Physik 1 im WS 0607 Hilfsmittel

Fachhochschule Hannover
Fachbereich Maschinenbau
Fach: Physik 1 im WS 0607
1.
a.
b.
c.
20.01.07
Zeit: 90 min
Hilfsmittel: Formelsammlung zur Vorlesung
Ein Tennisball soll 15 m senkrecht nach oben geworfen werden.
Welche Anfangsgeschwindigkeit muss der Ball haben?
(10)
Wie weit fliegt ein Ball, der mit gleicher Anfangsgeschwindigkeit unter einem Winkel von
50° geworfen wird?
(10)
Wie weit könnte der Ball mit gleicher Anfangsgeschwindigkeit maximal geworfen werden?
Unter welchem Winkel muss der Ball geworfen werden?
(10)
2.
Ein Drehmomentenrad erfährt um seine horizontale Achse eine
Winkelbeschleunigung, die durch die Gewichtskraft eines
Körpers der Masse m = 5 kg erzeugt wird, der an einem um die
Achse ( R = 5 cm ) gewickelten Faden hängt. Lässt man den
Körper (m) los, so bewegt er sich in t = 4 s um die Strecke
s = 1 m nach unten. Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment
J ges des Systems Rad/Achse,
a.
indem Sie die am System wirkenden Kräfte und Momente
betrachten,
(20)
indem Sie den Energieerhaltungssatz anwenden.
(20)
b.
3.
a.
4.
Betrachten Sie eine schiefe Ebene auf einem Tisch mit
der Höhe H = 1, 0 m . Ein Block der Masse m = 1 kg
gleitet diese schiefe Ebene mit Neigungswinkel θ = 40°
hinab. In der Ausgangshöhe h = 80 cm besitzt er die
Geschwindigkeit v0 = 3 m s −1 . Am Ende der Ebene stößt
er auf einen Block der Masse M = 5 kg . Der gestoßene
Block verlässt die Ebene und fällt die Tischhöhe H
hinab. Der Aufschlagpunkt liegt x = 55,9 cm von der
Tischkante entfernt.
Wie viel Prozent der ursprünglichen kinetischen Energie der Masse m gehen beim Stoß der
Massen m und M durch Verformung und/oder Wärme verloren? (Hinweis: Die Blöcke können als Massenpunkte behandelt werden, die reibungsfrei gleiten.)
(30)
Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment für die gezeigte zylindrische
Scheibe mit außermittigem Loch bezüglich einer Drehachse, die senkrecht
zur Scheibe verläuft und durch den Mittelpunkt C geht. Es soll gelten:
1
1
J
Ri = R0 und h = R0 . Geben Sie das Ergebnis in der Form
an.
3
2
m R02
(15)
5.
Eine homogene Scheibe mit der Masse m und dem Radius R dreht sich
reibungsfrei mit der Drehzahl nSch = 10 s −1 auf einer stehenden Welle. Ein
nichtrotierender Stab gleicher Masse und der Länge L = 2 R wird auf die
drehende Scheibe (wie gezeigt) fallen gelassen. Wie groß ist die
gemeinsame Drehzahl?
(20)
Verwenden Sie zur Vereinfachung bei allen Aufgaben g = 10 m s-2.
Lösungen:
1a.
Man betrachte die Bewegung des Balls entlang der senkrechten y-Achse.
v y (t ) = v y 0 − g t
Für die Geschwindigkeit gilt:
Für den Weg gilt:
y (t ) = v y 0 t −
die entsprechende Steigzeit ist:
tH =
1 2
gt
2
Beim Erreichen der Maximalhöhe ist die Geschwindigkeit gleich Null.
v y (t H ) = v y 0 − g t H = 0
Es gilt:
1b.
