x
0000000
1111111
0000000
1111111
A:
x<z
x > A[m]: Wende binäre Suche auf A[m + 1..b] an
1
A:
a
11111
00000
00000
11111
<x
00000
11111
00000
11111
m
b
n
z
z<x
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
57
Binäre Suche, rekursiv
x < A[m]: Wende binäre Suche auf A[a..m − 1] an
1
a
m
b
0000000
1111111
n
0000000
z1111111
>x
0000000
1111111
0000000
1111111
A:
x<z
x > A[m]: Wende binäre Suche auf A[m + 1..b] an
1
A:
a
11111
00000
00000
11111
<x
00000
11111
00000
11111
m
b
n
z
z<x
Suche nach x in A[1..p]: Binäre Suche in A[1..p]
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
57
Gegeben: Array A[1..M ], x: elements;
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
58
Gegeben: Array A[1..M ], x: elements;
Prozedur RecBinSearch(a, b)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
58
Gegeben: Array A[1..M ], x: elements;
Prozedur RecBinSearch(a, b)
Eingabe: a, b: int; (∗ 1 ≤ a ≤ M + 1, 0 ≤ b ≤ M ∗)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
58
Gegeben: Array A[1..M ], x: elements;
Prozedur RecBinSearch(a, b)
Eingabe: a, b: int; (∗ 1 ≤ a ≤ M + 1, 0 ≤ b ≤ M ∗)
(∗ Prozedur sucht global bekanntes x unter den A[i], a ≤ i ≤ b ∗)
(1)
if b < a then return false;
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
58
Gegeben: Array A[1..M ], x: elements;
Prozedur RecBinSearch(a, b)
Eingabe: a, b: int; (∗ 1 ≤ a ≤ M + 1, 0 ≤ b ≤ M ∗)
(∗ Prozedur sucht global bekanntes x unter den A[i], a ≤ i ≤ b ∗)
(1)
if b < a then return false;
(2)
if a = b then return (x = A[a]);
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
58
Gegeben: Array A[1..M ], x: elements;
Prozedur RecBinSearch(a, b)
Eingabe: a, b: int; (∗ 1 ≤ a ≤ M + 1, 0 ≤ b ≤ M ∗)
(∗ Prozedur sucht global bekanntes x unter den A[i], a ≤ i ≤ b ∗)
(1)
if b < a then return false;
(2)
if a = b then return (x = A[a]);
(3)
m ← (a + b) div 2;
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
58
Gegeben: Array A[1..M ], x: elements;
Prozedur RecBinSearch(a, b)
Eingabe: a, b: int; (∗ 1 ≤ a ≤ M + 1, 0 ≤ b ≤ M ∗)
(∗ Prozedur sucht global bekanntes x unter den A[i], a ≤ i ≤ b ∗)
(1)
if b < a then return false;
(2)
if a = b then return (x = A[a]);
(3)
m ← (a + b) div 2;
(4)
if x = A[m] then return true;
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
58
Gegeben: Array A[1..M ], x: elements;
Prozedur RecBinSearch(a, b)
Eingabe: a, b: int; (∗ 1 ≤ a ≤ M + 1, 0 ≤ b ≤ M ∗)
(∗ Prozedur sucht global bekanntes x unter den A[i], a ≤ i ≤ b ∗)
(1)
if b < a then return false;
(2)
if a = b then return (x = A[a]);
(3)
m ← (a + b) div 2;
(4)
if x = A[m] then return true;
(5)
if x < A[m] then
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
58
Gegeben: Array A[1..M ], x: elements;
Prozedur RecBinSearch(a, b)
Eingabe: a, b: int; (∗ 1 ≤ a ≤ M + 1, 0 ≤ b ≤ M ∗)
(∗ Prozedur sucht global bekanntes x unter den A[i], a ≤ i ≤ b ∗)
(1)
if b < a then return false;
(2)
if a = b then return (x = A[a]);
(3)
m ← (a + b) div 2;
(4)
if x = A[m] then return true;
(5)
if x < A[m] then return RecBinSearch(a,m−1);
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
58
Gegeben: Array A[1..M ], x: elements;
Prozedur RecBinSearch(a, b)
Eingabe: a, b: int; (∗ 1 ≤ a ≤ M + 1, 0 ≤ b ≤ M ∗)
(∗ Prozedur sucht global bekanntes x unter den A[i], a ≤ i ≤ b ∗)
(1)
if b < a then return false;
(2)
if a = b then return (x = A[a]);
(3)
m ← (a + b) div 2;
(4)
if x = A[m] then return true;
(5)
if x < A[m] then return RecBinSearch(a,m−1);
(6)
if x > A[m] then
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
58
Gegeben: Array A[1..M ], x: elements;
Prozedur RecBinSearch(a, b)
Eingabe: a, b: int; (∗ 1 ≤ a ≤ M + 1, 0 ≤ b ≤ M ∗)
(∗ Prozedur sucht global bekanntes x unter den A[i], a ≤ i ≤ b ∗)
(1)
if b < a then return false;
(2)
if a = b then return (x = A[a]);
(3)
m ← (a + b) div 2;
(4)
if x = A[m] then return true;
(5)
if x < A[m] then return RecBinSearch(a,m−1);
(6)
if x > A[m] then return RecBinSearch(m+1,b).
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
58
Gegeben: Array A[1..M ], x: elements;
Prozedur RecBinSearch(a, b)
Eingabe: a, b: int; (∗ 1 ≤ a ≤ M + 1, 0 ≤ b ≤ M ∗)
(∗ Prozedur sucht global bekanntes x unter den A[i], a ≤ i ≤ b ∗)
(1)
if b < a then return false;
(2)
if a = b then return (x = A[a]);
(3)
m ← (a + b) div 2;
(4)
if x = A[m] then return true;
(5)
if x < A[m] then return RecBinSearch(a,m−1);
(6)
if x > A[m] then return RecBinSearch(m+1,b).
Algorithmus Binäre Suche (rekursiv)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
58
Gegeben: Array A[1..M ], x: elements;
Prozedur RecBinSearch(a, b)
Eingabe: a, b: int; (∗ 1 ≤ a ≤ M + 1, 0 ≤ b ≤ M ∗)
(∗ Prozedur sucht global bekanntes x unter den A[i], a ≤ i ≤ b ∗)
(1)
if b < a then return false;
(2)
if a = b then return (x = A[a]);
(3)
m ← (a + b) div 2;
(4)
if x = A[m] then return true;
(5)
if x < A[m] then return RecBinSearch(a,m−1);
(6)
if x > A[m] then return RecBinSearch(m+1,b).
Algorithmus Binäre Suche (rekursiv)
Eingabe: Array A[1..M ]; x: elements;
n, 1 ≤ n ≤ M , mit A[1] < · · · < A[n];
(1)
return RecBinSearch(1, n).
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
58
Korrektheit von Prozedur RecBinSearch:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
59
Korrektheit von Prozedur RecBinSearch:
Proposition 2.3.1
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
59
Korrektheit von Prozedur RecBinSearch:
Proposition 2.3.1
Das Teilarray A[a..b] von A[1..M ] sei strikt aufsteigend
sortiert, und es gelte 1 ≤ a ≤ M + 1, 0 ≤ b ≤ M . Dann gilt:
Der Aufruf RecBinSearch(a, b)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
59
Korrektheit von Prozedur RecBinSearch:
Proposition 2.3.1
Das Teilarray A[a..b] von A[1..M ] sei strikt aufsteigend
sortiert, und es gelte 1 ≤ a ≤ M + 1, 0 ≤ b ≤ M . Dann gilt:
Der Aufruf RecBinSearch(a, b) liefert das Resultat true,
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
59
Korrektheit von Prozedur RecBinSearch:
Proposition 2.3.1
Das Teilarray A[a..b] von A[1..M ] sei strikt aufsteigend
sortiert, und es gelte 1 ≤ a ≤ M + 1, 0 ≤ b ≤ M . Dann gilt:
Der Aufruf RecBinSearch(a, b) liefert das Resultat true, falls
x in A[a..b] vorkommt,
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
59
Korrektheit von Prozedur RecBinSearch:
Proposition 2.3.1
Das Teilarray A[a..b] von A[1..M ] sei strikt aufsteigend
sortiert, und es gelte 1 ≤ a ≤ M + 1, 0 ≤ b ≤ M . Dann gilt:
Der Aufruf RecBinSearch(a, b) liefert das Resultat true, falls
x in A[a..b] vorkommt, false, falls nicht.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
59
Korrektheit von Prozedur RecBinSearch:
Proposition 2.3.1
Das Teilarray A[a..b] von A[1..M ] sei strikt aufsteigend
sortiert, und es gelte 1 ≤ a ≤ M + 1, 0 ≤ b ≤ M . Dann gilt:
Der Aufruf RecBinSearch(a, b) liefert das Resultat true, falls
x in A[a..b] vorkommt, false, falls nicht.
Beweis: (∗) Die Aussage stimmt, falls a > b (Zeile (1))
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
59
Korrektheit von Prozedur RecBinSearch:
Proposition 2.3.1
Das Teilarray A[a..b] von A[1..M ] sei strikt aufsteigend
sortiert, und es gelte 1 ≤ a ≤ M + 1, 0 ≤ b ≤ M . Dann gilt:
Der Aufruf RecBinSearch(a, b) liefert das Resultat true, falls
x in A[a..b] vorkommt, false, falls nicht.
Beweis: (∗) Die Aussage stimmt, falls a > b (Zeile (1))
Beh.: Wenn b − a + 1 = i ≥ 1, dann liefert der Aufruf
RecBinSearch(a, b) mit 1 ≤ a, b ≤ M
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
59
Korrektheit von Prozedur RecBinSearch:
Proposition 2.3.1
Das Teilarray A[a..b] von A[1..M ] sei strikt aufsteigend
sortiert, und es gelte 1 ≤ a ≤ M + 1, 0 ≤ b ≤ M . Dann gilt:
Der Aufruf RecBinSearch(a, b) liefert das Resultat true, falls
x in A[a..b] vorkommt, false, falls nicht.
Beweis: (∗) Die Aussage stimmt, falls a > b (Zeile (1))
Beh.: Wenn b − a + 1 = i ≥ 1, dann liefert der Aufruf
RecBinSearch(a, b) mit 1 ≤ a, b ≤ M das korrekte Resultat.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
59
Korrektheit von Prozedur RecBinSearch:
Proposition 2.3.1
Das Teilarray A[a..b] von A[1..M ] sei strikt aufsteigend
sortiert, und es gelte 1 ≤ a ≤ M + 1, 0 ≤ b ≤ M . Dann gilt:
Der Aufruf RecBinSearch(a, b) liefert das Resultat true, falls
x in A[a..b] vorkommt, false, falls nicht.
Beweis: (∗) Die Aussage stimmt, falls a > b (Zeile (1))
Beh.: Wenn b − a + 1 = i ≥ 1, dann liefert der Aufruf
RecBinSearch(a, b) mit 1 ≤ a, b ≤ M das korrekte Resultat.
Beweis der Beh. durch (verallgemeinerte) Induktion über i.
I.A.: Wenn i = 1, ist a = b, und die Ausgabe ist korrekt (Zeile
(2)).
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Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
59
I.V.: Die Beh. gilt für alle Aufrufe RecBinSearch(c, d) mit
1 ≤ d − c + 1 < i.