g
2
2
1 2 vy 0 1 vy 0
y ( tH ) = vy 0 tH − g tH =
−
g 2 g
2
v y20
y ( tH ) =
= 15 m
2g
Es folgt:
Lösung:
v y0
v y 0 = 2 g y ( t H ) = 17,3 m s −1
Der Geschwindigkeitsvektor mit Betrag von v0 = v0 = 17,3 m s −1 kann in eine Vertikal- und
eine Horizontal-Komponente (entsprechend x,y-Komponente) zerlegt werden:
vx 0 = v0 cos 50° = 11,13 m s −1
v y 0 = v0 sin 50° = 13, 27 m s −1
1c.
vy 0
Steigzeit:
tH =
= 1,327 s
g
= 2 t H = 2, 654 s
Gesamte Flugzeit des Balls:
t ges
Horizontaler Weg in der Zeit t ges
x(t ges ) = vx 0 t ges = 29,54 m
Maximum der Reichweite bei einem Winkel von 45°. Die Geschwindigkeit v0 = 17,3 m s −1
kann in x,y-Komponenten zerlegt werden:
vx 0 = v0 cos 45° = 12, 25 m s −1
v y 0 = v0 sin 45° = 12, 25 m s −1 .
2a.
vy 0
Steigzeit:
tH =
= 1, 225 s
g
= 2 t H = 2, 449 s
Gesamte Flugzeit:
t ges
Horizontaler Weg in der Zeit t ges :
x(t ges ) = vx 0 t ges = 30, 0 m
Lösungsweg auf der Basis von Kräften und Momenten:
Der Körper mit der Masse m fällt gleichmäßig beschleunigt.
1
Gleichm. beschleunigte Bewegung: s = a t 2
2
2 s 2m
a= 2 =
= 0,125 m s −2
t
16 s 2
Kräfte, die auf m wirken: Gewichtskraft Fg und entgegengesetzt die Seilkraft FS
⎛
⎞
⎜ ∑ Fi ⎟ − m a = 0 = ( Fg − FS ) − ma
⎝ i
⎠
Die Seilkraft FS erzeugt ein Drehmoment am System Rad/Achse:
D'Alembertsches Prinzip für m:
2b.
M = FS ⋅ R
Das Drehmoment erzeugt eine Winkelbeschleunigung::
M = J ⋅α
Für Beschleunigung a der Masse m und Winkelbeschleunigung α vom System Rad/Achse
gilt der Zusammenhang:
a = R ⋅α
a
Es folgt:
FS ⋅ R = J
R
a
FS = J 2
R
Es folgt:
( Fg − FS ) − ma = m ( g − a ) − JRa2 = 0
g −a
J = m R2
a
2 10 − 0,125
J = 5 ⋅ ( 0, 05 )
kg m 2 = 0.9875 kg m 2
0,125
Lösung mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes:
Setze (oBdA) die Gesamtenergie im Ausgangszustand (Index 0) gleich Null. Dann ist im
Endzustand (Index 1) (also dann, wenn die Masse m die Strecke s = 1 m gefallen ist) die Gesamtenergie ebenfalls Null.
rot
trans
Eges ,0 = 0 = E pot ,1 + Ekin
,1 + Ekin ,1 = E ges ,1
Potentielle Energie im Endzustand:
E pot ,1 < E pot ,0 = 0
Kinetische Energie der Rotation:
rot
rot
Ekin
,1 > Ekin ,0 = 0
Kinetische Energie der Translation:
trans
trans
Ekin
,1 > Ekin ,0 = 0
Es folgt:
trans
rot
− E pot ,1 = Ekin
,1 + Ekin ,1
− ( m g ( −s )) =
Es gilt:
ω=
1
1
m v2 + J ω 2
2
2
v
R
1
1 v2
m v2 + J 2
2
2 R
R2
J = ( 2 m g s − m v2 ) 2
Umstellen:
v
⎛ 2gs ⎞
J = mR 2 ⎜ 2 − 1⎟
⎝ v
⎠
Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung gilt:
1
s = a t2
2
v
v = a t oder a =
und:
t
2s
2s
Einsetzen von a:
v= 2 t=
t
t
2
2
⎞
⎞
2 ⎛ 2 g st
2⎛ gt
J = mR ⎜
− 1⎟ = mR ⎜
− 1⎟
2
⎝ 4s
⎠
⎝ 2s
⎠
Einsetzen von ω :
mgs =
⎛ 10 ⋅ 42 ⎞
J = 5 kg ⋅ 0, 052 m 2 ⋅ ⎜
− 1⎟
⎝ 2 ⋅1
⎠
2
J = 0, 0125 kg m ⋅ 79 = 0,9875 kg m 2
3a.