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Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
60
I.V.: Die Beh. gilt für alle Aufrufe RecBinSearch(c, d) mit
1 ≤ d − c + 1 < i.
Ind.-Schritt: Sei i > 1. – Dann ist a < b.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
60
I.V.: Die Beh. gilt für alle Aufrufe RecBinSearch(c, d) mit
1 ≤ d − c + 1 < i.
Ind.-Schritt: Sei i > 1. – Dann ist a < b.
Es wird m = b(a + b)/2c berechnet.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
60
I.V.: Die Beh. gilt für alle Aufrufe RecBinSearch(c, d) mit
1 ≤ d − c + 1 < i.
Ind.-Schritt: Sei i > 1. – Dann ist a < b.
Es wird m = b(a + b)/2c berechnet. Beobachte: a ≤ m < b.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
60
I.V.: Die Beh. gilt für alle Aufrufe RecBinSearch(c, d) mit
1 ≤ d − c + 1 < i.
Ind.-Schritt: Sei i > 1. – Dann ist a < b.
Es wird m = b(a + b)/2c berechnet. Beobachte: a ≤ m < b.
Fall 1: x = A[m].
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
60
I.V.: Die Beh. gilt für alle Aufrufe RecBinSearch(c, d) mit
1 ≤ d − c + 1 < i.
Ind.-Schritt: Sei i > 1. – Dann ist a < b.
Es wird m = b(a + b)/2c berechnet. Beobachte: a ≤ m < b.
Fall 1: x = A[m]. – Ausgabe true korrekt (Zeile (4))
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Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
60
I.V.: Die Beh. gilt für alle Aufrufe RecBinSearch(c, d) mit
1 ≤ d − c + 1 < i.
Ind.-Schritt: Sei i > 1. – Dann ist a < b.
Es wird m = b(a + b)/2c berechnet. Beobachte: a ≤ m < b.
Fall 1: x = A[m]. – Ausgabe true korrekt (Zeile (4))
Fall 2: x < A[m].
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Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
60
I.V.: Die Beh. gilt für alle Aufrufe RecBinSearch(c, d) mit
1 ≤ d − c + 1 < i.
Ind.-Schritt: Sei i > 1. – Dann ist a < b.
Es wird m = b(a + b)/2c berechnet. Beobachte: a ≤ m < b.
Fall 1: x = A[m]. – Ausgabe true korrekt (Zeile (4))
Fall 2: x < A[m]. – Beobachte:
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60
I.V.: Die Beh. gilt für alle Aufrufe RecBinSearch(c, d) mit
1 ≤ d − c + 1 < i.
Ind.-Schritt: Sei i > 1. – Dann ist a < b.
Es wird m = b(a + b)/2c berechnet. Beobachte: a ≤ m < b.
Fall 1: x = A[m]. – Ausgabe true korrekt (Zeile (4))
Fall 2: x < A[m]. – Beobachte:
Wenn x in A[a..b] vorkommt, dann nicht in A[m..b], wegen
der Sortierung.
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60
I.V.: Die Beh. gilt für alle Aufrufe RecBinSearch(c, d) mit
1 ≤ d − c + 1 < i.
Ind.-Schritt: Sei i > 1. – Dann ist a < b.
Es wird m = b(a + b)/2c berechnet. Beobachte: a ≤ m < b.
Fall 1: x = A[m]. – Ausgabe true korrekt (Zeile (4))
Fall 2: x < A[m]. – Beobachte:
Wenn x in A[a..b] vorkommt, dann nicht in A[m..b], wegen
der Sortierung.
Es genügt also, x im restlichen Teil A[a..m − 1] zu suchen.
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I.V.: Die Beh. gilt für alle Aufrufe RecBinSearch(c, d) mit
1 ≤ d − c + 1 < i.
Ind.-Schritt: Sei i > 1. – Dann ist a < b.
Es wird m = b(a + b)/2c berechnet. Beobachte: a ≤ m < b.
Fall 1: x = A[m]. – Ausgabe true korrekt (Zeile (4))
Fall 2: x < A[m]. – Beobachte:
Wenn x in A[a..b] vorkommt, dann nicht in A[m..b], wegen
der Sortierung.
Es genügt also, x im restlichen Teil A[a..m − 1] zu suchen.
Wir überlegen: Der rekursive Aufruf RecBinSearch(a, m − 1)
in Zeile (5) liefert das korrekte Resultat.
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I.V.: Die Beh. gilt für alle Aufrufe RecBinSearch(c, d) mit
1 ≤ d − c + 1 < i.
Ind.-Schritt: Sei i > 1. – Dann ist a < b.
Es wird m = b(a + b)/2c berechnet. Beobachte: a ≤ m < b.
Fall 1: x = A[m]. – Ausgabe true korrekt (Zeile (4))
Fall 2: x < A[m]. – Beobachte:
Wenn x in A[a..b] vorkommt, dann nicht in A[m..b], wegen
der Sortierung.
Es genügt also, x im restlichen Teil A[a..m − 1] zu suchen.
Wir überlegen: Der rekursive Aufruf RecBinSearch(a, m − 1)
in Zeile (5) liefert das korrekte Resultat. (Beachte: m − 1 ≥ 0.)
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I.V.: Die Beh. gilt für alle Aufrufe RecBinSearch(c, d) mit
1 ≤ d − c + 1 < i.
Ind.-Schritt: Sei i > 1. – Dann ist a < b.
Es wird m = b(a + b)/2c berechnet. Beobachte: a ≤ m < b.
Fall 1: x = A[m]. – Ausgabe true korrekt (Zeile (4))
Fall 2: x < A[m]. – Beobachte:
Wenn x in A[a..b] vorkommt, dann nicht in A[m..b], wegen
der Sortierung.
Es genügt also, x im restlichen Teil A[a..m − 1] zu suchen.
Wir überlegen: Der rekursive Aufruf RecBinSearch(a, m − 1)
in Zeile (5) liefert das korrekte Resultat. (Beachte: m − 1 ≥ 0.)
Wieso?
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I.V.: Die Beh. gilt für alle Aufrufe RecBinSearch(c, d) mit
1 ≤ d − c + 1 < i.
Ind.-Schritt: Sei i > 1. – Dann ist a < b.
Es wird m = b(a + b)/2c berechnet. Beobachte: a ≤ m < b.
Fall 1: x = A[m]. – Ausgabe true korrekt (Zeile (4))
Fall 2: x < A[m]. – Beobachte:
Wenn x in A[a..b] vorkommt, dann nicht in A[m..b], wegen
der Sortierung.
Es genügt also, x im restlichen Teil A[a..m − 1] zu suchen.
Wir überlegen: Der rekursive Aufruf RecBinSearch(a, m − 1)
in Zeile (5) liefert das korrekte Resultat. (Beachte: m − 1 ≥ 0.)
Wieso? Falls m − 1 < a, benutze (∗).
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Falls m − 1 ≥ a, ist (m − 1) − a + 1 < b − a + 1 = i, also gilt
nach der I.V. für (a, m − 1):
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Falls m − 1 ≥ a, ist (m − 1) − a + 1 < b − a + 1 = i, also gilt
nach der I.V. für (a, m − 1):
Aufruf RecBinSearch(a, m − 1) liefert true
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61
Falls m − 1 ≥ a, ist (m − 1) − a + 1 < b − a + 1 = i, also gilt
nach der I.V. für (a, m − 1):
Aufruf RecBinSearch(a, m − 1) liefert true genau dann wenn
x in A[a..m − 1] vorkommt.
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61
Falls m − 1 ≥ a, ist (m − 1) − a + 1 < b − a + 1 = i, also gilt
nach der I.V. für (a, m − 1):
Aufruf RecBinSearch(a, m − 1) liefert true genau dann wenn
x in A[a..m − 1] vorkommt.
Fall 3: x > A[m]. – Analog zu Fall 2.
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61
Falls m − 1 ≥ a, ist (m − 1) − a + 1 < b − a + 1 = i, also gilt
nach der I.V. für (a, m − 1):
Aufruf RecBinSearch(a, m − 1) liefert true genau dann wenn
x in A[a..m − 1] vorkommt.
Fall 3: x > A[m]. – Analog zu Fall 2.
Satz 2.3.1
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Falls m − 1 ≥ a, ist (m − 1) − a + 1 < b − a + 1 = i, also gilt
nach der I.V. für (a, m − 1):
Aufruf RecBinSearch(a, m − 1) liefert true genau dann wenn
x in A[a..m − 1] vorkommt.
Fall 3: x > A[m]. – Analog zu Fall 2.
Satz 2.3.1
Der Algorithmus Binäre Suche auf einem strikt aufsteigend
geordneten Teilarray A[1..n] liefert das korrekte Ergebnis.
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61
Falls m − 1 ≥ a, ist (m − 1) − a + 1 < b − a + 1 = i, also gilt
nach der I.V. für (a, m − 1):
Aufruf RecBinSearch(a, m − 1) liefert true genau dann wenn
x in A[a..m − 1] vorkommt.
Fall 3: x > A[m]. – Analog zu Fall 2.
Satz 2.3.1
Der Algorithmus Binäre Suche auf einem strikt aufsteigend
geordneten Teilarray A[1..n] liefert das korrekte Ergebnis.
Beweis: Direkt aus der Induktionsbehauptung für i = n.
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Laufzeit von Prozedur RecBinSearch:
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Laufzeit von Prozedur RecBinSearch:
TRBS (i) seien die worst-case Kosten für einen Aufruf
RecBinSearch(a, b) mit b − a + 1 = i
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Laufzeit von Prozedur RecBinSearch:
TRBS (i) seien die worst-case Kosten für einen Aufruf
RecBinSearch(a, b) mit b − a + 1 = i
(maximiert über alle möglichen Arrays A[a..b]
und Indexpaare (a, b))
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Laufzeit von Prozedur RecBinSearch:
TRBS (i) seien die worst-case Kosten für einen Aufruf
RecBinSearch(a, b) mit b − a + 1 = i
(maximiert über alle möglichen Arrays A[a..b]
und Indexpaare (a, b))
Jeder Aufruf von RecBinSearch verursacht Kosten ≤ C
für eine Konstante C, wenn man die Kosten der hiervon
ausgelösten rekursiven Aufrufe nicht zählt.
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Laufzeit von Prozedur RecBinSearch:
TRBS (i) seien die worst-case Kosten für einen Aufruf
RecBinSearch(a, b) mit b − a + 1 = i
(maximiert über alle möglichen Arrays A[a..b]
und Indexpaare (a, b))
Jeder Aufruf von RecBinSearch verursacht Kosten ≤ C
für eine Konstante C, wenn man die Kosten der hiervon
ausgelösten rekursiven Aufrufe nicht zählt.
Gesucht also, für alle i:
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Laufzeit von Prozedur RecBinSearch:
TRBS (i) seien die worst-case Kosten für einen Aufruf
RecBinSearch(a, b) mit b − a + 1 = i
(maximiert über alle möglichen Arrays A[a..b]
und Indexpaare (a, b))
Jeder Aufruf von RecBinSearch verursacht Kosten ≤ C
für eine Konstante C, wenn man die Kosten der hiervon
ausgelösten rekursiven Aufrufe nicht zählt.
Gesucht also, für alle i:
r(i) = maximale Anzahl der Aufrufe,
inklusive des ersten Aufrufs, wenn b − a + 1 = i.
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Laufzeit von Prozedur RecBinSearch:
TRBS (i) seien die worst-case Kosten für einen Aufruf
RecBinSearch(a, b) mit b − a + 1 = i
(maximiert über alle möglichen Arrays A[a..b]
und Indexpaare (a, b))
Jeder Aufruf von RecBinSearch verursacht Kosten ≤ C
für eine Konstante C, wenn man die Kosten der hiervon
ausgelösten rekursiven Aufrufe nicht zählt.
Gesucht also, für alle i:
r(i) = maximale Anzahl der Aufrufe,
inklusive des ersten Aufrufs, wenn b − a + 1 = i.
Klar nach Zeilen (1), (2): r(0) = r(1) = 1.
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Für i ≥ 2: Die rekursiven Aufrufe beziehen sich auf Teilarrays
der Länge b(i − 1)/2c (links) oder d(i − 1)/2e (rechts).
⇒ Rekurrenzungleichung:
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Für i ≥ 2: Die rekursiven Aufrufe beziehen sich auf Teilarrays
der Länge b(i − 1)/2c (links) oder d(i − 1)/2e (rechts).
⇒ Rekurrenzungleichung:
r(i) ≤ 1 + max{r(b(i − 1)/2c), r(d(i − 1)/2e)}.
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Für i ≥ 2: Die rekursiven Aufrufe beziehen sich auf Teilarrays
der Länge b(i − 1)/2c (links) oder d(i − 1)/2e (rechts).
⇒ Rekurrenzungleichung:
r(i) ≤ 1 + max{r(b(i − 1)/2c), r(d(i − 1)/2e)}.
Behauptung: r(i) ≤ 1 + log i, für i ≥ 1; r(0) := 1.
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Für i ≥ 2: Die rekursiven Aufrufe beziehen sich auf Teilarrays
der Länge b(i − 1)/2c (links) oder d(i − 1)/2e (rechts).
⇒ Rekurrenzungleichung:
r(i) ≤ 1 + max{r(b(i − 1)/2c), r(d(i − 1)/2e)}.
Behauptung: r(i) ≤ 1 + log i, für i ≥ 1; r(0) := 1.
Beweis: Verallgemeinerte Induktion.
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Für i ≥ 2: Die rekursiven Aufrufe beziehen sich auf Teilarrays
der Länge b(i − 1)/2c (links) oder d(i − 1)/2e (rechts).
⇒ Rekurrenzungleichung:
r(i) ≤ 1 + max{r(b(i − 1)/2c), r(d(i − 1)/2e)}.
Behauptung: r(i) ≤ 1 + log i, für i ≥ 1; r(0) := 1.
Beweis: Verallgemeinerte Induktion.
I.A.: Korrekt für i = 1, weil log 1 = 0.
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Für i ≥ 2: Die rekursiven Aufrufe beziehen sich auf Teilarrays
der Länge b(i − 1)/2c (links) oder d(i − 1)/2e (rechts).
⇒ Rekurrenzungleichung:
r(i) ≤ 1 + max{r(b(i − 1)/2c), r(d(i − 1)/2e)}.
Behauptung: r(i) ≤ 1 + log i, für i ≥ 1; r(0) := 1.
Beweis: Verallgemeinerte Induktion.
I.A.: Korrekt für i = 1, weil log 1 = 0.
I.S.: Nun sei i ≥ 2. Nach Rekurrenz:
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Für i ≥ 2: Die rekursiven Aufrufe beziehen sich auf Teilarrays
der Länge b(i − 1)/2c (links) oder d(i − 1)/2e (rechts).
⇒ Rekurrenzungleichung:
r(i) ≤ 1 + max{r(b(i − 1)/2c), r(d(i − 1)/2e)}.
Behauptung: r(i) ≤ 1 + log i, für i ≥ 1; r(0) := 1.
Beweis: Verallgemeinerte Induktion.
I.A.: Korrekt für i = 1, weil log 1 = 0.
I.S.: Nun sei i ≥ 2. Nach Rekurrenz:
r(i) ≤ 1 + max{r(b(i − 1)/2c), r(d(i − 1)/2e)}.
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Für i ≥ 2: Die rekursiven Aufrufe beziehen sich auf Teilarrays
der Länge b(i − 1)/2c (links) oder d(i − 1)/2e (rechts).
⇒ Rekurrenzungleichung:
r(i) ≤ 1 + max{r(b(i − 1)/2c), r(d(i − 1)/2e)}.
Behauptung: r(i) ≤ 1 + log i, für i ≥ 1; r(0) := 1.
Beweis: Verallgemeinerte Induktion.
I.A.: Korrekt für i = 1, weil log 1 = 0.
I.S.: Nun sei i ≥ 2. Nach Rekurrenz:
r(i) ≤ 1 + max{r(b(i − 1)/2c), r(d(i − 1)/2e)}.
Falls i = 2, heißt das r(2) ≤ 1 + max{r(0), r(1)} = 2 =
1 + log 2.
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Falls i ≥ 3, ist nach der Rekurrenz und der I.V.
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64
Falls i ≥ 3, ist nach der Rekurrenz und der I.V.
r(i) ≤ 1 + max{1 + log(b(i − 1)/2c), 1 + log(d(i − 1)/2e)}
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Falls i ≥ 3, ist nach der Rekurrenz und der I.V.
r(i) ≤ 1 + max{1 + log(b(i − 1)/2c), 1 + log(d(i − 1)/2e)}
≤ 2 + log(i/2)
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Falls i ≥ 3, ist nach der Rekurrenz und der I.V.
r(i) ≤ 1 + max{1 + log(b(i − 1)/2c), 1 + log(d(i − 1)/2e)}
≤ 2 + log(i/2) = 1 + log i ,
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64
Falls i ≥ 3, ist nach der Rekurrenz und der I.V.
r(i) ≤ 1 + max{1 + log(b(i − 1)/2c), 1 + log(d(i − 1)/2e)}
≤ 2 + log(i/2) = 1 + log i ,
also, weil r(i) eine ganze Zahl ist: r(i) ≤ 1 + blog ic .
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64
Falls i ≥ 3, ist nach der Rekurrenz und der I.V.
r(i) ≤ 1 + max{1 + log(b(i − 1)/2c), 1 + log(d(i − 1)/2e)}
≤ 2 + log(i/2) = 1 + log i ,
also, weil r(i) eine ganze Zahl ist: r(i) ≤ 1 + blog ic .
Das ist die Induktionsbehauptung.
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64
Falls i ≥ 3, ist nach der Rekurrenz und der I.V.
r(i) ≤ 1 + max{1 + log(b(i − 1)/2c), 1 + log(d(i − 1)/2e)}
≤ 2 + log(i/2) = 1 + log i ,
also, weil r(i) eine ganze Zahl ist: r(i) ≤ 1 + blog ic .
Das ist die Induktionsbehauptung.
Satz 1.3.2
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64
Falls i ≥ 3, ist nach der Rekurrenz und der I.V.
r(i) ≤ 1 + max{1 + log(b(i − 1)/2c), 1 + log(d(i − 1)/2e)}
≤ 2 + log(i/2) = 1 + log i ,
also, weil r(i) eine ganze Zahl ist: r(i) ≤ 1 + blog ic .
Das ist die Induktionsbehauptung.
Satz 1.3.2
Der Algorithmus Binäre Suche benötigt auf Eingabe A[1..n]
höchstens 1 + blog nc rekursive Aufrufe und Kosten (Laufzeit)
O(log n).
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64
Falls i ≥ 3, ist nach der Rekurrenz und der I.V.
r(i) ≤ 1 + max{1 + log(b(i − 1)/2c), 1 + log(d(i − 1)/2e)}
≤ 2 + log(i/2) = 1 + log i ,
also, weil r(i) eine ganze Zahl ist: r(i) ≤ 1 + blog ic .
Das ist die Induktionsbehauptung.
Satz 1.3.2
Der Algorithmus Binäre Suche benötigt auf Eingabe A[1..n]
höchstens 1 + blog nc rekursive Aufrufe und Kosten (Laufzeit)
O(log n).
Beispiel: Arraygröße 10 000 000 erfordert nicht mehr als
1 + blog2(107)c = 24 rekursive Aufrufe für eine Suche.
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64
Binäre Suche in schwach geordneten Arrays
Variante der Aufgabenstellung (häufig in Anwendungen):
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65
Binäre Suche in schwach geordneten Arrays
Variante der Aufgabenstellung (häufig in Anwendungen):
Das (Teil-)Array A[1..n] ist schwach aufsteigend“ sortiert,
”
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65
Binäre Suche in schwach geordneten Arrays
Variante der Aufgabenstellung (häufig in Anwendungen):
Das (Teil-)Array A[1..n] ist schwach aufsteigend“ sortiert,
”
d.h. es gilt
A[1] ≤ · · · ≤ A[n] .
Die Ausgabe zum Input x ist informativer als nur die
true/false-Entscheidung, wie bisher betrachtet.
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Binäre Suche in schwach geordneten Arrays
Variante der Aufgabenstellung (häufig in Anwendungen):
Das (Teil-)Array A[1..n] ist schwach aufsteigend“ sortiert,
”
d.h. es gilt
A[1] ≤ · · · ≤ A[n] .
Die Ausgabe zum Input x ist informativer als nur die
true/false-Entscheidung, wie bisher betrachtet.
Sie besteht aus zwei Teilen ww und i(x).
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65
Binäre Suche in schwach geordneten Arrays
Variante der Aufgabenstellung (häufig in Anwendungen):
Das (Teil-)Array A[1..n] ist schwach aufsteigend“ sortiert,
”
d.h. es gilt
A[1] ≤ · · · ≤ A[n] .
Die Ausgabe zum Input x ist informativer als nur die
true/false-Entscheidung, wie bisher betrachtet.
Sie besteht aus zwei Teilen ww und i(x).
Der Wahrheitswert ww ∈ {true, false} hat dieselbe Bedeutung
wie bisher.
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65
Binäre Suche in schwach geordneten Arrays
8
9
10 11= n
1
2
3
4
5
6
7
A: 4
4
7
7
7
9
9 10 12 15 15 *
*
*
i (7) = 3
erstes Vorkommen
i (8) = 6
Position des ersten größeren
i (20) = 12
Eintrag größer als alle Arrayeinträge
Allgemein:
i(x )
1
<x
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n
x
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* * *
66
Binäre Suche in schwach geordneten Arrays
Zudem definieren wir:
i(x) = min({i | 1 ≤ i ≤ n, x ≤ A[i]} ∪ {n + 1}).
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67
Binäre Suche in schwach geordneten Arrays
Zudem definieren wir:
i(x) = min({i | 1 ≤ i ≤ n, x ≤ A[i]} ∪ {n + 1}).
Wenn x im Array vorkommt, ist dies die Position des ersten
(am weitesten links stehenden) Vorkommens von x.
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67
Binäre Suche in schwach geordneten Arrays
Zudem definieren wir:
i(x) = min({i | 1 ≤ i ≤ n, x ≤ A[i]} ∪ {n + 1}).
Wenn x im Array vorkommt, ist dies die Position des ersten
(am weitesten links stehenden) Vorkommens von x.
Wenn x nicht vorkommt, ist es die Position des ersten Eintrags,
der größer als x ist.
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Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
67
Binäre Suche in schwach geordneten Arrays
Zudem definieren wir:
i(x) = min({i | 1 ≤ i ≤ n, x ≤ A[i]} ∪ {n + 1}).