Bestimmung der Geschwindigkeit der Masse m vor dem Stoß mit der Masse M :
Bezeichnung: Index (0) für Ausgangsposition, Index (1) für Position vor dem Stoß mit M .
Die potentielle Energie in Position (1) wird Null gesetzt.
1
1
Eges ,0 = m g h + m v02 = m v12 = Eges ,1
Energieerhaltungssatz:
2
2
m
m
es folgt für Geschwindigkeit v1 :
v1 = 2 g h + v02 = 16 + 9 = 5
s
s
Bestimmung der Horizontalgeschwindigkeit der Masse M nach dem Stoß mit m :
Prinzip der Überlagerung: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung in vertikaler Richtung und
gleichförmige Bewegung in horizontaler Richtung.
Notation:
Zeit vom Verlassen der Ebene bis zum Aufschlagpunkt:
t2
uM
Geschwindigkeit der Masse M nach dem Stoß mit Masse m :
1
Vertikal:
H = g t22
2
Horizontal:
x = uM t2
x
x
0,5590 m
m
Lösung für uM :
uM = =
=
= 1, 25
t2
0, 4472 s
s
2H
g
uM 1, 25 m s −1 1
uM
=
=
5 m s −1
4
v1
v1
Erhaltungssätze für einen unelastischen (aber nicht vollkommen unelastischen) Stoß der
Massen m und M :
Impulserhaltungssatz:
m v1 = m um + M uM
um
M uM
Umformung:
= 1−
(*)
v1
m v1
1
1
1
Energieerhaltungssatz:
m v12 = m um2 + M uM2 + Q
2
2
2
Q
Gesuchte Größe:
ε=
1
m v12
2
1
1
1
1
m v12 = m um2 + M uM2 + ε ⋅ m v12
einsetzen:
2
2
2
2
M
1
1
1
m v12 − m um2 − M uM2 v12 − um2 − uM2
m
2
2
ε=2
=
2
1
v
2
1
m v1
2
Verhältnis
2
⎛u ⎞ M ⎛u ⎞
ε = 1− ⎜ m ⎟ − ⎜ M ⎟
m ⎝ v1 ⎠
⎝ v1 ⎠
2
Einsetzen von (*):
2
⎛ M uM ⎞ M ⎛ uM ⎞
ε = 1 − ⎜1 −
⎟ − ⎜
⎟
m v1 ⎠
m ⎝ v1 ⎠
⎝
2
Einsetzen:
M
=5
m
und
uM 1
=
v1 4
2
2
1 5
6 10
⎛ 5⎞
⎛1⎞
ε = 1 − ⎜1 − ⎟ − 5 ⎜ ⎟ = 1 − − = 1 − =
16 16
16 16
⎝ 4⎠
⎝4⎠
ε = 62,5 %
4.
Das Trägheitsmoment der gezeigten Scheibe ergibt sich als Differenz der einer homogenen
Scheibe mit Radius R0 ohne Loch (Index 0, also Masse m0 ) und einer homogenen Scheibe
mit Radius R1 (Index 1, also Masse m1 ), deren Schwerpunkt um die Strecke h gegenüber der
Drehachse versetzt ist.