Wenn x im Array vorkommt, ist dies die Position des ersten
(am weitesten links stehenden) Vorkommens von x.
Wenn x nicht vorkommt, ist es die Position des ersten Eintrags,
der größer als x ist.
Wenn kein Eintrag im Array größer als x ist, ist i(x) = n + 1.
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Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
67
Iterative binäre Suche
Bei der Algorithmennotation ändern wir ebenfalls den Ansatz:
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68
Iterative binäre Suche
Bei der Algorithmennotation ändern wir ebenfalls den Ansatz:
In einer einfachen Schleife (ohne Rekursion) wird die Position
i(x) bestimmt.
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Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
68
Iterative binäre Suche
Bei der Algorithmennotation ändern wir ebenfalls den Ansatz:
In einer einfachen Schleife (ohne Rekursion) wird die Position
i(x) bestimmt.
Im Fall der binären Suche ist der Schritt von rekursiver zu
iterativer Implementierung leicht, weil es sich um eine tail
”
recursion“ handelt: das Resultat des rekursiven Aufrufs wird
einfach nach außen durchgereicht“.
”
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Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
68
Iterative binäre Suche
Bei der Algorithmennotation ändern wir ebenfalls den Ansatz:
In einer einfachen Schleife (ohne Rekursion) wird die Position
i(x) bestimmt.
Im Fall der binären Suche ist der Schritt von rekursiver zu
iterativer Implementierung leicht, weil es sich um eine tail
”
recursion“ handelt: das Resultat des rekursiven Aufrufs wird
einfach nach außen durchgereicht“.
”
Bei der Suche werden nur ≤-Vergleiche benutzt (keine
Gleichheitstests).
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68
Iterative binäre Suche
Bei der Algorithmennotation ändern wir ebenfalls den Ansatz:
In einer einfachen Schleife (ohne Rekursion) wird die Position
i(x) bestimmt.
Im Fall der binären Suche ist der Schritt von rekursiver zu
iterativer Implementierung leicht, weil es sich um eine tail
”
recursion“ handelt: das Resultat des rekursiven Aufrufs wird
einfach nach außen durchgereicht“.
”
Bei der Suche werden nur ≤-Vergleiche benutzt (keine
Gleichheitstests).
Anhand von i(x) wird zuletzt in einem Vergleich entschieden,
ob x in A[1..n] vorkommt.
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Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
68
Algorithmus Binäre Suche (Iterativ)
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Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
69
Algorithmus Binäre Suche (Iterativ)
Eingabe: Array A[1..M ],
x: elements;
n, 1 ≤ n ≤ M , mit A[1] ≤ · · · ≤ A[n].
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
69
Algorithmus Binäre Suche (Iterativ)
Eingabe: Array A[1..M ],
x: elements;
n, 1 ≤ n ≤ M , mit A[1] ≤ · · · ≤ A[n].
(1)
a ← 1; b ← n;
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
69
Algorithmus Binäre Suche (Iterativ)
Eingabe: Array A[1..M ],
x: elements;
n, 1 ≤ n ≤ M , mit A[1] ≤ · · · ≤ A[n].
(1)
a ← 1; b ← n;
(2)
while a < b do
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Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
69
Algorithmus Binäre Suche (Iterativ)
Eingabe: Array A[1..M ],
x: elements;
n, 1 ≤ n ≤ M , mit A[1] ≤ · · · ≤ A[n].
(1)
a ← 1; b ← n;
(2)
while a < b do
(3)
m ← (a+b) div 2 ;
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
69
Algorithmus Binäre Suche (Iterativ)
Eingabe: Array A[1..M ],
x: elements;
n, 1 ≤ n ≤ M , mit A[1] ≤ · · · ≤ A[n].
(1)
a ← 1; b ← n;
(2)
while a < b do
(3)
m ← (a+b) div 2 ;
(4)
if x ≤ A[m] then b ← m else a ← m + 1;
FG KTuEA, TU Ilmenau
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69
Algorithmus Binäre Suche (Iterativ)
Eingabe: Array A[1..M ],
x: elements;
n, 1 ≤ n ≤ M , mit A[1] ≤ · · · ≤ A[n].
(1)
a ← 1; b ← n;
(2)
while a < b do
(3)
m ← (a+b) div 2 ;
(4)
if x ≤ A[m] then b ← m else a ← m + 1;
(5)
if x > A[a] then return (false, a + 1);
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69
Algorithmus Binäre Suche (Iterativ)
Eingabe: Array A[1..M ],
x: elements;
n, 1 ≤ n ≤ M , mit A[1] ≤ · · · ≤ A[n].
(1)
a ← 1; b ← n;
(2)
while a < b do
(3)
m ← (a+b) div 2 ;
(4)
if x ≤ A[m] then b ← m else a ← m + 1;
(5)
if x > A[a] then return (false, a + 1);
(6)
if x = A[a] then return (true, a)
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69
Algorithmus Binäre Suche (Iterativ)
Eingabe: Array A[1..M ],
x: elements;
n, 1 ≤ n ≤ M , mit A[1] ≤ · · · ≤ A[n].
(1)
a ← 1; b ← n;
(2)
while a < b do
(3)
m ← (a+b) div 2 ;
(4)
if x ≤ A[m] then b ← m else a ← m + 1;
(5)
if x > A[a] then return (false, a + 1);
(6)
if x = A[a] then return (true, a)
(7)
else return (false, a).
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69
Satz 1.3.3
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70
Satz 1.3.3
Der Algorithmus Binäre Suche (Iterativ) auf einem schwach
aufsteigend geordneten Array A[1..n] liefert das korrekte
Ergebnis.
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70
Satz 1.3.3
Der Algorithmus Binäre Suche (Iterativ) auf einem schwach
aufsteigend geordneten Array A[1..n] liefert das korrekte
Ergebnis.
Die Anzahl der Durchläufe durch den Rumpf der Schleife ist
höchstens dlog ne.
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70
Satz 1.3.3
Der Algorithmus Binäre Suche (Iterativ) auf einem schwach
aufsteigend geordneten Array A[1..n] liefert das korrekte
Ergebnis.
Die Anzahl der Durchläufe durch den Rumpf der Schleife ist
höchstens dlog ne.
Die Laufzeit ist Θ(log n) im schlechtesten und im besten Fall.
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70
Satz 1.3.3
Der Algorithmus Binäre Suche (Iterativ) auf einem schwach
aufsteigend geordneten Array A[1..n] liefert das korrekte
Ergebnis.
Die Anzahl der Durchläufe durch den Rumpf der Schleife ist
höchstens dlog ne.
Die Laufzeit ist Θ(log n) im schlechtesten und im besten Fall.
Vorsicht! Die Korrektheit ist alles andere als offensichtlich.
Sorgfältiges Argumentieren ist nötig.
Beweis: Übung.
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Mehrere Mengen: Datentyp DynSets
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Mehrere Mengen: Datentyp DynSets
Intuitive Aufgabe:
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71
Mehrere Mengen: Datentyp DynSets
Intuitive Aufgabe: Speichere mehrere Mengen S1, . . . , Sr ⊆
D, so dass für jede die Operationen des Datentyps
Dynamische Menge ausführbar sind und zudem
FG KTuEA, TU Ilmenau
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71
Mehrere Mengen: Datentyp DynSets
Intuitive Aufgabe: Speichere mehrere Mengen S1, . . . , Sr ⊆
D, so dass für jede die Operationen des Datentyps
Dynamische Menge ausführbar sind und zudem
Vereinigung, Durchschnitt, Differenz,
Symmetrische Differenz, Leerheitstest
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71
Mehrere Mengen: Datentyp DynSets
Intuitive Aufgabe: Speichere mehrere Mengen S1, . . . , Sr ⊆
D, so dass für jede die Operationen des Datentyps
Dynamische Menge ausführbar sind und zudem
Vereinigung, Durchschnitt, Differenz,
Symmetrische Differenz, Leerheitstest
Signatur: Wie Dynamische Menge, und zusätzlich:
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71
Mehrere Mengen: Datentyp DynSets
Intuitive Aufgabe: Speichere mehrere Mengen S1, . . . , Sr ⊆
D, so dass für jede die Operationen des Datentyps
Dynamische Menge ausführbar sind und zudem
Vereinigung, Durchschnitt, Differenz,
Symmetrische Differenz, Leerheitstest
Signatur: Wie Dynamische Menge, und zusätzlich:
union : Sets × Sets → Sets
FG KTuEA, TU Ilmenau
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71
Mehrere Mengen: Datentyp DynSets
Intuitive Aufgabe: Speichere mehrere Mengen S1, . . . , Sr ⊆
D, so dass für jede die Operationen des Datentyps
Dynamische Menge ausführbar sind und zudem
Vereinigung, Durchschnitt, Differenz,
Symmetrische Differenz, Leerheitstest
Signatur: Wie Dynamische Menge, und zusätzlich:
union : Sets × Sets → Sets
intersection : Sets × Sets → Sets
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
71
Mehrere Mengen: Datentyp DynSets
Intuitive Aufgabe: Speichere mehrere Mengen S1, . . . , Sr ⊆
D, so dass für jede die Operationen des Datentyps
Dynamische Menge ausführbar sind und zudem
Vereinigung, Durchschnitt, Differenz,
Symmetrische Differenz, Leerheitstest
Signatur: Wie Dynamische Menge, und zusätzlich:
union : Sets × Sets → Sets
intersection : Sets × Sets → Sets
diff : Sets × Sets → Sets
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
71
Mehrere Mengen: Datentyp DynSets
Intuitive Aufgabe: Speichere mehrere Mengen S1, . . . , Sr ⊆
D, so dass für jede die Operationen des Datentyps
Dynamische Menge ausführbar sind und zudem
Vereinigung, Durchschnitt, Differenz,
Symmetrische Differenz, Leerheitstest
Signatur: Wie Dynamische Menge, und zusätzlich:
union : Sets × Sets → Sets
intersection : Sets × Sets → Sets
diff : Sets × Sets → Sets
symdiff : Sets × Sets → Sets
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
71
Mehrere Mengen: Datentyp DynSets
Intuitive Aufgabe: Speichere mehrere Mengen S1, . . . , Sr ⊆
D, so dass für jede die Operationen des Datentyps
Dynamische Menge ausführbar sind und zudem
Vereinigung, Durchschnitt, Differenz,
Symmetrische Differenz, Leerheitstest
Signatur: Wie Dynamische Menge, und zusätzlich:
union : Sets × Sets → Sets
intersection : Sets × Sets → Sets
diff : Sets × Sets → Sets
symdiff : Sets × Sets → Sets
isempty : Sets → Boolean
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Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
71
Mathematisches Modell: Wie Dynamische Menge, und
zusätzlich:
FG KTuEA, TU Ilmenau
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72
Mathematisches Modell: Wie Dynamische Menge, und
zusätzlich:
union(S1, S2) := S1 ∪ S2
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
72
Mathematisches Modell: Wie Dynamische Menge, und
zusätzlich:
union(S1, S2) := S1 ∪ S2
intersection(S1, S2) := S1 ∩ S2
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
72
Mathematisches Modell: Wie Dynamische Menge, und
zusätzlich:
union(S1, S2) := S1 ∪ S2
intersection(S1, S2) := S1 ∩ S2
diff(S1, S2) := S1 − S2
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
72
Mathematisches Modell: Wie Dynamische Menge, und
zusätzlich:
union(S1, S2) := S1 ∪ S2
intersection(S1, S2) := S1 ∩ S2
diff(S1, S2) := S1 − S2
symdiff(S1, S2) := (S1 ∪ S2) − (S1 ∩ S2)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
72
Mathematisches Modell: Wie Dynamische Menge, und
zusätzlich:
union(S1, S2) := S1 ∪ S2
intersection(S1, S2) := S1 ∩ S2
diff(S1, S2) := S1 − S2
symdiff(S1, S2) := (S1 ∪ S2) − (S1 ∩ S2)
(
true, falls S = ∅
isempty (S) :=
false, sonst.
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72
Weitere interessante
Kombination:
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Operationen
erhält
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man
durch
73
Weitere interessante
Kombination:
Operationen
erhält
man
durch
Gleichheitstest: Ist S1 = S2?
equal(S1, S2) = isempty(symdiff(S1, S2))
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Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
73
Weitere interessante
Kombination:
Operationen
erhält
man
durch
Gleichheitstest: Ist S1 = S2?
equal(S1, S2) = isempty(symdiff(S1, S2))
Teilmengentest: Ist S1 ⊆ S2?
subset(S1, S2) = isempty(diff(S1, S2))
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Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
73
Weitere interessante
Kombination:
Operationen
erhält
man
durch
Gleichheitstest: Ist S1 = S2?
equal(S1, S2) = isempty(symdiff(S1, S2))
Teilmengentest: Ist S1 ⊆ S2?
subset(S1, S2) = isempty(diff(S1, S2))
Disjunktheitstest: Ist S1 ∩ S2 = ∅?
disjoint(S1, S2) = isempty(intersection(S1, S2))
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73
Implementierung des Datentyps DynSets
Einfach: Ungeordnete Strukturen (Array/Liste)
mit oder ohne Wiederholung.
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74
Implementierung des Datentyps DynSets
Einfach: Ungeordnete Strukturen (Array/Liste)
mit oder ohne Wiederholung.
Implementierung von isempty :
teste, ob Liste leer bzw. Pegelstand gleich 0.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
74
Implementierung des Datentyps DynSets
Einfach: Ungeordnete Strukturen (Array/Liste)
mit oder ohne Wiederholung.
Implementierung von isempty :
teste, ob Liste leer bzw. Pegelstand gleich 0.
union(S1, S2): Mit Wiederholung:
Darstellung von Si hat Länge hi, i = 1, 2.
Kosten: Bei Listen
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74
Implementierung des Datentyps DynSets
Einfach: Ungeordnete Strukturen (Array/Liste)
mit oder ohne Wiederholung.
Implementierung von isempty :
teste, ob Liste leer bzw. Pegelstand gleich 0.
union(S1, S2): Mit Wiederholung:
Darstellung von Si hat Länge hi, i = 1, 2.
Kosten: Bei Listen O(1) (halte Zeiger auf Listenende!)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
74
Implementierung des Datentyps DynSets
Einfach: Ungeordnete Strukturen (Array/Liste)
mit oder ohne Wiederholung.
Implementierung von isempty :
teste, ob Liste leer bzw. Pegelstand gleich 0.
union(S1, S2): Mit Wiederholung:
Darstellung von Si hat Länge hi, i = 1, 2.
Kosten: Bei Listen O(1) (halte Zeiger auf Listenende!)
bei Arrays
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
74
Implementierung des Datentyps DynSets
Einfach: Ungeordnete Strukturen (Array/Liste)
mit oder ohne Wiederholung.
Implementierung von isempty :
teste, ob Liste leer bzw. Pegelstand gleich 0.
union(S1, S2): Mit Wiederholung:
Darstellung von Si hat Länge hi, i = 1, 2.
Kosten: Bei Listen O(1) (halte Zeiger auf Listenende!)
bei Arrays O(h1 + h2) (muss kopieren).
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
74
Implementierung des Datentyps DynSets
Einfach: Ungeordnete Strukturen (Array/Liste)
mit oder ohne Wiederholung.
Implementierung von isempty :
teste, ob Liste leer bzw. Pegelstand gleich 0.
union(S1, S2): Mit Wiederholung:
Darstellung von Si hat Länge hi, i = 1, 2.
Kosten: Bei Listen O(1) (halte Zeiger auf Listenende!)
bei Arrays O(h1 + h2) (muss kopieren).
Für intersection(S1, S2), diff (S1, S2), symdiff (S1, S2):
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74
Implementierung des Datentyps DynSets
Einfach: Ungeordnete Strukturen (Array/Liste)
mit oder ohne Wiederholung.
Implementierung von isempty :
teste, ob Liste leer bzw. Pegelstand gleich 0.
union(S1, S2): Mit Wiederholung:
Darstellung von Si hat Länge hi, i = 1, 2.
Kosten: Bei Listen O(1) (halte Zeiger auf Listenende!)
bei Arrays O(h1 + h2) (muss kopieren).
Für intersection(S1, S2), diff (S1, S2), symdiff (S1, S2):
Für jedes Element der Darstellung von S1 durchsuche
Darstellung von S2.
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74
Implementierung des Datentyps DynSets
Einfach: Ungeordnete Strukturen (Array/Liste)
mit oder ohne Wiederholung.
Implementierung von isempty :
teste, ob Liste leer bzw. Pegelstand gleich 0.
union(S1, S2): Mit Wiederholung:
Darstellung von Si hat Länge hi, i = 1, 2.
Kosten: Bei Listen O(1) (halte Zeiger auf Listenende!)
bei Arrays O(h1 + h2) (muss kopieren).
Für intersection(S1, S2), diff (S1, S2), symdiff (S1, S2):
Für jedes Element der Darstellung von S1 durchsuche
Darstellung von S2.
Kosten:
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Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
74
Implementierung des Datentyps DynSets
Einfach: Ungeordnete Strukturen (Array/Liste)
mit oder ohne Wiederholung.
Implementierung von isempty :
teste, ob Liste leer bzw. Pegelstand gleich 0.
union(S1, S2): Mit Wiederholung:
Darstellung von Si hat Länge hi, i = 1, 2.
Kosten: Bei Listen O(1) (halte Zeiger auf Listenende!)
bei Arrays O(h1 + h2) (muss kopieren).
Für intersection(S1, S2), diff (S1, S2), symdiff (S1, S2):
Für jedes Element der Darstellung von S1 durchsuche
Darstellung von S2.
Kosten: Θ(h1 · h2).
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74
Etwas schlauer: Aufsteigend sortierte Arrays/Listen.
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75
Etwas schlauer: Aufsteigend sortierte Arrays/Listen.
Implementierungen der Operationen
union(S1, S2), intersection(S1, S2),
diff (S1, S2), symdiff (S1, S2):
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
75
Etwas schlauer: Aufsteigend sortierte Arrays/Listen.
Implementierungen der Operationen
union(S1, S2), intersection(S1, S2),
diff (S1, S2), symdiff (S1, S2):
Paralleler Durchlauf durch zwei Arrays/Listen,
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Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
75
Etwas schlauer: Aufsteigend sortierte Arrays/Listen.
Implementierungen der Operationen
union(S1, S2), intersection(S1, S2),
diff (S1, S2), symdiff (S1, S2):
Paralleler Durchlauf durch zwei Arrays/Listen,
analog zum Mischen (Merge) bei Mergesort.
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75
Hier: Mit uneigentlichem Wächterelement“ (engl.: sentinel“)
”
”
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76
Hier: Mit uneigentlichem Wächterelement“ (engl.: sentinel“)
”
”
Eintrag: ∞, größer als alle Elemente von U . – Eingabe:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
76
Hier: Mit uneigentlichem Wächterelement“ (engl.: sentinel“)
”
”
Eintrag: ∞, größer als alle Elemente von U . – Eingabe:
FG KTuEA, TU Ilmenau
3
7
20
25
4
11
20
oo
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
oo
76
Hier: Mit uneigentlichem Wächterelement“ (engl.: sentinel“)
”
”
Eintrag: ∞, größer als alle Elemente von U . – Eingabe:
3
7
20
25
4
11
20
oo
oo
Ausgeführte Vergleiche und Ergebnis bei union:
3
4
7
4
7
11
20
11
20
20
25
oo
oo
oo
3
4
7
11
20
25
oo
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
76
Hier: Mit uneigentlichem Wächterelement“ (engl.: sentinel“)
”
”
Eintrag: ∞, größer als alle Elemente von U . – Eingabe:
3
7
20
25
4
11
20
oo
oo
Ausgeführte Vergleiche und Ergebnis bei union:
3
4
7
4
7
11
20
11
20
20
25
oo
oo
oo
3
4
7
11
20
25
oo
Kosten:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
76
Hier: Mit uneigentlichem Wächterelement“ (engl.: sentinel“)
”
”
Eintrag: ∞, größer als alle Elemente von U . – Eingabe:
3
7
20
25
4
11
20
oo
oo
Ausgeführte Vergleiche und Ergebnis bei union:
3
4
7
4
7
11
20
11
20
20
25
oo
oo
oo
3
4
7
11
20
25
oo
Kosten: Θ(n1 + n2), wo |S1| = n1, |S2| = n2.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
76
Hier: Mit uneigentlichem Wächterelement“ (engl.: sentinel“)
”
”
Eintrag: ∞, größer als alle Elemente von U . – Eingabe:
3
7
20
25
4
11
20
oo
oo
Ausgeführte Vergleiche und Ergebnis bei union:
3
4
7
4
7
11
20
11
20
20
25
oo
oo
oo
3
4
7
11
20
25
oo
Kosten: Θ(n1 + n2), wo |S1| = n1, |S2| = n2.
Für die anderen Operationen: analog.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
76
Für kleine“ Mengen: Bitvektor-Darstellung
”
Grundmenge D gegeben als konstantes Tupel (x1, . . . , xN )
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
77
Für kleine“ Mengen: Bitvektor-Darstellung
”
Grundmenge D gegeben als konstantes Tupel (x1, . . . , xN )
Identifiziere xi mit i, d.h. D = {1, . . . , N }
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
77
Für kleine“ Mengen: Bitvektor-Darstellung
”
Grundmenge D gegeben als konstantes Tupel (x1, . . . , xN )
Identifiziere xi mit i, d.h. D = {1, . . . , N }
Beispiel: In Pascal:
type
Farbe = (rot, gruen, blau, gelb, lila, orange);
Palette = set of Farbe;
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
77
Für kleine“ Mengen: Bitvektor-Darstellung
”
Grundmenge D gegeben als konstantes Tupel (x1, . . . , xN )
Identifiziere xi mit i, d.h. D = {1, . . . , N }
Beispiel: In Pascal:
type
Farbe = (rot, gruen, blau, gelb, lila, orange);
Palette = set of Farbe;
Hier: N = 6.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
77
Für kleine“ Mengen: Bitvektor-Darstellung
”
Grundmenge D gegeben als konstantes Tupel (x1, . . . , xN )
Identifiziere xi mit i, d.h. D = {1, . . . , N }
Beispiel: In Pascal:
type
Farbe = (rot, gruen, blau, gelb, lila, orange);
Palette = set of Farbe;
Hier: N = 6.
rot =
b 1, gruen =
b 2, blau =
b 3,
gelb =
b 4, lila =
b 5, orange =
b 6.