1
Trägheitsmoment der Scheibe (0):
J 0 = m0 R02
2
1
Trägheitsmoment der Scheibe (1):
J S ,1 = m1 R12
2
Gesamtes Trägheitsmoment J unter Verwendung des Steinerschen Satzes:
J = J 0 − ( J S ,1 + m1 h 2 )
Da die Scheibe homogen ist, verhalten sich die Massen proportional zu den Flächen:
m1 π R12 R12
=
=
m0 π R02 R02
Masse der Scheibe mit Loch:
Einsetzen:
⎛ m ⎞
⎛ R2 ⎞
m = m0 − m1 = m0 ⎜ 1 − 1 ⎟ = m0 ⎜ 1 − 12 ⎟
⎝ m0 ⎠
⎝ R0 ⎠
1
1
m0 R02 − m1 R12 − m1 h 2
J
2
=2
2
m R0
( m0 − m1 ) R02
1
1 R2
h2
m0 − m1 12 − m1 2
R0
2
2 R0
J
=
2
m R0
m0 − m1
1
1 R2
h2
m0 − m1 12 − m1 2
R0
2
2 R0
J
=
2
2
m R0
⎛ R ⎞
m0 ⎜1 − 12 ⎟
⎝ R0 ⎠
2
2
2
2
1 1 m1 R12 m1 h 2 1 1 ⎛ R1 ⎞ R1 h
−
−
−
−
⎜ 2⎟
2
2
2 2 m0 R02 m0 R02 2 2 ⎝ R0 ⎠ R0 R0
J
=
=
m R02
⎛ R12 ⎞
⎛ R12 ⎞
−
1
⎜
⎜1 − 2 ⎟
2 ⎟
⎝ R0 ⎠
⎝ R0 ⎠
2
1 1⎛1⎞ 1 1
− ⎜ ⎟ − ⋅
J
2 2⎝9⎠ 9 4
k=
=
m R02
⎛ 1⎞
⎜1 − ⎟
⎝ 9⎠
1 1
1 162 − 2 − 9
−
−
J
324
k=
= 2 162 36 =
2
8
8
m R0
9
9
162 − 2 − 9
151 9 151 151
324
=
⋅ =
=
8
324 8 36 ⋅ 8 288
9
J
151
k=
=
= 0,5243
2
m R0 288
J
k=
=
m R02
5.
Die Scheibe besitzt in der Ausgangsposition den Drehimpuls LSch,0
LSch ,0 = J Sch ⋅ ωSch ,0
Drehimpuls des Stabes in der Ausgangsposition:
LSt ,0 = 0
In der Endposition drehen Scheibe und Stab mit gemeinsamer Winkelgeschwindigkeit.
LSch + St ,1 = J Sch + St ⋅ ωSch + St ,1 = ( J Sch + J St ) ⋅ ωSch + St ,1
Drehimpuls der Endposition:
Drehimpulserhaltungssatz:
LSch ,0 + LSt ,0 = LSch ,0 + 0 = LSch + St ,1
LSch ,0 = J Sch ⋅ ωSch ,0 = ( J Sch + J St ) ⋅ ωSch + St ,1 = LSch + St ,1
ωSch + St ,1 =
J Sch
⋅ ωSch ,0
J Sch + J St
1
mSch R 2
2
1
1
1
2
Massenträgheitsmoment des Stabes: J St = mSt L2 = mSt ( 2 R ) = mSt R 2
12
12
3
1
1
m R2
2
da die Massen gleich sind gilt:
ωSch + St ,1 =
⋅ ωSch ,0 = 2 ⋅ ωSch ,0
1
1
3+ 2
2
2
mR + mR
2
3
6
3
3
ωSch + St ,1 = ⋅ ωSch,0 = ⋅ 2π ⋅ nSch = 2π ⋅ 6 s −1
5
5
Massenträgheitsmoment der Scheibe: J Sch =
Gemeinsame Drehzahl:
nSch + St ,1 =
ωSch + St ,1
= 6 s −1
2π