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Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
77
Repräsentation: Durch Array A[1..N ] of Boolean
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
78
Repräsentation: Durch Array A[1..N ] of Boolean wird
S = {i | A[i] = 1}
dargestellt.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
78
Repräsentation: Durch Array A[1..N ] of Boolean wird
S = {i | A[i] = 1}
dargestellt.
Wie immer: 0 für false, 1 für true.
Beispiel: Darstellung der Menge {2, 3, 5} =
b {gruen, blau, lila}:
0
FG KTuEA, TU Ilmenau
1
1
0
1
0
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
78
Repräsentation: Durch Array A[1..N ] of Boolean wird
S = {i | A[i] = 1}
dargestellt.
Wie immer: 0 für false, 1 für true.
Beispiel: Darstellung der Menge {2, 3, 5} =
b {gruen, blau, lila}:
0
1
1
0
1
0
Platzbedarf:
N Bits, d. h. dN/8e Bytes oder dN/32e Speicherworte à 32
Bits.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
78
empty : Lege Array A[1..N ] an;
for i from 1 to N do A[i] ← 0 ;
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
79
empty : Lege Array A[1..N ] an;
for i from 1 to N do A[i] ← 0 ;
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
Kosten:
79
empty : Lege Array A[1..N ] an;
for i from 1 to N do A[i] ← 0 ;
FG KTuEA, TU Ilmenau
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Kosten: Θ(N )
79
empty : Lege Array A[1..N ] an;
for i from 1 to N do A[i] ← 0 ;
Kosten: Θ(N )
insert(S, i):
A[i] ← 1 ;
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
79
empty : Lege Array A[1..N ] an;
for i from 1 to N do A[i] ← 0 ;
insert(S, i):
A[i] ← 1 ;
FG KTuEA, TU Ilmenau
Kosten: Θ(N )
Kosten:
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
79
empty : Lege Array A[1..N ] an;
for i from 1 to N do A[i] ← 0 ;
insert(S, i):
A[i] ← 1 ;
FG KTuEA, TU Ilmenau
Kosten: Θ(N )
Kosten: O(1)
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
79
empty : Lege Array A[1..N ] an;
for i from 1 to N do A[i] ← 0 ;
insert(S, i):
A[i] ← 1 ;
Kosten: Θ(N )
Kosten: O(1)
delete(S, i):
A[i] ← 0 ;
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
79
empty : Lege Array A[1..N ] an;
for i from 1 to N do A[i] ← 0 ;
Kosten: Θ(N )
insert(S, i):
A[i] ← 1 ;
Kosten: O(1)
delete(S, i):
A[i] ← 0 ;
Kosten:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
79
empty : Lege Array A[1..N ] an;
for i from 1 to N do A[i] ← 0 ;
Kosten: Θ(N )
insert(S, i):
A[i] ← 1 ;
Kosten: O(1)
delete(S, i):
A[i] ← 0 ;
Kosten: O(1)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
79
empty : Lege Array A[1..N ] an;
for i from 1 to N do A[i] ← 0 ;
Kosten: Θ(N )
insert(S, i):
A[i] ← 1 ;
Kosten: O(1)
delete(S, i):
A[i] ← 0 ;
Kosten: O(1)
member (S, i):
return A[i];
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
79
empty : Lege Array A[1..N ] an;
for i from 1 to N do A[i] ← 0 ;
Kosten: Θ(N )
insert(S, i):
A[i] ← 1 ;
Kosten: O(1)
delete(S, i):
A[i] ← 0 ;
Kosten: O(1)
member (S, i):
return A[i];
Kosten:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
79
empty : Lege Array A[1..N ] an;
for i from 1 to N do A[i] ← 0 ;
Kosten: Θ(N )
insert(S, i):
A[i] ← 1 ;
Kosten: O(1)
delete(S, i):
A[i] ← 0 ;
Kosten: O(1)
member (S, i):
return A[i];
Kosten: O(1)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
79
empty : Lege Array A[1..N ] an;
for i from 1 to N do A[i] ← 0 ;
Kosten: Θ(N )
insert(S, i):
A[i] ← 1 ;
Kosten: O(1)
delete(S, i):
A[i] ← 0 ;
Kosten: O(1)
member (S, i):
return A[i];
Kosten: O(1)
DynSets-Operationen:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
79
empty : Lege Array A[1..N ] an;
for i from 1 to N do A[i] ← 0 ;
Kosten: Θ(N )
insert(S, i):
A[i] ← 1 ;
Kosten: O(1)
delete(S, i):
A[i] ← 0 ;
Kosten: O(1)
member (S, i):
return A[i];
Kosten: O(1)
DynSets-Operationen:
union(S1, S2), intersection(S1, S2), diff (S1, S2), symdiff (S1, S2):
Jeweils paralleler Durchlauf durch zwei Arrays.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
79
empty : Lege Array A[1..N ] an;
for i from 1 to N do A[i] ← 0 ;
Kosten: Θ(N )
insert(S, i):
A[i] ← 1 ;
Kosten: O(1)
delete(S, i):
A[i] ← 0 ;
Kosten: O(1)
member (S, i):
return A[i];
Kosten: O(1)
DynSets-Operationen:
union(S1, S2), intersection(S1, S2), diff (S1, S2), symdiff (S1, S2):
Jeweils paralleler Durchlauf durch zwei Arrays. Kosten:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
79
empty : Lege Array A[1..N ] an;
for i from 1 to N do A[i] ← 0 ;
Kosten: Θ(N )
insert(S, i):
A[i] ← 1 ;
Kosten: O(1)
delete(S, i):
A[i] ← 0 ;
Kosten: O(1)
member (S, i):
return A[i];
Kosten: O(1)
DynSets-Operationen:
union(S1, S2), intersection(S1, S2), diff (S1, S2), symdiff (S1, S2):
Jeweils paralleler Durchlauf durch zwei Arrays. Kosten: Θ(N )
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
79
empty : Lege Array A[1..N ] an;
for i from 1 to N do A[i] ← 0 ;
Kosten: Θ(N )
insert(S, i):
A[i] ← 1 ;
Kosten: O(1)
delete(S, i):
A[i] ← 0 ;
Kosten: O(1)
member (S, i):
return A[i];
Kosten: O(1)
DynSets-Operationen:
union(S1, S2), intersection(S1, S2), diff (S1, S2), symdiff (S1, S2):
Jeweils paralleler Durchlauf durch zwei Arrays. Kosten: Θ(N )
isempty (S):
Durchlauf durch ein Array.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
79
empty : Lege Array A[1..N ] an;
for i from 1 to N do A[i] ← 0 ;
Kosten: Θ(N )
insert(S, i):
A[i] ← 1 ;
Kosten: O(1)
delete(S, i):
A[i] ← 0 ;
Kosten: O(1)
member (S, i):
return A[i];
Kosten: O(1)
DynSets-Operationen:
union(S1, S2), intersection(S1, S2), diff (S1, S2), symdiff (S1, S2):
Jeweils paralleler Durchlauf durch zwei Arrays. Kosten: Θ(N )
isempty (S):
Durchlauf durch ein Array.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
Kosten:
79
empty : Lege Array A[1..N ] an;
for i from 1 to N do A[i] ← 0 ;
Kosten: Θ(N )
insert(S, i):
A[i] ← 1 ;
Kosten: O(1)
delete(S, i):
A[i] ← 0 ;
Kosten: O(1)
member (S, i):
return A[i];
Kosten: O(1)
DynSets-Operationen:
union(S1, S2), intersection(S1, S2), diff (S1, S2), symdiff (S1, S2):
Jeweils paralleler Durchlauf durch zwei Arrays. Kosten: Θ(N )
isempty (S):
Durchlauf durch ein Array.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
Kosten: Θ(N )
79
Zusatz 1: Wenn man zur Bitvektor-Darstellung von |S| eine
int-Variable hinzufügt, die |S| enthält, dauert der Leerheitstest nur O(1),
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
80
Zusatz 1: Wenn man zur Bitvektor-Darstellung von |S| eine
int-Variable hinzufügt, die |S| enthält, dauert der Leerheitstest nur O(1),
die anderen Operationen nur um einen konstanten Faktor
länger.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
80
Zusatz 1: Wenn man zur Bitvektor-Darstellung von |S| eine
int-Variable hinzufügt, die |S| enthält, dauert der Leerheitstest nur O(1),
die anderen Operationen nur um einen konstanten Faktor
länger.
Übung: Wie ist die Implementierung von empty, insert, delete, union, symdiff zu modifizieren, wenn ein solcher Zähler
mitgeführt wird?
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
80
Zusatz 1: Wenn man zur Bitvektor-Darstellung von |S| eine
int-Variable hinzufügt, die |S| enthält, dauert der Leerheitstest nur O(1),
die anderen Operationen nur um einen konstanten Faktor
länger.
Übung: Wie ist die Implementierung von empty, insert, delete, union, symdiff zu modifizieren, wenn ein solcher Zähler
mitgeführt wird?
Zusatz 2: Im Fall der Bitvektor-Darstellung lässt sich auch
die Komplement-Operation
compl : Sets → Sets
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
80
Zusatz 1: Wenn man zur Bitvektor-Darstellung von |S| eine
int-Variable hinzufügt, die |S| enthält, dauert der Leerheitstest nur O(1),
die anderen Operationen nur um einen konstanten Faktor
länger.
Übung: Wie ist die Implementierung von empty, insert, delete, union, symdiff zu modifizieren, wenn ein solcher Zähler
mitgeführt wird?
Zusatz 2: Im Fall der Bitvektor-Darstellung lässt sich auch
die Komplement-Operation
compl : Sets → Sets
mit der Semantik (im mathematischen Modell)
compl(S) = U − S
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
80
Zusatz 1: Wenn man zur Bitvektor-Darstellung von |S| eine
int-Variable hinzufügt, die |S| enthält, dauert der Leerheitstest nur O(1),
die anderen Operationen nur um einen konstanten Faktor
länger.
Übung: Wie ist die Implementierung von empty, insert, delete, union, symdiff zu modifizieren, wenn ein solcher Zähler
mitgeführt wird?
Zusatz 2: Im Fall der Bitvektor-Darstellung lässt sich auch
die Komplement-Operation
compl : Sets → Sets
mit der Semantik (im mathematischen Modell)
compl(S) = U − S
leicht implementieren.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
80
Zusatz 1: Wenn man zur Bitvektor-Darstellung von |S| eine
int-Variable hinzufügt, die |S| enthält, dauert der Leerheitstest nur O(1),
die anderen Operationen nur um einen konstanten Faktor
länger.
Übung: Wie ist die Implementierung von empty, insert, delete, union, symdiff zu modifizieren, wenn ein solcher Zähler
mitgeführt wird?
Zusatz 2: Im Fall der Bitvektor-Darstellung lässt sich auch
die Komplement-Operation
compl : Sets → Sets
mit der Semantik (im mathematischen Modell)
compl(S) = U − S
leicht implementieren.
Kosten:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
80
Zusatz 1: Wenn man zur Bitvektor-Darstellung von |S| eine
int-Variable hinzufügt, die |S| enthält, dauert der Leerheitstest nur O(1),
die anderen Operationen nur um einen konstanten Faktor
länger.
Übung: Wie ist die Implementierung von empty, insert, delete, union, symdiff zu modifizieren, wenn ein solcher Zähler
mitgeführt wird?
Zusatz 2: Im Fall der Bitvektor-Darstellung lässt sich auch
die Komplement-Operation
compl : Sets → Sets
mit der Semantik (im mathematischen Modell)
compl(S) = U − S
leicht implementieren.
Kosten: Θ(N )
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
80
Kosten für DynSets-Operationen, einfache Implementierung:
empty
insert
delete
member
isempty
union
i’section
diff
symdiff
compl
BV
Θ(N )
O(1)
O(1)
O(1)
O(1)
Θ(N )
Θ(N )
Θ(N )
Θ(N )
Θ(N )
AmW
O(1)
O(1)
O(h)
O(h)
O(1)
O(h1 +h2)
O(h1h2)
O(h1h2)
O(h1h2)
−
LmW
O(1)
O(1)
O(h)
O(h)
O(1)
O(1)
O(h1h2)
O(h1h2)
O(h1h2)
−
{A,L}oW
O(1)
O(n)
O(n)
O(n)
O(1)
O(n1n2)
O(n1n2)
O(n1n2)
O(n1n2)
−
A-sort
O(1)
O(n)
O(n)
O(log n)
O(1)
O(n1 +n2)
O(n1 +n2)
O(n1 +n2)
O(n1 +n2)
−
L-sort
O(1)
O(n)
O(n)
O(n)
O(1)
O(n1 +n2)
O(n1 +n2)
O(n1 +n2)
O(n1 +n2)
−
BV: Bitvektor; A: Array; o: ohne; m: mit; W: Wiederholung;
A/L-sort: sortierte(s) Array/Liste
N : Länge des Bitvektors;
n, n1, n2: Größe von S , S1, S2
h, h1, h2: Länge der Listen-/Arraydarstellung von S , S1, S2
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
81
2.4. Der Datentyp Wörterbuch
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
82
2.4. Der Datentyp Wörterbuch
Synonym: Dictionary“, Dynamische Abbildung“
”
”
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
82
2.4. Der Datentyp Wörterbuch
Synonym: Dictionary“, Dynamische Abbildung“
”
”
Gegeben ist Schlüsselmenge U
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
82
2.4. Der Datentyp Wörterbuch
Synonym: Dictionary“, Dynamische Abbildung“
”
”
Gegeben ist Schlüsselmenge U und eine Wertemenge R
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
82
2.4. Der Datentyp Wörterbuch
Synonym: Dictionary“, Dynamische Abbildung“
”
”
Gegeben ist Schlüsselmenge U und eine Wertemenge R
(engl. range“)
”
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
82
2.4. Der Datentyp Wörterbuch
Synonym: Dictionary“, Dynamische Abbildung“
”
”
Gegeben ist Schlüsselmenge U und eine Wertemenge R
(engl. range“)
”
Manchen Schlüsseln x ∈ U soll ein Wert f (x) ∈ R zugeordnet
sein.
Menge der möglichen Datensätze: D = U × R.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
82
2.4. Der Datentyp Wörterbuch
Synonym: Dictionary“, Dynamische Abbildung“
”
”
Gegeben ist Schlüsselmenge U und eine Wertemenge R
(engl. range“)
”
Manchen Schlüsseln x ∈ U soll ein Wert f (x) ∈ R zugeordnet
sein.
Menge der möglichen Datensätze: D = U × R.
Man möchte:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
82
2.4. Der Datentyp Wörterbuch
Synonym: Dictionary“, Dynamische Abbildung“
”
”
Gegeben ist Schlüsselmenge U und eine Wertemenge R
(engl. range“)
”
Manchen Schlüsseln x ∈ U soll ein Wert f (x) ∈ R zugeordnet
sein.
Menge der möglichen Datensätze: D = U × R.
Man möchte:
empty : ein leeres Wörterbuch erzeugen
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
82
2.4. Der Datentyp Wörterbuch
Synonym: Dictionary“, Dynamische Abbildung“
”
”
Gegeben ist Schlüsselmenge U und eine Wertemenge R
(engl. range“)
”
Manchen Schlüsseln x ∈ U soll ein Wert f (x) ∈ R zugeordnet
sein.
Menge der möglichen Datensätze: D = U × R.
Man möchte:
empty : ein leeres Wörterbuch erzeugen
lookup: den einem Schlüssel zugeordneten Wert finden
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
82
2.4. Der Datentyp Wörterbuch
Synonym: Dictionary“, Dynamische Abbildung“
”
”
Gegeben ist Schlüsselmenge U und eine Wertemenge R
(engl. range“)
”
Manchen Schlüsseln x ∈ U soll ein Wert f (x) ∈ R zugeordnet
sein.
Menge der möglichen Datensätze: D = U × R.
Man möchte:
empty : ein leeres Wörterbuch erzeugen
lookup: den einem Schlüssel zugeordneten Wert finden
insert: neue Paare (Schlüssel, Wert) einführen
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
82
2.4. Der Datentyp Wörterbuch
Synonym: Dictionary“, Dynamische Abbildung“
”
”
Gegeben ist Schlüsselmenge U und eine Wertemenge R
(engl. range“)
”
Manchen Schlüsseln x ∈ U soll ein Wert f (x) ∈ R zugeordnet
sein.
Menge der möglichen Datensätze: D = U × R.
Man möchte:
empty : ein leeres Wörterbuch erzeugen
lookup: den einem Schlüssel zugeordneten Wert finden
insert: neue Paare (Schlüssel, Wert) einführen
delete: anhand eines Schlüssels ein Paar löschen
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
82
Beispiel:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
83
Beispiel:
U
R
Max
2.1.
f
S
31.8.
Luise
30.5.
Frank
Klara
Peter
Mario
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
5.2.
26.9.
17.12.
83
Beispiel mit U = Menge der endlichen Folgen von Buchstaben
A,B,. . .,Z,a,b,. . .,z und
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
84
Beispiel mit U = Menge der endlichen Folgen von Buchstaben
A,B,. . .,Z,a,b,. . .,z und R = {1, . . . , 31} × {1, . . . , 12}:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
84
Beispiel mit U = Menge der endlichen Folgen von Buchstaben
A,B,. . .,Z,a,b,. . .,z und R = {1, . . . , 31} × {1, . . . , 12}:
Befehl
empty ()
FG KTuEA, TU Ilmenau
Wörterbuch
∅
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
Ausgabe
84
Beispiel mit U = Menge der endlichen Folgen von Buchstaben
A,B,. . .,Z,a,b,. . .,z und R = {1, . . . , 31} × {1, . . . , 12}:
Befehl
empty ()
insert(Frank, 30.5.)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Wörterbuch
∅
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
Ausgabe
84
Beispiel mit U = Menge der endlichen Folgen von Buchstaben
A,B,. . .,Z,a,b,. . .,z und R = {1, . . . , 31} × {1, . . . , 12}:
Befehl
empty ()
insert(Frank, 30.5.)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Wörterbuch
∅
{(Frank, 30.5.)}
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
Ausgabe
ok“
”
84
Beispiel mit U = Menge der endlichen Folgen von Buchstaben
A,B,. . .,Z,a,b,. . .,z und R = {1, . . . , 31} × {1, . . . , 12}:
Befehl
empty ()
insert(Frank, 30.5.)
insert(Klara, 17.12.)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Wörterbuch
∅
{(Frank, 30.5.)}
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
Ausgabe
ok“
”
84
Beispiel mit U = Menge der endlichen Folgen von Buchstaben
A,B,. . .,Z,a,b,. . .,z und R = {1, . . . , 31} × {1, . . . , 12}:
Befehl
empty ()
insert(Frank, 30.5.)
insert(Klara, 17.12.)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Wörterbuch
∅
{(Frank, 30.5.)}
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 17.12.)}
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
Ausgabe
ok“
”
ok“
”
84
Beispiel mit U = Menge der endlichen Folgen von Buchstaben
A,B,. . .,Z,a,b,. . .,z und R = {1, . . . , 31} × {1, . . . , 12}:
Befehl
empty ()
insert(Frank, 30.5.)
insert(Klara, 17.12.)
Wörterbuch
∅
{(Frank, 30.5.)}
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 17.12.)}
insert(Peter, 2.1.)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
Ausgabe
ok“
”
ok“
”
84
Beispiel mit U = Menge der endlichen Folgen von Buchstaben
A,B,. . .,Z,a,b,. . .,z und R = {1, . . . , 31} × {1, . . . , 12}:
Befehl
empty ()
insert(Frank, 30.5.)
insert(Klara, 17.12.)
insert(Peter, 2.1.)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Wörterbuch
∅
{(Frank, 30.5.)}
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 17.12.)}
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 17.12.),
(Peter, 2.1.)}
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
Ausgabe
ok“
”
ok“
”
ok“
”
84
Beispiel mit U = Menge der endlichen Folgen von Buchstaben
A,B,. . .,Z,a,b,. . .,z und R = {1, . . . , 31} × {1, . . . , 12}:
Befehl
empty ()
insert(Frank, 30.5.)
insert(Klara, 17.12.)
insert(Peter, 2.1.)
Wörterbuch
∅
{(Frank, 30.5.)}
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 17.12.)}
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 17.12.),
(Peter, 2.1.)}
lookup(Klara)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
Ausgabe
ok“
”
ok“
”
ok“
”
84
Beispiel mit U = Menge der endlichen Folgen von Buchstaben
A,B,. . .,Z,a,b,. . .,z und R = {1, . . . , 31} × {1, . . . , 12}:
Befehl
empty ()
insert(Frank, 30.5.)
insert(Klara, 17.12.)
insert(Peter, 2.1.)
lookup(Klara)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Wörterbuch
∅
{(Frank, 30.5.)}
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 17.12.)}
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 17.12.),
(Peter, 2.1.)}
” ”
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
Ausgabe
ok“
”
ok“
”
ok“
”
17.12.“
”
84
Beispiel mit U = Menge der endlichen Folgen von Buchstaben
A,B,. . .,Z,a,b,. . .,z und R = {1, . . . , 31} × {1, . . . , 12}:
Befehl
empty ()
insert(Frank, 30.5.)
insert(Klara, 17.12.)
insert(Peter, 2.1.)
lookup(Klara)
lookup(Luise)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Wörterbuch
∅
{(Frank, 30.5.)}
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 17.12.)}
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 17.12.),
(Peter, 2.1.)}
” ”
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
Ausgabe
ok“
”
ok“
”
ok“
”
17.12.“
”
84
Beispiel mit U = Menge der endlichen Folgen von Buchstaben
A,B,. . .,Z,a,b,. . .,z und R = {1, . . . , 31} × {1, . . . , 12}:
Befehl
empty ()
insert(Frank, 30.5.)
insert(Klara, 17.12.)
insert(Peter, 2.1.)
lookup(Klara)
lookup(Luise)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Wörterbuch
∅
{(Frank, 30.5.)}
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 17.12.)}
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 17.12.),
(Peter, 2.1.)}
” ”
” ”
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
Ausgabe
ok“
”
ok“
”
ok“
”
17.12.“
”
↑“
”
84
insert(Luise, 31.8.)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
85
insert(Luise, 31.8.)
FG KTuEA, TU Ilmenau
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 17.12.),
(Peter, 2.1.),
(Luise, 31.8.)}
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
ok“
”
85
insert(Luise, 31.8.)
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 17.12.),
(Peter, 2.1.),
(Luise, 31.8.)}
insert(Klara, 5.2.)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
ok“
”
85
insert(Luise, 31.8.)
insert(Klara, 5.2.)
FG KTuEA, TU Ilmenau
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 17.12.),
(Peter, 2.1.),
(Luise, 31.8.)}
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 5.2.),
(Peter, 2.1.),
(Luise, 31.8.)}
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
ok“
”
!!“
”
85
insert(Luise, 31.8.)
insert(Klara, 5.2.)
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 17.12.),
(Peter, 2.1.),
(Luise, 31.8.)}
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 5.2.),
(Peter, 2.1.),
(Luise, 31.8.)}
lookup(Klara)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
ok“
”
!!“
”
85
insert(Luise, 31.8.)
insert(Klara, 5.2.)
lookup(Klara)
FG KTuEA, TU Ilmenau
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 17.12.),
(Peter, 2.1.),
(Luise, 31.8.)}
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 5.2.),
(Peter, 2.1.),
(Luise, 31.8.)}
” ”
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
ok“
”
!!“
”
5.2.“
”
85
insert(Luise, 31.8.)
insert(Klara, 5.2.)
lookup(Klara)
delete(Peter)
FG KTuEA, TU Ilmenau
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 17.12.),
(Peter, 2.1.),
(Luise, 31.8.)}
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 5.2.),
(Peter, 2.1.),
(Luise, 31.8.)}
” ”
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
ok“
”
!!“
”
5.2.“
”
85
insert(Luise, 31.8.)
insert(Klara, 5.2.)
lookup(Klara)
delete(Peter)
FG KTuEA, TU Ilmenau
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 17.12.),
(Peter, 2.1.),
(Luise, 31.8.)}
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 5.2.),
(Peter, 2.1.),
(Luise, 31.8.)}
” ”
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 5.2.),
(Luise, 31.8.)}
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
ok“
”
!!“
”
5.2.“
”
o.k.“
”
85
insert(Luise, 31.8.)
insert(Klara, 5.2.)
lookup(Klara)
delete(Peter)
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 17.12.),
(Peter, 2.1.),
(Luise, 31.8.)}
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 5.2.),
(Peter, 2.1.),
(Luise, 31.8.)}
” ”
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 5.2.),
(Luise, 31.8.)}
lookup(Peter)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
ok“
”
!!“
”
5.2.“
”
o.k.“
”
85
insert(Luise, 31.8.)
insert(Klara, 5.2.)
lookup(Klara)
delete(Peter)
lookup(Peter)
FG KTuEA, TU Ilmenau
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 17.12.),
(Peter, 2.1.),
(Luise, 31.8.)}
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 5.2.),
(Peter, 2.1.),
(Luise, 31.8.)}
” ”
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 5.2.),
(Luise, 31.8.)}
” ”
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
ok“
”
!!“
”
5.2.“
”
o.k.“
”
↑“
”
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insert(Luise, 31.8.)
insert(Klara, 5.2.)
lookup(Klara)
delete(Peter)
lookup(Peter)
delete(Mario)
FG KTuEA, TU Ilmenau
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 17.12.),
(Peter, 2.1.),
(Luise, 31.8.)}
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 5.2.),
(Peter, 2.1.),
(Luise, 31.8.)}
” ”
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 5.2.),
(Luise, 31.8.)}
” ”
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
ok“
”
!!“
”
5.2.“
”
o.k.“
”
↑“
”
85
insert(Luise, 31.8.)
insert(Klara, 5.2.)
lookup(Klara)
delete(Peter)
lookup(Peter)
delete(Mario)
FG KTuEA, TU Ilmenau
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 17.12.),
(Peter, 2.1.),
(Luise, 31.8.)}
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 5.2.),
(Peter, 2.1.),
(Luise, 31.8.)}
” ”
{(Frank, 30.5.),
(Klara, 5.2.),
(Luise, 31.8.)}
” ”
” ”
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
ok“
”
!!“
”
5.2.“
”
o.k.“
”
↑“
”
!!“
”
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Datentyp Wörterbuch
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
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Datentyp Wörterbuch
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FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
86
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Keys
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
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1. Signatur:
Sorten:
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Keys
Range
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1. Signatur:
Sorten:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Keys
Range
Maps
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Datentyp Wörterbuch
1. Signatur:
Sorten:
Keys
Range
Maps
Operationen:
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Datentyp Wörterbuch
1. Signatur:
Sorten:
Keys
Range
Maps
Operationen: empty : → Maps
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Datentyp Wörterbuch
1. Signatur:
Sorten:
Keys
Range
Maps
Operationen: empty : → Maps
insert: Maps × Keys × Range → Maps
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
86
Datentyp Wörterbuch
1. Signatur:
Sorten:
Keys
Range
Maps
Operationen: empty : → Maps
insert: Maps × Keys × Range → Maps
delete: Maps × Keys → Maps
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
86
Datentyp Wörterbuch
1. Signatur:
Sorten:
Keys
Range
Maps
Operationen: empty : → Maps
insert: Maps × Keys × Range → Maps
delete: Maps × Keys → Maps
lookup: Maps × Keys → Range
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2. Mathematisches Modell:
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2. Mathematisches Modell:
Sorten: Keys:
FG KTuEA, TU Ilmenau
Menge U (Menge aller Schlüssel)
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87
2. Mathematisches Modell:
Sorten: Keys:
Menge U (Menge aller Schlüssel)
Range: Menge R (Menge aller Werte)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
87
2. Mathematisches Modell:
Sorten: Keys:
Menge U (Menge aller Schlüssel)
Range: Menge R (Menge aller Werte)
Maps: {f | f : S → R für ein S ⊆ U , |S| < ∞}
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
87
2. Mathematisches Modell:
Sorten: Keys:
Menge U (Menge aller Schlüssel)
Range: Menge R (Menge aller Werte)
Maps: {f | f : S → R für ein S ⊆ U , |S| < ∞}
Erinnerung: f ist Abbildung/Funktion von S nach R, wenn
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
87
2. Mathematisches Modell:
Sorten: Keys:
Menge U (Menge aller Schlüssel)
Range: Menge R (Menge aller Werte)
Maps: {f | f : S → R für ein S ⊆ U , |S| < ∞}
Erinnerung: f ist Abbildung/Funktion von S nach R, wenn
f ⊆ S × R und ∀x ∈ S ∃!r ∈ R : (x, r) ∈ f .
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
87
2. Mathematisches Modell:
Sorten: Keys:
Menge U (Menge aller Schlüssel)
Range: Menge R (Menge aller Werte)
Maps: {f | f : S → R für ein S ⊆ U , |S| < ∞}
Erinnerung: f ist Abbildung/Funktion von S nach R, wenn
f ⊆ S × R und ∀x ∈ S ∃!r ∈ R : (x, r) ∈ f .
∃!“: es gibt genau ein“
”
”
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
87
2. Mathematisches Modell:
Sorten: Keys:
Menge U (Menge aller Schlüssel)
Range: Menge R (Menge aller Werte)
Maps: {f | f : S → R für ein S ⊆ U , |S| < ∞}
Erinnerung: f ist Abbildung/Funktion von S nach R, wenn
f ⊆ S × R und ∀x ∈ S ∃!r ∈ R : (x, r) ∈ f .
∃!“: es gibt genau ein“
”
”
Für S schreiben wir D(f ) (Definitionsbereich)
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Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
87
2. Mathematisches Modell:
Sorten: Keys:
Menge U (Menge aller Schlüssel)
Range: Menge R (Menge aller Werte)
Maps: {f | f : S → R für ein S ⊆ U , |S| < ∞}
Erinnerung: f ist Abbildung/Funktion von S nach R, wenn
f ⊆ S × R und ∀x ∈ S ∃!r ∈ R : (x, r) ∈ f .
∃!“: es gibt genau ein“
”
”
Für S schreiben wir D(f ) (Definitionsbereich)
Falls x ∈ D(f ), ist f (x) das eindeutig bestimmte r ∈ R mit
(x, r) ∈ f .
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Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
87
Operationen:
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Operationen:
empty () := ∅.
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
88
Operationen:
empty () := ∅.
(
lookup(f, x) :=
FG KTuEA, TU Ilmenau
f (x),
falls x ∈ D(f )
undefiniert“, sonst.
”
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
88
Operationen:
empty () := ∅.
(
f (x),
lookup(f, x) :=
undefiniert“,
( ”
f − {(x, f (x))},
delete(f, x) :=
f,
FG KTuEA, TU Ilmenau
falls x ∈ D(f )
sonst.
falls x ∈ D(f )
sonst.
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
88
Operationen:
empty () := ∅.
(
f (x),
falls x ∈ D(f )
lookup(f, x) :=
undefiniert“, sonst.
( ”
f − {(x, f (x))}, falls x ∈ D(f )
delete(f, x) :=
f,
sonst.
(
(f − {(x, f (x))}) ∪ {(x, r)}, falls x ∈ D(f )
insert(f, x, r) :=
f ∪ {(x, r)},
sonst.
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Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
88
Implementierungsmöglichkeiten
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Implementierungsmöglichkeiten
• Listen/Arrays
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
89
Implementierungsmöglichkeiten
• Listen/Arrays, Einträge aus U × R, mit Wiederholung von
Schlüsseln (das erste Vorkommen eines Schlüssels zählt)
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
89
Implementierungsmöglichkeiten
• Listen/Arrays, Einträge aus U × R, mit Wiederholung von
Schlüsseln (das erste Vorkommen eines Schlüssels zählt)
• Listen/Arrays
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
89
Implementierungsmöglichkeiten
• Listen/Arrays, Einträge aus U × R, mit Wiederholung von
Schlüsseln (das erste Vorkommen eines Schlüssels zählt)
• Listen/Arrays, Einträge aus U × R, ohne Wiederholung von
Schlüsseln, unsortiert oder sortiert
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
89
Implementierungsmöglichkeiten
• Listen/Arrays, Einträge aus U × R, mit Wiederholung von
Schlüsseln (das erste Vorkommen eines Schlüssels zählt)
• Listen/Arrays, Einträge aus U × R, ohne Wiederholung von
Schlüsseln, unsortiert oder sortiert
• Wenn U = {1, . . . , N }: Array f[1..N ] mit Werten in
R ∪ {⊥}
FG KTuEA, TU Ilmenau
Algorithmen und Datenstrukturen – SS13 – Kapitel 2
89
Implementierungsmöglichkeiten
• Listen/Arrays, Einträge aus U × R, mit Wiederholung von
Schlüsseln (das erste Vorkommen eines Schlüssels zählt)
• Listen/Arrays, Einträge aus U × R, ohne Wiederholung von
Schlüsseln, unsortiert oder sortiert
• Wenn U = {1, . . . , N }: Array f[1..N ] mit Werten in
R ∪ {⊥}, ⊥ =
b undefiniert.
• Suchbäume und Hashtabellen (später)
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89
Implementierungsmöglichkeiten
• Listen/Arrays, Einträge aus U × R, mit Wiederholung von
Schlüsseln (das erste Vorkommen eines Schlüssels zählt)
• Listen/Arrays, Einträge aus U × R, ohne Wiederholung von
Schlüsseln, unsortiert oder sortiert
• Wenn U = {1, . . . , N }: Array f[1..N ] mit Werten in
R ∪ {⊥}, ⊥ =
b undefiniert.
• Suchbäume und Hashtabellen (später)
Zeiten für Operationen wie bei Implementierungen des Datentyps DynSets.
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89